Rozdział I ********************************************** Wybrane struktury matematyczne w fizyce **********************************************

**********************************************

Wybrane struktury matematyczne w fizyce

**********************************************

#############################################################################################

Autor : R. Waligóra ;

data powstania dokumentu : 2011-09-10 ostatnie poprawki z dnia: 2012-10-01

#############################################################################################

„Matematyka jest częścią fizyki. Fizyka jest nauką doświadczalną, jedną z nauk o przyrodzie, a matematyka jest tą częścią fizyki, w której

doświadczenia są bardzo tanie” – W. I. Arnold ( artukuł pt. „O nauczaniu matematyki” )

Rozdział I

Wprowadzenie.

Niniejszy tekst ma na celu prezentacje najważniejszych z punktu widzenia fizyki współczesnej struktur

matematycznych oraz wiążących się z nimi bezpośrednio lub pośrednio działów matematyki ( np. teorię równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych, rachunek wariacyjny )

W pierwszej kolejności zdefiniuje pojecie struktury matematycznej.

( w większości użyte w niniejszym rozdziale pojęcia matematyczne zostaną zdefiniowane w dalszych rozdziałach.

Rozdział ten można przeczytać również jako ostatni, kiedy już większość użytych pojęć będzie jasna )

Ogólnie mówimy, że zadanie pewnego działania (lub kilku działań ) na określonym zbiorze tworzy określoną strukturę w tym zbiorze tzn. definiuje pewną przestrzeń ( zbiór + działania określone na tym zbiorze ).

Takie wprowadzenie struktury jest bardzo charakterystyczne dla algebry. W ten właśnie sposób otrzymujemy przestrzenie takie jak grupy, ciała, pierścienie i algebry – wszystko to są to pewne ogólne struktury algebraiczne.

Innym sposobem wprowadzania struktury w zadanym zbiorze jest np. wydzielanie pewnej rodziny jego podzbiorów.

Przykładowo, jeśli taka rodzina spełnia aksjomaty topologii, to otrzymaną przestrzeń będziemy nazywali topologią.

Kluczowym dla takich definicji jest w pierwszej kolejności określenie zbioru elementów nad którymi zadana zostanie (w ogólności ) pewna algebra. W drugiej kolejności należy ustalić określone działania wykonywane nad elementami zadanego zbioru. Działania zazwyczaj określane są jako odwzorowanie o ogólnej postaci :

f : A × X → Y

gdzie A, X, Y są podzbiorami pewnego zbioru ( nazywanego również przestrzenią )

( symbol × jest symbolem iloczynu kartezjańskiego zbiorów – patrz odpowiednia definicja ) W szczególności może to być odwzorowanie postaci :

f : X × X → Y

( wtedy o odpowiadającym temu odwzorowaniu mówimy, że jest działaniem zewnętrznym ) lub

f : X × X → X

( wtedy o odpowiadającym temu odwzorowaniu mówimy, że jest działaniem wewnętrznym ) lub jako odwzorowanie zbioru X w zbiór Y :

f : X → Y

a nawet jako odwzorowanie zbioru X w zbiór X : f : X → X

Naturalnym uogólnieniem działania jednoargumentowego jest działanie n-argumentowe.

Konkretne działanie np. oznaczone symbolem ⊗ możemy zapisać jako odwzorowanie :

⊗ : X × X → X - działanie ⊗ jest zatem działaniem dwuargumentowym wewnętrznym.

Strukturę matematyczną formalnie obejmuje się za pomocą teorii kategorii i funktorów.

Pojęcie kategorii zostało wprowadzone w 1944 roku przez dwóch znanych matematyków amerykańskich S.

Eilenberga i S. Mac Lane’a w związku z problemami aksjomatyzacji teorii grup homologii i kohomologii Kategorią ℑ nazywamy :

i) klasę Ob ℑ, której elementy nazywamy obiektami kategorii ( klasa jest czymś więcej niż zbiorem – zobacz

( morfizm jest to w istocie funkcja, która każdej parze obiektów A, B przypisuje pewien zbiór – elementy tego zbioru nazywamy morfizmami – odwzorowania z A do B.

Jeżeli obiekty kategorii są wyposażone w struktury tego samego typu ( np. przestrzenie topologiczne lub grupy ), to jako morfizmy wybiera się zazwyczaj odwzorowania, które zachowują te struktury ( np. odwzorowania ciągłe, homomorfizmy grup lub odwzorowania zachowujące porządek )

W ten sposób możemy otrzymać kategorię przestrzeni topologicznych, kategorię grup lub kategorię zbiorów uporządkowanych. Według takiej ogólnej definicji klasa przestrzeni metrycznych i morfizmów będących odwzorowaniami ciągłymi jest kategorią.

Przykłady kategorii.

1) Kategoria Ens ( jest to najważniejsza z kategorii, ens – jest skrótem od francuskiego słowa ensemble

oznaczającego zbiór ). Elementami tej kategorii są zbiory. Zbiorem morfizmów jest zbiór wszystkich odwzorowań f : A → B

Superpozycją kategoryjną jest superpozycja odwzorowań.

2) Kategoria grup. ( symbolicznie ℜ ) Obiektami tej kategorii są grupy, morfizmami są homomorfizmy grup 3) Kategoria zbioru częściowo uporządkowanego. Morfizmami tej kategorii wcale nie muszą być odwzorowania.

[2, od str. 31 ]

Aby można było wiązać ze sobą kategorie wprowadza się pojęcie funktoru. Funktor przyporządkowuje każdemu obiektowi pierwszej kategorii dokładnie jeden obiekt drugiej kategorii, a każdemu morfizmowi pierwszej kategorii pewien morfizm drugiej kategorii tak, aby spełnione były następujące warunki :

Z własności tych wynika, że np. dowolny funktor z kategorii przestrzeni topologicznych

( lub jakieś jej podkategorii ) w kategorię grup – przeprowadza homeomorfizm w izomorfizm grup, zatem topologicznym przestrzeniom homeomorficznym odpowiadają grupy izomorficzne. Funktory pojawiające się w topologii algebraicznej przyporządkowują przestrzeniom topologicznym grupy jako niezmienniki topologiczne.

[ 1, str. 253 ]

Ogólne spojrzenie na teorię kategorii daje nam następujący cytat :

[ 3, str. 35 ]

W sformułowaniach kategoryjnych szeroko stosuje się diagramy.

Diagram przedstawia rysunek składający się z odpowiednio skierowanych strzałek ( symbolizujących morfizmy ) wychodzących od symboli obiektów np. A, B, …

Przykłady diagramów :

a b c

Diagram a, nazywa się przemiennym, jeśli γ = αβ, diagram b jest przemienny, jeśli βα = αβ

Wielokrotnie rozważa się diagramy, w których z wierzchołka do wierzchołka prowadzi co najwyżej jedna strzałka.

( diagram taki nazywamy łańcuchem ) Przykłady łańcuchów :

Łańcuch może być również zamknięty, tj. :

W definicji przemienności takiego łańcucha żądamy dodatkowo aby złożenie odwzorowań αnαn-1… α1 było odwzorowaniem tożsamościowym.

Literatura

1) “Atlas matematyki” -- F. Reinhardt, H. Soeder ; Prószyński i S-ka 2005 2) „Algebra z geometrią dla fizyków” -- L. Górniewicz, R. S. Ingarden UMK Toruń 2000 3) “Wstęp do teorii kategorii i funktorów” -- Z. Semadeni, A .Wiweger ; PWN 1978

4) „Droga do rzeczywistości” -- Roger Penrose ; Prószyński i S-ka 2006 5) „Nowoczesne metody matematyczne fizyki” -- Jan Olszewski ; UJ Kraków 1973

#############################################################################################

Rozdział II

Podstawy teorii mnogości. Relacje i funkcje.

I. Pojęcie zbioru i ogólne własności zbiorów.

Zbiór jest jednym z najbardziej podstawowych pojęć matematyki. Dział matematyki zajmujący się ogólnymi własnościami i działaniami wykonywanymi nad zbiorami nazywa się teorią mnogości. ( ang. set theory ) ( mnogość to inna nazwa zbioru, spotykamy również pojęcie „rodzina zbiorów” – zobacz dalej ) Teoria mnogości wraz z logiką matematyczną stanowi fundament, na którym spoczywa cała nowoczesna matematyka.

Podstawy teorii mnogości zostały przedstawione w drugiej połowie XIX wieku. Prekursorem i najważniejszym z twórców teorii mnogości był Georg Cantor ( ponadto wyróżniają się prace takich matematyków jak :

Dedekind, Ferge, Peano, Russel, Zermelo – zobacz np. [1d] ). Pasjonująca historię powstania teorii mnogości można prześledzić np. w [ 8, od str. 247 ].

Z formalnego punktu widzenia pojęcie zbioru wprowadza się w sposób aksjomatyczny.

( ogólne sformułowanie takich aksjomatów zobacz np. [11, od str. 57 ] )

Zbiory mogą składać się z najróżniejszych elementów – rzeczy materialnych np. książek, kamieni itp. ; rzeczy nie materialnych np. obiektów matematycznych ( liczb, funkcji, figur, geometrycznych itp. jak również samych zbiorów ).

Przedmioty, które należą do danego zbioru, nazywamy elementami tego zbioru. Zdanie orzekające, że element a należy do zbioru A ( tj. a jest elementem zbioru A ) zapisujemy symbolicznie :

a ∈ A ( Znak ∈ wprowadził G. Peano )

W przypadku kilku elementów należących do zbioru A zapiszemy : a, b, c ∈ A

Jeśli a nie należy do zbioru A ( tj. a nie jest elementem zbioru A ), to zapiszemy : a ∉ A

Jeżeli a, b, c ∈ A, to możemy użyć zapisu : A = { a, b, c }

Oczywiście zbiór może posiadać skończoną lub nieskończoną ilość elementów. Możemy zapisać : A = {a } – zbiór jednoelementowy , A = { a, b, c , … , k } , A = { a1 , a2 , … , an } – zbiór n-elementowy

Elementy zbioru możemy wyróżnić również poprzez pewną relacje logiczną np. A = { x : F(x) } – zbiór wszystkich x mających własność F(x) ) lub A = {x : xRy } – zbiór wszystkich x pozostających z y w relacji R.

