ALGEBRA 1, Lista 6

ALGEBRA 1, Lista 6

‚wiczenia 12.11.2019, Konwersatorium 13.11.2019 i materiaª na Kartkówk¦ 5 (19.11.2019).

0S. Materiaª teoretyczny: Homomorzmy, epimorzmy, monomorzmy, endomorzmy i au- tomorzmy grup: denicje i przykªady. Twierdzenie Cayley'a. Wªasno±ci homomor-

zmów grup. J¡dro i obraz homomorzmu grup. Dzielnik normalny. Charakteryzacja monomorzmu grup przy pomocy j¡dra.

1. Czy nast¦puj¡ce grupy s¡ cykliczne?

(a)S (R, +);

(b)S podgrupa (Q, +) generowana przez {1/2, 1/3};

(c)K (Q, +);

2K. Zaªó»my, »e G, H s¡ grupami oraz grupa G jest cykliczna, sko«czona i generowana przez element a. Zaªó»my, »e b ∈ H oraz ord(b) jest sko«czony i dzieli ord(a). Udowodni¢, »e:

(a) istnieje dokªadnie jeden homomorzm grup f : G → H taki, »e f(a) = b;

(b) ka»dy endomorzm Z

jest postaci:

ϕ

: Z

→ Z

, ϕ

(x) = k ·

x;

dla pewnego k ∈ Z

.

3K. Zaªó»my, »e G jest grup¡ cykliczn¡, niesko«czon¡ i generowan¡ przez element a, H jest dowoln¡ grup¡ oraz b ∈ H. Udowodni¢, »e:

(a) istnieje dokªadnie jeden homomorzm grup f : G → H taki, »e f(a) = b;

(b) ka»dy endomorzm Z jest postaci:

ψ

: Z → Z, ψ

(x) = kx;

dla pewnego k ∈ Z.

4. Czy istniej¡ poni»sze homomorzmy grup f : G → H? Je±li istniej¡, to wyznaczy¢

obraz i j¡dro danego homomorzmu.

(a) G = (Z

, +

), H = (Z, +), f (1) = 1.

(b) G = (Z

, +

), H = (Z

, +

), f (1) = 1 . (c) G = H = (R, +), f(1) = 99.

(d) G = (R

, ·), H = (R, +), f (8) = 3.

(e) G = (Q, +), H = (Q \ {0}, ·), f(1) = 2.

(f) G = (Z

, +

), H = (Z

, +

), f (1) = 1 .

5. Wyznaczy¢ wszystkie homomorzmy f : G → H, gdzie:

(a) G = (Z, +), H = (Z

, +

) ; (b) G = (Z

, +

), H = (Z

, +

) ; (c) G = (Z

, +

), H = (Z

, +

) ; (d) G = H = (Q, +).

6. Czy nast¦puj¡ca podgrupa H grupy G jest dzielnikiem normalnym?

(a) G = D

, H = {id, O

, O

, O

} . (b) G = D

, H = {id, O

} .

(c) G = S

, H = {id, (1, 2, 3), (1, 3, 2)} . 7. Niech

H := {id, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)} ⊂ S

. Udowodni¢, »e:

(a) H jest podgrup¡ S

;

(b) H jest dzielnikiem normalnym w S

(wskazówka: dla σ ∈ S

opisa¢ σ(1, 2)(3, 4)σ

i nast¦pnie skorzysta¢ z odpowiedniego kryterium na dzielnik normalny z wykªadu).