Zestaw zadań domowych nr 8, GAL I.2 Data zwrotu: 18.5.2020
Zadanie 1. Niech ξ będzie formą dwuliniową na V = R4, której macierz w bazie A = ((1, 0, 0, 1), (1, 0, 1, 0), (1, 1, 1, 1), (1, 0, 0, 0)) ma postać
M (ξ, A) =
4 2 4 2 2 2 4 1 4 4 8 2 2 1 2 1
Znajdź M (ξ, st). Dla Wt= lin{(1, 0, 0, 1), (0, 1, t, 0)} znajdź wymiary przestrzeni Wt⊥ oraz Wt∩ ker ˜ξ, w zależności od t. ( ˜ξ : V → V? oznacza przekształcenie liniowe v 7→ ξv, gdzie ξv(w) = ξ(v, w) dla v, w ∈ V .)
Zadanie 2. Niech (R3, ξ) będzie przestrzenią dwuliniową, gdzie
M (ξ) =
1 0 0 0 2 1 0 1 a
Dla jakich a ∈ R mamy lin (3, 1, 1) ⊥ W , gdzie W : x1+ x2+ x3 = 0.
Zadanie 3. Które z podanych macierzy są kongruentne nad C? Które są kongruentne nad R?
(t ∈ R)
A =
1 −1 3
−1 2 1
3 1 1
, B =
1 2 1 2 3 2 1 2 1
, C =
1 1 1 1 0 1 1 1 1
D =
1 0 1 0 1 2 1 2 t
