Zapisz liczby zespolone w postaci trygonometrycznej: (a) i, (b) 2 + 2i, (c) (1

2.9.2019, kl 2b Liczby zespolone II

Zadanie 1. Zapisz liczby zespolone w postaci trygonometrycznej: (a) i, (b) 2 + 2i, (c) (1 +√ 3) + (√

3 − 1)i, (d) 2 +√

3 + i, (e) sin α + i cos α, gdzie α ∈ R.

Zadanie 2. Oblicz (a) (1 + i)²⁰¹⁹, (b) (1 −√

3i)²⁰¹⁹, (c) ^9+5i_7−2i^8, (d) ⁽

√ 3+3i)⁴⁰ (√

3+i)²⁰ . Zadanie 3. Wyraź cos 5x i sin 5x jako wielomian od cos x i sin x.

Zadanie 4. Znajdź wzór na (a) ^P_k­0(−1)^k_2k^n,

(b) ^n₁^cos α +^n₂^cos(2α) +^n₃^cos(3α) + . . ., (c) ^n₀^+^n₃^+^n₆^+ . . .

Zadanie 5. Udowodnij tożsamości (a) ^Pn−1_k=1sin^2kπ_n = 0,

(b) ^Pn−1_k=1cos^2kπ_n = −1, (c) ^Pn_k=0cos(kx) = ^sin

(n+1)x 2 cos^nx₂ cos^x₂ , (d) ^Pn_k=0sin(kx) = ^sin

(n+1)x 2 sin^nx₂ sin^x₂ .

Zadanie 6. Udowodnij, że suma kwadratów długości wszystkich boków i przekątnych n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu 1 wynosi n².

Zadanie 7. Wyznacz wszystkie liczby zespolone z takie, że

|z| = 1 =

z z + z

z

   .

Zadanie 8. Oblicz wartości wyrażeń: (a) cos^π₇ + cos^3π₇ + cos^5π₇ , (b) cos^π₇ − cos^2π₇ + cos^3π₇ , (c) cos^{2 π}₁₈+ cos^{2 5π}₁₈ + cos^{2 7π}₁₈.

Kącik olimpijski

Zadanie 1. Udowodnij, że

1 + i tg α 1 − i tg α

!n

= 1 + i tg(nα) 1 − i tg(nα).

Zadanie 2. Oblicz iloczyn długości wszystkich boków i przekątnych n-kąta foremnego wpisa- nego w okrąg o promieniu 1.

Zadanie 3. Udowodnij, że jeśli z1, z2, . . . , zn ∈ C są wierzchołkami n-kąta wypukłego (n ­ 3), to wszystkie rozwiązania równania

1

z − z₁ + 1

z − z₂ + . . . + 1

z − z_n = 0 leżą we wnętrzu tego n-kąta.