Mikołaj Rotkiewicz, 5190, www.mimuw.edu.pl/ mrotkiew Ćwiczenia nr 1, RP 2020
Kombinatoryka i prawdopodobieństwo klasyczne.
Cel: Omówić wariacje z powtórzeniami, wariacje bez powtórzeń, permutacje, permutacje z powtórzeniami, kombinacje, kombinacje z powtórzeniami, ustawienia „przy okrągłym stole”, wzór włączeń i wyłączeń, sumy ze współczynnikiami Newtona.
Rozwiązując zadania z kombinatoryki często warto sprawdzić:
(i) Czy odpowiedź się zgadza dla początkowych parametrów zadania?
(ii) Czy faktycznie otrzymujemy wszystkie żądane układy?
(iii) Czy przypadkiem dwie z pozoru różne ścieżki nie prowadzą do tego samego układu?
Zadanie 1. Mamy N kratek, w które wpisujemy 1 lub −1. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli chcemy uzyskać sumę równą 0? Co, jeśli wpisujemy 0, 1 lub −1 i chcemy, by suma była liczbą parzystą?
Zadanie 2. Podać kombinatoryczne dowody następujących tożsamości:
(a) 2n= n0 + n1 + . . . + nn = Pnk=0 nk, (b) n+1k = nk + k−1n ,
(c) 2nn = n02
+ n12
+ . . . + n−1n 2
+ nn2
, (d) Uogólnić ostatnią tożsamość: m+nk = ? Zadanie 3. Uprościć sumy (0 ¬ a ¬ k):
(a) Pk j=a
j a
k j, (b) Pk
j=a(−1)j ja k j.
Zadanie 4. Na ile sposobów można poprzestawiać litery w słowie ABRAKADABRA?
Zadanie 5. Na ile sposobów można zapisać w jednym rzędzie cyfry 0, 1, 2, . . . , 9 tak, aby (a) 0 i 1 występowały obok siebie;
(b) 0 i 1 nie występowały obok siebie;
(c) 0 wystąpiło bezpośrednio przed 1, i 1 bezpośrednio przed 2;
(d) ani 0 i 1, ani 8 i 9 nie występowały obok siebie.
Zadanie 6. Lodziarnia oferuje kulki lodów siedmiu smaków. Ile różnych deserów może z tego sporządzić eks- pedientka, jeśli w pucharku mieści się nie więcej niż 5 kulek lodów, a pusty pucharek nie jest deserem?
Zadanie 7. Ile jest wszystkich funkcji f : {1, 2, . . . , k} → {1, 2, . . . , n}. Ile z nich jest (a) różnowartościowych, (b) ściśle rosnących, (c) niemalejących?
Zadanie 8. Ile jest rozwiązań równania x1+ x2+ x3+ x4= 50 (a) w liczbach całkowitych nieujemnych x1, x2, x3, x4, (b) w liczbach całkowitych dodatnich?
Zadanie 9. Ile jest takich „szóstek” w Totolotku1, że żadne dwie z wylosowanych liczb nie są kolejne?
Zadanie 10. Na ile różnych sposobów można posadzić Adama, Basię, Czarka, Daszę i Franka przy okrągłym stole, jeśli chcemy by Adam i Czarek nie siedzieli obok siebie?
1W Totolotku losowanych jest 6 liczb ze zbioru {1, 2, . . . , 49}.
Zadanie 11. Przy okrągłym stole chcemy posadzić n chłopców i m dziewczynek. Na ile sposobów można to zrobić, jeśli dodatkowo żądamy by żadne dwie dziewczynki nie siedziały obok siebie.
Zadanie 12. Grupa składa się z 15 małżeństw. Na ile sposobów można spośród nich wybrać czteroosobową delegację, jeśli w skład delegacji nie może wchodzić żadne małżeństwo?
Zadanie 13. Ile jest liczb 99-cyfrowych, w których cyfra 9 występuje 11 razy, a 0 nie występuje ani razu?
Zadanie 14. Przyjmijmy, że jest Państwa na sali 23 i spotkamy się na 23 ćwiczeniach RP w tym semestrze.
Umówmy się, że na każdych ćwiczeniach będę prosił dwie (różne) osoby o zrobienie zadań przy tablicy.
Jakie są szanse, że spytam daną osobę co najmniej raz w całym semestrze? A jakie są szanse, że przepytam wszystkich?
— Eksperyment: poprosić o daty urodzeń Waszych Mam i Tatusiów. Chcemy policzyć, jak często się zdarza, że w grupie 20. (odpowiednio 40.) osobowej są osoby obchodzące urodziny tego samego dnia roku.
Zadanie 15. Czy szanse wyrzucenia szóstki (co najmniej raz) w czterech rzutach standardową kostką są mniej- sze, równe czy większe niż 1/2?
Zadanie 16. Czy szanse wyrzucenia dwóch szóstek (co najmniej raz) w 24 rzutach dwiema sześciennymi kost- kami są mniejsze, równe czy większe niż 1/2?
Zadanie 17. Co jest bardziej prawdopodobne w rzucie trzema kostkami sześciennymi: uzyskanie sumy oczek równej 11 czy 12?
Zadanie 18. W szafie jest n par butów. Wyjmujemy na chybił trafił k butów (k ¬ n). Oblicz prawdopodo- bieństwo, że
(a) wśród wyjętych butów jest co najmniej jedna para, (b) wśród wyjętych butów jest co dokładnie jedna para.
Zadanie 19. Rozdajemy 52 karty czterem graczom, każdemu po 13 kart. Jakie jest prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden z nich (a) nie ma asa? (b) nie ma pików?
Zadanie 20. Rzucamy 10 razy kostką sześcienną. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wypadną wszystkie sześć wartości?
Zadanie 21. Jest 17 listów i 17 kopert z różnymi adresami. Każdy list odpowiada dokładnie jednemu adresowi i na odwrót. Włożono listy do kopert na chybił trafił, po jednym do każdej koperty. Niech pk oznacza prawdopodobieństwo, że dokładnie k listów trafiło do właściwej koperty. Oblicz (z dokładnością do 0.01) (a) p17, (b) p0, (c) p0· p1· . . . p17.
Zadanie 22. Windą jedzie 7 osób, a każda może wysiąść na jednym z 10 pięter. Jaka jest szansa, że na pewnym piętrze wysiądą 3 osoby, na innym 2 i na dwóch piętrach po jednej?
Zadanie 23. Z 52 kart losujemy 13. Jakie są szanse otrzymania:
(a) 4 pików, 4 kierów, 4 trefli, 1 kara?
(b) układu 3 − 3 − 3 − 4?
2
