Matematyka i fizyka część V
Relacja : Przyroda – Struktury matematyczne Metastwierdzenia
***************************************************************************************************
Data powstania tekstu : 2014-11-10
Ostatnie poprawki : 2014-12-01
***************************************************************************************************
Niniejszy tekst stanowi kontynuacje tekstu pt. Matematyka i fizyka część IV
I. Przyroda i matematyka jako określone struktury.
1. Przyroda.
Zapewne istnieje wiele różnych takich lub innych definicji, czym jest przyroda i czym jest matematyka.
„Na pytanie o to, co właściwie powinniśmy rozumieć przez „naturę” (Natur ) udzielano w historii filozofii
najprzeróżniejsze odpowiedzi. Dla niektórych, jak np. dla stoików, natura była czymś wszechobejmującym, a zarazem stanowiącym normy, zarówno tym, co nas fizycznie otacza ( rzeczy przyrody ), ja i tym, co nadaje rzeczom byt i wartości ( natura rzeczy ).
„Wprowadzenie do filozofii przyrody” - Hans-Dieter Mutschler Wydawnictwo WAM 2005
W kontekście niniejszego tekstu powinniśmy jednak przyjąć określone stanowisko, trudno, bowiem prowadzić rozważania dla pojęcia nieokreślonego, lub określonego nazbyt szeroko. Powiedzieć, że Przyroda to np. „całość tego, co istnieje” lub też „uniwersum (ogół ) faktów”, to przyjąć określoną filozofię – lepszą lub gorszą, jak bowiem wiadomo powszechnie filozofowie nie potrzebują koszy na teorie „śmieciowe”. Tak, czy inaczej jakiś wybór jest koniecznością, aby w tak pojemnym pojęciu, jakim jest Przyroda nie zagubić się w całym spektrum różnorodnych i zazwyczaj zawiłych analiz.
Dlatego też dla potrzeb zaprezentowanego tekstu przyjmę, że pod pojęciem przyrody rozumieć będę zbiór (rozumiany raczej jako pojęcie nie do końca formalne ) faktów, jakie zachodzą, zachodziły lub mogą zajść.
Fakty dane są jako doświadczenia fizyczne – innymi słowy przyjmę określone stanowisko fizykalistyczne, przyjmując rozumienie pojęcia Przyrody w wąskim zakresie wszystkich tych faktów, które mogą zostać zarejestrowane na drodze pomiaru, obserwacji o naturze fizycznej ( pomijając przy tym zjawiska, socjologiczne, psychologiczne, kulturalne itp. )
Możemy, zatem przyjąć stanowisko zwane Empiryzem ( choćby radykalnym ) - Wiedzę uzyskujemy w wyniku przeprowadzania doświadczeń - eksperymentów lub obserwacji. Empirysta głosi, że wszystkie nasze pojęcia zależą od doświadczenia – nihil in intellectu nisi prius in sensu ( nie ma nic w intelekcie, czego by wprzód nie było w zmysłach ).
I mówimy tylko o empiryzmie fizykalistycznym tj. prowadzimy doświadczenia jedynie natury fizycznej.
Z tego punktu widzenia, o Przyrodzie (jej prawach ) możemy rozprawiać jedynie poprzez dane empiryczne.
Zatem Przyroda to zbiór faktów empirycznych wraz ze wszystkimi tego konsekwencjami. Oczywiście zbiór ten powinien być uzupełniony przez zbiór zasad i warunków, w jakich uzyskano takie dane empiryczne.
Symbolicznie niech zbiór taki będzie oznaczony jako P.
P = { fakty empiryczne - E, warunki nakładane na fakty empiryczne - W }
Mamy, zatem określony zbiór P i na pewno jest to zbiór nieskończony potencjalnie, ale przeliczalny.
Oczywiście nic nie stoi na przeszkodzie, aby rozpatrywać rodzinę takich zborów :
Pi = { Eα , Wβ } ; i = 1, 2, .... indeksy numerujące rodziny zbiorów ; α = 1, 2, .... , n ; β = 1, 2, ... , m na ogół n ≠ m Podzbiory P mogą składać się z liczb, opisów, relacji lub innych wielkości będących opisami faktów empirycznych Zazwyczaj podzbiór E jest zbiorem liczb rzeczywistych – wyników pomiarów, a podzbiór W może być zbiorem przepisów, opisów – prowadzonych eksperymentów lub obserwacji, zawiera również zbiór parametrów kontrolnych – systemowych wraz z zakresem ich zmienności. Zbiór W jest zbiorem o strukturze nieformalnej, ogólnie można powiedzieć, że określa on pewne ramy, w jakich przeprowadzono dany eksperyment.
Są to ramy zarówno natury formalnej np. warunki brzegowe dla rrc wraz z odpowiednimi zbiorami zmiennych i ich zakresem zmienności, jak i ramy nieformalne np. opis jak przygotowano aparaturę pomiarową, jaki zastosowano algorytmy pomiaru i opracowania statystycznego pomiaru. Jeśli zmienimy którykolwiek z takich warunków, to powinniśmy
właściwie mówić o nowym zbiorze P. trudno jednakże zawrzeć wszelkie możliwe elementy opisu przeprowadzonego doświadczenia, choćby i takie o których możemy nie mieć pojęcia np. nie uwzględniliśmy wpływu promieniowania kosmicznego, a które być może było istotne. Tak czy inaczej, zawieramy w nim wszelkie te informacje, które wydają się być istotne i o których możemy powiedzieć cokolwiek dającego się przełożyć na techniczny język opisu danego
doświadczenia.
Powstaje pytanie czy w zbiorze P istnieje jakaś struktura, innymi słowy – czy istnieją jakieś relacje logiczne pomiędzy : - elementami Eα
- elementami Eα i Wβ - elementami Wβ
Wiemy, że dla określonego zbioru (czy też rodziny zbiorów ) P = { Eα , Wβ } takie relacje istnieją – innymi słowy Przyroda charakteryzuje się określonymi prawami. Prawami natury nazwiemy, właśnie relacje zachodzące pomiędzy elementami zbioru P.
Przykładowo :
Pmechanika klasyczna = { Eα , Wβ }
Gdzie : podzbiór Eα jest np. tabelą wyników pomiarów prędkości, przyspieszeń, odległości itp.
podzbiór Wα zawiera dane opisowe dla odpowiednich eksperymentów, oraz wartości zakresu odpowiednich parametrów np. prędkości ruchu, stałej tarcia, temperatury, masy ciał używanych w eksperymentach itp.
Nie znamy oczywiście a priori i w całym zakresie parametrów postaci praw Przyrody, wiemy jedynie, że w określonych rodzinach zbiorów P istnieją takie prawa (relacje )
Odnośnie struktury rodziny zbiorów Pi właściwie nie możemy za dużo powiedzieć wiemy, że : 1) istnieją zbiory P - empiria jest efektywną metodą ich konstrukcji
2) jest ich przeliczalnie wiele – zawsze można rozszerzyć dowolny zbiór o nowe dane i nowe warunki
3) wiemy, że niektóre posiadają strukturę choćby natury statystycznej, ale strukturę – tj. w pewnych zbiorach istnieją tzw.
prawa natury. Czy jest to zasada ? możemy jedynie przypuszczać.
