Ćwiczenia AM II, 25.11/2016 1. Omówienie zadań zespołowych z 21 i 22.11
Zadanie 1. Czy jeśli funkcja różniczkowalna f : R2⊇ Ω → R spełnia
∂f
∂x(x, y) = 0
dla dowolnych (x, y) ∈ Ω, to istnieje funkcja g : R ⊇ Ω′ → R taka, że f (x, y) = g(y)? Jakie są potrzebne dodatkowe założenia?
Zadanie 2. Znajdź wszystkie funkcje f : R2→ R takie, że dla dowolnych a, b ∈ R zachodzi
(x,y)→(0,0)lim
f (a + x, b + y) − f (a, b) − ay − bx − x2− y2
|x|3+ |y|3 = 0.
lub wykaż, że taka funkcja nie istnieje.
Zadania zespołowe kolejne.
Zadanie 1. Funkcja f ∈ C∞(R2) spełnia
(x,y)→0lim
f (x, y) − tg(x) sin(y) (x2+ y2)2 = 0.
Obliczyć ∂x∂y∂2f (0, 0), ∂∂34f
x∂y(0, 0).
Zadanie 2. Wyznaczyć lokalne ekstrema funkcji f(x, y) = (x3− 3x − y)(y + 2).
Zadanie 3. Niech Ω = {(x, y) : |xy| < π/2, |y| < π},
f (x, y) =
(ln cos(xy)
xsin2y , jeśli (x, y) ∈ Ω, xy 6= 0
−x/2, jeśli xy = 0, |y| < π.
Wykazać, że f jest różniczkowalna, a nawet klasy C∞ na Ω. Wskazówki:
(a) Wykazać, że funkcja t 7→ ln(cos t) jest sumą swojego szeregu Taylora o środku w t = 0. Jaki jest promieniu zbieżności tego szeregu? Napisać np. wielomian Taylora stopnia 4 tej funkcji.
(b) Rozważyć ln cos(xy)x2y2 , f(x, y)siny22y.
1
