A. Lewandowski (Toruń)
Pewna modyfikacja hilbertowskiej aksjomatyki uporządkowania
i
Praca ta dotyczy klasy akjomatów uporządkowania U1-U5 w ukła
dzie aksjomatów geometrii euklidesowej podanym przez K. Borsuka i W. Szmielew w książce Podstawy geometrii [1].
L. Dubikajtis w pracy Uwagi o hilbertowskiej aksjomatyce upo
rządkowania [2] wykazał, że klasę tę można zredukować do czterech aksjomatów, przez usunięcie z niej aksjomatu U2. Dowód zależności aksjomatu U2 był jednakże bardzo skomplikowany. W niniejszej pracy, poprzez zmianę kolejności punktów w sformułowaniu aksjomatu U3 uzyskano znaczne uproszczenie tego dowodu.
Podobnie jak w [2], ograniczymy się, bez szkody dla ogólności roz
ważań, do geometrii płaskiej. Przez aksjomaty incydencji rozumieć bę
dziemy aksjomaty 11-14 ([1], str. 27), zaś w aksjomacie U5 (Pascha) pominiemy założenie dotyczące leżenia punktów i prostej na pewnej płaszczyźnie. Ustalmy, że punkty oznaczać będziemy dużymi, zaś proste małymi literami łacińskiego alfabetu. Symbole e i j3 oznaczać będą od
powiednio relacje incydencji i leżenia między. Zapis Aeb oznaczać będzie, że punkt A leży na prostej b, zaś zapis fi (А , В , O), że punkt В leży między punktami A i C. Zapisy ~}{Aeb) i —\fi{A, В, C) oznaczać będą odpowiednio negacje powyższych zdań.
Aksjomaty U1-U5 przyjmą wtedy postać:
U l: Jeżeli (Ц А, B , G), to punkty А , В, C są różne i wspólliniowe.
U 2 : Jeżeli p ( A , B , C ) , to f i (C , B , A ).
U3: Jeżeli ft(A , В , C), to —ift(B , A , C).
U4: Jeżeli А Ф B, to istnieje punkt C, taki że j3(A, В , C).
Definicja: Prosta p leży między punktami A i C {zapis: (3 (A ,p ,C )) wtedy i tylko wtedy, gdy (Aep), —i (Cep), oraz istnieje punkt P , taki że Pep i (3 (A , P , C).
U5: Jeżeli punkty А , В , C i prosta p spełniają warunki:
1. A , B , G — niewspółliniowe, 2. “ i (Cep),
3. Р ( А , Р , В ) ,
to zachodzi f i ( A , p , G ) lub fi ( В , p , G).
Zastąpimy teraz w tym układzie aksjomat U3, następująco sformu
łowanym aksjomatem U3*:
IJ3*: Jeżeli fi(A , В, C), to - i f i { A, С , B).
Wykażemy, że aksjomat U2 jest zależny od 11-14 oraz od aksjomatów U l, Ш *, U4, U5. W tym celu udowodnimy najpierw, nie korzystając z U2, dwa pomocnicze twierdzenia:
Tw i e r d z e n i e 1: Jeżeli punkty А , В są różne, to istnieje punkt C, taki że fi (A , G , B).
D o w ó d : Z aksjomatów incydencji wynika istnienie prostej a prze
chodzącej przez punkty A i В oraz nie leżącego na niej punktu P (rys. 1).
Ponieważ А Ф P , możemy, stosując dwukrotnie aksjomat U4, otrzymać kolejno punkty A ' i A ", takie że:
(1) f i ( A , P , A ’) i - f t ( A ' , B , A " ) .
Z U l wynika, że punkty A , P , A ' są różne i leżą na jednej prostej, którą oznaczymy e. Tak samo punkty A ', B, A " są różne i leżą na prostej oznaczonej przez b. Z powyższego oraz z aksjomatów incydencji wynika, że proste a, b, c są różne. Stąd łatwo wykazać, że punkty А, А ’, В są niewspółliniowe, punkty P i A " są różne, zaś jedyna przecłiodząca przez P i A " prosta p nie przechodzi przez punkty A , A ', B. Z (1) wynika na mocy definicji, że fi ( A , p , A '). Ponieważ prosta p i trójka punktów A , А ', В spełniają wszystkie założenia aksjomatu U5, musi zachodzić jeden ze związków:
(2) f i { A ' , p , B ) lub fi ( A, p , B).
Gdyby było fi {A' , p , B), to istniałby na mocy definicji punkt S, taki że Sep i fi(A\ S, B). Jednakże wówczas, wobec U l, punkt S mu
siałby leżeć także na prostej b. Nietrudno jednak zauważyć, że proste p i b są różne, a ich jedynym wspólnym punktem jest A " . Musiałoby więc
być 8 — 4 " , czyli ft (A ', A " , B). Uwzględniając U3* wnioskujemy, że
~ i0 (4 ', B, A " ) , co przeczy (1). Ponieważ doszliśmy do sprzeczności, musi być prawdziwy drugi składnik alternatywy (2), czyli 0 (4 , p , B). Zgodnie z definicją, istnieje wtedy na prostej p punkt G, taki że 0 (A , U, В ).
Twierdzenie 2: Jeżeli punkty A , B, G są niewspółliniowe, to istnieje prosta p przechodząca przez punkt O, a nie przechodząca przez A i B, taka że -40(4, p , B ) i -•f i ( B , p , A ).
D o w ó d : Mech punkty 1 i Б leżą na prostej a, zaś punkty A i C na prostej c (rys. 2). Z twierdzenia 1 wynika istnienie punktu P , takiego że
(3) 0 (4 , P , G).