4) niektóre zbiory tej rodziny, stanowią podzbiory innych zbiorów – doświadczenia prowadzone z użyciem Wβ można powtórzyć używając Wγ ⊂ Wβ
5) przyjmujemy, że Eα zależne są tylko od Wβ - przy takich samych Wβ otrzymujemy te same ( np. statystycznie ) Eα 6) w elementach Wβ w pewnym sensie ukrywają się prawa natury. Z tego powodu trudno jest określić istotną strukturę relacji pomiędzy elementami Eα, część z nich może być zawarta w podzbiorze Wβ. Podzbiór Wβ nie jest zatem zbiorem dowolnym. ( tu tkwi poważny problem )
7) nie istnieje zbiór pusty, nie ma zbioru P - jednostkowego
8) na ogół dodanie jednego elementu Wβ pociąga zmianę całego podzbioru Eα. 9) z drugiej strony zawsze można dodać element Eα nie zmieniając Wβ.
Ogólnym problemem ze zbiorami P jest to, że rządzą się one specyficznymi regułami.
Najpierw jednak warto powiedzieć jak w matematyce traktuje się pojecie zbioru.
Fragment z tekstu pt. Wybrane struktury matematyczne w fizyce
„Do pojęcia zbioru dochodzimy abstrahując od konkretu, czyli jedostkowości przedmiotów. Stos kamieni jest przedmiotem konkretnym. Zbiór, którego wszystkimi i tylko elementami są kamienie z tego stosu jest obiektem abstrakcyjnym. Stos kamieni jako obiekt fizyczny ma własności fizyczne takie, jak np. masa. Zbiór, którego kamienie z tego stosu są
elementami nie jest przedmiotem fizycznym, a zatem nawet pytanie o jego własności fizyczne nie jest pytaniem poprawnie postawionym. Kamienie ze stosu kamieni nie są elementami stosu, tylko jego częściami.” [ 8 str. 251]
Wypowiedź ta ma na celu ukazanie kontekstu w jakim pojęcie zbioru pojawia się w matematyce i języku potocznym.
W tym ostatnim słowo „zbiór” używane jest w znaczeniu dystrybutywnym tj. abstrakcyjnym, takim jakie ma ono w teorii mnogości, oraz w znaczeniu kolektywnym ( merologicznym ) tj. w takim znaczeniu przy którym stos kamieni jest zbiorem.
W przypadku dystrybutywnym, przedmioty z których składa się dany zbiór są jego elementami, w przypadku kolektywnym takie przedmioty są jego częściami ( stanowią pewien konglomerat przedmiotów ), a więc dla takiego podejścia od razu pojawia się niebanalny problem istnienia zbioru pustego.
Warto wspomnieć, że teorię zbiorów w sensie kolektywnym stworzył – nadając jej nazwę „merologia” – Stanisław Leśniewski (1938 ).
Zbiór (w sensie dystrybutywnym ) jest określony nie tylko poprzez swoje elementy, ale również poprzez sposób ich przynależności do danego zbioru ( np. poprzez pewna relacje logiczną lub wypowiedź słowną – np. „zbiór wszystkich dzieci Jana Kowalskiego” ). Istotne jest zatem samo rozumienie bycia elementem. Zgodnie z najprostszą, a zarazem dominującą koncepcją – przedmiot jest albo nie jest elementem danego zbioru. Z punktu widzenia języka znaczy to, że zbiory pojmowane są jako zakresy nazw, czyli takich, ze dowolny przedmiot jest albo nie jest ich desygnatem ( Desygnat nazwy to każdy i tylko przedmiot, do którego wskazania nazwa może być użyta zgodnie z regułami języka. Zakres nazwy to zbiór jego desygnatów )
Pewne możliwości związane z relacją przynależności do danego zbioru wykorzystano konstruując teorię zbiorów rozmytych. W przypadku zbioru rozmytego przynależność elementu do zbioru podlega gradacji, przyjmując wartości z przedziału [0, 1]. Podstawy teorii zbiorów rozmytych ( ang. fuzzy sets ) opracował w połowie lat 60-tych
XX w. Lofti Zadeh. Obecnie teoria ta znalazła liczne zastosowania w automatyce i informatyce.
Jaka jest zatem natura zbioru P ? – wedle mnie, jest to raczej pojęcie merologiczne.
Przykłady konstrukcji zbioru P
Konstrukcja zbioru P jest w zasadzie sprawozdaniem z przeprowadzonego doświadczenia. Zbiór P zawiera wyniki numeryczne lub opisowe przeprowadzonych doświadczeń, wraz z oszacowaniami błędów, zawiera również przepis jak konkretnie fizycznie przeprowadzono dane doświadczenie wraz z wymienieniem zakresu zmiennych doświadczalnych.
W ramach pierwszego przykładu rozważmy analizę fizyczną ( w tym przypadku będzie to analiza elektrotechniczna ) nieznanego nam czwórnika elektrycznego π.
Jak wiadomo możemy przeprowadzić analizę stało- i zmiennoprądową takiego obwodu. Na wejście takiego czwórnika podajemy napięcie stałe U lub zmienne (sinusoidalnie ) u ; np. z zakresu –15 [V] ≤ U, upp ≤ + 15 [V].
Na wyjściu badamy odpowiedź stało- lub zmiennoprądową czwórnika.
Rys. 1 Klasyczna postać czwórnika jako część obwodu elektrycznego
Sporządzamy tabelę np. o postaci :
U1 [V] U2 [V] lub u1 [V] u2 [V]
1 0,6 0,1 0,2 2 1,2 0,2 0,4 3 1,8 0,3 0,6 4 2,2 0,4 0,4 ... ...
lub też analogiczną tabelę dla wartości prądów I1 [mA] i I2 [mA]
Można sporządzić wiele takich tabel, wyrażających różnorodne zależności – funkcje np. postaci :
Uwy ( Uwe , T ) – zależność napięcia wyjściowego od napięcia wejściowego i temperatury w jakiej pracuje czwórnik T( Uwe, Iwe ) – zależność temperatury czwórnika np. mierzonej na jego elemencie R’ od napięcia i prądu wejściowego
Oczywiście możemy używać innych przyrządów mierzących np. oscyloskopu, analizatora widma itp. Możemy również zadawać jako zmienne sygnały o dowolnej postaci np. impulsu jednostkowego i badać odpowiedź dynamiczną czwórnika w postaci np. wykresu jego pasma przewodzenia.
Można zadawać jako zmienne np. temperaturę, pole EM, wilgotność, silę nacisku pionowego itp.
Nie znamy a priori konkretnych składowych jakie wchodzą w skład czwórnika – czwórnik może być aktywny lub pasywny, może zawierać elementy o charakterystyce nieliniowej lub tez o zmiennych rozproszonych, mogą to być elementy czułe na wartość temperatury lub pole EM.
Naszym zadaniem jest ustalić na podstawie otrzymanych danych ( różnorodnych tabeli, wykresów, czy też opisów np. typu czwórnik emituje gaz z elementu R’ ) doświadczalnych budowę czwórnika – sposób funkcjonowania czwórnika. Innymi słowy musimy poznać prawa według których działa czwórnik.
Drugim przykładem może być klasyczne doświadczenie związane z mechaniką nieba – na podstawie obserwacji ruchów ciał niebieskich ( tabele pomiarowe np. tabele jakie sporządził Tycho Brahe ) należy wyznaczyć prawa według których odbywają się ruchy Ziemi względem Słońca.
Mamy tutaj tabelę wartości pomiarów odpowiednich kątów, wraz z opisem w jakich warunkach zostały one wykonane.
Czy Przyroda istotnie daje się strukturalizować z użyciem metody empirycznej ?
W opinii wielu filozofów starożytnych ( i późniejszych ) świat jest zbyt skomplikowany, aby dało się go badać z użyciem matematyki (modeli ). Sukces matematyki w fizyce, to w pierwszej kolejności sukces metody analizy wyidealizowanych, wyodrębnionych zjawisk. Zasadniczą cechą przyrody jest to, iż właśnie taka metoda jest efektywna.
