Ausgleichungsrechnung nach der Methode der kleinsten Quadrate : mit 15 Figuren und 2 Tafeln

(1)

Sammlung Göschen

Ausgleichungsrechnung

nach der Methode der kleinsten Quadrate

Von

Prof. Wilhelm Weitbrecht

Mit 15 Figuren und 2 Tafeln

¡H H

(2)

t)er3eid)nis 6 er erfcfyienenert Bänöe.

G. X 6örcbenTcbe Verlagsbandlung, Hetpzig.

A d ie r b a u - u . P f l a n m t b a u l e l i r r oon Dr. p a u l Rippert in Berlin u. (Ernft Cangcnbecf in Bod)um. Itr. 232.

A h u ftiü . itijeorct. pijrjjif I.lE ciltm e»

dfanif u. fltuftif. Don Dr. ®uft 3äger, profeifor an ber Unioerfität lDien.

m it 19 flbbilbungen. tir. 76.

— i t l u i i k a ü fdu', r . 1 )i. Rar! £. Schäfer, Dojent an ber Uninerfität Berlin, m it 35 flbbilb. R r. 21.

A lg e b r a . flritfemetit u. Algebra p. Dr.

fj. Sdjubert, prof. a. b. ffieleffrtenfdiule b. 3ol)anneums in ffamburg. ttr . 47.

A lp c it, -Die, non D r. Rob. Sieger, pro»

feffor'an ber Unioerfität unb an ber (Ejportafabemie bes f. f. tfanbelsmu»

feums in XDien. m it 19 flbbilb. u.

1 Karte. R r. 129.

A l t e r t ü m e r , D ie b c u tlc tic n , P. Dr.

5 ra n 3 5ui]fe, D irettor b.ftäbt. mufe»

ums in Braunfd)roeig. m it 70 flbb.

H r. 124.

A lte r t u m a l m u b e , (O ricriiirdic, non P rof. Dr. Rid). IHaifd), neubearbeitet non Reftor Dr. J r a n3 pofetfiammer.

m it 9 DoIIbiibern. R r. 16.

— K ö m iftiie, oon Dr. £eo Blöd) in TOien. m it 8 Pollb. R r. 45.

A m U u O . ® erijn.-® ltem ., non D r. ffi.

£unge, prof. a. b. (Eibgen. poltitedfn.

Sd)ule i.3üriefl. m it 16 flbb. Rr.195.

A itn lu lie , p o l i e r e , 1: Differential, redpumg. Don D r. 5 rb r. Sunfer, Prof. am Karlsggm nafium in Stutt»

gart. Rtit 68 5ig- R r. 87.

--- Repetitorium unb Aufgaben»

fammlung 3. Differentialrechnung n.

Dr. Sriebr. 3un!er, Prof. am Karls»

ggmnafium in S tuttgart, m it 46 £ig.

R r. 146.

I I : 3ntegralred)nung. Don Dr.

5riebr. 3unler, p ro f. am Karlsgpm»

nafium in S tu ttg art, m it 89 5ig.

R r. 88.

--- Repetitorium unb Aufgaben»

fammlung 3u r 3ntegratredinung non D r. 5 tie b r. 3unier, Prof. am Karls»

ggmnafium in Stuttgart. m it 50 Sig.

R r. 147.

A n a lg li« . I t i e b e r e , non prof. Dr.

Benebitt Sporer in <£f)ingen. m it 5 5 ig. Rr. 53.

A r b e i t e r f r a g e , D ie gcn>erbliri(e, non IDerner Sombart, profeffor an ber Unioerfität B reslau. R r. 209.

A r b e i t e r n c r M i e r u i i g , P i e , oon Dr.

fllfreb Rtanes in Berlin. Rr. 267.

A r itl im e t ilt u n b A l g e b r a non Dr.

erm. Schubert, profeffor an ber elei)rtenfdiule bes 3 oi)anneums in ffam burg. R r. 47.

Beifpielfammlung 3u r flritf)metit u. Algebra 0 . Dr. Ifermann Schubert, Prof. an ber ®elehrtenfd)ule bes 3<>s

¡¡anneums in ffamburg. R r. 48.

A l l r o a o n tic . ffiröfee, Betnegung unb (Entfernung ber ifim m elstörper non fl. J . m öbius, neu bearb. n. Dr. ID. $.

IDislicenus, p ro f. a. b. Unioerf. Straff»

bürg. R lit3 6 flb b .u .IS te rn t. Hr. 11.

