WYBRANE ZAGADNIENIA TEORII GRAFÓW wykład 10
Przykład zastosowania Lematu Koniga. Nieskończone grafy eulerowskie.
Przykład zastosowania Lematu K¨oniga:
Tw. Jeśli graf G jest przeliczalny i każdy skończony podgraf grafu G jest planarny, to graf G jest planarny.
Dowód:
Z tego, że G jest przeliczalny wynika, że jego wierzchołki można uporządkować w ciąg v0, v1, v2, . . ..
Możemy utworzyć ściśle rosnący ciąg G1 ⊂ G2 ⊂ G3 ⊂ . . . podgrafów grafu G w taki sposób, że
Gk = G[{v1, . . . , vk}] dla k = 1, 2, 3.
Graf Gk można narysować na płaszczyźnie na skończenie wiele topologicznie różnych sposobów. Niech m(k) będzie liczbą tych sposobów.
Zdefiniujmy nieskończony graf H w następujący sposób:
V (H) = {wij : i = 1, 2, . . . , j = 1, 2, . . . , m(i)}, gdzie wij jest j-tym rysunkiem płaskim grafu Gi. E(H) = {{wij, wkl} : k = i + 1} oraz rysunek odpowiadający wij rozszerza się do rysunku odpowiada- jącego wkl.
Graf H jest oczywiście spójny i lokalnie skończony, zatem z Lematu K¨oniga zawiera drogę jednostronnie nieskończoną. Skoro G jest przeliczalny, to droga ta daje planarny rysunek grafu G.
Nieskończone grafy eulerowskie
Def. Graf nieskończony jest eulerowski jeśli istnieje dwustronnie nieskończona ścieżka zawierająca każdą krawędź grafu G (taką ścieżkę nazwiemy eulerowską).
Tw. (warunek konieczny na to by graf nieskończony był eulerowski) Niech G będzie spójnym przeliczalnym grafem eulerowskim. Wtedy:
1) graf G nie ma wierzchołka nieparzystego stopnia,
2) dla każdego skończonego podgrafu H0 grafu G, graf nieskończony H otrzymany z G przez usunięcie krawędzi grafu H0 ma co najwyżej dwie nieskończone składowe.
3) Jeśli ponadto, każdy wierzchołek grafu H0 ma parzysty stopień, to graf H ma dokładnie jedną nieskonczoną składową.
Uwaga: Warunki te są również wystarczające na to by spójny przeliczalny graf był eulerowski.
Dowód twierdzenia:
1) Niech P będzie ścieżką eulerowską w G. Wtedy jak w dowodzie Twierdzenia Eulera stwierdzamy, że każdy wierzchołek ma parzysty stopień albo stopień nieskończony.
2) Podzielmy ścieżkę P na trzy podściezki P−, P0, P+ tak, aby P0 było skończoną ścieżką zawierającą każdą krawędź H0 i być może inne krawędzie, a P− i P+ były ścieżkami jednostronnie nieskończonymi.
Wtedy graf nieskończony K utworzony z krawędzi nalezących do P− i P+ oraz z wierzchołków incy- dentnych do tych krawędzi ma co najwyżej dwie składowe nieskończone. Ponieważ graf H powstaje z K przez dodanie skończenie wielu krawędzi (tych które są w P0 a nie ma ich w H0), więc graf H też ma co najwyżej dwie nieskończone składowe.
3) Niech początkiem i koncem ścieżki P0 będą odpowiednio wierzchołki u i v. Chcemy pokazać, że wierzchołki u i v są połaczone drogą w grafie H.
Jezeli u = v, to oczywiste.
W przeciwnym przypadku wynika to z Wniosku z Twierdzenia Eulera zastosowanego do grafu otrzy- manego ze ścieżki P0 przez usunięcie krawędzi należących do grafu H0 (z założenia każdy wierzchołek w tym grafie, poza u i v ma parzysty stopień,bo w H0 każdy ma parzysty stopień). Zatem w H każde dwa wierzchołki są połaczone drogą (jeśli weźmiemy dwa wierzchołki, jeden z P− i jeden z P+, to idziemy ścieżką P− potem drogą od u do v i potem ścieżką P+).