Zjawiska przyrody mają własności asymptotycznej opisywalności tj. w pewnym zakresie zmienności z użyciem dominujących parametrów można zestawić efektywny model matematyczny.
„Najprawdopodobniej irracjonalny świat ( całkowicie amatematyczny ) w ogóle nie mógłby istnieć” [7, str. 17]
Czy aby ?
Świat nie jest matematyczny, jest co najwyżej asymptotycznie matematyzowalny, a matematyczność ( rozumiana jako całkowita niemożliwość wprowadzenie opisu formalnego ) nie stanowi warunku istnienia świta – co najwyżej stanowi warunek istnienia określonych jego struktur. ( w tym np. takiej struktury biologicznej, jaką jest człowiek ).
Nic nie stoi na przeszkodzie, aby świat w swym najbardziej ogólnym i podstawowym ujęciu był np. chaotyczny, stochastyczny, lub zaledwie opisowy.
Innymi słowy przyjmiemy założenie, że zbiory P odzwierciedlają Przyrodę w określonym stopniu. Jednakże musimy uwzględnić określone idealizacje zawarte w podzbiorze W i w najgorszym przypadku Przyroda rządzi się prawami stochastycznymi. Jednakże zbiór P w żadnym rozsądnym przypadku zaplanowanego i celowego eksperymentu nie będzie on zbiorem danych nonsensownych, aby tak się stało w Przyrodzie musiałby działać świadomy czynnik kierujący.
2. Matematyka.
Dla dalszych rozważań powinniśmy również zająć określone stanowisko w sprawie tego czym jest matematyka.
Strukturalizm - struktury matematyczne Nicolasa Bourbakiego.
Przez pryzmat teorii kategorii możemy wyraźnie dostrzec istotę strukturalnego podejścia do matematyki.
Sztandarowym przykładem takiego podejścia są prace N. Bourbakiego ( kolektywu matematyków, głownie francuskich działających w połowie XX wieku, który przyjął pseudonim - Nicolas Bourbaki )
Dla Bourbakiego matematyka jest to analiza wszelkich możliwych „struktur matematycznych”, rozumiejąc pod pojęciem struktury matematycznej określony zbiór ( w żaden sposób nie wyróżniony ) obiektów
( lub np. rodzinę zbiorów różnej natury ) z zadanym układem relacji zachodzących pomiędzy elementami takiego zbioru lub zbiorów.
Poglądowym przykładem takiej struktury jest zbiór liczb naturalnych w którym wyróżniono dwie relacje binarne : dodawanie i mnożenie liczb :
m + n , m • n
Ogólnie struktura matematyczna jest to układ : S = { M, R1 , R2 , … , Rk }
Złożony ze zbioru M = { a, b, c, ... } oraz zadanych na tym zbiorze relacji R1 , R2 , … , Rk – unarnych, binarnych, trynarnych itp. Oczywiście wszystko to przypomina nam, znane już pojęcie struktury algebraicznej.
Dla zastosowań w modelowaniu matematyczny istotne będzie odniesienie takie struktury do zbioru danych
doświadczalnych – czy świat nie jest zbiorem danych empirycznych na którym można wprowadzić określone relacje ?
Ogólnie pod pojęciem struktury matematycznej możemy rozumieć np. zbiór równań różniczkowych zwyczajnych I rzędu o stałych parametrach, określonych na rozmaitości Euklidesa ; zbiór równań wariacyjnych Eulera- Lagrange’a określonych na przestrzeni Riemanna, zbiór operatorów działających w przestrzeni Hilberta itp.
Innymi słowy struktura S może być bardzo bogata – geometryczno –algebraiczna, topologiczno – algebraiczna, funkcjonalna itp.
Przykład. Niech G będzie obszarem w przestrzeni n –wymiarowej, a C(k)(G) niech będzie przestrzenią liniową wszystkich funkcji x(t) m-krotnych ciągłych pochodnych w obszarze G. Przy normie o postaci :
przestrzeń C(k)(G) nie jest przestrzenią zupełną. Uzupełnienie tej przestrzeni nazywamy przestrzenią Sobolewa W(k)p(G).
Elementy dołączone do przestrzeni C(k)(G) przy jej uzupełnianiu mogą być utożsamione z funkcjami określonymi prawie wszędzie w obszarze G i mającymi uogólnione pochodne rzędu m, sumowalne z potęgą p.
Zatem układ równań różniczkowych zwyczajnych lub cząstkowych stanowi określoną strukturę matematyczną.
Swoboda w doborze struktur.
Poprzez liczne przykłady starałem się pokazać, że matematyka jest istotnie swobodnym tworem myśli człowieka, powiązanym ściśle z jego codziennym doświadczeniem. Odnosząc się do znanej sentencji - nie ma bowiem w umyśle ludzkim niczego, czego wcześniej nie podpowiedziałoby doświadczenie. Matematyka jest tworem (konstrukcją ) quasi- empirycznym. Doświadczenie podpowiada nam zasadnicze idee ( Pierwotne ujęcie geometrii i algebry – przypominam wywodzą się właśnie z codziennego doświadczenia ). Zatem pierwotnym fundamentem matematyki jest doświadczenie.
W dalszej fazie dochodzi do głosu abstrakcja – płodna metoda uogólnienia. Abstrahujemy pewne konstrukcje, starając się w jak największym stopniu „wyłowić” z nich, to co może być oderwane od swej strony praktycznej.
Przyjmiemy zatem, że matematyka jest analizą określonych struktur o naturze formalnej, a same te struktury mogą być wybierane na drodze aksjomatyczno -dedukcyjnej w dowolny sposób.
Teoria kategorii i funktorów.
Jak przykład formalnej struktury matematycznej można podać teorię kategorii i funktorów. Struktura ta jest na tyle bogata, a jednocześnie stosunkowo łatwa w rozróżnieniu jej składowych, że dla moich dalszych celów można ją utożsamić z struktura formalną S. Oczywiście strukturę formalną można rozpatrywać również jako strukturę na „niższym” poziomie np.
jako algebrę, półgrupę i w dalszej kolejności rozpatrywać modele w rozumieniu formalnym dla tego pojęcia.
Wtedy tez możemy analizować np. kontekst twierdzenia Skolema dla modeli struktur formalnych.
Aby jednakże uwypuklić pewne istotne cechy struktury S, w pierwszej kolejności będą ja rozpatrywał poprzez pryzmat teorii kategorii. Omówienie teorii kategorii podano w dodatku 1.
Interesują mnie trzy pojęcia : dualność kategorii, izomorfizm struktur w obrębie jednej kategorii i podkategorie jednej kategorii. Innymi słowy możemy mówić o dwóch kategoriach (strukturach S ) - dualnych, izomorficznych i inkluzyjnych.
3. Modelowanie matematyczne
W dalszej kolejności powinniśmy wyjaśnić co rozumiemy poprzez pojęcie modelu matematycznego dla określonego zbioru F.
Ogólnie modelowaniem nazywamy proces w trakcie którego dany obiekt (zjawisko, proces ) stanowiący przedmiot badania naukowego zastępujemy innym obiektem. W kontekście nauk empirycznych ( fizycznych ) najczęściej mówimy o
modelowaniu matematycznym danego procesu fizycznego tj. zastąpieniu go pewnymi obiektami matematycznymi np. : równaniami - różniczkowymi, różniczkowo-całkowymi, całkowymi, operatorowymi, wariacyjnymi,
strukturami - algebraicznymi, relacyjnymi, obiektowymi, lub innymi obiektami matematycznymi.
Najczęściej też modelowanie takie ma charakter dynamiczny tzn. wprowadzamy modele procesów zależnych od czasu.