A ftr o p liu ltit. Die Befd|affenf)eit ber Ifimmelstörper non D r. IDaiter 5 . IDislicenus, p ro f. an ber Unioerfität Strafeburg, m it 1 1 flbbilb. R r. 91.

A u f g a b c tif a m m lg . ¡. A n a lijt. ® en- m e t r i e b . ffibettc 0. ®. fff). Biirtlen, Prof. am Realggmnafium in Sd)tD.»

(Bmiinb. m it 32 5iguren. R r. 236.

— p!)i)lthalir< l)c, o. ®. mafelcr, prof.

ber IRatifem. u. Pfepfit am ffiptnnaf.

in Ulm. IRit b. Refuitaten. R r. 243.

A u f fn b c n tu in v fi: non (Dberftubienrat D r. £. ID. Straub, Rettor bes (Eber»

harb»£ubroigs»®pmnafiums in Stutt»

gart. R r. 17.

p a u k u u |t , p i e , b e « A b tu M a n b c o non D r. K. Sdjäfer, flffiftent am ffieroerbemufeum in Bremen, m it 22 flbbilb. R r. 74.

P c t r i c b e h r a f t , P i e tro rd n u ä ljig fte , oon 5riebrid| B arth, fflberingenieur in R ürnberg. 1. tte il: Die mit Dampf betriebenen Rlotoren nebft 22 Tabellen über ihre flnfefeaffungs»

unb Betriebsleitern m it 14 flbbil»

bungen. R r. 224.

(3)

Sam m lung Göschen ä S S S s o p f .

6 . J . G öfcben'fcbe V e rla g s b a n d lu n g , H e tp ztg .

p e t r i c b ö k v a f t , P i e ?u>edtm üßigfte, oon $rtebrid) Bartl), ffiberingenieur in Uürnberg. 2. © eil: Berfdjiebene Htotoren nebft 22 ©abellen über il)re Hnfdjaffungs* unb Betriebsioften.

ITXit 29 Hbbilbungen. Hr. 225.

p e m e g u ttg e j p ic l * oon D r. ©. Kol)!*

raufd), profeffor am Kgl. Halfer*

U)ill)elms=©i)mnafium 3U Ifannooer.

m i t 14 Hbbilb. H r. 96.

B io lo g ie b e r P f t a n t c » oon D r. H).

m igula, prof. an ber 5 orftafabemie (Eifenad). m it 50 Hbbilb. H r. 127.

p t o l a g t e b e r ® te re I : ©ntftefjung u.

tDeiterbilb. b. ©iertoelt, Be3ief)ungen 3ur organifd)en U atur o. D r. ifeinr.

Simrott), profeffor a. b. Unioerfität

£eip3ig. m it 33 Hbbilb. Ur. 131.

---11: Be3iel)ungen ber ©iere 3u r organ. U atu r v. D r. ifeinr. Simrott).

Prof. an ber Unioerfität £eip3ig.

m it 35 Hbbilb. U r. 132.

p i e id te r e i. ©e£til*3nbuftrie III:

U)äfd)erei, Bleicherei, Färberei unb il)re ifilfsftoffe oon tDilbelm Htaffot,

£ei)rer an ber preufj. l)öt). 5 acf)fcf)ule f. ©eytilinbuftrie in Krefelb. m it 28 5ig- Ur. 186.

p M djftÜ jvim g. £el)rgangbereinfa(i)en u. bopp. Bud)t)altungoon Hob. Stern,

©berlef)rer ber ©ff. fjanbelsleljranft.

u.D o3.b. lfanbelsi)od)fd)ule3. £eip3ig.

m it oielen 5orm ularen. Ur. 115.

p u b b ljit oon profeffor D r. (Ebmunb ifarbt). Ur. 174.

p u r g e s tk ttttb e , A b r iß b e r , oon Ejof*

r a t Dr. ffitto p ip er in m ündjen. Hüt 30 Hbbilb. Ur. 119.

a. b. ©edjn. ifod)fd)ule in Darmftabt.

m it 22 Figuren. Ur. 71.

— A im lg tifrijc . oon Dr. 3ol)annes ifoppe. I : ©tjeorie unb ©äug ber flnalpfe. U r. 247.

---1 1 : Heaition ber metaltoibe unb m etalle. U r. 248.

— A ttc rg a n trr k e , oon Dr. 3of. Klein in m annt) eim. Ur. 37.

---fielje aud): m etalle. — metaltoibe.

C ljc n tie , (ßcfd)id)U b e r , oon Dr.

ifugo Bauer, Hffiftent am d)em.

