Niech f, g : G →R, G ∈ Top(Rk) bed
a dwukrotnie różniczkowalne w a ∈ G

1. Niech B : R^k ×R^k bedzie odwzorowaniem dwuliniowym w
R^k. Połóżmy f(x) = B(x, x) dla x ∈R^k. Wykazać, że f jest dwukrotnie różniczkowalna, znaleźć D²f(a), a ∈R^k.

2. Niech f, g : G →R, G ∈ Top(R^k) bed
a dwukrotnie różniczkowalne w a ∈ G. Znaleźć wzory
na D²(f + g)(s) oraz D²(fg)(s).

3. Niech f : R² → R bedzie dwukrotnie różniczkowalna. Wykazać, że f :
R → R określona wzorem g(t) = f (cost, sint), t∈^R, jest też dwukrotnie różniczkowalna. Znaleźć g

(t).

4. Znaleźć wszystkie funkcje f : R² → R dwukrotnie różniczkowalne w _R² takie, że f_1,2

(x) = 0 dla x∈R².

5. Znaleźć wszystkie funkcje f : ^R2 → ^R dwukrotnie różniczkowalne w R² takie, że f_1,1

(x) = f_2,2

(x) dla x∈R².

6. Funkcja f ∈ C¹(R²) ma ciagłe pochodne f
xx i f_yy. Czy wynika stad ci
agłość pochodnej mie-
szanej f_xy?

7. Funkcja f :^R2 →^Rjest różniczkowalna oddzielnie wzgledem każdej zmiennej i
^∂f_∂x = ^∂f_∂y. Czy istnieje funkcja g taka, że f (x, y) = g(x + y)?

8. Dla funkcji f : (0, +∞) ×R →R określonej przez f (x, y) = x^y obliczyć pochodna
_∂y^∂n+mm∂x^fn w punkcie (1, 1).

9. Wszystkie pochodne czastkowe
_∂x^∂m+nn∂x^fm funkcji f : _R² → R istnieja wsz
edzie dla każdego
1 n + m  2. Czy wynika stad ci
agłość f?

10. Niech A ∈ Lm(R^k,R) bedzie funkcjonałem m-liniowym symetrycznym. Niech f(x) = A(x, . . . , x

_{ }

m−razy

), x ∈ ^Rk. Pokazać, że f jest m-krotnie różniczkowalna oraz Dⁿf(x)(h₁, . . . , h_n) = m(m − 1) . . . (m− (n − 1)) · A(x, . . . , x
_{ }

m−razy

, h₁, . . . , h_n) dla n m, h1, . . . , h_n ∈R^k, x ∈R^k.

Arkusz 9