Najczęściej modelem matematycznym danego procesu jest pewne zinterpretowane fizycznie równanie różniczkowe cząstkowe (rrc) ( dla modeli dyskretnych są to oczywiście równania różnicowe). Dla fizyki matematycznej największe znaczenie mają rrc liniowe, dwóch lub trzech zmiennych rzeczywistych - eliptyczne, paraboliczne lub hiperboliczne (falowe).
Oczywiście, aby zamodelować jakieś zjawisko ( rozumiane jako konkretny proces zachodzący w czasoprzestrzeni ) fizyczne koniecznym jest aby spełniało ono określone warunki, w pierwszej kolejności zjawisko to powinno być powtarzalne ( lub losowo powtarzalne ), powinno ono być również niezależnym od metody pomiarowej i czynników subiektywnych np. przekonań i stanu obserwatora ( z tego względu wykluczone są zjawiska w których czynnikiem decydującym jest np. wolna wola obserwatora ). Dla stworzenia modelu dane zjawisko należy poddać idealizacji tj. należy przeanalizować wszystkie istotne czynniki fizyczne mające na niego wpływ.
Dane równanie (ogólnie określona struktura matematyczna ) powinno spełniać określone warunki zarówno poprawności matematycznej jak i fizycznej. Innymi słowy zagadnienie powinno być poprawnie postawione zarówno od strony
matematycznej (jednoznaczność rozwiązań, stabilność ze względu na warunki początkowe czy też parametry wewnętrzne ) jak i fizycznej ( poprawna i jednoznaczna interpretacja fizyczna zadanej struktury matematycznej ).
Z ogólnego punktu widzenia modelująca struktura matematyczna odwzorowuje (lub ma taki cel ) określone relacje zachodzące w świecie zjawisk modelowanych ; w pierwszej kolejności relacje ilościowe, a następnie jakościowe.
Na poziomie bardzo ogólnych rozważań można byłoby mówić o określonej strukturze logicznej – strukturze relacyjnej typu : przy warunkach fizycznych Q, zjawisku A odpowiada zjawisko B (wprowadzając być może określone
prawdopodobieństwa zaistnienia całego szeregu zjawisk – tj. powiemy, teraz że przy określonych warunkach fizycznych Q, zjawisku A odpowiadają zjawiska : B z prawdopodobieństwem PB , C z prawdopodobieństwem PC , ... ).
Struktura matematyczna wprowadza określony porządek, ale też umożliwia określone predykcje.
W fizyce teoretycznej jednolity model matematyczny powinien obejmować możliwie jak najszerszy obszar zjawisk.
Ideałem do którego dąży się w sposób niejako asymptotyczny jest objęcie jedną teorią ( jednym równaniem ) wszystkich znanych ( i nie znanych jeszcze ) zjawisk fizycznych. Unifikacja wszystkich sił ( oddziaływań fizycznych ) znana pod nazwą Teorii Wielkiej Unifikacji, stanowi główny cel zainteresowań teoretycznych fizyków.
Z punktu widzenia fizyki teoretycznej mamy więc odpowiedniość :
Struktura świata (zazwyczaj cząstkowa ) reprezentowana przez dane empiryczne ⇔ zinterpretowana struktura matematyczna stanowiąca model tej właśnie struktury świata.
Możemy zatem wprowadzić następujący diagram :
Świat rzeczywisty → fenomeny (obserwable) – empira → wiedza naukowa – teoria naukowa → model matematyczny →
→ przewidywania → weryfikacja empiryczna Nieuchronna nieliniowość – asyptotyczność modeli.
Należy przyjąć do wiadomości to, że właściwymi ( pełnymi, realnymi ) modelami matematycznym są modele nieliniowe, ze wszystkimi tego konsekwencjami.
Zatem rozwiązania w pełni analityczne, typu deterministycznego są wyjątkami wynikającymi z możliwości liniowej aproksymacji modelu nieliniowego. Przyroda jest nieliniowa, posiada jedynie tą przyjemną cechę, iż możliwe jest w wielu przypadkach stosowanie idealizacyjnych modeli liniowych.
Należy sobie zdawać sprawę, że uwzględnienie wielu czynników w zadanym modelu matematycznym, określonego zjawiska fizycznego ( nietrywialnego ) o szerokim zakresie zmienności prowadzi do modeli nieliniowych, których zachowania nie możemy przewidzieć, ponieważ model matematyczny będzie bardzo trudny do analizy, to raz, po wtóre model ten będzie zapewne typu modelu z chaosem, a po trzecie w zależności od np. parametru porządku będziemy mieli do czynienia z całym spektrum możliwych rozwiązań – innymi słowy układ może okazać się strukturalnie nie stabilny
( mogą pojawiać się bifurkacje pomiędzy bardzo różnymi reżimami ).
Odpowiedniość P ⇔ S
Zatem, poprzez modelowanie matematyczne rozumieć będziemy odpowiedniość ( nieformalną - innymi słowy o ile S ma strukturę formalną, to zbiór P takiej nie posiada ) pomiędzy zbiorem F, a określoną strukturą matematyczną S.
Innymi słowy poszukujemy relacji (nieformalnej ) : P = { Eα , Wβ } ⇔ S = { M, R1 , R2 , … , Rk } Czy relacja taka jest typu ⇔ a może typu tylko ⇒ ?
Odpowiedź na to pytanie jest jak wiemy kwestią gustu i wiąże się z pytaniem o rolę matematyki w rozwoju fizyki i fizyki w rozwoju matematyki.
Czy konstrukcje zbioru S zaczerpnięto wzorując się na P, czy też, zbiór P konstruujemy na wzór S ? Osobiście przyjmuje stanowisko mieszane – obowiązuje relacja obustronna lub też :
Dla pewnych
Pi = { Eα , Wβ } ⇒ S = { M, R1 , R2 , … , Rk } ale również :
Pj = { Eα , Wβ } ⇐ S = { M, R1 , R2 , … , Rk }
tj. mając określoną strukturę matematyczną zadaliśmy (znaleźliśmy ) pewien zbiór P.
Schematycznie możemy przedstawić zagadnienie, jako poszukiwanie odpowiedniości dla podzbiorów : P = { Eα , { Rel(Eα ) | Wα }}
⇓ ⇓
S = { M, R1 , R2 , … , Rk )
Gdzie { Rel(Eα ) | Wα } – jest podzbiorem relacji pomiędzy elementami Eα dla ustalonych Wα. Przykładami takich relacji są np. :
1) zbiór P = zbiór faktów związanych z elektrodynamiką klasyczną ( innymi słowy jest to zbiór danych empirycznych związanych z pojęciami elektryczności i magnetyzmu, które zostały pozyskane dla określonych warunków
doświadczalnych ) i S = zbiór równań różniczkowych cząstkowych typu równań Maxwella
2) zbiór P = zbiór danych związanych z mechaniką ruchu ciał niebieskich i S = zbiór równań różniczkowych zwyczajnych typu równania Poissona.
Czy każdy zbiór danych doświadczalnych można wpisać w odpowiednią strukturę formalną ?
Czy można postąpić odwrotnie – tj. czy zadaną (dowolnie ) strukturę ( oczywiście nietrywialną ) formalną można zawsze zinterpretować fizycznie ?
Jeśli przyjmiemy punkt widzenia, zgodnie z którym matematyka zajmuje się określonymi strukturami tj. zbiorami w których określono w sposób formalny ( niesprzecznie ) pewne relacje, to odnosząc to samo do zbioru danych ( tj. mamy niesprzeczne dane ) możemy powiedzieć tak :
Jeżeli w danych doświadczalnych istnieje określona struktura ( np. porządek typu relacyjnego, symetria itp. ) lub ma on określone własności statystyczne, to zawsze możemy dobrać taką strukturę matematyczną w którą możemy wpisać te dane.