( wyrażenie { x : } nazywa się symbolem abstrakcji )

A = { {a }, {a, b }, { c, d } } – zbiór zbiorów ( rodzina zbiorów )

W dalszej kolejności, wyróżniamy zbiory o przeliczalnej lub nieprzeliczalnej liczbie elementów.

Zbiór nie posiadający żadnego elementu nazywamy zbiorem pustym. Zbiór pusty oznaczamy symbolem ∅.

Zbiór pusty może być pełnoprawnym elementem jakiegoś zbioru. Taki zbiór, którego elementem jest zbiór pusty ma przynajmniej jeden element, zatem sam nie jest zbiorem pustym. Dalej, zbiór pusty i zbiór, którego elementem jest zbiór pusty mogą być elementami innego zbioru itp.

Mamy zatem przykładowe zbiory : A = { {∅ } } , A = { { ∅ } , { 1, 2 } }

Zbiór pusty pełni w teorii mnogości podobną rolę do tej, którą 0 pełni w algebrze.

W teorii mnogości operujemy pojęciem zbioru oraz ( w niektórych sytuacjach ), ogólniejszym pojęciem klasy.

Intuicyjnie, klasy są – podobnie jak zbiory – obiektami matematycznymi posiadającymi elementy, jednakże elementów tych jest zbyt „dużo” by tworzyły one zbiór. Wprowadzenie pojęcia klasy ( R. Russell ) wiąże się z początkami rozwoju teorii mnogości ( pionierskie prace G. Cantora , koniec XIX wieku ) i z ujawnioną antynomią

„zbioru wszystkich zbiorów”. Cantor rozważał następujący pewnik : dla dowolnej własności teoriomnogościowej opisanej formułą F(x) istnieje zbiór A = {x : F(x) }. Pewnik ten – jak zauważył sam Cantor – jest fałszywy, podstawiając bowiem za F(x) formułę x ∉ x otrzymujemy sprzeczność A ∈ A ≡ A ∉ A ( jest to tzw. paradoks

Russella ). Analizując powyższą konstrukcje widzimy, że zbiór A = { x : x ∉ x } gdyby istniał zawierałby wszystkie w ogóle zbiory, gdyż własność x ∉ x przysługuje wszystkim zbiorom ( bardzo ważna uwaga – zbiór jest czymś innym niż jego element ! ). Wynika stąd, że rozpatrując w ogólności konstrukcje matematyczne posiadające elementy należy wyróżnić przynajmniej dwa rodzaje takich konstrukcji : zbiory i klasy. Możliwe jest przy tym, że każdy zbiór jest klasą, ale niekoniecznie musi zachodzić relacja odwrotna. [ 9 str. 9 ]

Teoria mnogości w pierwotnym ujęciu Cantora nie miała charakteru aksjomatycznego. Z tego względu nazywa się ją niekiedy naiwną.

Aby pojęcie zbioru sformalizować w pewnym stopniu, wprowadzimy następujące cztery aksjomaty [ 11 str. 17 ] : 1) Aksjomat jednoznaczności. Jeśli zbiory A i B mają te same elementy, to A i B są identyczne.

( jeżeli zbiory są identyczne to zapisujemy A = B ). Jest to aksjomat ekstensjonalności.

2) Aksjomat sumy. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i który nie zawiera żadnych innych elementów.

3) Aksjomat różnicy. Dla dowolnych zbiorów A i B istnieje zbiór, którego elementami są te i tylko te elementy zbioru A, które nie są elementami zbioru B.

4) Aksjomat istnienia. Istnieje co najmniej jeden zbiór. ( może to być np. zbiór pusty )

Oczywiście nie wyczerpujemy w ten sposób pełnej listy aksjomatów, są to jedynie aksjomaty które wystarczają do sformułowania pojęcia zbioru(ów) i wprowadzenia na nich działań algebraicznych. Dla dalszego ugruntowania pojęć mnogościowych wprowadza się jeszcze inne. Przykładami dalszych aksjomatów mogą być :

5) Aksjomat wyróżniania. Dla każdego zbioru A i warunku S(x) istnieje zbiór B złożony z tych i tylko tych elementów x zbioru A, które spełniają warunek S(x).

Warunek wyróżniania zastępuje warunek abstrakcji ( prowadzący do paradoksu Russella ). Nie zakładał on bowiem, że zakres zmienności x ograniczony jest do A. Właśnie ta dowolność prowadziła do wspomnianego paradoksu.

6) Aksjomat pary. Dla każdych dwóch zbiorów istnieje zbiór, do którego oba te zbiory należą ( zatem postulujemy istnienie rodziny zbiorów)

7) Aksjomat zbioru potęgowego. Dla każdego zbioru istnieje zbiór, którego elementami są wszystkie podzbiory danego zbioru. Cantor wykazał, że zbiór potęgowy ma zawsze większą liczebność niż zbiór wejściowy.

8) Aksjomat nieskończoności. Istnieje zbiór, który zawiera 0 i następnik każdego swojego elementu.

Aksjomat ten pozwala zdefiniować liczby naturalne.

9) Aksjomat wyboru. Dla każdego zbioru A istnieje funkcja wyboru f, taka, ze dla każdego niepustego podzbioru B zbioru A, f(B) jest elementem B.

Ogólne pojęcie zbioru.

„Do pojęcia zbioru dochodzimy abstrahując od konkretu, czyli jedostkowości przedmiotów. Stos kamieni jest przedmiotem konkretnym. Zbiór, którego wszystkimi i tylko elementami są kamienie z tego stosu jest obiektem abstrakcyjnym. Stos kamieni jako obiekt fizyczny ma własności fizyczne takie, jak np. masa. Zbiór, którego kamienie z tego stosu są elementami nie jest przedmiotem fizycznym, a zatem nawet pytanie o jego własności fizyczne nie jest pytaniem poprawnie postawionym. Kamienie ze stosu kamieni nie są elementami stosu, tylko jego częściami.” [ 8 str. 251]

Wypowiedź ta ma na celu ukazanie kontekstu w jakim pojęcie zbioru pojawia się w matematyce i języku potocznym. W tym ostatnim słowo „zbiór” używane jest w znaczeniu dystrybutywnym tj. abstrakcyjnym, takim jakie ma ono w teorii mnogości, oraz w znaczeniu kolektywnym ( merologicznym ) tj. w takim znaczeniu przy którym stos kamieni jest zbiorem. W przypadku dystrybutywnym, przedmioty z których składa się dany zbiór są jego elementami, w przypadku kolektywnym takie przedmioty są jego częściami ( stanowią pewien konglomerat przedmiotów ), a więc dla takiego podejścia od razu pojawia się niebanalny problem istnienia zbioru pustego.

Warto wspomnieć, że teorię zbiorów w sensie kolektywnym stworzył – nadając jej nazwę „merologia” – Stanisław Leśniewski (1938 ).

Zbiór (w sensie dystrybutywnym ) jest określony nie tylko poprzez swoje elementy, ale również poprzez sposób ich przynależności do danego zbioru ( np. poprzez pewna relacje logiczną lub wypowiedź słowną – np. „zbiór

wszystkich dzieci Jana Kowalskiego” ). Istotne jest zatem samo rozumienie bycia elementem. Zgodnie z najprostszą, a zarazem dominującą koncepcją – przedmiot jest albo nie jest elementem danego zbioru. Z punktu widzenia języka znaczy to, że zbiory pojmowane są jako zakresy nazw, czyli takich, ze dowolny przedmiot jest albo nie jest ich desygnatem ( Desygnat nazwy to każdy i tylko przedmiot, do którego wskazania nazwa może być użyta zgodnie z regułami języka. Zakres nazwy to zbiór jego desygnatów )

Pewne możliwości związane z relacją przynależności do danego zbioru wykorzystano konstruując teorię zbiorów rozmytych. W przypadku zbioru rozmytego przynależność elementu do zbioru podlega gradacji, przyjmując wartości z przedziału [0, 1]. Podstawy teorii zbiorów rozmytych ( ang. fuzzy sets ) opracował w połowie lat 60-tych XX w. Lofti Zadeh. Obecnie teoria ta znalazła liczne zastosowania w automatyce i informatyce.

Teoria zbiorów którą będziemy omawiali nazywa się klasyczną ( kantorowską ) teorią mnogości. W takiej teorii

nakładamy w ogólności żadnych ograniczeń - można zatem np. tworzyć zbiory z obiektów nie mających ze sobą nic wspólnego tj. nie spełniających żadnych kryteriów logicznych lub językowych np. poprzez wypisanie elementów danego zbioru. Przykład : jakiś_zbiór = { 1, -0,5 , koło, kwadrat, Jan, Ala, kamień, piłka } – w tym przypadku mówimy, że dany zbiór został zdefiniowany ekstensjonalnie ( poprzez wymienienie jego wszystkich i tylko jego elementów ). Zbiór charakteryzowany poprzez podanie jakiejś formuły ( warunku ) z jedną zmienną ( wolną ), którą to spełniają wszystkie i tylko te elementy będzie określony w sposób intensjonalny. Oczywiście zbiór

scharakteryzowany intensjonalnie możemy również ( równoważnie ) scharakteryzować ekstensjonalnie.

Przykładowo równanie jest charakterystyką intensjonalną zbioru jego pierwiastków. Rozwiązać to równanie to tyle, co scharakteryzować ten zbiór ekstensjonalnie.

Definicja 1.1 Enumeracją zbioru A nazywamy ciąg wszystkich i tylko tych elementów zbioru A.

Przykład 1.1 Enumeracją zbioru { 1, 2, 3 } jest ciąg ( 1, 2, 3 ) [ 8 str. od 253 ]

Teoria mnogości a podstawy matematyki i filozofia.

Teoria mnogości ( wraz z logiką matematyczną ) jest przez wielu matematyków uważana za system podstaw matematyki. Całość współczesnej matematyki daje się w zasadzie ugruntować na układzie aksjomatów fundujących teorie mnogości np. na systemie Zermelo-Fraenkl-Skolem ( w skrócie ZFS ). Oznacza to z jednej strony, że wszystkie pojęcia matematyczne dają się zdefiniować za pomocą spójników logicznych, kwantyfikatorów i

podstawowych pojęć teorii mnogości, oraz z drugiej – że wszystkie twierdzenia każdego z działów matematyki dają się wyprowadzić z aksjomatów teorii mnogości oraz definicji odpowiednich pojęć.

