Cwiczenia nr 9, GAL I.2, 24.4.2020 Przestrzenie dwuliniowe
Zadanie 1. Niech ξ będzie formą dwuliniową symetryczną na R3, A = (e1, e2, e2 + e3),
M (ξ, A) =
−1 0 1 0 1 0 1 0 1
Oblicz ξ((1, 1, 0), (2, 1, 2)) oraz znajdź M (ξ, B), gdzie B = (e1+ e2, e2, e3).
Zadanie 2. Niech ξ będzie formą dwuliniową symetryczną na R3,
M (ξ) =
1 2 0
2 1 −1
0 −1 2
Znajdź bazę przestrzeni:
(a) lin{(1, 0, 1), (−1, 1, 0)}⊥,
(b) W⊥, gdzie W opisana jest równaniami x1+ x2+ x3 = 0, −x2+ 2x3 = 0.
Zadanie 3. Niech V = CR. Które z następujących funkcji ξi : V × V → R są funkcjonałami dwuliniowymi, które z nich są symetryczne, które nieosobliwe (tj. niezdegenerowane)?
Czy V ma niezerowe wektory izotropowe?
(a) ξ1(w, z) = |w · z|, (b) ξ2(w, z) = Re(w · ¯z),
(c) ξ3(w, z) = Re(w · z), (d) ξ4(w, z) = Im(w · ¯z),
(e) ξ5(w, z) = Re(w · ¯z) + Re(w ·z).
Zadanie 4. Niech (V, ξ) będzie przestrzenią dwuliniową, dim V < ∞, a ξ niezdegenerowana.
Niech W ⊂ V będzie podprzestrzenią taką, że ξ|W ×W = 0. Udowodnij, że dim W ¬
1
2dim V .
Zadanie 5. Niech (V, ξ) będzie przestrzenią dwuliniową,
M (ξ) =
1 a 0 a 2 1 0 1 a
Dla jakich a ∈ R, forma ξ|E×E jest niezdegenerowana, gdzie E = {x1+ x2+ x3 = 0}.
Zadanie 6. Wyznacz wszystkie wektory izotropowe w przestrzenie (R2, ξ), gdzie M (ξ) = diag(1, −1).
Zadanie 7. Niech (R4, ξ) będzie przestrzenią Minkowskiego (tj. ξ(ei, ei) = 1, 1, 1, −1 dla i = 1, 2, 3, 4 oraz ξ(ei, ej) = 0 dla i 6= j.
(a) Udowodnij, że dla dowolnych a, b, c istnieje t taki, że (a, b, c, t) jest izotropowy. (b) Czy (R4, ξ) ma bazę złożoną z wektorów izotropowych?
Zadanie 8. Niech ξ : Cn× Cn → C, ξ(α, β) = α · βT. Udowodnij, że Cn zawiera całkowicie zdegenerowaną podprzestrzeń wymiaru bn2c, ale nie zawiera większej.
Zadanie 9. Niech ξ zadane będzie macierzą
M (ξ) =
0 2 1 2 4 1 1 1 0
Wykazać, że istnieją dokładnie dwie dwuwymiarowe podprzestrzenie (R3, ξ), całkowicie zdegenerowane.
Zadanie 10. Niech (V, ξ) będzie przestrzenią dwuliniową symetryczną nad ciałem charaktery- styki 6= 2. Udowodnij, że
(a) Istnieje podprzestrzeń W ⊂ V taka, że V = V⊥⊕ W i ξ|W ×W jest niezdegenerowana.
(b) Jeśli wektory v1, v2, v1+ v2 ∈ V są izotropowe, to v1 ⊥ v2.
(c) Przypuśćmy, że ξ jest niezdegenerowana, a v1, v2, . . . , vk są wektorami nieizotropo- wymi, parami prostopadłymi, 1 ¬ k < dim V . Udowodnij, że istnieje wektor nieizo- tropowy vk+1 prostopadły do v1, v2, . . . , vk.
Zadanie 11. Niech ξ zadane będzie macierzą
M (ξ) =
0 2 0
2 0 −1
0 −1 0
(a) Znajdź bazę ortogonalną przestrzeni (R3, ξ).
(b) Zbadaj, czy istnieją dwuwymiarowe podprzestrzenie W ⊂ (R3, ξ) takie, że (i) ξ|W ×W >
01 , (ii) ξ|W ×W < 0, (iii) ξ|W ×W = 0.
Zadanie 12. Niech ξ : V × V → R będzie przekształceniem dwuliniowym, antysymetrycznym, tj. dla dowolnych v1, v2 ∈ V mamy ξ(v1, v2) = −ξ(v2, v1). Załóżmy ponadto, że ξ jest niezdegenerowane, czyli V⊥ = {0}. Udowodnij, że V musi być wymiaru parzystego, a ponadto istnieje baza {e1, . . . , em, f1, . . . , fm} przestrzeni V , w której ξ(ei, ej) = ξ(fi, fj) = 0 oraz ξ(ei, fi) = 1 dla każdych 1 ¬ i, j ¬ m.
1Zapis ξ > 0 oznacza, że ξ jest dodatnio określona, czyli dla każdego v 6= 0 mamy ξ(v, v) > 0. Podobnie ξ < 0 oznacza, że ξ jest ujemnie określona, czyli, że −ξ > 0.
2
