Wykład V FIZYKA I

FIZYKA I

Wykład V

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: własności sprężyste ciał (I) Rodzaj naprężenia

Rozciągające

Ściskające

Zginające

Skręcające

Ścinające

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: własności sprężyste ciał (II)

1. Względne odkształcenie ciała zależy od naprężenia.

2. naprężenie to siła odkształcająca odniesiona do jednostki pola powierzchni, na jaką działa.

3. naprężenie = (moduł sprężystości) · (odkształcenie), gdy ciało wraca do pierwotnego kształtu.

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: własności sprężyste ciał (III)

Naprężenie σ definiuje się jako:

gdzie F jest wartością siły przyłożonej do ciała w miejscu, w którym ciało ma pole S przekroju prostopadłego do kierunku działania siły.

𝜎 = 𝐹 𝑆

Rozciąganie i ściskanie:

Miarą odkształcenia jest wielkość bezwymiarowa względna zmiana długości.

∆𝐿 𝐿

W granicach sprężystości czyli dla małych odkształceń obowiązuje prawo Hooke’a:

𝐹

𝑆 = 𝐸∆𝐿 𝐿

E – moduł Younga

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: własności sprężyste ciał (IV)

Naprężenie σ definiuje się jako:

gdzie F jest wartością siły przyłożonej do ciała w miejscu, w którym ciało ma pole S przekroju równolegle do kierunku działania siły.

𝜎 = 𝐹 𝑆

Ścinanie:

𝐹

𝑆 = 𝐺 ∆𝑥 𝐿

G – moduł ścinania

Miarą odkształcenia jest wielkość bezwymiarowa względna zmiana długości.

∆𝑥 𝐿

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (I)

Oscylator harmoniczny

Siła harmoniczna

• siła F proporcjonalna do wychylenia x z położenia równowagi

• zwrot siły: do położenia równowagi 𝐹 = −𝑘𝑥

Najważniejsze własności oscylatora harmonicznego:

1. Częstość ruchu nie zależy od amplitudy drgań.

2. Jeśli działa wiele sił, to zmiany wywołane sumują się liniowo.

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (II)

Druga zasada dynamiki dla oscylatora harmonicznego

T m

k m

k

k m

t A

k t

A m

t A

dt x t d A

dt x d

B B

A x

t B

t A

t x

kx dt x

m d

t x x kx ma

ma F

 

































2 2 sin )

sin (

sin cos

0 0

cos 0

sin )

0 (

cos sin

) (

) (

2

2 2

2 2

2 2

2





















































Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (III)

Druga zasada dynamiki dla oscylatora harmonicznego

T m

k m

k

k m t A k t A m

t A dt x t d A dtx d

B B

A x

t B t A t x

kx dt x md

t x x kx ma ma F

 

































2 2 sin ) sin (

sin cos

0 0 cos 0 sin ) 0 (

cos sin ) (

) (

2

2 2

2 2 2 2

2





















































t A

t dt x t d dt v t d a

t A

t dt x t d v

t A

t x











cos )

( )

( )

(

cos )

( )

(

sin )

(

2 2

2













Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (IV)

Energia oscylatora harmonicznego (w funkcji czasu)

T m

k m

k

k m t A k t A m

t A dt x t d A dtx d

B B

A x

t B t A t x

kx dt x md

t x x kx ma ma F

 

































2 2 sin ) sin (

sin cos

0 0 cos 0 sin ) 0 (

cos sin ) (

) (

2

2 2

2 2 2 2

2





















































t A t dt x t d dtv t d a

t A t dtx t d v

t A t x











cos ) ( ) ( ) (

cos ) ( ) (

sin ) (

2 2 2













t A

k kx

E_p ^{2 2}sin² 2

1 2

1 

 Energia potencjalna sprężystości

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2 ) 1 cos 2 (sin

1

2 cos sin 1

2 cos 1

2 sin 1

2 1

A m t

t A

m

t A

m t A

m t

A m t A

k E

E E_{c p k}











































Energia kinetyczna

t A

m mv

E_k ² ^{2 2}cos² 2

1 2

1 



Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (V)

Energia oscylatora harmonicznego (w funkcji wychylenia)

T m

k m

k

k m t A k t A m

t A dt x t d A dtx d

B B

A x

t B t A t x

kx dt x md

t x x kx ma ma F

 

































2 2 sin ) sin (

sin cos

0 0 cos 0 sin ) 0 (

cos sin ) (

) (

2

2 2

2 2 2 2

2





















































t A t dt x t d dtv t d a

t A t dtx t d v

t A t x











cos ) ( ) ( ) (

cos ) ( ) (

sin ) (

2 2 2













t A k kx

E_p ^{2 2}sin² 2

1 2

1 



t A m mv

Ek ² ^{2 2}cos² 2

1 2

1 



2 2

2 1m A Ec 

   

2

2 , 1

0 2 0

1 kx E E A kA

E_p   _p  _p 

 

   

2 2 2

2

2 0 1

, 0

2 1 2

1 2

1

kA E

A E

x A k kx

kA E

E E

k k

p k





















Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (VI)

Wahadło matematyczne

X



 cos

sin F mg

mg F

mg

F 





l k mg x

k l x

mg l

mg x l

mg d F

mg F

s s











  ^{ 1rad sin  }_3!^{3 ...}

x d l rad

d   

  1



g T l

g T l

l g T

l g l

g l

g

T l

g l

mg m m

k



 

 

 





 







2 4 4

2 1 4

4 1

2 2 1

2 2

2 2

2 2

2 2 2































Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (VII)