Nie jest jednak tak, że teoria mnogości pozbawiona jest własnych ( wewnętrznych ) trudności. W pierwszej kolejności kantorowskie pojęcie zbioru ( oparte na pojęciu intuicyjnym ) jak już powiedziano, okazało się wewnętrznie sprzeczne, co stwarzało możliwość zaistnienia różnych sposobów precyzowania tego pojęcia.

W wyniku czego oprócz systemu ZFS powstały inne aksjomatyczne systemy teorii mnogości np. von Neumanna- Bernaysa-Gödla lub Morse’a-Kelleya. ( i nie są one całkowicie równoważne )

Szczególnie liczne związki łączą teorię mnogości z filozofią. Teoriomnogościowa analiza pojęcia nieskończoności oraz pewnych typów porządków umożliwiła rozwiązanie wielu kwestii filozoficznych. Niektórzy filozofowie są zdania, że teoria mnogości stworzyła swoistą ontologię dostarczającą wiedzy „o formalnych własnościach i strukturalnych związkach świata” ( R. Suszko )Dyskutowane przez matematyków zagadnienie sposobu istnienia zbiorów jest w istocie nowożytną formą tradycyjnego sporu o uniwersalia. [ 4d, str. 380 ]

II. Działania algebraiczne wykonywane nad zbiorami.

Podzbiór

Definicja 2.1 Zbiór A nazywa się podzbiorem zbioru B, jeśli każdy element zbioru A jest również elementem zbioru B. Piszemy wówczas :

A ⊂ B lub B ⊃ A

i mówimy, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B. Stosunek ⊂ nazywamy inkluzją ( zawieraniem się ).

Symbolicznie stosunek inkluzji zbioru A zapiszemy następująco :

∀ x ∈ A → x ∈ B ≡ A ⊂ B

( jeżeli dla każdego x należącego do A wynika, że x należy do B, to A jest podzbiorem B ) Z równości zbiorów A = B wynika, że A ⊂ B, ale nie musi zachodzić stosunek odwrotny.

Jeżeli A nie jest podzbiorem B to zapisujemy : A ⊄ B lub równoważnie ~( A ⊂ B )

( symbol ~ jest symbolem negacji logicznej )

Mówiąc, że zbiór A jest podzbiorem zbioru B możemy powiedzieć również, że B jest nadzbiorem zbioru A.

Definicja 2.2 Jeśli A ⊂ B i A ≠ B, to mówimy, ze A jest podzbiorem właściwym zbioru B.

Symbolem tego twierdzenia jest zapis A ⊆ B

Oczywiście, jeśli A ⊂ B i B ⊂ A , to A = B tj.

( A ⊂ B ) ∧ ( B ⊂ A ) ⇒ A = B

( symbol ∧ jest symbolem iloczynu logicznego ( spójnika i ) , symbol ⇒ jest symbolem implikacji- wynikania logicznego )

Przykład 2.1 Zbiór wszystkich liczb całkowitych jest podzbiorem w zbiorze liczb wymiernych.

Przykład 2.2 Zbiór A = { 1, 2 } jest podzbiorem w zbiorze B = { 1, 2, 3, 4 }

Stosunki zawierania lub nie zawierania się dwóch zbiorów A, B poglądowo możemy przedstawić na następujących rysunkach.

Rys. 2.1 Relacja zawierania się zbioru B w zbiorze A, relacja zbiór A nie zawiera się w zbiorze B i zbiór B nie zawiera się w zbiorze A.

Stwierdzenie 2.1

Dla dowolnych zbiorów A, B, C

1) ∅ ⊂ A ( zbiór pusty zawiera się w każdym zbiorze )

2) A ⊂ A ( każdy zbiór jest swoim podzbiorem – niewłaściwym )

3) jeśli A ⊂ B i B ⊂ C, to A ⊂ C ( stosunek zawierania się jest przechodni ) 4) jeśli A ≠ B , to A ⊄ B lub B ⊄ A

Suma zbiorów (suma mnogościowa)

Definicja 2.2 Zbiór C nazywa się sumą dwóch zbiorów ( niepustych ) A i B, jeżeli jego elementami są wszystkie elementy zbioru A i wszystkie elementy zbioru B i zbiór C nie zawiera żadnych innych elementów.

Sumę ( jest to tzw. suma mnogościowa ) zbiorów A i B oznaczamy symbolicznie : C = A ∪ B

Zapis formalny tego faktu : ( x ∈ A ∪ B ) ⇔ ( x∈A ∨ x∈B )

( symbol ∨ jest symbolem sumy logicznej ( spójnika lub ), symbol ⇔ czytamy “wtedy i tylko wtedy, gdy” )

Rys. 2.2 Suma zbiorów A, B Stwierdzenie 2.2

1) A ∪ B = B ∪ A

2) A ∪ ( B ∪ C ) = ( A ∪ B ) ∪ C 3) ∅ ∪ A = A

4) A ∪ A = A

Stwierdzenie 2.3

Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D

1) A ⊂ A ∪ B ( suma zbiorów zawiera każdy ze składników ) 2) B ⊂ A ∪ B

3) jeśli A ⊂ C i B ⊂ C , to A ∪ B ⊂ C ( każdy zbiór, który zawiera dwa dane zbiory zawiera również ich sumę ) 4) jeśli A ⊂ B i C ⊂ D , to A ∪ C ⊂ B ∪ D

5) A ⊂ B ⇔ A ∪ B = B

Iloczyn zbiorów.

Definicja 2.3 Zbiór C nazywa się iloczynem ( częścią wspólną lub przecięciem ) dwóch zbiorów ( niepustych ) A i B, jeżeli jego elementami są te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do zbioru A i do zbioru B.

Iloczyn zbiorów A i B oznaczamy symbolicznie : C = A ∩ B

Zapis formalny tego faktu : ( x ∈ A ∩ B ) ⇔ ( x∈A ∧ x∈B )

Rys. 2.3 Iloczyn ( część wspólna ) zbiorów A, B

Przykład 2.3 Zbiór C = { 3, 5 } jest iloczynem zbiorów A = { 1, 2, 3, 4, 5 } , B = { 0, 3, 5, 7 }

Definicja 2.4 Zbiory, które nie mają żadnych wspólnych elementów nazywają się zbiorami rozłącznymi.

Fakt ten zapisujemy następująco : A ∩ B = ∅

Stwierdzenie 2.4

Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D 1) A ∩ B = B ∩ A

2) A ∩ ( B ∩ C ) = ( A ∩ B ) ∩ C 3) ∅ ∩ A = ∅

4) A ∩ A = A 5) A ∩ B ⊂ A 6) A ∩ B ⊂ B

7) jeżeli A ⊂ B i A ⊂ C, to A ⊂ B ∩ C 8) jeżeli A ⊂ B i C ⊂ D, to A ∩ C ⊂ B ∩ D 9) A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A

10) A ∩ ( A ∪ B ) = A 11) ( A ∩ B ) ∪ B = B

12) A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) 13) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) [ 5 od str. 16 ]

Różnica zbiorów.

Definicja 2.5 Zbiór C nazywa się różnicą dwóch zbiorów ( niepustych ) A i B, jeżeli jego elementami są te i tylko te elementy, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B.

Różnicę zbiorów A i B oznaczamy symbolicznie : C = A \ B

Zapis formalny tego faktu : ( x ∈ A \ B ) ⇔ ( x ∈ A ∧ x ∉ B )

Rys. 2.4 Różnica zbiorów A, B

Oczywiście w ogólności A \ B ≠ B \ A ( co widać już z rys. 2.4 )

Stwierdzenie 2.5

Dla dowolnych zbiorów A, B, C, D 1) A \ B ⊂ A

2) jeżeli A ⊂ B i C ⊂ D, to A \ D ⊂ B \ C 3) jeżeli C ⊂ D, to A \ D ⊂ A \ C 4) A ⊂ B ⇔ A \ B = ∅

5) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) ∩ ( A \ C ) 6) A \ ( B ∩ C ) = ( A \ B ) ∪ ( A \ C )

( tożsamości 5, 6 są to prawa de Morgana dla różnicy mnogościowej ) 7) A ∪ ( B \ A ) = A ∪ B

8) jeżeli A ⊂ B, to A ∪ ( B \ A ) = B 9) A \ ( A \ B ) = A ∩ B

10) A \ ( B ∪ C ) = ( A \ B ) \ C 11) jeżeli A ∩ B = ∅, to A \ B = A 12) jeżeli A ∩ B = ∅, to B \ A = B 13) ( A \ B ) ∩ ( B \ A ) = ∅

Definicja 2.6 Różnicą symetryczna dwóch zbiorów A, B nazywa się zbiór określony formułą : ( A \ B ) ∪ ( B \ A )

Różnicę symetryczną będziemy oznaczać symbolem \•

Rys. 2.5 Różnica symetryczna zbiorów A, B

Można się przekonać, że równoważna definicja różnicy symetrycznej ma postać : A \• B = ( A ∪B ) \ ( A ∩ B )

Jeżeli A ∩ B = ∅, to A \• B = A ∪B

Koła Eulera.

W wielu sytuacjach, kiedy musimy określić wynik konkretnej równości zawierającej zbiory wraz z pewnymi działaniami określonymi nad nimi, możemy wykorzystać metodę kół Eulera. Najprostsze przykłady takich kół pokazano na rys. 2.1 – 2.5

Na rysunku 2.6 pokazano bardziej skomplikowane przypadki kół Eulera.

Rys. 2.6 Przykłady bardzie skomplikowanych kół Eulera.

Sumy i iloczyny wielu zbiorów.

Jeżeli mamy rodzinę zbiorów A1, A2 , ... , An, to możemy utworzyć ich sumę, stosując zwarty zapis : n

C =

∪

i=1

Podobnie, dla rodziny zbiorów A1, A2 , ... , An, możemy utworzyć ich iloczyn, stosując zwarty zapis : n

C =

∩

i=1

Oczywiście zadana rodzina zbiorów może składać się z nieskończonej ilości zbiorów, wtedy : ∞ ∞

C =

∪

∩

III. Pojęcia uzupełniające.

Łańcuch zbiorów.