I odwrotnie mając daną strukturę matematyczną, zawsze możemy dobrać tak dane doświadczalne ( nie koniecznie akurat wiążące się z zagadnieniami stricte fizycznymi np. mamy modele matematyczne w ekonomii, biologii, medycynie, aby modelowała je pewna dobrana struktura S. ( patrz metastwierdzenie 1, 2 )
Czy matematykę w modelowaniu zjawisk fizycznych można zastąpić jakimś innym opisem ?
W pewnym stopniu przypomina to pytanie – czy filozofując ( tj. podejmując określone refleksje nad naturą rzeczy ) możemy filozofię zastąpić innym podejściem ?
W samej rzeczy nie – filozofią nazwaliśmy bowiem każdą mniej lub bardziej zorganizowaną formę refleksji, a przecież trudno prowadzić refleksje (myślenie) nie zorganizowane.
Podobnie jest z rolą matematyki – jeśli matematyką nazwiemy każdy dający się ująć w pewne ramy formalne schemat postępowania, strukturę czy też zbiór danych, to trudno jej uniknąć.
Czy prawa natury można opisywać efektywnie używając np. języka poezji, malarstwa czy tez muzyki ?
Oczywiście tak, pod warunkiem, że w wymienionych dziedzinach możemy wyróżnić określoną strukturę dającą się sformalizować innymi słowy – strukturę o określonym modelu.
Jak wiemy o takie struktury jest tam trudno, zatem użycie takich środków jest bardzo mało efektywne.
Oczywiście można namalować obraz olejny przedstawiający fazy Księżyca, można napisać wiersz o zachowaniu płynu, można zagrać coś co naśladuje odgłosy eksplozji, wreszcie można wprowadzić określony porządek w zbiorze nut i opisywać z jego pomocą wyniki pomiarów, ale takie środki nie są w stanie konkurować z metodami matematycznymi.
Interpretacja modeli matematycznych
Podczas budowania modelu matematycznego zbioru P napotykamy pewien nowy zbiór – zbiór zasad interpretacji : Zbiór faktów ⇐ reguły interpretacji L ⇒ zbiór struktur matematycznych
P = { Eα , Wβ } ⇐ L ⇒ S = { M, R1 , R2 , … , Rk } Innymi słowy musimy uwzględnić reguły „przekładu” : { Eα , Wβ } ⇔ S = { M, R1 , R2 , … , Rk }
Reguły interpretacji stanowią zbiór terminów natury fizycznej np. postaci takiej : - symbolowi „m” w zbiorze S odpowiada reguła Wβ w zbiorze P.
- matematyczna przestrzeń E określona w zbiorze S jest przestrzenią „fizyczną” w zbiorze P - wielkości matematycznej dr/dt określonej w zbiorze S odpowiada prędkość określona w zbiorze P
II. W poszukiwaniu relacji pomiędzy P i S. Metastwierdzenia.
1. Opisy modeli
Co oznacza, że dana teoria fizyczna poprawnie opisuje wybrany krąg faktów ? Co oznacza, że dana teoria fizyczna jest częścią innej ogólniejszej teorii ? Co oznacza, że dwie teorie fizyczne są sobie formalnie równoważne ?
Te jak i wiele analogicznych pytań należy sobie zadać po to, aby zrozumieć czym tak naprawdę jest model matematyczny dla zbioru P.
a) Dobrym modelem :
P = { Eα , Wβ } ⇐ L ⇒ S = { Mi , Rj }
nazwiemy taki model, że przy danym Wβ każdy dany już element Eα może być odtworzony ze struktury S.
b) Dobrym modelem z poprawnymi przewidywaniami, nazwiemy taki model, że przy danym Wβ każdy dalszy element Eα+1 może być prawidłowo odtworzony ze struktury S.
Mówimy wówczas, że model matematyczny oparty na strukturze S jest dobrą teorią fizyczną tj. tłumaczy wszystkie znane fakty i przewiduje prawidłowo kolejne.
c) Dobrym modele z nieprawidłowymi przewidywaniami nazwiemy taki model, że przy danym Wβ każdy dalszy element Eα+1 nie jest poprawnie odtworzony ze struktury S.
Innymi słowy model S w tym przypadku jest ograniczony.
W prawdzie tłumaczy wszystkie znane fakty, ale nie przewiduje poprawnie nowych, ma zatem pewne ograniczenia.
Zazwyczaj ograniczenie modelu wynika z faktu, że model pokrywa tylko zbiór P do określonych wartości parametrów zawartych w elementach Wβ
d) Dobrym modelem z prawidłowymi przewidywaniami i rozszerzeniem zbioru Wβ nazwiemy taki dobry model z prawidłowymi przewidywaniami, z którego wynika element Wβ+1
Innymi słowy model S nie tylko przewiduje poprawnie fakty ale z jego pomocą możemy rozszerzyć zbiór Wβ tj.
wprowadzić nowe parametry fizyczne.
Zazwyczaj mówimy wtedy, że znaleźliśmy teorię nakrywająca dla dobrego modelu z prawidłowymi przewidywaniami.
Niech dane będą dwa dobrym modelem z poprawnymi przewidywaniami P1 = { E1α , W1β } ⇒ L ⇒ S1 = { M1i , R1
j }
P2 = { E2α , W2β } ⇒ L ⇒ S2 = { M2i , R2 j }
W szczególnym przypadku, dobrym modelem z prawidłowymi przewidywaniami i rozszerzeniem zbioru W1β możemy nazwać model S taki, że :
P = { E1α , E2α , W1β, W1β } ⇒ L ⇒ S = { Mi , Rj } Gdzie
S = { Mi , Rj } ⊂ S1 = { M1i , R1 j } S = { Mi , Rj } ⊂ S2 = { M2i , R2
j }
tj. model S zawiera jako podmodele modele S1 i S2
Tak naprawdę istotnie cennymi są właśnie modele typu d, z bogatym modelem S zawierającym liczne podmodele.
W tym również kontekście mówimy o wpływie matematyki na fizykę – matematyka przy odpowiednim wyborze modelu S, wzbogaca strukturę zbioru nieformalnego P
Różnorodność modeli matematycznych.
Z praktyki wiadomo, że jeśli dana teoria fizyczna posiada pewien model matematyczny, to albo nie jest on jedyny w sensie modeli równoważnych fizycznie, ale nie koniecznie matematycznie ( możemy powiedzieć, że istnieje niejednoznaczność matematyczna ), albo jest on częścią składową bogatszej teorii matematycznej.
Często okazuje się również, że jedna i ta sama struktura matematyczna może modelować różne teorie fizyczne ( wtedy możemy mówić o niejednoznaczności fizycznej ).
Jeśli mamy dwie struktury matematyczne izomorficzne lub dualne ( oczywiście w tym miejscu trzeba podać określony formalizm takiej konstrukcji ) wzajemnie i jedna z nich stanowi model matematyczny określonego teorii fizycznej, to druga struktura również musi stanowić odpowiedni model ( z zachowaniem właściwej interpretacji fizycznej tej teorii ).
Innymi słowy jeśli przykładowo przestrzeń liniowa Q stanowi model teorii fizycznej X, to przestrzeń dualna Q* również będzie dobrym modelem tej teorii. Jeśli mamy dwie grupy ( w sensie algebraicznym ) izomorficzne między sobą i jedna z nich opisuje symetrie np. lagranżjanu teorii fizycznej, to druga grupa również opisze poprawnie taką symetrię.
Oczywiście stwierdzenia powyższe właściwie są trywialne, jednakże w wielu przypadkach morfizmy pomiędzy strukturami matematycznymi nie są trywialne.
