Zestaw zadań domowych nr 7, GAL I.2 Data zwrotu: 8.5.2020
Zadanie 1. Niech {v1, . . . , vn} będzie bazą przestrzeni dwuliniowej (V, ξ) taką, że dla każdych 1 ¬ i ¬ j ¬ n wektor vi+ vi+1+ . . . + vj jest izotropowy. Udowodnij, że ξ = 0.
Zadanie 2. Niech (R4, ξ) będzie przestrzenią dwuliniową,
M (ξ, st) =
−1 0 0 0
0 −1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 1
.
Znajdź bazę ortogonalną podprzestrzeni W : x1+ x2+ x3+ x4 = 0.
Zadanie 3. Niech (V, ξ) będzie przestrzenią dwuliniową,
M (ξ, st) =
0 1 0
1 0 −1
0 −1 0
.
Podaj przykłady takiej podprzestrzeni Wi ⊂ R3, i = 1, 2, 3, Wi 6= {0} i Wi 6= R3, by (a) R3 = W1⊕ W1⊥;
(b) dim W2+ dim W2⊥ 6= 3;
(c) żadnej bazy ortogonalnej przestrzeni W3 nie dało się rozszerzyć do bazy ortogonalnej przestrzeni R3.