Definicja 3.1 Niech będzie dana rodzina zbiorów A1, A2 , ... , An. Rodzinę tą będziemy nazywali łańcuchem zbiorów, jeśli każde dwa kolejne zbiory z zadanej rodziny mają niepustą część wspólną, ale pozostałe pary są już zbiorami rozłącznymi, czyli nierówność :

Ai ∩ Aj ≠ 0

Zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy :

| i – j | ≤ 1 dla każdego i, j = 1, 2, .... , n

Rys. 3.1 Łańcuch zbiorów A1, A2, ... ,A8.

Pojęcie łańcucha zbiorów wykorzystywana jest w topologii.

Przestrzeń. Dopełnienie zbioru.

Przypuśćmy, że wszystkie rozpatrywane w danej teorii matematycznej zbiory są podzbiorami jednego i ustalonego zbioru, który oznaczymy jako X ( symbolika umowna ). Zbiór taki w danej teorii nazywa się przestrzenią.

Zatem każdy zbiór A ma tę własność, że A ⊂ X.

Przykładowo przestrzenią w analizie matematycznej jest zbiór liczb rzeczywistych, a w geometrii zbiór punktów przestrzeni Euklidesa.

Definicja 3.2 Dopełnieniem zbioru A ⊂ X nazywamy zbiór X \ A. Dopełnienie zbioru A oznaczymy jako A’.

Oczywiście dopełnienie zbioru zależne jest od wyboru konkretnej przestrzeni X.

Zatem : A’ := X \ A

( symbolem := oznaczano równość definicyjną )

Przykład 3.1 Dopełnieniem zbioru A = { 1, 2, 3 } w przestrzeni liczb naturalnych jest zbiór liczb naturalnych większych od 3.

Oczywiście przyjmuje się, że X ≠ ∅ ( tj. przestrzeń nie jest zbiorem pustym )

Stwierdzenie 3.1

1) Dla każdego A ⊂ X i każdego x ∈ X spełniony jest warunek ( x ∈ A’ ) ⇔ ( x ∉ A ) 2) X ∩ A = A

3) X ∪ A = X 4) X’ = ∅ 5) ∅’ = X

6) A’’ = A ( dopełnienie dopełnienia zbioru A jest równe A ) 7) A ⊂ B ⇔ B’ ⊂ A’

8) A ∪ A’ = X 9) A ∩ A’ = ∅ 10) ( A ∩ A’ )’ = X 11) ( A ∪ A’ )’ = ∅ 12) ( A ∪ B )’ = A’ ∩ B’

13) ( A ∩ B )’ = A’ ∪ B’

14) A \ B = A ∩ B’

15) A \ B = ( A’ ∪ B )’

16) A ⊂ B ⇔ A ∩ B’ = ∅ 17) A ⊂ B ⇔ A’ ∪ B’ = X

18) Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi dopełnień tych zbiorów tj. :

∞ ∞

(

∪

∩

i=1 i=1

19) Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie dopełnień tych zbiorów tj. : ∞ ∞

(

∩

∪

i=1 i=1 [ 3, str. 106 ]

Dzielenie zbiorów definiuje się następująco : Dla dwóch niepustych zbiorów A, B ∈ X A : B = A ∪ B’

Zbiór potęgowy.

Mając dany niepusty zbiór A możemy utworzyć nowy zbiór, którego elementami są wszystkie podzbiory zbioru A.

Tak zbudowaną rodzinę zbiorów nazywamy potęga zbioru A i oznaczamy 2A Przykładowo, jeżeli A = { 1, 3, 5 }, to wszystkimi elementami rodziny 2A są zbiory : {∅ }, { 1 }, { 3 }, { 5 }, { 1, 3 }, { 1, 5 }, { 3, 5}, { 1, 3, 5 }

Stwierdzenie 3.2 1) x∈2A ⇔ x ⊂ A

Ideały i filtry.

Definicja 3.2 Niepustą rodzinę zbiorów R danej przestrzeni X nazywamy ideałem, jeśli spełnia ona dwa warunki : 1) jeśli A ∈ R ∧ B ⊂ A, to B ∈ R

2) jeśli A ∈ R ∧ B ∈ R, to ( A ∪ B ) ∈ R

Definicja 3.3 Niepustą rodzinę zbiorów S danej przestrzeni X nazywamy filtrem, jeśli spełnia ona dwa warunki : 1) jeśli A ∈ S ∧ A ⊂ B, to B ∈ S

2) jeśli A ∈ S ∧ B ∈ S, to ( A ∩ B ) ∈ S

Łatwo dowieść, ze na to, aby rodzina zbiorów była ideałem, potrzeba i wystarcza, aby rodzina dopełnień tych zbiorów była filtrem. Ponadto można dowieść, że rodzina wszystkich podzbiorów danego zbioru jest ideałem, a rodzina wszystkich jego nadzbiorów ( zawartych w X ) jest filtrem.

Ideał nazywamy właściwym, jeśli X ∉ R. Ideał właściwy nazywamy maksymalnym, jeśli nie jest on podzbiorem ideału właściwego różnego od niego.

Filtr S nazywamy właściwym, jeśli ∅ ∉ S. Zastępując w definicji ideału właściwego termin „ideał” przez „filtr”

otrzymujemy definicje filtru maksymalnego ( nazywanego ultrafiltrem ) [ 6 str. 26 ]

Podział przestrzeni X na klasy.

Definicja 3.3 Niech J będzie dowolnym zbiorem indeksów ( wskaźników ), każdemu elementowi tego zbioru i ∈ J, przyporządkowujemy niepusty zbiór Ai. Niech zbiory Ai ∩ Aj = ∅, dla i, j ∈ J ( czyli zbiory Ai nie są puste i są rozłączne ). Niech

n X =

∪

i=1

Wtedy rodzinę zbiorów Ai nazywamy podziałem zbioru X na klasy.

W topologii taki podział nazywa się rozkładem zbioru X przez zbiory Ai.

Jeżeli Ai ∩ Aj ≠ ∅, to powyższy podział nazywa się pokryciem zbioru X przez zbiory Ai.

Rodziny zbiorów addytywne i multiplikatywne. Rodziny borelowskie.

Definicja 3.4 Rodzinę zbiorów W nazywamy addytywną, jeśli : dla każdego X ∈ W i Y ∈ W , X ∪ Y ∈ W ( X, Y – zbiory ) Definicja 3.5 Rodzinę zbiorów W nazywamy multiplikatywną, jeśli : dla każdego X ∈ W i Y ∈ W , X ∩ Y ∈ W

Definicja 3.6 Rodzinę zbiorów W nazywamy sustraktywną, jeśli : dla każdego X ∈ W i Y ∈ W , X \ Y ∈ W

Definicja 3.7 Rodzinę zbiorów nazywamy kratą, jeśli rodzina ta jest addytywna i multiplikatywna.

Definicja 3.8 Rodzinę zbiorów W nazywamy przeliczalnie addytywną, względnie przeliczalnie multiplikatywną ,jeśli warunki Xn ∈ W ( n = 1, 2, ... ) pociągają za sobą :

∞ ∞

∪

∩

n=1 n=1

Rodziną borelowską, nazywamy rodzinę zbiorów, która jest jednocześnie przeliczalnie addytywna i przeliczalnie multiplikatywna. Działania :

∞ ∞

∪

∩

n=1 n=1

określone na tej rodzinie nie wyprowadzają poza rodzinę borelowską.

Rodzinę borelowską sustraktywną nazywamy σ-algebrą.

IV. Iloczyn kartezjański zbiorów.

Para uporządkowana.

Symbole { a, b } i { b, a } oznaczają ten sam zbiór, składający się z dwóch elementów a i b. Wyróżniając w zbiorze { a, b } element a, określamy pojęcie pary uporządkowanej. Parę uporządkowaną elementów a i b oznaczamy jako :

< a, b > ( poprzednik a i następnik b )

Pary uporządkowane < a, b > i < c, d > uważamy za równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają identyczne poprzedniki i identyczne następniki.

[ < a, b > = < c, d > ] ⇔ [ ( a = c ) ∧ ( b = d )]

Oprócz par uporządkowanych w matematyce możemy rozważać trójki uporządkowane < a, b, c >, czwórki uporządkowane, ogólnie układy uporządkowane składające się z dowolnej, skończonej liczby elementów.

Trójkę uporządkowaną definiujemy za pomocą pojęcia pary uporządkowanej :

< x, y, z > = < < x, y >, z >

Ogólnie będziemy mówili o układzie n-tu elementów uporządkowanych :

< a1 , a2 , ... , an >

( formalna definicja takiego uporządkowania wychodzi od pojęcia pary uporządkowanej )

Jak widać w zbiorze { a1 , a2 , ... , an } kolejność elementów ni ma znaczenia tzn. dwa równe zbiory, których elementy są ustawione w innej kolejności są wciąż tymi samymi zbiorami. W zbiorach uporządkowanych ważna jest nie tylko równość poszczególnych elementów, ale również ich porządek umiejscowienia.

Definicja 4.1 Niech będą dane dwa niepuste zbiory A, B. Iloczynem kartezjańskim ( produktem kartezjańskim ) zbiorów A i B nazywamy zbiór wszystkich par uporządkowanych < a, b > ; a ∈ A, b ∈ B

Iloczyn kartezjański zbiorów A, B oznaczamy symbolem A × B. Mamy zatem : [ < a, b > ∈ A × B ] ⇔ [ ( a ∈ A ) ∧ ( b ∈ B ) ]

Iloczyn A × B, zbiorów skończonych : k-elmentowego A i m-elementowego B zawiera dokładnie km elementów.

Przykład 4.1 Iloczyn kartezjański zbiorów { 1, 2 } i { a, b, c } ma postać : { 1, 2 } × { a, b, c } = { < 1, a > , < 1, b > , < 1, c > , < 2, a >, < 2, b >, < 2, c > }

Oczywiście w szczególnym przypadku możemy rozważać iloczyn kartezjański zbioru A przez siebie, tj. A × A.

Możemy również rozważać wielokrotny iloczyn kartezjański A × A × ... × A ( ogólnie o takim iloczynie piszemy An )

Dla rodziny zbiorów Ai ( i = 1, ..., n ) możemy również zdefiniować ich iloczyn kartezjański : A1 × A2 × ... × An

Stwierdzenie 4.1

1) A × B = ∅ ⇔ A = ∅∨ B = ∅ 2) A⊂ C ∧ B ⊂ D ⇒ A × B ⊂ C × D 3) A × ( B ∩ c ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ) 4) A × ( B \ C ) = ( A × B ) \ ( A × C ) 5) A × ( B ∪ C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ) 6) ( A × B ) ∩ ( C × D ) = ( A ∩ C ) × ( B ∩ D )

Definicja 4.2 < a, b > = {{a }, {a, b}}

Zatem para uporządkowana jest rodziną dwuelementową. Taki „mnogościowy” sposób uporządkowania elementów pochodzi od Kazimierza Kuratowskiego.