Zazwyczaj w takim kontekście mówi się o sformułowaniach równoważnych danej teorii fizycznej ( podając również zakres takie równoważności )
Wyraźmy takie stwierdzenia w postaci odpowiednich relacji zachodzących w ogólnym układzie P = { Eα , Wβ } ⇐ L ⇒ S = { Mi , Rj }
1) Jeden zbiór P – wiele modeli matematycznych Sn P = { Eα , Wβ } ⇒ L1 ⇒ S1 = { M1
i , R1 j } ⇒ L2 ⇒ S2 = { M2
i , R2 j } ...
⇒ Ln ⇒ Sn = { Mn i , Rn
j } ( zbiory i, j mogą przyjmować różne wartości i na ogół i ≠ j ) Oczywiście wiemy, że mając (zazwyczaj ) skończony zbiór danych empirycznych możemy do niego dopasować kilka struktur formalnych – całe zagadnienie jest podobne do zagadnienia dopasowania wykresu krzywej do zbioru ( nietrywialnego ) zadanych punktów.
W tym przypadku powiemy, że teoria fizyczna ma wiele modeli matematycznych.
W powyższym kontekście powstaje pytanie takie :
Wiemy, że modele S1, ... , Sn maja strukturę formalną, wiemy również, że w zbiorze P można doszukiwać się określonych zależności, to czy poprzez relacje zwrotną modele S1, ... , Sn nie powinny być powiązane określonymi relacjami już natury formalnej ?
2) wiele zbiorów Pn - jedna struktura matematyczna S P1 = { E1α , W1β } ⇒ L1 ⇒ S = { Mi , Rj } P2 = { E2α , W2β } ⇒ L2 ⇒
...
Pn = { Enα , Wnβ } ⇒ Ln ⇒
Klasycznym przykładem takiej sytuacji jest model oscylatora harmonicznego – ogólnie ruchu falowego.
Istnieje wiele zbiorów P które wpisują się w jedną strukturę S.
W tym przypadku powiemy, że jedne model matematyczny opisuje wiele teorii fizycznych.
W kontekście tego zaś podpunktu powstaje pytanie :
Skoro zbiory P są opisywane przez jedną strukturę, to zapewne można powiązać relacjami ( nieformalnymi) zbiory P, innymi słowy przy ich analizie można stosować podobne metody fizyczne.
3) wiele zbiorów Pn - wiele struktur matematycznych Sn
Dla porządku możemy również rozpatrzyć następującą sytuację, kiedy rozpatrujemy rodzinę zbiorów Pn i każdemu z nich odpowiada jakaś struktura Sn :
P1 = { E1α , W1β } ⇒ L1 ⇒ S1 = { M1i , R1j } P2 = { E2α , W2β } ⇒ L2 ⇒ S2 = { M2i , R2j } ...
Pn = { Enα , Wnβ } ⇒ Ln ⇒ Sn = { Mni , Rnj }
Oczywiście możemy rozpatrywać i hierarchię mieszane np. o postaci : P1 = { E1α , W1β } ⇒ L1 ⇒ S1 = { M1i , R1j }
P2 = { E2α , W2β } ⇒ L2 ⇒ S2 = { M2i , R2j }
P3 = { E3α , W3β } ⇒ L3 ⇒ S3 = { M3i , R3j } P4 = { E4α , W4β } ⇒ L4 ⇒
P5 = { E5
α , W5β } ⇒ L5 ⇒ S4 = { M4i , R4j } ⇒ L6 ⇒ S5 = { M5
i , R5 j } Jednakże nie wnoszą one niczego istotnego.
Dualność, izomorfizm, inkluzja
Rozpatrzmy teraz dla hierarchii pierwszej konkretne przypadki, relacji formalnych jakie mogą zachodzić pomiędzy strukturami Si. Z punktu widzenia teorii kategorii wymieniłem trzy rodzaje takich zależności :
dualność, izomorfizm i inkluzję.
Dla przypadku pierwszego tj. jednej teorii fizycznej opisywanej przez wiele modeli matematycznych, modele Sn = { Mn
i , Rn
j } mogą należeć do różnych kategorii, mogą należeć do różnych kategorii dualnych między sobą, mogą należeć do jednej kategorii i być izomorficzne między sobą, zatem są podkategoriami jakieś jednej kategorii
W pierwszym przypadku mówimy o teorii fizycznej opisywanej przez wiele istotnie różnych modeli matematycznych W przypadku drugim, mówimy o teorii fizycznej opisywanej przez wiele dualnych modeli matematycznych
W przypadku trzecim, mówimy o teorii fizycznej opisywanej przez wiele izomorficznych modeli matematycznych
Czy przypadek pierwszy jest przypadkiem, który może się zdarzyć ( skoro zbiór P jest jeden ) ?
Skoro zbiór P posiada określoną strukturę ( a to jest hipoteza o podstawowym znaczeniu ), to nie może być opisywany przez istotnie różne modele, zatem można wnioskować, że przypadek ten należy wykluczyć.
Skoro mowa o jednej teorii fizycznej, to powinny ją opisywać albo modele dualne, albo izomorficzne.
Jest jednakże jeszcze jeden przypadek szczególny kiedy Sn = { Mn i , Rn
j } są podkategoriami innej nieznanej kategorii.
Innymi słowy nie znamy dokładnie izomorfizmów struktur Sn.
W przypadku, mówimy o teorii fizycznej opisywanej przez wiele hipotetycznie izomorficznych modeli matematycznych.
Zatem w hierarchii :
P = { Eα , Wβ } ⇒ L1 ⇒ S1 = { M1 i , R1
j } ⇒ L2 ⇒ S2 = { M2
i , R2 j } ...
⇒ Ln ⇒ Sn = { Mn i , Rn
j }
Dla modeli S oczekujemy relacji : a) dualności
S1 = { M1 i , R1
j } ⇔ S2 = { M2 i , R2
j } ⇔... ⇔ Sn = { Mn i , Rn
j } gdzie S1 = { M1
i , R1
j }∈ ℑ1 ...
Sn = { Mn i , Rn
j }∈ ℑn ℑn – kategorie
b) izomorficzności w obrębie jednej kategorii S1 = { M1
i , R1
j } ↔ S2 = { M2 i , R2
j } ↔... ↔ Sn = { Mn i , Rn
j } g gdzie S1 = { M1
i , R1
j }∈ ℑ ...
Sn = { Mn i , Rn
j }∈ ℑ ℑ – kategoria
c) hipotetycznej dualności lub izomorficzności.
Z punktu widzenia fizyki teoretycznej cenne poznawczo są zarówno teorie fizyczne opisywanej przez wiele dualnych modeli matematycznych jak i teorie fizyczne opisywane przez wiele izomorficznych modeli matematycznych.
Jeśli chodzi o teorie fizyczne opisywane przez wiele istotnie różnych modeli matematycznych, to kluczowym jest poszukiwanie (ukrytych ) dualności, albo izomorfizmów.
Ważnym jest również zauważenie iż w powyższej konstrukcji widać wpływ teorii fizycznych na matematykę – struktura schematu :
P = { Eα , Wβ } ⇒ L1 ⇒ S1 = { M1 i , R1
j } ⇒ L2 ⇒ S2 = { M2
i , R2 j } ...
⇒ Ln ⇒ Sn = { Mn i , Rn
j }
możemy wnioskować o naturze (wielokrotnie apriori nieznanych ) relacji zachodzących pomiędzy strukturami formalnymi Sn = { Mn
i , Rn j }
Reasumując. Mając daną strukturę Sn = { Mn i , Rn
j } wielokrotnie można wskazać strukturę dualną S’n = { M’n i , R’n
j } lub izomorficzną S^n = { Mn
i , Rn j } Z tego powodu przypadek 1
P = { Eα , Wβ } ⇒ L1 ⇒ S1 = { M1 i , R1
j } ⇒ L2 ⇒ S2 = { M2
i , R2 j } ...