£aboratorium ber Kgl. ©ed)nifd)en Ifod)fd)ule Stuttgart. I: Bon ben älteften 3eiten bis 3u r Berbrennungs*

tf)eorie oon £aooifier. Ur.264.

— b e r ^ o k le u jto lf t te r b in b u n g e » oon Dr. Ifugo Bauer, Hffiftent am d)em. £aboratorium ber Kgl. ©ed)n.

• lfod)[d)ule Stuttgart. I. I I : Hli*

pt)atifd)e Berbinbungen. 2 ©eile.

Ur. 19t. 192.

--- I I I : Karboct)!lifd)eBcrbinbungen.

Ur. 193.

---IV : f)eterocoflifd)e Berbinbungen.

Ur. 194.

— © rg a itifd je , oon Dr. 3of. Klein in mannl)eim. Ur. 38.

— ilk tjr tn lo g ird ie , oon Dr. med. H.

£egal)n in Berlin. I : Hffimilation.

m it 2 ©afeln. Ur. 240.

---1 1 : Diffimilation. m it 2 ©afeln.

Ur. 211.

genöff. polptedjn. Sdjule in 3ürid).

m it 16 Hbbilb. Ur. 195.

g ta n tp fk e ffel, P i e . Kur3gefaf|tes £ef)r»

bud) mit Beifpieten fü r bas Selbft*

ftubium u. b. pra!tifd)en ©ebraud} oon 5riebrid) Bartl), ©beringenieur in Uürnberg. m it 67 5iguren. Ur. 9.

P a m p f m a r d ) iite , P i e . Kur3gefafetes

£el)rbud) m.Beifpielen für bas Selbft*

ftubium unb ben praft. ©ebraud) oon 5 riebrid) Bartl), ©beringenieur in Uürnberg. m it 48 Figuren. Ur. 8.

B a m p f t u r b i n e n , p i e , iljre U)ir*

iungstoeife unb Konftrultion oon 3n*

genieur iferm ann U)ilba in Bremen, m it 89 Hbbilbungen. Ur. 274.

p id ) t u ttg e t t a . im tteU )ari)b cu tfd > cr i r ü k f e i t . 3 n Hustoal)l m. ©inltg. u.

tDörterb. l)erausgegeb. o. Dr. Iferm.

3ant$en, Direftor ber Königin £uife*

Sdjule in Königsberg i. p r . Ur. 137.

Ä H eteidjepc». Kubrun u. Bietrid)epen.

m it ©inleitung unb tDörterbud) oon Dr. ffi. £. 3 iric3ef, profeffor an ber U nioerfität Htünfter. Hr. 10.

(4)

G. X Göfcben'fcbe Verlagsbandlung, Heipzig.

p if F c r e t ttia lr e d jm m a oon D r. £rbr.

3unfer, prof. a. K arlsgpm nafium in S tuttgart. Ulit 68 5ig* Kr. 87.

— Repetitorium u. flufgabenfammlung 3. Differentialrechnung oon D r.$ rb r.

3unter, profeffor am Karlsgpm*

nafium tn Stuttgart. m it 46 5ig.

R r. 146.

[efcung unb © rläuterungen oon Dr.

U)ili)elm Ranifd), ©pmnafial*ffiber*

leerer tn ffisnabrüd. U r. 171.

eifen. m itl7 $ ig .u .4 © a fe ln . Ur. 15*2.

— I I . © eil: B as Sd)miebeifen. m it 25 5iguren unb 5 ©afeln. U r. 153.

©Iettri3itä t u.TUagnetismus. Don Dr.

ffiuft. 3äger, profeffor a. b. Unioerf.

U)ien. U lit 33 flbbilbgn. Ur. 78.

©t)eoretifd)e ©ieftrod>emie unb it)re pt)pfifalifd)*d)emifd)en ©runblagen.

m it 18 Figuren. Ur. 252.

f ö ic h tr o te d p tik . ©inführung in bie mobeme ©leid)» unb IDedifelftrom*

ted)nif oon 3 * fferrmann, profeffor ber ©leftrotedjnif an ber Kgl. ©ed)n.

lfod)fd)ule S tu ttg art. I : Bie pt)Pfi*

lalifdjen ©runblagen. m it 47 £ig.

Ur. iyc.

— I I : Bie ©leid)ftromted)nif. m it 74 Figuren. U r. 197.

— I I I : Bie n)ed)felftromted)nit m it 109 Siguren. Ur. 198.

© p ig a tte tt, p i e , b e * Ijofirdi e n tirp a a . flusroal)l au s beutfd)en Dichtungen bes 13. 3al)rl)unberts oon Dr. B ittor 3 u n ff flttu ariu s ber Kaiferlid)en fltabemie berU)iffenfd)aften tntD ien.