( elementem pierwszym w parze (a, b) jest, ten który jest elementem obu zbiorów {a }, {a, b}, to jednoznacznie określa kolejność elementów )

Iloczyn kartezjański zbiorów jest wykorzystywany w matematyce bardzo często. Przykładem najbardziej rozpowszechnionego produktu kartezjańskiego jest iloczyn kartezjański zbioru liczb rzeczywistych R × R.

O iloczynie kartezjańskim możemy mówić używając języka geometrii. Elementy zbioru A1 × A2 × ... × An nazywamy punktami, a same zbiory A1, A2 , ... , An – osiami współrzędnych. Obraz staje się jeszcze bardziej poglądowy, kiedy jako zbiory A1, A2 , ... , An przyjmiemy zbiory liczb rzeczywistych, wtedy punkty A1 × A2 × ... × An możemy utożsamić np. z punktami przestrzeni

( w szczególności będzie to prosta lub płaszczyzna ) Euklidesa.

Takie ujęcie stanowi podstawę geometrii analitycznej, która swoje powstanie zawdzięcza Kartezjuszowi.

V. Relacje.

Definicja 5.1 Niech dany będzie iloczyn kartezjański Z = X × Y. Niech F(x) będzie formułą zdaniową zmiennej z przebiegającej zbiór Z. Ponieważ z = < x, y > ; x ∈ X , y ∈ Y, to F(z) możemy uważać za funkcje dwóch zmiennych x i y. Zatem możemy zapisać F(x, y). Formułę zdaniową F(x, y) nazywamy relacją, pisząc niekiedy xRy

( x pozostaje w relacji do y ). Zbiór nazywamy dziedziną , a zbiór Y przeciwdziedziną relacji R.

Formalnie zapiszemy to następująco : { < x, y > : F(x, y) } lub {< x, y > : xRy }

Zgodnie z tą definicją relacją w zbiorze X nazywamy każdy podzbiór R produktu X × X.

Najprostszymi relacjami w zbiorze liczbowym są relacje mniejszości, większości i równości dwóch liczb ( np.

rzeczywistych )

Naturalnym uogólnieniem powyższej definicji jest zdefiniowanie relacji n-członowej. Jednakże my ograniczymy się w dalszej kolejności do omówienia relacji dwu członowych ( relacji binarnych ).

Ogólnie relacje mogą mieć następujące własności. Mówimy, że relacja R ⊆ X × X jest : 1) zwrotna tzn. dla każdego x ∈ X zachodzi xRx

2) symetryczna tzn. dla każdego x, y ∈ X ( xRy ) ⇒ ( yRx )

3) antysymetryczna tzn. tzn. dla każdego x, y ∈ X ( xRy ) ∧ ( yRx ) ⇒ x = y 4) przechodnia tzn. dla każdego x, y, z ∈ X ( xRy ) ∧ ( yRz ) ⇒ ( xRz ) 5) spójna tzn. dla każdego x, y, z ∈ X ( xRy ) ∨ ( yRz )

Relacja równoważności.

Definicja 5.2 Relacje R w zbiorze X nazywamy relacją równoważności, jeżeli jest ona : 1) zwrotna

2) symetryczna 3) przechodnia

Szczególnym przypadkiem relacji równoważności ≡ jest relacja równości =, oprócz warunków 1) – 3) relacja równości spełnia jeszcze warunek :

4) dla każdego x, y, z ∈ X jeżeli x = z ∧ y = w, to x = y ⇒ z = w

Klasa abstrakcji.

Niech ≡ będzie relacją równoważności w zbiorze X. Niech y ∈ X, zbiór wszystkich takich x, że : x ∈ X ∧ x ≡ y

( czyli zbiór wszystkich elementów ze zbioru X które są w relacji równoważności z elementem y ) nazywamy klasą abstrakcji relacji równoważności ≡ w zbiorze X generowaną przez element y.

Zgodnie z tą definicją, każdy element zbioru X należy dokładnie do jednej klasy abstrakcji relacji ≡ w X.

Zatem zbiór wszystkich klas abstrakcji relacji równoważności w X jest podziałem zbioru X.

Innymi słowy każda relacja równoważności w danym zbiorze wyznacza pewien podział tego zbioru.

I odwrotnie, każdy podział zbioru na klasy określa relacje równoważności.

Ogólnie zbiór ilorazowy elementu x ze względu na relacje R oznaczamy następująco : [ x ]R = { y ∈ X : yRx }

Przestrzenią ilorazową X/R nazywamy zbiór wszystkich i tylko tych klasa abstrakcji relacji R :

X/≡ = { x ∈ X ∧ x ≡ y }

Przykład 5.1 Klasa abstrakcji relacji równoległości w zbiorze wszystkich prostych na płaszczyźnie euklidesowej wyznaczoną przez pewną prostą jest zbiór wszystkich i tylko tych, prostych do niej równoległych. Fakt ten daje podstawę do utworzenia pojęcia równoległości.

Rachunek relacji

Relacja pusta w zbiorze X, to relacja która nie zachodzi między żadnymi elementami tego zbioru.

Relacja pełna ( totalna ) w zbiorze X, to relacja, która zachodzi między wszystkimi elementami zbioru X.

Sumą relacji R i R’ w zbiorze X jest relacja R’’ taka, ze x jest w relacji z R’’ wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w relacji R z y lub gdy jest w relacji R’ z y, czyli R’’ = R ∪ R’

Iloczynem relacji R i R’ w zbiorze X jest relacja R’’ taka, że x jest w relacji R’’ z y wtedy i tylko wtedy, gdy x jest w relacji R z y i gdy jest w relacji z R’ z y, czyli R’’ = R ∩ R’.

Relacją odwrotną do R w zbiorze X jest relacja R-1 taka, ze x jest w relacji R-1 z y wtedy i tylko wtedy, gdy y jest w relacji R z x , czyli (x, y)∈ R-1 ⇔ (x, y ) ∈R

Relacja porządku.

Definicja 5.3 Relację R określoną w zbiorze X o następujących własnościach : 1) dla każdego x ∈ X xRx ( zwrotność )

2) dla każdego x, y ∈ X xRy ∧ yRx ⇒ x = y ( asymetryczność ) 3) dla każdego x, y, z ∈ X xRy ∧ yRz ⇒ xRz ( przechodniość ) nazywamy relacją porządku (częściowego porządku ).

Przykład 5.2 Rozpatrzmy relacje x ≤ y określoną na zbiorze liczb rzeczywistych.

Relacja ta jest relacją porządku, gdyż ma następujące własności : 1) jest zwrotna x ≤ x

2) jest asymetryczna x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y 3) jest przechodnia x ≤ y ∧ y ≤ z ⇒ x ≤ z

Relacja ta ma ważną cechę wynikającą z faktu, ze w zbiorze liczb rzeczywistych nie istnieją elementy nie porównywalne , a to wynika z „dodatkowej” własności relacji ≤. Własność ta nazywa się spójnością relacji ≤ : Dla każdego x, y ∈ X x ≤ y ∨ y ≤ x

Z tego względu przyjmuje się następującą definicję :

Definicja 5.4 Relację R określoną w zbiorze X o własnościach 1) – 3) definicji 5.3 oraz : 4) Dla każdego x, y ∈ X xRy ∨ yRx ( czyli relacja R jest spójna )

nazywamy relacją porządku liniowego.

Przykład 5.3 Niech R będzie niepustą rodziną przestrzeni X. Poprzez sprawdzenie własności ( definicyjnych ) można się przekonać, że relacja inkluzji ⊆ jest relacją porządku w rodzinie R.

Przykład 5.4 W zbiorze słów danego języka relacją porządku jest tzw. porządek leksykograficzny ( porządek słownikowy )

Parę (X, R ), gdzie R – jest relacją porządku określoną w zbiorze (przestrzeni ) X, nazywamy przestrzenią uporządkowaną. W ten sposób dochodzimy do pierwszej ze struktur określanych na zbiorach – jest to struktura porządkowa. Należy pamiętać, że uporządkowanie nie jest własnością samego tylko zbioru, jeden i ten sam zbiór może być uporządkowany na różne sposoby ( tj. poprzez różne relacje porządku ).

Mając daną pewną przestrzeń uporządkowaną możemy zdefiniować elementy – maksymalny i minimalny.

Definicja 5.5 Niech dana będzie przestrzeń uporządkowana X. Element xmin ∈ X, nazywamy elementem minimalnym, jeżeli nie poprzedza go żaden inny element przestrzeni X.

Element xmax ∈ X, nazywamy elementem maksymalnym, jeżeli nie poprzedza on żadnego innego elementu przestrzeni X.

VI. Najważniejsze zbiory liczbowe.

1) Zbiór liczb naturalnych N = { 1, 2, 3, ... }. Zbiór N możemy uporządkować poprzez relacje mniejszości lub większości ( po każdej liczbie naturalnej n ∈ N następuje liczba naturalna n + 1 )

2) Zbiór liczb całkowitych Z ={ ..., -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ... }

3) Zbiór liczb wymiernych W. Liczbą wymierną nazywamy każda liczbę, dającą się przedstawić w postaci ułamka zwykłego :

m /n ; n, m ∈ Z , n ≠ 0

4) Zbiór liczb niewymiernych Q. Liczby niewymierne są to liczby, których nie można zapisać za pomocą ułamka prostego ( lub skończonego rozwinięcia dziesiętnego )

Przykładem liczby niewymiernej jest liczba π, √2,

Poszczególne liczby niewymierne mogą być określone jako pierwiastki pewnych równań algebraicznych : xn + a1xn-1 + … + an-1x + an = 0

( liczby niewymierne algebraiczne )

jako granice pewnych ciągów np. liczba e, ( liczby przestępne ) lub poprzez jakiś inny warunek.

