Egzamin z matematyki dyskretnej, zaoczne, termin 2
3 III 2018
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Nikt nie wychodzi w ciągu ostatnich 10 minut.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce, obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać pseudonim, pod którym będzie opublikowany wynik.
4. Definicje i twierdzenia w zadaniu 5 nie muszą być zapisywane formalnie, mogą być podane własnymi słowami.
Zadania:
1. (400 punktów) Cukiernia „U Eulera” produkuje lody w 4 smakach: śmietankowym, waniliowym, truskawkowym i czekoladowym.
a) Pewna rodzina codziennie zamawia w tej cukierni deser. W ciągu 30-dniowego miesiąca 2 razy zamawiają lody śmietankowe, 3 razy lody waniliowe, 4 razy lody truskawkowe i 5 razy lody czekoladowe (w pozostałe dni wybierają inne produkty cukierni). Na ile sposobów można można zaplanować, w które dni miesiąca i jakiego smaku będą jedli lody?
b) Pewnego dnia 100 klientów zamówiło po jednej gałce lodów. Wiedząc, że każdy smak lodów wybrało co najmniej 3 klientów, na ile sposobów można rozdzielić tę sprzedaż pomiędzy 4 smaki lodów?
c) 12 znajomych wybrało się do cukierni. 4 z nich zamówiło szarlotkę, nie więcej niż 2 zamówiło makowiec, a pozostali zamówili sernik. Dodatkowo, w ramach promocji, 4 z nich otrzymało dodat- kowo po jednej gałce lodów, każdy innego smaku. Przy tych założeniach, na ile sposobów znajomi (rozróżnialni) mogli otrzymać swoje desery?
d) Pewnego dnia lody w cukierni zamawiało 98 klientów. 51 z nich jadło lody śmietankowe, 38 - waniliowe, 52 - truskawkowe, 46 - czekoladowe. Jednocześnie lody śmietankowe i waniliowe jadło 17 osób, śmietankowe i truskawkowe - 23 osoby, śmietankowe i czekoladowe - 26 osób, waniliowe i tru- skawkowe - 19 osób, waniliowe i czekoladowe - 19 osób, truskawkowe i czekoladowe - 22 osoby. Lody śmietankowe, waniliowe i truskawkowe naraz zamówiło 9 klientów, śmietankowe, waniliowe i czeko- ladowe - 11, śmietankowe, truskawkowe i czekoladowe - 12, a waniliowe, truskawkowe i czekoladowe - 10. Ilu klientów zamówiło wszystkie 4 smaki lodów?
2. (400 punktów) Rozwiązać następujące zagadnienie rekurencyjne:
sn+1 = sn+ 6sn−1− 5 · 3n; s0 = 7, s1 = −7.
3. a) (200 punktów) W algorytmie RSA kluczem publicznym jest para (119, 35). Obliczyć klucz prywatny używany do dekodowania informacji oraz obliczyć, jakiej jednostce tekstu jawnego odpo- wiada w szyfrogramie jednostka o numerze 5.
b) (100 punktów) Wyznaczyć ϕ(35640).
c) (100 punktów) Wyznaczyć resztę z dzielenia liczby 152018 przez 32.
2
4. (400 punktów)
a) Zastosować algorytm Dijkstry ze wskaźnikami do znalezienia najkrótszej drogi pomiędzy wierzchołkami A i J poniższego grafu. Przebieg algorytmu zapisać w tabeli o nagłówkach jak poniżej. Zapisać tę drogę i podać jej wagę.
Nr etapu Zbiór L d(B)p(B) d(C)p(C) . . . d(J)p(J)
b) Za pomocą algorytmu Edmondsa-Karpa znaleźć maksymalny przepływ pomiędzy wierzchoł- kami A oraz H w poniższym grafie skierowanym. Uzupełnić odpowiednią tabelę przebiegu algorytmu.
Nr etapu Ścieżka powiększająca Przepustowość Alternatywy
5. (400 punktów) a) Podać przykład kongruencji liniowej, która nie ma rozwiązań oraz kongruencji liniowej, która ma więcej niż jedno rozwiązanie. Jeśli któryś z tych przypadków jest niemożliwy, wy- jaśnić dlaczego. Podać warunek konieczny i wystarczający istnienia rozwiązania kongruencji liniowej (twierdzenie o rozwiązalności kongruencji).
b) Narysować spójne grafy proste o co najmniej 6 krawędziach spełniające następujące założenia (lub uzasadnić, że taki graf nie istnieje):
I. Graf, dla którego indeks chromatyczny jest mniejszy od liczby chromatycznej o dokładnie 2.
II. Graf, dla którego liczba chromatyczna jest mniejsza od indeksu chromatycznego o dokładnie 2.
III. Graf dwudzielny, dla którego liczba chromatyczna i indeks chromatyczny są równe.
IV. Graf, który nie jest dwudzielny, a jego liczba chromatyczna wynosi 2.