⇒ Ln ⇒ Sn = { Mn i , Rn
j }
dla teorii fizycznej opisywanej przez wiele izomorficznych lub dualnych modeli matematycznych, możemy zredukować do schematu o postaci
P = { Eα , Wβ } ⇒ L ⇒ S = { Mi , Rj }
Gdzie S jest – wybranym reprezentatywnym modelem z klasy obiektów izomorficznych lub dualnych.
Innymi słowy w tym przypadku, możemy zawsze rozpatrywać schemat o prostszej postaci i powiedzieć, że mamy teorię fizyczną opisywaną przez uniwersalny model matematyczny.
Jeśli chodzi o przypadek 2) tj. wiele zbiorów Pn - jedna struktura matematyczna S P1 = { E1α , W1β } ⇒ L1 ⇒ S = { Mi , Rj }
P2 = { E2α , W2β } ⇒ L2 ⇒
...
Pn = { Enα , Wnβ } ⇒ Ln ⇒
to oczywiście zamiast S = { Mi , Rj } jeżeli jest to możliwe, możemy zawsze rozpatrywać strukturę dualną, czy też izomorficzną lub też rozpatrywać S jako podkategorię określonej kategorii (być może apriori nieznanej ).
Jak powiemy dalej są to trzy rodzaje strategii poszukiwania modeli matematycznych.
Jeżeli nie potrafimy wskazać, takich konstrukcji, to mówimy, że dana rodzina teorii fizycznych opisywana jest przez sztywny model matematyczny.
Wcześniej powiedziałem, że tak naprawdę istotnie cennymi są modele typu d, które teraz możemy zapisać jako schematy : P = { E1α , W1β } ⇒ L1 ⇒ S = { Mi , Rj }
Gdzie P = { P1 , P2 , .... , Pn } P2 = { E2
α , W2β } ...
Pn = { Enα , Wnβ }
tj. model S generuje zwrotnie liczne podzbiory zbioru P.
Domyślnie przyjmowaliśmy, że model S jest sztywnym modelem fizycznym.
Teraz możemy powiedzieć, że mając sztywny model fizyczny, dalszym krokiem matematycznej natury jest sprawdzenie, czy aby tak naprawdę nie jest on modelem uniwersalnym lub też będącym podmodelem innego modelu.
Zatem istotnie cennymi są dobre modele z przewidywaniami i rozszerzeniem zbioru W, nie będące modelami sztywnymi.
2. Metastwierdzenia.
Meta stwierdzenie 1.
Dla każdego zbioru P = { Eα , Wβ } zawsze istnieje relacja P = { Eα , Wβ } ⇒ L ⇒ S = { Mi , Rj }
Innymi słowy zawsze każdy zbiór nieformalny można sformalizować tj. znaleźć dla niego model S ( typu a, b, c ) Przyroda jest zatem matematyzowalna.
Można pokusić się o stwierdzenie iż nikt nie wymyśli niczego lepszego do opisu praw natury niż formalizm matematyczny, a jeśli nawet powstanie określona struktura, to okaże się iż jest ona morficzna z pewną strukturą matematyczną.
Jeśli w przyrodzie panuje określony porządek ( tj. rządzą nią określone prawa ), to porządek ten może być wyrażony w języku matematycznych struktur – np. uporządkowanych relacji pomiędzy elementami danego zbioru.
Jeśli takiego porządku nie ma – a jak starałem się pokazać, być może tak jest dla określonych zakresów zmiennych fizycznych – to żaden model nie jest w stanie ująć takiego stanu rzeczy.
W tym przypadku nasuwa się analogia z algorytmiczną ściśliwością tj. np. z zagadnieniem poszukiwania efektywnych algorytmów kompresji danych.
Metastwierdzenie 2.
Dla każdej struktury S = { Mi , Rj } zawsze istnieje relacja P = { Eα , Wβ } ⇐ L ⇐ S = { Mi , Rj }
Innymi słowy, każda struktura matematyczna modeluje odpowiednio dobrany zbiór faktów P.
Oczywiście w tym kontekście zazwyczaj stawia się kwestię „nadmiarowości” danej struktury, czy też w ogóle matematyki dla danego modelu matematycznego.
Wielokrotnie jest bowiem tak, że w interpretacji L elementom określonej przestrzeni matematycznej przyporządkowuje się np. obserwable fizyczne. Przy tym okazuje się, że odpowiedniość taka nie jest jednoznaczna – nie wszystkie elementy przestrzeni matematycznej są fizycznie dopuszczalne innymi słowy przestrzeń ta jest nadmiarowa.
Nigdy nie żądaliśmy odpowiedniości wzajemnie jednoznacznej, co zresztą trudno jest spełnić ze względu na nieformalny charakter zbioru P i swobodę w doborze struktur S. Mając na myśli dobry model - jedna struktura S może być w sam raz, a druga może być nadmiarowa. Naturalnym jest, to że poprzez nakładane warunki brzegowe tj. pewne elementy zbioru W, wybieramy z konieczności odpowiedni podzbiór zbiór matematycznie dostępnych elementów struktury formalnej S np. wybieramy odpowiedni podzbiór w przestrzeni fazowej, przestrzeni konfiguracyjnej, ogólnie - przestrzeni stanów, obserwabli itp.
Przykład. Jak wiemy mechanikę klasyczną ( a przynajmniej znaczącą jej cześć ) można sprowadzić do teorii równań różniczkowych zwyczajnych. Zatem w powyższym kontekście można zadać pytanie, czy każde równanie różniczkowe zwyczajne może opisywać jakiś układ mechaniczny ?
Oczywiście, wiemy, że nie – przestrzeń rrz opisująca układy mechaniczne jest podprzestrzenią w przestrzeni takich równań. Tak więc, nie każdemu rrz będzie odpowiadał układ mechaniczny ( ale każdemu układowi mechanicznemu możemy przyporządkować model w postaci rrz ).
W ramach jednej teorii fizycznej mamy relacje nie wzajemnie jednoznaczną.
Ale dlaczego mamy ograniczać się tylko i wyłącznie do układów mechanicznych, czy nie można rozpatrywać np. układów elektro-mechanicznych, mechaniczno -hydraulicznych chemiczno-mechanicznych itp.
Wtedy każdemu skończonemu rrz można byłoby przyporządkować określony układ np. elektryczno-mechaniczny
Metastwierdzenie 3.
Hipoteza graniczna. Dla zbioru P = { Eα , Wβ } kiedy przechodzimy do nieformalnej granicy Eα → ∞, Wβ → ∞ struktura S = { Mi , Rj } staje się strukturą o naturze stochastycznej.
Oczywiście granicę Wβ → ∞ należy rozumieć tak, że zbiór W zawiera bardzo wiele parametrów o szerokim stopni zmienności.
Innymi słowy każdy odpowiednio szeroki zbiór P ma jako swój podmodel model stochastyczny.
Struktura niechaotyczna jest zatem szczególnym przypadkiem struktury chaotycznej, bowiem zbiory P o wąsko dobranych podzbiorach Wβ stanowią podzbiory (małoliczne ) zbiorów Wβ o szerokiej zmienności parametrów.
Możemy zatem powiedzieć, że modele liniowe, o niewielkiej liczbie stopni swobody, nie posiadające reżimów chaotycznych są wyjątkowe. Przyroda u swych podstaw jest chaotyczna, a tylko my obserwując ją w wąskim zakresie nadajemy jej określone cechy strukturalne – najczęściej liniowe.