Przy tym uważamy, że liczba niewymierna jest określona poprzez dany warunek, jeśli warunek ten pozwala o każdej liczbie wymiernej rozstrzygnąć czy jest mniejsza czy większa od danej liczby niewymiernej. Warunek taki rozdziela zbiór liczb wymiernych na dwie klasy : dolną i górną, stąd powiedzenie, że liczba niewymierna jest przekrojem zbioru liczb wymiernych. Jednocześnie warunek taki pozwala wyznaczyć przybliżenie wymierne danej liczby niewymiernej z dowolnie małym błędem.

Zbiór liczb wymiernych jest „wszędzie gęsty” tzn. między dwiema dowolnymi (różnymi ) liczbami wymiernymi a, b ( a < b ) znajduje się co najmniej jedna liczba wymierna c ( a < c < b ).

5) Zbiór liczb rzeczywistych. Suma zbiorów liczb wymiernych i niewymiernych tworzą zbiór liczb rzeczywistych R.

Standardowo liczby rzeczywiste definiuje się albo aksjomatycznie, albo za pomocą szczególnych konstrukcji matematycznych, jedną z takich konstrukcji jest przekrój Dedekinda.

Przekrój Dedekinda.

Dokonujemy podziału zbioru liczb wymiernych na dwa niepuste podzbiory A, B i takie, że : 1) każda liczba wymierna należy do A lub do B

2) każda liczba wymierna należąca do A jest mniejsza od każdej liczby wymiernej należącej do B Podział taki nazywamy „przekrojem zbioru liczb wymiernych”.

Nie jest możliwe, aby w klasie A istniała liczba największa a i aby jednocześnie w klasie B istniała liczba

najmniejsza b, gdyż wtedy średnia arytmetyczna tych liczb nie mogłaby należeć do żadnej z klas A, B i warunek 1) nie byłby spełniony. Fakt ten wyraża pewną szczególną własność zbioru liczb wymiernych, mianowicie w zbiorze liczb wymiernych nie ma skoków.

Jest możliwe, ze w podzbiorze A istnieje liczba największa c, a w podzbiorze B nie ma liczby najmniejszej lub może zachodzić sytuacja odwrotna – w B istnieje liczba najmniejsza c ,a w A nie ma liczby największej. Mówimy

wówczas, ze przekrój zbioru liczb wymiernych wyznacza liczbę wymierną c.

Jeżeli w A nie ma liczby największej, a w B nie ma liczby najmniejszej, to mówimy, że przekrój ujawnia lukę w zbiorze liczb wymiernych, tym samym wyznaczając pewną liczbę niewymierną, która tę lukę zapełnia.

6) Zbiór liczb zespolonych C. Zbiór liczb zespolonych utworzyć jako produkt R × R.

Przestrzeń Rn.

Utwórzmy iloczyn kartezjański R × ... × R . Elementy tego zbioru tworzą przestrzeń Rn.

--- n ---

Punkty tej przestrzeni mają postać ( x1 , x2 , ... , xn ) , xi ∈R

Rozszerzoną osią liczbową nazywamy zbiór : R’ = R ∪ { −∞, + ∞ }

Elementy −∞, + ∞ nazywamy liczbami rzeczywistymi nieskończonymi.

Rys. 6.1 Rozszerzona oś liczbowa

VII. Funkcje.

Definicja 7.1 Niech X i Y będą dwoma dowolnymi niepustymi zbiorami i niech x∈X i y∈Y ( zbiór X nazywamy zbiorem elementów dziedziny funkcji, zbiór Y nazywamy zbiorem elementów przeciw dziedziny funkcji ) Przez funkcje f rozumiemy taką relacje R, która wyznacza pewien podzbiór U produktu X × Y, taki, że : 1) dla każdego x, y ( x, y )∈ U

2) ( x , y1 ) ∈ U ∧ ( x, y2 ) ∈ U ⇒ y1 = y2

( zatem relacja R jest funkcją wtedy i tylko wtedy, gdy każdemu elementowi x przyporządkowano co najwyżej jeden element y ).

W ten sposób określiliśmy odwzorowanie zbioru X w zbiór Y. Zamiast odwzorowanie zbioru X w Y mówimy również, że zostało określone przekształcenie ( w topologii ) zbioru X w zbiór Y lub, że została określona funkcja odwzorowująca X w Y. Odwzorowanie jednego zbioru w drugi oznaczamy symbolicznie w postaci :

f : X → Y lub y = f(x)

Zbiór U nazywamy wykresem funkcji f.

Dla określenia funkcji należy podać zbiory X, Y jednakże nie potrzebujemy wzoru – wystarczy podać wszystkie pary < x, y > spełniające daną funkcję.

Jeżeli Y jest zbiorem R , to funkcje f : X → Y nazywamy rzeczywistą, jeżeli Y jest zbiorem C , to funkcje f : X → Y nazywamy zespoloną,

Naturalnym uogólnieniem pojęcia funkcji jednej zmiennej jest zdefiniowanie funkcji wielu zmiennych.

Przykład 7.1 Ciąg jest funkcją, której dziedziną jest zbiór N lub zbiór N’ = N ∪ { 0 }. Wartości ciągu mogą być rozmaite. Najczęściej mamy do czynienia z ciągami liczb, funkcji lub zbiorów.

Przykład 7.2 Funkcja o postaci y = 3x + 5 ; x ∈ [ 0, 5 ) , y ∈ R

Przykład 7.3 Funkcja f : R → R postaci f(x) = sin(x), dziedziną tej funkcji jest zbiór R , przeciw dziedziną zbiór [ - 1, 1 ]

Przykład 7.4 Funkcja stała f = const. lub f = 5

Przykład 7.5 Bardzo interesującym przykładem funkcji jest funkcja Lejeune-Diricleta : f(x) = { 0 dla x ∈ R \ W

{ 1 dla x ∈ W

Ustalenie dziedziny funkcji jest integralną częścią składową poprawnego określenia funkcji. Dwie te same funkcje określone na różnych dziedzinach uważamy za różne. Jak ważna jest to kwestia pokazuje poniższy przykład.

Przykład 7.5 Niech będzie dana funkcja f(x) = 1/x. Funkcje tę możemy rozpatrywać dla dziedziny x ∈R \ { 0 } lub dla x ∈ ( 0, + ∞ ). Wykresy funkcji dla obu dziedzin będą różne.

Możemy również zdefiniować funkcje o postaci : f(x) = { 1/x dla x ≠ 0

{ const. dla x = 0

Rys. 7.1 Dziedzina D ⊂ X i przeciw dziedzina W ⊂ Y funkcji f(x).

Definicja 7.2 Funkcje f : X → Y nazywamy różnowartościową ( lub jednoznaczną ), jeśli dla różnych argumentów przyjmuje ona różne wartości. Czyli z warunku f(x1) = f (x2) wynika, że x1 = x2

(odwzorowanie różnowartościowe nazywamy injekcją )

Definicja 7.3 O funkcji f mówimy, że odwzorowuje zbiór X na zbiór Y ( ważne jest słówko na ) jeżeli oprócz warunków 1) – 2) definicji 7.1 spełnia jeszcze warunek :

3) dla każdego y istnieje takie x, że y = f(x)

innymi słowy każdy element zbioru Y jest wartością dla jakiegoś x.

( funkcje zbioru X na zbiór Y nazywamy surjekcją )

Funkcje różnowartościowe, odwzorowujące zbiór X na zbiór Y nazywamy funkcjami odwracalnymi.

( lub bijekcjami , odwzorowaniami bijektywnymi )

Krótko mówiąc : Odwzorowanie f zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowaniem injektywnym, jeżeli każde dwa różne elementy z X mają w odwzorowaniu f różne obrazy w Y.

Odwzorowanie f zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowaniem suriektywnym, jeżeli każdy element z Y jest w odwzorowaniu f obrazem co najmniej jednego elementu z X.

Odwzorowanie f zbioru X w zbiór Y nazywa się odwzorowaniem bijektywnym, jeżeli każdy element z Y jest w odwzorowaniu f obrazem jednego i tylko jednego elementu z X. Odwzorowanie jest bijektywne wtedy i tylko wtedy, gdy jest ono jednocześnie injektywne i surjektywne.

Definicja 7.4 Funkcje odwracalną g : Y → X nazywamy funkcją odwrotną do funkcji odwracalnej f : X → Y , jeżeli Y = f(X) ( zbiór argumentów funkcji g jest zbiorem wartości funkcji f ), oraz X = g(Y) ( zbiór argumentów funkcji f jest zbiorem wartości funkcji f ) i dla każdego x ∈ X zachodzi równość :

g( f(x)) = x Stwierdzenie 7.1

1)Jeżeli funkcja g : Y→ X jest funkcją odwrotną do funkcji f : X → Y, to dla każdego y ∈ Y spełniony jest warunek

f( g(y)) = y

2) Dla każdej funkcji odwracalnej istnieje dokładnie jedna funkcja odwrotna.

( funkcje odwrotna do funkcji f oznaczamy jako f -1 )

3) Jeżeli funkcja g jest funkcja odwrotna do funkcji f, to f jest funkcją odwrotną do g.

Definicja 7.5 Niech dane będą dwie funkcje f : X → Y i g : Y → Z. Dla każdego elementu x ∈X istnieje wówczas dokładnie jeden element z ∈ Z, taki że z = g( f(x)). Funkcje f i g wyznaczają więc nową funkcje h : X → Z określoną w następujący sposób :

h(x ) = g( f(x)) dla każdego x∈X

Funkcje h nazywamy superpozycją lub złożeniem funkcji f i g i oznaczamy symbolem g ° f.

Z definicji mamy zatem :

( g ° f )(x) = g( f(x)) dla każdego x ∈ X

Składanie funkcji bywa poglądowo przedstawiane za pomocą diagramów (przemiennych ). Przykładowo diagram

obrazuje złożenie h = f ° g Ogólnie, mówimy, ze diagram :

jest przemienny, jeśli funkcje złożone f ° g i h ° k są identyczne.

Złożenie funkcji może być również zilustrowane poprzez schemat:

Kolejność : funkcja g(x) o dziedzinie x ∈ D ⊂ X i przeciwdziedzinie u ∈ G ∩ H , ( G, H ) ⊂ U , następnie funkcja f (u) o przeciw dziedzinie y ∈ w ⊂ Y. Jak widać dziedziny i przeciw dziedziny zadanych w złożeniu funkcji mogą

Funkcja zredukowana i przedłużona.