Ur. 289.

bam. m it 14 flbbilb. unb 3 ©afeln.

Ur. 175.

< ß * k m T ta n ö fla ra v o n D c u tfriila itb 3um Beftimmen ber häufigeren in Beutfd)lanb toilbtDad)fcnbcnpflan3en oon Dr. U). IRiguIa, profeffor an ber 5 orftatabemie ©ifenad). 1 . ©eil.

m it 50 flbbilbungen. U r. 268.

2. ©eil. m it 50 flbbilbungen.

U r. 269.

F ä r b e r e i . ©ertit*3nbuftrie III:

U)äfd)erei, Bleüperei, F ä r b e r e i u . ihre ffilfsftoffeo. Dr.tDilf). Htaffot, Cehrcr a. b. preufe. höh* £ad)f djule f . ©eftilin*

buftriei.Krefelb. IR.285ig* Ur. 186.

£eritrp**cri? nie fe tt, p a a , oon Dr.

Cubtoig Rellftab in Berlin, m it 47 Figuren unb 1 ©afel. n r . 155.

¿‘« f'ttg k c ito U liv c dok Ifauber, Biplom*3ngenieur. m it 3al)lreid)en

$iguren. Ur. 288.

|? U ? f a b r ik a t ia u . ©ejtil*3nbuftrie II : IDeberei, IDirferei, pofamentiererei, Spieen* unb © arbinenfabrifation unb $Ü3fabrifation pon Prof. UTay

3entralftelle fü r ©eytil*3nbuftrie 3U Berlin, m it 27 5ig . U r. 185.

g iim n ittiilT c itrd ia ft 0 . präfibent Dr.

H. oan ber B orget in Berlin. Ur. 148.

£ if d |c r * i u ttb ¿ -ird jn td jt o. D r. K arl

©dftein, Prof. an ber 5orftatabemie

©berstoalbe, flbteilungsbirigent bei ber ifauptftation bes forftlicpen Der*

fudistoefens. Ur. 159.

g a v m c ir a m tttlu ttg , p l a t l j e m a t ., u.

Repetitorium b. Htathematif, enth. bie roid)tigften Formeln unb £el)rfähe b.

flrithm etit, Algebra, algebraifd|en flnalpfis, ebenen ©eometrie, Stereo*

metrie, ebenen u. fpt)ärifd)en ©rigo*

nometrie, math- ffieographie, analpt,

©eometrie b. ©bene u. b. Raumes, b.

Different.« u.3ntegralred)n. o. ffi. ©tj.

Bürflen, P rof. am Kgl. Realgpmn. in Sd)to.*©münb. m it 18 5ig. U r. 51.

— p p p f tk u lifd ic , oon ©. m ah ler, prof.

am ©pmnafium in Ulm. Ur. 136.

$artf«1?ung auf ber 4. Parfafereite,

(5)

Sam m lung G öschen

Ausgleichungsrechnung nach der

Methode der kleinsten Quadrate

Wilh. Weitbrecht

P ro fe s s o r d e r G eo d äsie in S t u t t g a r t ’ y'-«v

Mit 15 Figuren und 2 Tafeln ''V

L e i p z i g

G. J. G ö s c h e n ’s c h e V e r la g s h a n d lu n g

19 0 6

(6)

v o n d e r V e r l a g s h a n d l u n g V o r b e h a l t e n .

S p a m e rs c h e B u c h d r u c k e r e i in L e ip z ig -R .

(7)

' - /

Inhaltsverzeichnis.

S e ite

E in le itu n g ... 6

$ 1. E in teilu n g d e r B e o b a c h tu n g s fe h le r... 7

§ 2. W a h rsc h e in lic h ste r W ert ein e r Größe ans e in e r R eih e g leich g e n a u e r, m it zu fälligen F e h le rn b e h a f te te r B e

o b a c h tu n g sre su lta te ...10

§ 3. G rundbedingung fü r d ie A usgleichung n a ch d e r M ethode d e r k le in s te n Q u a d ra te. E in te ilu n g d e r A usgleichungs

au fg a b en . . . . . 15

I. Abschnitt.

Ausgleichung direkter Beobachtungen.

1. Kapitel.

D ire k te B eo b a c h tu n g e n von g le ic h e r G e n a u ig k e it.