Zgodnie z U l mamy Pec, a stąd wynika, że P Ф B, w przeciwnym bowiem wypadku 4 , B, G musiałyby być, wbrew założeniu, współliniowe.
Istnieje więc na mocy TJ4 punkt P ', taki że
(4) 0 ( P , P , P ') .
Zgodnie z U l punkty P , P , P ' leżą na jednej prostej, którą ozna
czymy przez b. Łatwo wykazać, korzystając z U l oraz z aksjomatów in-
cydencji, że wszystkie te punkty i proste są różne. Niech p będzie jedyną prostą przechodzącą przez punkty B ' i G. Metrudno wykazać, że —\{Aep) i ~’(Вер) i ~~i (P ep ).
Załóżmy teraz, że prosta p nie spełnia tezy naszego twierdzenia, czyli że zachodzi 0 (4 , p , B ) lub 0 (P , p , 4 ). Zgodnie z U5 mamy wówczas:
(6) 0 (4 , p , P ) lub f i ( B , p , P ) .
Gdyby był prawdziwy pierwszy człon alternatywy (5), musiałby istnieć na prostej p punkt Q, taki że 0 (4 , Q ,P ). Wobec U l, Qec. M e trudno wykazać, że proste p i c są różne, a ich jedynym wspólnym punktem jest G. Musiałoby więc być Q — G, czyli 0 (4 , U, P ). Z zależności tej i z U3* wynika jednak, że —> 0 (4 ,P , 0), co przeczy (3). Analogicznie, przy założeniu prawdziwości drugiego składnika alternatywy (5) musi
istnieć punkt В, taki że Вер, Beb i ft(B , B , P ) . Ponieważ jedynym wspól
nym punktem prostych p i b jest B ', otrzymujemy zależność /5(25, B ', P ), która na mocy U3* pociąga za sobą - ^ f i{ B , P , B '), co jest sprzeczne z (4). Prosta p spełnia więc żądane warunki.
Możemy teraz przystąpić do dowodu zależności aksjomatu U2.
Tw i e r d z e n i e 3 : Jeżeli (j ( A , B , G ) , to f i ( C , B , A ) . D o w ó d . Załóżmy, że
(6 )
Z (6) wynika, zgodnie z U l, że punkty А , В , C leżą na jednej prostej, którą oznaczymy a (rys. 3). Niech P będzie punktem nie leżącym na a.
P
Ponieważ A , В , P są wtedy niewspółliniowe, na mocy twierdzenia 2 istnieje prosta p spełniająca następujące warunki:
(7) Вер,
(8) —i (Aep) i (Psp)
(9 ) P ( A , p , P ) ,
(1 0 ) - n / 5 (P ,p , A ).
Z (6), (7), (8) wynika, zgodnie z definicją, że f i{ A ,p ,C ). Łatwo zauważyć, że punkty A , P , C oraz prosta p spełniają wszystkie założenia aksjomatu U5. Musi więc zachodzić jeden z warunków f t ( A , p , P ) lub /5(0, p , P ) . Pierwszy z nich jest sprzeczny z (9), musi więc zachodzić j3 {C ,p ,P ). Stosując teraz po raz drugi U5, otrzymujemy alternatywę /5(P, p , A ) lub /5(0, p , A ), a stąd, po uwzględnieniu (10),mamy /5(C ,p ,A ).
Punkt leżący na prostej p , którego istnienie wynika na mocy definicji z powyższej zależności, musi leżeć, zgodnie z U l, także na prostej a.
Uwzględniając fakt, że proste a i p są różne, a ich jedynym wspólnym punktem jest B, dochodzimy do wniosku, że /5(0, B , A ).
Aksjomatyka U l, U3*, U4, U5 jest oczywiście równoważna aksjo- matyce U l, U3, U4, U5, gdyż w każdej z nich daje się udowodnić U2, w oparciu zaś o U2, dowód równoważności aksjomatów U3* i U3 jest natychmiastowy.
Prace cytowane
[1] K. B o rs u k i W . S z m ie le w , Podstawy geometrii, Warszawa 1955.
[2] L. D u b ik a jt is , Uwagi o hilbertowskiej aksjomatyce uporządkowania i je j modyfikacjach I (Zależność symetrii relacji ,,leżenia między” ), Prace Matem at., ten tom, str. 71-79.
А. ЛВВАНДОВСКИ (Торунь)
Н Е К О Т О Р А Я М О Д И Ф И К А Ц И Я Г И Л Ь Б Е Р Т О В О Й А К С И О М А Т И К И П О Р Я Д К А
Р Е З Ю М Е
Л. Дубикайтис [2] доказал в системе аксиом порядка эвклидовой геометрии предложенной К. Борсуком и В. Шмелев [1], зависимости аксиомы U2:
„Если точка В лежит между точками А и С, то В лежит между С и А .”
Доказательство зависимости значительно упрощается, если в системе аксиом порядка заменить аксиому U3:
„Если точка В лежит между точками А и С, то А не лежит между В и Су” следующей аксиомой
„Если точка В лежит между точками А и С, то С не лежит между А и В ”
A. Le w a n d o w s k i (Toruń)
A M O D IF IC A T IO N OF H IL B E R T ’ S A X IO M S OF O R D E R
S U M M A R Y
In the preceding paper (this volume pp. 71-79) L. Dubikajtis has proved that in the system of axioms of order of Euclidean geometry contained in [1], axiom U2:
“ I f a point В lies between points A and C, then the point В lies between О and A ”
may be deduced from the other axioms.
The proof can be considerably simplified if we replace axiom U3:
“ I f a point В lies between points A andC, then A does not lie between В and C”
by the following slight modification of this axiom:
“ I f a point В lies between points A and C, then C does not lie between A and B ” .
Prace Matematyczne VIII.I 7
