ALGEBRA 1B, Lista 3

ALGEBRA 1B, Lista 3

Niech G i H b¦d¡ grupami i n ∈ N

.

1. Niech f : G → H b¦dzie homomorzmem, G

6 G i H

6 H. Udowod- ni¢, »e f(G

) 6 H i f

(H

) 6 G.

2. Udowodni¢, »e funkcja

f : G → G, f (g) = g

jest homomorzmem wtedy i tylko wtedy, gdy G jest przemienna.

3. Niech g ∈ G. Przyjmijmy, »e min ∅ = ∞. Udowodni¢, »e:

rz¡d(g) = min{k ∈ N

| g

= 1}.

4. Udowodni¢, »e je±li f : G → H jest monomorzmem, to dla ka»dego g ∈ G mamy

rz¡d(g) = rz¡d(f(g)).

5. Pokaza¢, »e nie istnieje monomorzm (Z

, +

) → (R \ {0}, ·).

6. Udowodni¢, »e D

 A

.

7. Znale¹¢ monomorzm (Z

, +

) → (C \ {0}, ·).

8. Znale¹¢ monomorzm f : S

→ GL

(Q).

9. Udowodni¢, »e (Q, +) nie jest sko«czenie generowana.

10. Udowodni¢, »e je±li σ, τ ∈ S

s¡ rozª¡czne, to σ ◦ τ = τ ◦ σ, X

= X

∪ X

.

11. Wykaza¢, »e ka»da permutacja parzysta z S

(n > 3) jest zªo»eniem pewnej liczby cykli dªugo±ci 3 (niekoniecznie rozª¡cznych).

12. Udowodni¢, »e S

= h(12), (12 . . . n)i .

1