ALGEBRA 1B, Lista 2 Niech n ∈ N

ALGEBRA 1B, Lista 2

Niech n ∈ N

i G, H, N b¦d¡ grupami.

1. Niech Z

:= {a ∈ Z

| a jest wzgl¦dnie pierwsza z n}. Udowodni¢, »e:

(a) Mno»enie modulo n jest ª¡czne na Z

.

(b) Mno»enie modulo n jest dziaªaniem na Z

i (Z

, ·

) jest grup¡.

2. Napisa¢ tabelk¦ D

.

3. Napisa¢ tabelk¦ grupy izometrii prostok¡ta nie b¦d¡cego kwadratem.

4. Dla k, l ∈ Z i g ∈ G udowodni¢, »e (g

)

= g

oraz g

= g

g

. 5. Niech (A, +) b¦dzie grup¡ przemienn¡ i m ∈ Z. Udowodni¢, »e funkcja

f : A → A, f (a) := ma jest homomorzmem.

6. Znale¹¢ izomorzm pomi¦dzy D

i S

. 7. Znale¹¢ monomorzm (R, +) → GL

(R).

8. Znale¹¢ monomorzm Z

→ D

.

9. Niech G b¦dzie grup¡ z zadania 3. Udowodni¢, »e G nie jest izomor-

czna z grup¡ (Z

, +

) .

10. Znale¹¢ monomorzm (C \ {0}, ·) → GL

(R).

11. Udowodni¢, »e je±li f : G → H jest homomorzmem i g ∈ G, to dla ka»dego m ∈ Z mamy f(g

) = f (g)

.

12. Udowodni¢, »e

(a) zªo»enie homomorzmów jest homomorzmem, (b) funkcja odwrotna do izomorzmu jest izomorzmem,

(c) je±li G ∼ = H i H ∼ = N , to G ∼ = N .

13. Niech X b¦dzie zbiorem równolicznym ze zbiorem Y . Znale¹¢ izomor-

zm pomi¦dzy S

i S

.

14. Niech ∗ b¦dzie dziaªaniem na zbiorze X i f : X → G bijekcj¡, tak¡

»e dla ka»dych x, y ∈ X mamy f(x ∗ y) = f(x) · f(y). Udowodni¢, »e (X, ∗) jest grup¡ izomorczn¡ z G.

1