__________________________________________
* Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie.
Wojciech LIPIŃSKI*
DYDAKTYCZNA PREZENTACJA PRÓBKOWANIA SYGNAŁÓW OKRESOWYCH
Przedstawiono dydaktyczną prezentację próbkowania przebiegów okresowych o ograniczonym paśmie. Obliczenia numeryczne wykonano w programie Mathcad.
1.WPROWADZENIE
Sumując składową stałą oraz K harmonicznych otrzymamy sygnał okresowy s(t) o okresie T i częstotliwości podstawowej f1 = 1/T. Pasmo jest ograniczone do fmax, moc sygnału jest skończona. Sygnał s(t) o nieskończonym czasie trwania nie zawiera składowych widma o częstotliwościach przekraczających fmax = K / T.
0 0
0 0
K 0
max
1 1 1 1 1
k k
k 1
max
1 1 1
k k
t T t T
t t
s(t) a a cos( k t) b sin( k t) , K K 2 f , f 1 T
2
2 2
a s(t) cos(k t) dt , b s(t) sin(k t) dt , f K f K T
T T
Widmo dyskretne sygnału okresowego s(t) przechodzi dla okresu T→ ∞ w widmo ciągłe. Przyjmujemy że, pasmo jest ograniczone i energia sygnału jest skończona.
max
max
max max
max max
max
s t 1 d s exp j t d , S j 0 dla
2
1 1
s t exp j t d s exp j d S j exp j t d
2 2
Próbkowanie sygnału w dziedzinie czasu jest podstawą cyfrowego przetwarzania sygnałów i teleinformatyki cyfrowej. Sygnał analogowy s(t) przekształcany jest na ciąg próbek przy danym kroku czasu Δt. W przypadku próbkowania równomiernego w czasie częstotliwość próbkowania fS jest stała i równa 1/Δt.
s n
t
sn
, s3, s2, s1, s , s , s , s ,0 1 2 3
, fS1t (1)Częstotliwość próbkowania fS dwukrotnie większa od częstotliwości fmax nosi nazwę częstotliwości Nyquista fN 2 fmax. W okresie K-tej harmonicznej równym T/K pobieramy dwie próbki sygnału s(t).
2.OBLICZENIANUMERYCZNE
Sygnał s(t) może zostać odtworzony w dziedzinie czasu na podstawie próbek lub przedstawiony jako suma harmonicznych.
Sygnał s(t) może zostać dokładnie odtworzony na podstawie ciągu próbek jeśli częstotliwość próbkowania fSfN 2 fmax. Częstotliwość próbkowania fS jest co najmniej równa podwójnej maksymalnej częstotliwości widma.
Kolejne próbki s(n t) są mnożone przez funkcję σn(t)
max max
max
S max
S S
max
max S
n
n
sin (t n t) sin 2 f (t n t)
2 f 1 1
t , f
f (t n t) f (t n t) t
2 f t
sin n
f t
sin 2 f (t n t)
t t t
n n
t t
,
sumowane i otrzymujemy pierwotny sygnał
n
s t s(n t) n t
(2)Próbkując z częstotliwością Nyquista fSfN 2 fmax1t otrzymamy
n n max
n
sin t n
t 1
s t s(n t) t s(n t) , t
t 2 f t n
(3)Rys. 1. Odtwarzanie sygnału z próbek s(n·Δt)
Ograniczając sumowanie do n = ±1250 przyjmujemy, że sygnał s(t) o nieskończonym czasie trwania jest równy zero dla |t| > 1250·Δt, energia sygnału jest skończona. Dla przyjętych wartości, pomimo zerowania dla |t| > 1250·Δt, warunek ograniczenia widma jest praktycznie spełniony.
Przy przybliżeniu sygnału okresowego s(t) sumą harmonicznych
K 0
K k 1 k 1 1 1 1
k 1
T 2
0 K
s (t) a a cos( k t) b sin( k t) , 2 f , f 1 T
2
1 s(t) s (t) dt 0 dla K T
średni błąd kwadratowy jest najmniejszy jeśli współczynniki ak, bk są określone wzorami podanymi w wprowadzeniu, błąd dąży do zera dla K→ ∞.
Rozważmy sygnał okresowy s(t) o skończonej szerokości pasma do fmax , suma harmonicznych jest ograniczona do K-tej harmonicznej.