Wahadło fizyczne

mg d 



























sin sin

2 2

k dmg

M

dt I d I

M

dmg T 2 I







2

2 dmg k

I dt

d    

dt t t d dt

t d

t          

( ) sin cos _{2 0} ²sin

2 0

0   



! ...

sin 3 1

sin

sin

3

















 







 rad dmg

M

F r M F r

M     

 dmg M 

T I

I dmg k

dmg k

M      ² ²    2  ² I

k k I

t k

t

I(₀²sin )  ₀sin  ²  ² 

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (VIII)

Wahadło torsyjne



 k

dt

I d²₂  

0 0

2 2

2 2

















dt d

I k dt

d

k T I

I

k 

    2

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (IX)

Oscylator harmoniczny tłumiony

2

2 2

 

 



 











 dt

F dx dt

x F d

dt F dx

N F

F x k

F

2 0

2 2

2      k x 

dt dx dt

x m d dt

x dx dt k

x

m d  

dt x dx

k

F   



Z II zasady dynamiki Newtona

2 2 0 2

2 0 2 2

2 0      

      

m k m

t Ae

t Ae

t dt Ae

x d

t Ae

t e

dt A dx

t Ae

t x

t t

t

t t

t



































sin cos

2 sin

cos sin

sin )

(

2 2

2

2   























 



m  ^t   ^t   ^t   ^t   ^t  ^t 

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (IX)

Oscylator harmoniczny tłumiony

2 2 0 2

2 0 2 2

2 0      

      

m k m

2 0

2  k x 

dt dx dt

x m d 

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (X)

Oscylator harmoniczny tłumiony

2 2 0 2

2 0 2 2

2 0      

      

m k m

2 0

2  k x 

dt dx dt

x m d 

Gdy =₀ występuje wtedy tłumienie krytyczne.

Gdy tłumienie (opór) stanie się dostatecznie duże (>₀) ruch przestaje być ruchem drgającym, a ciało wychylone z położenia równowagi powraca do niego asymptotycznie - ruchem aperiodycznym. Przykładem takiego ruchu jest ruch w bardzo gęstym ośrodku (np. w miodzie).

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (XI)

Oscylator harmoniczny tłumiony

Logarytmiczny dekrement tłumienia Λ jest to logarytm naturalny ze stosunku kolejnych amplitud

 

e T e t

A T t A A

A

t T t

n

n      ^ _ 





 ^ _ ^



) ln (

) ln (

ln

1

 

A ₀ ²



Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (XII)

Oscylator harmoniczny tłumiony z wymuszeniem

)

2 (

2

t F x dt k

dx dt

x

m d 



 

  ₀^{2 2 2}  ²

2 2 0 2 2

2 2 0 2 2 0

0 0

0 0 2

2 0

2 2 0

2 ) (

cos 2

) (

sin 2

sin 2

cos ) (

sin 2

cos ) (

0 cos 2

sin ) (









 







 







































 





 



 



















x

x

m t x F dt

dx dt

x

d ( )

2 ²₀

2

2    

...

...

) sin(

)

( ₂

2

0   

 dt

x d dt

t dx x

t

x  

m m

t F m

t F

m t F m

k

sin 2 sin

)

( ₀

0 0

2 0 0

 





 

     

Zakładamy periodyczne wymuszenie w postaci siły wymuszającej

     

 

^{  xcossin2tsin2}^{x cossintt} ^^{ sin}^{sint 2cos}^x0^{cost }0^sint 2

2 0 0

2 2 0

0 0

2 2 0























Otrzymujemy drgania „niegasnące”, jak dla prostego oscylatora harmonicznego, o amplitudzie niezależnej od czasu, ale

1. amplituda x₀ jest funkcją częstości wymuszenia

2. przesunięcie fazowe (kąt o jaki maksimum przemieszczenia x wyprzedza maksimum siły wymuszającej F) nie jest dowolną stałą lecz jest również ściśle określone przez częstość wymuszenia

2 2 0

2 cos

sin









 

 



 tg

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (XIII)

Oscylator harmoniczny tłumiony z wymuszeniem

)

2 (

2

t F x dt k

dx dt

x

m d 



0

2 cos

sin









 

 





 tg











sin 2 cos ) ( ₀^{2 2}

0

0   

x

Rezonans występuje gdy amplituda osiąga wartość maksymalną co w praktyce

oznacza gdy częstość wymuszenia zbliża się do częstości drgań własnych.

Pojęcia podstawowe i historia

Drgania, fale: oscylator harmoniczny (XIV)

Pojęcia podstawowe i historia Drgania, fale: składanie drgań (I)

Składanie drgań zachodzących w tym samym kierunku





1

1

( t )  A cos  t   x

^{( t )  A}

^cos  ^

^{t  }



x

 

 

 _{2 1}

2 1

1 2 2

1 2 2 1 2 2 2 1

sin sin

cos 2







 









 









A A tg A

A A A A A



 







Pojęcia podstawowe i historia Drgania, fale: składanie drgań (II)

Składanie drgań zachodzących w tym samym kierunku

Nakładanie się drgań o bardzo zbliżonych częstościach: dudnienia

t A

t x

t A

t x

 

 



 





 

 



 





cos 2 )

(

cos 2 )

(

2 1

 

 

  ^{t x}   ^{t x}   ^{t A t t A t t}

x      ^sin 

cos 2 2 2

2 cos

2

cos

1





 



  

 

 



 



 



 



 



 



 









Pojęcia podstawowe i historia Drgania, fale: składanie drgań (III)

Składanie drgań zachodzących w kierunkach prostopadłych

Krzywe Lissajous – Jules Antoine Lissajous (1822-1880) po raz pierwszy zademonstrował krzywe w roku 1857.