Przykładowo Układ Słoneczny jest układem strukturalnie stabilnym i liniowym, ale tylko patrząc na niego w odpowiednio małym odcinku czasu i przy odpowiednio uśrednionych parametrach układowych np. uśrednionym polu grawitacyjnym.
III. Strategie poszukiwań modeli matematycznych.
Czy relacje Pi = { Eα , Wβ } ⇐ L ⇒ Si = { Mi , Rj } podpowiadają nam w jaki sposób można poszukiwać modeli S ? Uniwersalny schemat heurezy poszukiwań relacji P ↔ S
Mamy zatem następującą konstrukcje :
Mając apriori dany zbiór P, poszukujemy w pierwszym kroku dobrego modelu P = { Eα , Wβ } ⇐ L ⇒ S = { Mi , Rj }
Jeśli znajdziemy taki model S, to w pierwszej kolejności poszukujemy modeli dualnych S^ i izomorficznych S’.
Priorytetem jest jednakże poszukiwanie odpowiedzi na pytanie jakiego modelu S*, podmodelem jest znaleziony model S.
Sprawdzamy czy taki model S* jest dobrym modelem z przewidywaniami.
Jeśli tak jest to możemy rozszerzyć zbiór P. Mając dany nowy zbiór P powracamy do początku procedury.
Powstaje pytanie - załóżmy, że w/w procedura jest efektywna tj. z jej pomocą rozszerzamy coraz bardzie zbiór P, czy zatem można znaleźć taki model S, który byłby modelem (nawet jeśli, to uniwersalnym ) obejmującym wszelkie możliwe zbiory P ?
Oczywiście z racji swojego nieformalnego charakteru trudno powiedzieć, że model S opisuje wszelkie możliwe zbiory P.
Problem jest jednakże bardziej natury formalnej – czy istnieje taka struktura S, która w sensie struktury uniwersalnej tj. z dokładnością do izomorfizmu i dualności nie da się ująć jako podstruktura innej struktury ?
Jeśliby tak było, to matematyka okazałby się teorią sztywną tj. realizującą się w ramach jednej (zapewne bardzo bogatej) struktury S.
Bardziej prawdopodobnym wydaje się sytuacja o schemacie : P1 = { E1α , W1β } ⇒ L1 ⇒ S1 = { M1i , R1j } P2 = { E2α , W2β } ⇒ L2 ⇒ S2 = { M2i , R2j } ...
Pn = { Enα , Wnβ } ⇒ Ln ⇒ Sn = { Mni , Rnj } Pn+1 = { En+1α , Wn+1β } ⇒ Ln+1 ⇒ ...
Pm = { Emα , Wmβ } ⇒ Lm ⇒ Sn+1 = { Mn+1i , Rn+1j } ⇒ Lm ⇒ Sm = { Mm
i , Rm j } ...
tj. możemy wyróżnić :
Pn–1 zbiorów modelowanych poprzez Sn–1 struktur sztywnych Pn+m–1 zbiorów modelowanych poprzez strukturę uniwersalną Sn Zbiór Pm modelowany poprzez Sn+1+m struktur uniwersalnych
Gdzie wszystkie w/w struktury nie mogą być wyrażone jako podmodel jednego i tego samego modelu.
Jedynym „łącznikiem” pomiędzy tymi strukturami jest metastwierdzenie 3 – wszystkie te struktury mają jako strukturę graniczną model stochastyczny
IV. Mechanika kwantowa jako jeden z przykładów poszukiwań relacji pomiędzy P i S
Zobacz teksty pt. „Formalizm matematyczny w mechanice kwantowej” , „Całki po trajektoriach w MQ i KTP”
Niejako sztandarowym przykładem formalizacji teorii fizycznej jest mechanika kwantowa – w szczególności
nierelatywistyczna teoria nie oddziałujących układów kwantowych o małej liczbie stopni swobody np. dwupoziomowy atom i jego oddziaływanie z model pola EM
1.4 Model Jaynesa-Cummingsa-Paula
Jak opisać oddziaływanie atomu ze światłem ?
Na pierwszy wzgląd jest to bardzo trudne zadanie, ponieważ mamy do czynienia z wieloma stopniami swobody.
Mamy bowiem atom z jądrem wraz ze zbiorem elektronów. W najprostszym przypadku możemy rozpatrzyć atom wodoru, składający się z pojedynczego protonu i pojedynczego elektronu. Atom porusza się jako całość. Sam elektron wykonuje ruch względem protonu. Przy odpowiednich warunkach oba te ruchy powinny być rozpatrywane w ramach MQ.
Sam atom przedstawia sobą dipol elektryczny ℘ ≡ er, który oddziałuje z polem elektrycznym E za pośrednictwem hamiltonianu oddziaływania :
Hr •E ≡ −℘E(R, t ) (1.4)
Gdzie r , R oznaczają, odpowiednio współrzędne elektronu i środka bezwładności atomu.
Zatem, moment dipolowy zawiera wewnętrzne stopnie swobody, tj. poziomy atomowe, R opisuje ruch środka bezwładności.
1.4.1 Jeden dwupoziomowy atom plus jeden mod pola.
W pełnej kwantowej wersji, tj. w ramach nierelatywistycznej elektrodynamiki kwantowej, współrzędna wewnętrzna r, współrzędna środka bezwładności R i pole elektryczne E stają się operatorami. Sytuacja stanie się szczególnie prosta, kiedy istnieją tylko dwa stany elektronowe tj. wprowadzona są tylko dwa poziomy wewnętrzne i z takimi dwoma
poziomami oddziałuje, powodując przejścia pomiędzy nimi tylko jeden mod pola EM. Taki model został przedstawiony na początku budowy teorii masera przez E. T. Jaynesa , F.Cummingsa i niezależnie H. Paula
Dzięki prostocie model taki może być rozwiązany analitycznie. Jednakże mimo swojej prostoty model ten zawiera sporo fizyki. Długi czas model ten przyjmowany był jako zabawka dla teoretyka, mniemająca bezpośredniego zastosowania.
Jednakże metoda pompowania optycznego opracowana przez A. Kastlera, pozwolił nam zrealizować taki przybliżony dwupoziomowy model. Oprócz tego, z pomocą nadprzewodzących wnęk (rezonatorów ) mikrofalowych
(* superconducting microwave cavities *) i luster optycznych o wysokiej jakości (* high-quality optical mirrors *) zbudowano rezonatory jednomodowe o nadzwyczaj wysokiej dobroci (* quality factors *) rzędu Q = 3 • 1010 , które odpowiadają średniemu czasowi życia fotonu w rezonatorze rzędu 0,2 [s].
Dlatego w chwili obecnej model Jaynesa-Cuinmingsa-Paula jest jednym z kamieni milowych optyki kwantowej.
Cytat z książki :
Optyka kwantowa w przestrzeni fazowej - Wolfgang P. Schleich
Niech zatem dany będzie zbiór związany z takim układem P = { Eα , Wβ }
Jak wiemy taki zbiór możemy modelować używając różnych formalizmów. Najbardziej znane z nich to obrazy Schrödingera i Heisenberga.
Układ kwantowy nieoddziałujący, czysty, n –stopni swobody 1) Obraz Schrödingera
iħ d | ψ > /dt = H^ | ψ >
Funkcje falową | ψ > możemy rozpatrywać w dwóch reprezentacjach : - reprezentacja położeniowa :
ψ(r, t)
- reprezentacja pędowa ψ(p, t)
Przy czym przejście z jednej do drugiej odbywa się za pośrednictwem transformacji Fouriera : ψ(r, t) ← transformacja Fouriera - prosta i odwrotna → ψ(p, t)
2) Obraz Heisenberga : iħ dA^/dt = [ A^, H^ ] A^ - obserwabla