K 0
max
1 1 1
k k
k 1
T T
max
1 1 1
k k
0 0
s(t) a a cos( k t) b sin( k t) , f K f K T
2
2 2
a s(t) cos(k t) dt , b s(t) sin(k t) dt , K
T T
(4)
Sygnał s(t) jest jednoznacznie określony za pomocą wartości (próbek) w 2N dyskretnych chwilach czasu tn należących do jednego okresu T. Okres T dzielimy na 2N kroków czasu Δt. Przyjmujemy N = K.
n 0 1 2 2 N
n 0 1 2 2 N 1 2N n S
t n t t 0 , t , t , , t T , n 0,1, 2, 3, , 2N , t T 2 N
T N
s n t s s , s , s , , s , s , t n t n , f 1 t 2
2 N T
Wartość sygnału s(t) w dowolnej chwili czasu jest określona przez wartości (próbki) w dyskretnych 2N chwilach czasu. Obliczymy wartości próbek sn , sygnał jest okresowy s0 = s2N.
K 0
n k 1 n k 1 n
k 1 K N 0
n k k 0 2 N
k 1 0
n k k
k
s(t ) a a cos( k t ) b sin( k t ) , n 0 ,1, 2 , , 2N 1, 2N 2
a 2 2 T
s a cos k n t b sin k n t , t , s s
2 T T 2 N
s a a cos k n b sin k n
2 N N
K N
n 1
, s próbki , n 1, 2 , , 2N
(5)
Dla K = N niewiadomymi są współczynniki a0, a1, b1, a2, b2, a3, b3, ... , aN-1, bN-1, aN. Liczba niewiadomych współczynników szeregu Fouriera jest 2N, liczba równań jest 2N.
Sumujemy równości stronami, obliczamy a0
2 N 2 N K N
0
n k k 0 2 N
n 1 n 1 k 1
2 N K N 2 N 2N
0
n k k
n 1 k 1 n 1 n 1
s a a cos k n b sin k n , s s s t T
2 N N
s 2 N a a cos k n b sin k n
2 N N
Zastosujemy tożsamość trygonometryczną i obliczymy, że suma cosinusów jest równa zero.
2 N 2N
n 1 n 1
2 N
n 1
cos k n cos n , k
N N
sin 2N 0.5 1 sin k 2 0.5 1
cos n 0
2 sin 0.5 2 2 sin 0.5 2
Suma sinusów jest także równa zero, składowa stała sygnału s(t) jest równa:
2N 0
n n 1
a 1
2 2 N s
(6)Rozwiązując układ 2N równań o niewiadomych współczynnikach ak, bk
otrzymamy:
K 0
n k 1 n k 1 n
k 1 K N 0
n k k n
k 1
2N 2N
n n
k k
n 1 n 1
s(t ) a a cos( k t ) b sin( k t ) , n 1, 2 , , 2N 2
s a a cos k n b sin k n , s próbki
2 N N
1 1
a s cos k n , b s sin k n
N N N N
(7)
Przykładowo dana jest funkcja s(t) okresowa o okresie T jako suma składowej stałej oraz K=10 harmonicznych. Funkcja s(t) jest jednoznacznie określona współczynnikami ak, bk.
Sygnał analogowy s(t) określony jest w dowolnej chwili czasu. Widmo sygnału s(t) jest ograniczone do częstotliwości K-tej harmonicznej.
Rys. 2. Sygnał analogowy s(t), suma K=10 harmonicznych i składowej stałej, dane są współczynniki ak, bk
Obliczamy próbki funkcji s(t) w dyskretnych chwilach tn = n·Δt, w okresie T jest 2N próbek.
Przyjmijmy, że danych jest 2N próbek funkcji s(t). Obliczamy współczynniki szeregu Fouriera na podstawie danych próbek.
Rys. 3. Przykład obliczenia współczynników szeregu Fouriera przy danych próbkach
LITERATURA
[1] Bolkowski S. Teoria obwodów elektrycznych. Stron: 584. WNT, 2007.
[2] Haykin S. Systemy telekomunikacyjne, Wydawnictwo KiŁ, Warszawa 1998.
[3] Tietze U. , Schenk H.: Układy półprzewodnikowe, WNT, W-a 1997.
[4] Lipiński W.: Obliczenia numeryczne w teorii sygnałów i obwodów elektrycznych.
ZAPOL 2008, str. 1-316.
[5] Mikołajuk K., Trzaska Z. Elektrotechnika Teoretyczna, PWN Warszawa 1984.
EDUCATIONAL PRESENTATION OF SAMPLING OF PERIODIC SIGNALS Shows the didactic presentation of the periodic waveform sampling with limited bandwidth. Numerical calculations were performed in Mathcad.
