Uniwersytet Łódzki, Wydział Matematyki i Informatyki
Geometria w grafice komputerowej
II rok informatyki rok akademicki 2020/2021
Zagadnienia egzaminacyjne
Egzamin składa się z dwóch części: obowiązkowej testowej i fakultatywnej ustnej.
Egzamin testowy składa się z 30 pytań, w tym: 10 pytań testowych dotyczących zrozu- mienia podstawowych pojęć (część I), 10 pytań o definicje (część II) i 10 pytań o sformu- łowanie twierdzeń (część III).
Pytania testowe zawierają po cztery podpunkty wymagające odpowiedzi tak/nie. Za jedną prawidłową odpowiedź cząstkową otrzymuje się 1 pkt., za dwie — 2 pkt., a za trzy — 5 pkt, a za cztery — 10 pkt.
Pozytywną ocenę gwarantuje zdobycie 50% punktów. Maksymalną oceną możliwą do uzyskania na egzaminie testowym jest 3,5 (dostateczny+).
Egzamin ustny pozwala na podwyższenie oceny z egzaminu testowego i dotyczy głównie dowodów z części IV. Mogą na nim paść również pytania o definicje i twierdzenia z części II i III pomocne przy sformułowaniu i dowodzie głównego twierdzenia.
I. Podstawowe pojęcia i fakty (1) prosta i płaszczyzna w przestrzeni (2) iloczyn skalarny i wektorowy (3) krzywe stożkowe
(4) działania na macierzach (5) liczby zespolone
(6) przekształcenia geometryczne płaszczyzny (7) parametryzacja krzywej
(8) krzywizna krzywej
(9) parametryzacja powierzchni (10) krzywizny powierzchni II. Definicje
(1) liniowa niezależność wektorów (2) kąt pomiędzy wektorami (3) układ współrzędnych (4) czworościan
(5) równanie ogólne prostej (6) równanie kierunkowe prostej (7) wektor normalny do prostej (8) iloczyn skalarny w R3 (9) iloczyn wektorowy
(10) kąt pomiędzy płaszczyznami
(11) elipsa, jej ogniska, kierownice, mimośród (12) hiperbola, jej ogniska, kierownice, mimośród (13) parabola, jej ognisko, kierownica, mimośród (14) mnożenie macierzowe
(15) wyznacznik macierzy (16) macierz ortogonalna
(17) macierz przekształcenia liniowego (18) mnożenie liczb zespolonych
(19) postać trygonometryczna liczby zespolonej (20) mnożenie kwaternionów
(21) symetria względem podprzestrzeni afinicznej (22) krzywa parametryczna, wektor styczny
1
2
(23) wektor normalny i binormalny krzywej (24) krzywizna i skręcenie krzywej
(25) powierzchnia regularna
(26) przestrzeń styczna do powierzchni (27) wektor normalny do powierzchni
(28) pierwsza i druga forma podstawowa powierzchni (29) krzywizna Gaussa i krzywizna średnia
(30) krzywizny główne III. Twierdzenia i wzory
(1) współrzędne wektora w bazie ortonormalnej (2) objętość sympleksu
(3) własności normy (4) nierówność Schwarza
(5) warunki równoległości prostych (6) odległość punktu od prostej
(7) pole trójkąta o danych wierzchołkach w E2 (8) własności liniowe iloczynu wektorowego (9) własności geometryczne iloczynu wektorowego (10) odległość prostych skośnych
(11) własność ogniskowa elipsy, hiperboli
(12) warunek styczności prostej do elipsy, hiperboli (13) lista zbiorów algebraicznych stopnia 2 w E2 (14) Cauchy’ego
(15) wzór na macierz odwrotną (16) macierz złożenia przekształceń (17) własności modułu liczby zespolonej
(18) mnożenie i dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej (19) wzór na pierwiastki z liczby zespolonej
(20) mnożenie kwaternionów w postaci wektorowej (21) własności symetrii
(22) przedstawienie macierzowe i zespolone obrotu
(23) przedstawienie macierzowe i zespolone rzutów na osie
(24) przedstawienie macierzowe symetrii względem osi i płaszczyzn układu współ- rzędnych w E3
(25) trójścian Freneta
(26) zasadnicze twierdzenie teorii krzywych (27) parametryzacja geograficzna sfery (28) parametryzacja powierzchni obrotowej
(29) wzór na krzywiznę Gaussa i krzywiznę średnią w parametryzacji (30) krzywizna Gaussa powierzchni obrotowej i wykresu
IV. Dowody twierdzeń
(1) odległość punktu od prostej i odległość prostych równoległych (2) własność ogniskowa elipsy
(3) warunek styczności prostej do hiperboli (4) mnożenie kwaternionów w postaci wektorowej (5) rzut prostopadły na dowolną prostą
(6) symetria względem dowolnej prostej (7) wzory Freneta
(8) krzywizna krzywej w dowolnej parametryzacji (9) pole torusa
(10) krzywizna Gaussa powierzchni obrotowej
