Cwiczenia nr 15, GAL I.2, 9.6.2020
Funkcje wielomianowe, hiperpowierzchnie stopnia 2 Zadanie 1. Niech P = {(x, y) ∈ R2 : y − x2 = 0}.
(a) Wyznacz równania opisujące krzywe f (P ) i f−1(P ), gdzie f (x, y) = (x+3, 2x−y+1).
(b) Opisz wszystkie przekształcenia afiniczne f : R2 → R2 takie, że f (P ) = P . Które z nich są izometriami?
Zadanie 2. Niech H = {(x, y) ∈ R2 : x2− y2 = 1}. Wyznacz równanie opisujące hiperbolę H w układzie bazowym B = (p; v1, v2), gdzie p = (1, 2), v1 = [2, 3], v2 = [3, 4].
Zadanie 3. Znajdź postać kanoniczną wielomianu f : R3 → R, (a) f (x) = x21+ 2x1x2+ 2x1x3 + x1− 1,
(b) f (x) = x21+ 2x1x2− 4x1x3+ x22 + 2x23− 2x1+ 1, (c) f (x) = x1x2+ x2x3+ x1+ x2+ x3+ 2.
Zadanie 4. Dane są f, g, h : R3 → R.
(a) f (x) = x1x2− 12x1− 12x2− x3+ 1, (b) f (x) = x21+ 2x1x2− 2x22+ x1− x3+ 1,
(c) f (x) = x21+ 2x22+ x1+ x2− 3.
Które z nich są afinicznie równoważne?
Zadanie 5. Czy wszystkie parabole są figurami podobnymi?
Zadanie 6. Dane są hiperpowierzchnie Xi ⊂ R3, i = 1, 2, 3, stopnia 2:
(a) X1 : x21+ 2x1x2+ 2x1x3− x1+ x2 = −1, (b) X2 : x21− 2x2x3+ 2x1 = 0,
(c) X3 : x1x2+ x2x3+ x1x3+ x1 = 3.
Które z nich są afinicznie równoważne?
Zadanie 7. Narysuj:
(a) x21− 4x22 = 1, (b) x21− x22 + x3 = 0,
(c) x21− x22 − x23 + 1 = 0, (d) x21+ x22− x23+ 1 = 0.
Zadanie 8. Niech X : x21 + 2x1x2 − 4x1x3 − x22 + 2x23 = 1, M : x1 + x2 − x3 = −1. Znajdź postać kanoniczną M ∩ X.
Zadanie 9. Niech X : x21 − 2x2x3 + 2x1 = 0. Czy X ma środek symetrii? (Jeśli tak, to go znaleźć.)
Zadanie 10. Niech l1 : lin{e1}, l2 : (1, 1, 0) + lin{e2 + e3}, gdzie (ei) jest bazą standardową (R3, h·, ·i). Opisać zbiór X = {x ∈ R3 : ρ(x, l1) = ρ(x, l2)}.
