ZESTAW 12: K. Niech = (, ). Pokazać, że ciąg liczb: 0 mod , mod , 2 mod , ..., ( − 1) mod składa się z kopii ciągu / liczb, będącego pewną permutacją ciągu 0, , 2, ..., − . L. Udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata: ⊥ =⇒

Share "ZESTAW 12: K. Niech = (, ). Pokazać, że ciąg liczb: 0 mod , mod , 2 mod , ..., ( − 1) mod składa się z kopii ciągu / liczb, będącego pewną permutacją ciągu 0, , 2, ..., − . L. Udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata: ⊥ =⇒ "

(1)

ZESTAW 12:

K. Niech 𝑑 = 𝑁 𝑊 𝐷(𝑚, 𝑛). Pokazać, że ciąg liczb:

0 mod 𝑚, 𝑛 mod 𝑚, 2𝑛 mod 𝑚, ..., (𝑚 − 1)𝑛 mod 𝑚 składa się z 𝑑 kopii ciągu 𝑚/𝑑 liczb, będącego pewną permutacją ciągu

0, 𝑑, 2𝑑, ..., 𝑚 − 𝑑.

L. Udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata:

𝑛 ⊥ 𝑝 =⇒ 𝑛

^𝑝−1

≡ 1 (mod 𝑝).

zadania: 4.32, 4.47

Pomocny może być rozdział 4.8. Trzy kolejne zadania dotyczą systemu szyfrowania RSA.

Wiadomości na temat systemu tego systemu można znaleźć np. w Wikipedii.

M. Dla liczb pierwszych 𝑝 = 23 i 𝑞 = 29 podać przykład konstrukcji klucza publicznego (𝑒, 𝑛) oraz klucza prywatnego (𝑑, 𝑛).

N. Korzystając z klucza publicznego (7, 221) zakodować liczbę 𝑚 = 213 otrzymując w tenm sposób liczbę 𝑐. Następnie, korzystając z klucza prywatnego (55, 221) rozkodować 𝑐.

ZESTAW 12: K. Niech = (, ). Pokazać, że ciąg liczb: 0 mod , mod , 2 mod , ..., ( − 1) mod składa się z kopii ciągu / liczb, będącego pewną permutacją ciągu 0, , 2, ..., − . L. Udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata: ⊥ =⇒

ZESTAW 12:

K.

Niech 𝑑 = 𝑁 𝑊 𝐷(𝑚, 𝑛). Pokazać, że ciąg liczb:

0 mod 𝑚, 𝑛 mod 𝑚, 2𝑛 mod 𝑚, ..., (𝑚 − 1)𝑛 mod 𝑚 składa się z 𝑑 kopii ciągu 𝑚/𝑑 liczb, będącego pewną permutacją ciągu

0, 𝑑, 2𝑑, ..., 𝑚 − 𝑑.

L.

Udowodnić (małe :)) twierdzenie Fermata:

𝑛 ⊥ 𝑝 =⇒ 𝑛

≡ 1 (mod 𝑝).

zadania: 4.32, 4.47

Pomocny może być rozdział 4.8. Trzy kolejne zadania dotyczą systemu szyfrowania RSA.

Wiadomości na temat systemu tego systemu można znaleźć np. w Wikipedii.

M.

Dla liczb pierwszych 𝑝 = 23 i 𝑞 = 29 podać przykład konstrukcji klucza publicznego (𝑒, 𝑛) oraz klucza prywatnego (𝑑, 𝑛).

N.

Korzystając z klucza publicznego (7, 221) zakodować liczbę 𝑚 = 213 otrzymując w tenm sposób liczbę 𝑐. Następnie, korzystając z klucza prywatnego (55, 221) rozkodować 𝑐.

O.

Pewien nierozważny bank do szyfrowania danych swoich klientów używa klucza pub-

licznego (13, 589). Nie znając klucza prywatnego rozkoduj zakodowaną liczbę 𝑐 = 326.