W pewnych przypadkach zachodzi potrzeba zbadania zachowania się danej funkcji f nie na całym zbiorze będącym jej dziedziną, ale na pewnym jego podzbiorze. Ściślej mówiąc, badamy wówczas nową funkcje g, określoną na zbiorze A ⊂ X ( X – dziedzina funkcji f ), oczywiście zbiór A jest dziedziną funkcji g. Mamy wówczas : f(x) = g(x) dla x ∈ A

Taką nowa funkcje g, będziemy oznaczali jako f |g i będziemy mówili, że g jest funkcją f zredukowaną ( obciętą ) do zbioru A.

Niech f |g będzie zredukowaną funkcją f ( określoną na zbiorze A ⊂ X ). Jeśli : g(x) = f(x) dla x ∈ X

to mówimy, że funkcja f jest przedłużeniem ( rozszerzeniem ) funkcji f |g na zbiór X.

VIII. Moc zbioru. Zbiory przeliczalne.

Definicja 8.1 Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje funkcja różnowartościowa f : X → Y

przekształcająca X na Y. O funkcji f mówimy, że ustala ona równoliczność zbiorów X i Y. Jeżeli zbiory X i Y są równoliczne, to piszemy X ~ Y.

Relacja równoważności jest relacją równoważności.

Jeżeli zbiór X jest zbiorem skończonym o n elementach, to zbiór Y jest równoliczny z X wtedy i tylko wtedy, gdy Y ma również n elementów. Pojęcie równoliczności jest więc uogólnieniem na dowolne zbiory pojęcia równej liczebności zbiorów skończonych.

Przykład 8.1 Niech X będzie zbiorem wszystkich liczb naturalnych, a Y – zbiorem wszystkich liczb naturalnych parzystych. Funkcja f : X → Y określona wzorem f(n) = 2n dla każdej liczby naturalnej n jest różnowartościowa i przekształca X na Y, ustala więc równoliczność zbiorów X i Y.

Przykład ten pokazuje, że w przypadku zbiorów nieskończonych, zbiór może być równoliczny ze swoim podzbiorem właściwym.

Ponieważ relacja równoliczności jest relacją równoważności, to możemy dokonać klasyfikacji zbiorów ze względu na ich liczebność. Konsekwencją tego podziału jest uogólnienie na zbiory nieskończone pojęcia liczebności.

Każdemu zbiorowi X przyporządkowujemy pewien konstrukt, zwany liczbą kardynalną lub mocą zbioru.

Moc zbioru X oznaczamy jako X= ( lub jako card X ). Mówimy, że dwa zbiory X i Y mają taką samą moc, jeśli są one równoliczne.

Zachodzi więc następujący wzór : ( X= = Y= ) ⇔ ( X ~ Y )

Jeżeli X jest zbiorem skończonym n- elementowym, to za jego moc przyjmujemy liczbę n. Przy tym zakładamy, że :

∅= = 0 ( tj. moc zbioru pustego jest równa zero )

Oczywiście w przypadku zbiorów skończonych pojecie mocy nie wprowadza niczego nowego. Nowe wyniki otrzymujemy w przypadku zbiorów nieskończonych. Generalnie należy zwrócić uwagę, że najciekawsze wyniki o nietrywialnych konsekwencjach matematycznych i filozoficznych otrzymujemy dla zbiorów nieskończonych.

Można powiedzieć, że teoria mnogości jest połączeniem ideii zbioru z pojęciem nieskończoności.

Jedną z najważniejszych własności zbiorów nieskończonych jest to, że istnieją takie jego podzbiory właściwe, które są z nim równoliczne. Innymi słowy dla zbiorów nieskończonych może istnieć odpowiedniość wzajemnie

jednoznaczna między danym zbiorem (nieskończonym ), a jego podzbiorem właściwym. Jest to jedna z definicji zbioru nieskończonego ( jest to tzw. nieskończoność w sensie Dedekinda )

Zbiory przeliczalne.

Definicja 8.2 Zbiór X nazywamy zbiorem przeliczalnym nieskończonym, jeżeli jest on równej mocy ze zbiorem liczb naturalnych. Inaczej mówiąc, jeśli elementy zbioru X możemy ustawić w ciąg nieskończony o wszystkich wyrazach różnych między sobą.

Oczywiście każdy zbiór skończony jest przeliczalny, ale nie odwrotnie.

Zbiorem nieprzeliczalnym nazywamy zbiór który nie jest przeliczalny.

Twierdzenie 8.1 Niepusty zbiór X jest przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy jest on zbiorem wyrazów pewnego ciągu nieskończonego, czyli wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja f przekształcająca zbiór N w zbiór X.

Twierdzenie 8.2 Dowolny podzbiór zbioru przeliczalnego jest zbiorem przeliczalnym.

Twierdzenie 8.3 Suma dowolnej skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Twierdzenie 8.4 Iloczyn kartezjański dowolnej, ale skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest zbiorem przeliczalnym.

Twierdzenie 8.5 Zbiory N, Z i Q są zbiorami przeliczalnymi. ( oczywiście ich podzbiory również są zbiorami przeliczalnymi )

Twierdzenie 8.6 Zbiór wszystkich liczb algebraicznych jest przeliczalny.

Definicja 8.3 Moc zbiorów przeliczalnych nieskończonych oznaczamy symbolem

א

Przekątniowy dowód przeliczalności zbioru liczb wymiernych.

Cantor zaproponował następujące zestawienie wszystkich liczb wymiernych :

Idąc za strzałkami od jednej liczby wymiernej do drugiej, możemy je ustawić w ciąg, jednocześnie ustalając odpowiedniość wzajemnie jednoznaczną między jego elementami, a liczbami naturalnymi. I tak liczba 1/1 tworzy parę z 1, liczba 2/1 z 2, ½ z 3, 1/3 z 4 itd.

W ten sposób każda liczba wymierna zostaje ponumerowana liczbą naturalną ( mimo, że pewne liczby się powtarzają np., 1, 2/2, 3/3 ... ). Zatem liczb wymiernych jest tyle samo co liczb naturalnych !

( był to zaskakujący i nietrywialny wynik Cantora ) Zbiory nieprzeliczalne.

Najważniejszym ze zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiór R.

Twierdzenie 8.7 Zbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Twierdzenie 8.8 Zbiór liczb niewymiernych jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Twierdzenie 8.9 Zbiór liczb przestępnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Moc zbioru liczb rzeczywistych nazywamy continuum i oznaczamy jako c.

( Ogólnie każdy przedział a < x < b zbioru R jest mocy c )

Twierdzenie 8.10

א

Twierdzenie 8.11 Zbiór liczb rzeczywistych z przedziału domkniętego < 0, 1 > jest nieprzeliczalny.

Dowód Cantora że zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny.

Cantor zaczął od założenia, podobnie jak w swoim przekątniowym dowodzie policzalności liczb wymiernych, że istnieje pewien sposób ponumerowania wszystkich liczb rzeczywistych. Na mocy twierdzenia 8.11 wystarczało, że dokona tego dla liczb z przedziału < 0, 1 >. Założył więc , ze da się je ustawić w ciąg. Wtedy mógłby każdej z nich przyporządkować kolejne liczby naturalne : pierwszej 1, drugiej 2 itd.

Napisał więc ciąg liczb rzeczywistych w postaci rozwinięcia ( nieskończonego ) dziesiętnego ( ustawiając je w przypadkowej kolejności ) :

0,124215...

0,234117...

0,776398...

0,482953...

...

Teraz zastosował pewien trik, zauważył, że może utworzyć liczbę „przekątniową” w taki sposób, że pierwszą cyfrę

Następnie do każdej z tych liczb po przecinku dodał 1 ( w danym przypadku miałaby ona postać : 0,2470... ) Ta nowa liczba jest jednak różna od wszystkich ( nieskończenie wielu ) liczb z powyższego ciągu, ponieważ od każdej z nich różni się przynajmniej jedną cyfrą na określonym miejscu po przecinku ( gdyż cyfra ta została zwiększona o 1 ). Skoro więc ta nowa liczba jest różna od każdej liczby z powyższego ciągu, który miał niby zawierać wszystkie liczby z przedziału < 0, 1 >, to znaczy, ze nie można wszystkich liczb z tego przedziału ustawić w ciąg. Tym sposobem dowodzimy, że nieskończoność, którą reprezentują liczby rzeczywiste, jest „większa” od nieskończoności jaką mają liczby naturalne i wymierne.

Cantor dowiódł również, że zbiór liczb odcinak jednostkowego jest równoliczny ze zbiorem liczb zawartych w kwadracie jednostkowym, oraz kostce jednostkowej, innymi słowy wymiar figury geometrycznej nie wpływa na rodzaj nieskończoności reprezentowanej przez powyższe zbiory. [ 3d, str. 107 ]

Arytmetyka liczb kardynalnych.

Dla liczb kardynalnych możemy zdefiniować działania dodawania, mnożenia i potęgowania w taki sposób, że stanowią one uogólnienie odpowiednich zwykłych działań arytmetycznych. W szczególności dodawanie liczb kardynalnych jest przemienne i łączne. Mnożenie liczb kardynalnych jest przemienne, łączne.

Przez sumę liczb kardynalnych n + m ( moce zbiorów zazwyczaj oznaczamy literami gotyckimi ), liczb kardynalnych m i n rozumiemy moc sumy X ∪ Y, zbiorów X i Y.

Przemienność dodawania dwóch liczb kardynalnych : n + m = m + n

łączność

n + (m + k ) = ( n + m ) + k

Liczby kardynalne

א

א

א

א

dla dowolnej liczby naturalnej n ( n = 1, 2, 3, ... ) mamy :

א

א

n

א

א

א

Szczególnie ważne jest następujące twierdzenia :

Twierdzenie Cantora-Bernsteina. Dla dowolnych liczb kardynalnych n i m : [ ( n ≤ m ) ∧ ( m ≤ n )] ⇒ ( n = m )

Twierdzenie Cantora. Niech dany będzie dowolny zbiór X i niech X= = m , wtedy : 2m ≠ m

Inaczej mówiąc żaden zbiór nie jest równej mocy z rodziną wszystkich sowich podzbiorów.

Wnioskiem z tego twierdzenia jest wniosek : nie istnieje zbiór wszystkich zbiorów ( bo rodzina jego podzbiorów sama byłaby jego podzbiorem ). Inaczej mówiąc : klasa wszystkich zbiorów nie jest zbiorem. [ 6, str. 67 ].

Twierdzenie 8.12 Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru N jest mocy continuum tj. : ( 2N )= = c ⇒ 2

א

lub w ogólności : n

א

Zatem liczby kardynalne

א

א

Zagadnienie continuum.

Poszukiwania liczb kardynalnych będących mocami podzbiorów R zrodziły pytanie : Czy każdy podzbiór zbioru R jest albo przeliczalny, albo mocy continuum ?

Jest to równoważne pytaniu o nieprzeliczalny podzbiór zbioru R nierównoliczny z tym podzbiorem, zatem jest to pytanie o liczbę kardynalną m taką, że :

א

Problem continuum został postawiony przez Cantora. Odpowiedź twierdząca, czyli, że m = c to hipoteza continuum.

Innymi słowy Cantor próbował znaleźć pozaskończone liczby kardynalne większe od alef zero ale mniejsze od continuum, tak aby utworzyły one szereg :

א

א

א

A ponieważ z każdego zbioru można utworzyć zbiór potęgowy o coraz większych liczbach kardynalnych, liczb tych musi być nieskończenie wiele.

Jak można się przekonać hipoteza continuum sprowadza się do udowodnienia wzoru : 2

א

א

Rekurencyjna przeliczalność zbiorów.

Można zadać sobie pytanie, czy dla danego zbioru istnieje algorytm lub inna efektywna procedura przeliczania wszystkich elementów takiego zbioru. Aby odpowiedzieć na takie pytanie należy wprowadzić dwa istotne pojęcia.

Definicja 8.4 Zbiór X jest rekurencyjnie przeliczalny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje efektywna procedura przeliczenia wszystkich jego elementów. ( Procedurę nazywamy efektywną jeśli można ją wykonać w skończonej liczbie kroków )

Okazuje się, że dany zbiór jest rekurencyjnie przeliczalny jeśli wszystkie jego elementy można ustawić w ciąg, czyli istnieje taka funkcja f, której wartość można obliczyć, że w ciągu :

f(1) , f(2) , ...

znajdują się wszystkie elementy danego zbioru.

Definicja 8.5 Zbiór X jest rekurencyjny ( obliczalny ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka efektywna procedura, która w wypadku dowolnego przedmiotu rozstrzyga, czy dany przedmiot jest lub nie jest elementem zbioru X.

Można dowieść, ze zbiory rekurencyjne są zbiorami rekurencyjnie przeliczalnymi, ale istnieją zbiory rekurencyjnie przeliczalne, które jednak nie są rekurencyjne.

IX. Zbiory uporządkowane.

Definicja 9.1 Relacja ≤ jest relacją porządku liniowego w zbiorze R.

Podobieństwo. Typy porządkowe.

Definicja 9.1 Mówimy, że relacja ≤ porządkująca zbiór X i relacja ≤* porządkująca zbiór X* ustalają

uporządkowania podobne ( lub że X i X* są izomorficzne ), jeśli istnieje przekształcenie różnowartościowe f zbioru X na zbiór X* spełniające równoważność :

( x ≤ y ) ≡ ( f(x) ≤* f(y) )

tzn. element x poprzedza element y w zbiorze X wtedy i tylko wtedy, gdy element f(x) poprzedza f(y) w zbiorze X*.

Podobnie jak zbiorom przyporządkowuje się liczbę kardynalną, tak relacjom porządkującym, lub zbiorom uporządkowanym, przyporządkowujemy typ porządkowy. Przy tym ten sam typ porządkowy przypisujemy dwóm zbiorom uporządkowanym wtedy i tylko wtedy, gdy są one podobne. Możemy tak uczynić, ponieważ relacja podobieństwa jest relacją równoważności.

Stwierdzenie 9.1

Dwa zbiory podobne są równej mocy.

Następujące typy porządkowe są szczególnie ważne : ω – typ zbioru liczb naturalnych

ω* - typ zbioru liczb całkowitych ujemnych η – typ zbioru liczb wymiernych

λ – typ zbioru liczb rzeczywistych

Wszystkie te zbiory uważane są za uporządkowane ze względu na relacje ≤ Typ zbioru skończonego, złożonego z n elementów oznaczamy jako n.

Stwierdzenie 9.2

Każdy zbiór uporządkowany bez luk i skoków, nie mający elementu pierwszego, ani ostatniego, zawierający podzbiór gęsty i przeliczalny jest typu λ.

Definicja 9.2 Zbiór uporządkowany nazywa się dobrze uporządkowany, jeśli każdy niepusty jego podzbiór ma element pierwszy. Typy porządkowe zbiorów dobrze uporządkowanych nazywają się liczbami porządkowymi.

Zbiory R , W, Z nie są dobrze uporządkowane ( nie zawierają elementu pierwszego )

Definicja 9.3 Mówimy, że uporządkowanie zbioru A jest gęste, jeśli między każdą parą jego elementów znajduje się element pośredni, tzn. jeśli warunek a < b ( czyli a ≤ b i a ≠ b ) pociąga za sobą istnienie takiego c, że a < c i c < b.

Przykładem uporządkowania gęstego jest uporządkowanie liczb wymiernych ( ze względu na relacje ≤ ).

Kresem górnym zbioru uporządkowanego Z ⊂ A nazywamy element a spełniający warunek :

o ile taki istnieje. Definicja kresu dolnego jest analogiczna.

X. Struktury definiowane na zbiorach.

W poprzednich punktach zdefiniowaliśmy pojęcie zbioru, określiliśmy działania które wykonuje się na zbiorach oraz wprowadziliśmy pierwszą strukturę definiowaną na zbiorze – relacje porządku.

Na zbiorach możemy określać również inne struktury.

Ogólny podział struktur określanych na zbiorach jest następujący :

1) Struktura algebraiczna. Zbiór posiada strukturę algebraiczną, jeśli jest w nim zadana pewna liczba działań ( wewnętrznych lub zewnętrznych ) np. dodawanie, odejmowanie lub mnożenie elementów danego zbioru.

Najważniejszymi strukturami algebraicznymi są : półgrupa, grupa, pierścień, ciało, moduł, przestrzeń liniowa, algebra.

2) Struktura porządkowa. Zbiór posiada strukturę porządkową, jeśli jest w nim zadana pewna relacja porządkująca.

Do struktur porządkowych zaliczamy: zbiory uporządkowane, liniowo uporządkowane, induktywnie uporządkowane, dobrze uporządkowane.

3) Struktura topologiczna. Zbiór posiada strukturę topologiczną, jeśli jest w nim wyróżniona rodzina podzbiorów ℑ, mająca określone własności. Zbiór z określoną na min strukturą topologiczną nazywamy przestrzenią topologiczną.

4) Struktury mieszane. Struktura mieszana jest złożona co najmniej z dwóch struktur podstawowych np. struktura algebraiczno-topologiczna, algebraiczno –porządkowa. Przykładami struktur mieszanych jest np. grupa topologiczna ,liniowe przestrzenie topologiczne lub ciała uporządkowane. Zbiór R posiada wszystkie trzy rodzaje struktur.

Okazuje się, że struktury podstawowe można sprowadzić do układu relacji. Dlatego też zbiór ze strukturą to zbiór M, w którym zadana jest pewna rodzina relacji {Ri }, co możemy zapisać następująco ( M ; R1 , ... , Rn )

Parę uporządkowaną złożoną z M i ( R1 , ... , Rn ) nazywamy systemem relacyjnym. [ 6d, str. 41]

Teoria mnogości a fizyka.

Naszym celem jest wprowadzenie podstawowych struktur matematycznych, które mogą być wykorzystane w fizyce jako modele matematyczne odpowiednich i poszczególnych zjawisk, procesów lub nawet całych obszarów takich zjawisk świata fizycznego. ( zjawiska mechaniczne, cieplne, optyczne, elektromagnetyczne lub inne )

W związku z tym możemy zadać pytanie czy teoria mnogości może być w jakimś stopniu użyteczna dla takiego modelowania. Oczywiście pomijając fakt, że stanowi ona podstawę dla innych działów matematyki

wykorzystywanych w fizyce.

Samo pojęcie zbioru jest zaczerpnięte ze świata fizycznego – zbiór kamieni, zbiór krów, zbiór ludzi, są pojęciami które w sposób być może nieuświadomiony wypływają z codziennego doświadczenia. Abstrahując od konkretnych elementów takich zbiorów możemy otrzymać ogólne pojecie zbioru, które poprzez proces aksjomatyzacji leży u podstaw teorii mnogości. Jednakże sam zbiór ( w sensie merologicznym lub dystrybutywnym ) jest pojęciem zbyt ubogim aby mógł służyć jako użyteczne narzędzie modelowania świata fizycznego. ( oczywiście poza trywialnym modelem konglomeratu przedmiotów fizycznych ). W fizyce potrzebujemy czegoś więcej, w ogólności

potrzebujemy pewnego systemu relacyjnego. Potrzebujemy zbioru wraz z pewnymi relacjami określonymi na nim.

W punkcie IX zdefiniowaliśmy pierwsza strukturę określaną na zbiorze – strukturę porządkową.

Czy taka struktura mogłaby służyć jako model „czegoś” w fizyce.

Mamy zbiór i mamy relacje określającą kolejność następstwa jego elementów. Co można z tym zrobić ? Oczywiście jako pierwszy nasuwa się model czasu – jako zbioru chwil uporządkowanych.

Jednakże jak można się przekonać po głębszym zastanowieniu brakuje na bardzo ważnej struktury, umożliwiającej określenie pojęcia odległości ( odstępu czasowego ) między dwoma kolejnymi chwilami. Wiemy, że chwila x następuje po chwili y jednak jest to informacja zbyt uboga dla zastosowań fizycznych.

Ogólnie, musimy wprowadzić bogatszą strukturę – strukturę metryczną.

Przejdziemy zatem do zdefiniowania pojęcia przestrzeni metrycznej.

*********************************************************************************************

Literatura do rozdziału II

Literatura podstawowa.

1) „Zbiory” -- A. Lelek ; PZWS 1966

2) „Matematyka” cz. 1 -- W. Żakowski, M Kołodziej, G. Decewicz W. Leksiński, T. Trajdos ; WNT

3) „Logika i teoria mnogości” -- J. Słupecki, K. Hałkowska, K. Piróg-Rzepecka ; PWN 1978

4) „Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości” -- J. Słupecki, L. Borkowski ; PWN 1984