§ 4- U n tersu ch u n g d e r e in e r E in zelb eo b ach tu n g innew ohnenden G e n a u i g k e i t ... 23

§ 5. P ra k tisc h e A usrechnung des M itte lw ertes L u n d d e r Summ e d e r F e h le rq u a d ra te [»»] aus d en B eo b ach tu n g sw erten l . 28

§ 6. M ittle re r F e h le r Ai des M itte lw ertes L aus » g leich g e n au e n B eo b ach tu n g en l ... . 30

§ 7. G rö ß ter B etra g des unv erm eid lich en B eo b ach tu n g sfeh lers 37

2. Kapitel.

D ire k te B e o b ac h tu n g en von v e rsc h ie d e n er G e n a u ig k e it.

§ 8. W a h rsc h e in lic h ste r W e rt e in e r B eo b achtungsgröße aus e in e r R eih e v ersch ied en g e n au e r B eo bachtungen. Ge

w ich t d e r B eo bachtung. G e w ich tse in h e it . . . . 40

§ 9. E ig en sc h aften des allg em ein en a rith m e tisc h e n M ittels . 46

1*

(8)

S e ite

§ 10. P ra k tisc h e A usrech n u n g des M itte lw e rte s L un d des T räg  h e itsm o m en tes [p v v ] ... 48

§ 1 1 . E rre ic h te B eo b ach tu n g sg en au ig k eit. G ew ich t u n d G enauig

k e it des E n d w e r t e s ...49 B e i s p i e l ... * 56

II. Abschnitt.

Vermittelnde Beobachtungen.

1. Kapitel.

F o r tp f la n z u n g von B e o b a c h tu n g s fe h le rn a u f F u n k tio n e n der B e o b a c h tu n g sg rö ß en .

§ 12. M ittle re r F e h le r M un d G ew ich t P e in e r F u n k tio n F d e r b e o b a c h te te n G rö ß e n L x . . . L n , w elche m it den m ittle r e n F e h le rn rtii . . . mn b e h a f te t sin d . . . . . . 59 B e i s p i e l e ...61

2. Kapitel.

A u sg le ic h u n g v e r m itte ln d e r g leich g e n au er B e o b a c h tu n g e n .

§ 13. G raphische A usgleichung zusam m engehöriger, b e o b a c h te te r A rgum ent- u n d F u n k tio n sw e rte bei b e k a n n te r o d er u n b e k a n n te r B eziehung. B eo b a c h tu n g sfe h ler . . . 66 B e i s p i e l ... 68

§ 14. R ech n erisch e A usgleichung in ü b ersch ü ssig er Zahl vor

h a n d e n e r B eo b ach tu n g sw erte L bei b e k a n n te r B eziehung zw ischen ih n en u n d den von ih n en ab h än g ig en , gesuchten Größen X , Y . .. b is zu r A u fstellu n g d e r N o rm algleichungen 74

§ 15. A llgem eine A uflösung d e r N orm algleichungen . . . 77 a) fü r eine U n b e k a n n t e ...77

b) fü r zwei U n b ek an n te . . . . . . . . 79

c) fü r drei u n d m e h r U n b e k a n n t e ... 82

§ 16. B estim m u n g d e r m ittle re n F e h le r m d e r B eo b ach tu n g s

w erte L au s den ih n en zuzuschlagenden V erbesserungen v 86

§ 17. A b le itu n g d es W e rte s d e r F e h le rq u a d ra tsu m m e [®t>] als N e b e n p ro d u k t d e r R ed u k tio n d e r N orm alg leich u n g en . 91

§ 18. M ittle re r F e h le r M und G ew icht P d e r b e re c h n e te n U n

b e k a n n te n aus den V erbesserungen v d e r B eo b ach tu n g s

w e rte ... 93

§ 19. P ra k tisc h e A usrechnung d e r K oeffizienten fü r d ie N o rm al

g leichungen. B ed ü rfn is v e rä n d e r te r G röße d e r U n

b e k an n ten od er d e r M aß ein h eit. V e re in fa ch te S c h re ib w eise. R e c h n u n g s p r o b e n ...97

(9)

3. Kapitel.

A u sg le ic h u n g v e rm itte ln d e r B e o b ac h tu n g en von v e rsc h ie d e n e r G e n a u ig k e it. Seite

§ 20. E rw eiteru n g d e r fü r gleich w ertig e B eo bachtungen au f

g e ste llte n A usgleichungsgrundsiitze a u f u n g leich w ertig e B e o b a c h tu n g e n ...1 1 1

4. Kapitel.

A n w en d u n g der A u sg le ic h u n g

v e rm itte ln d e r B eo b a c h tu n g e n a u f trig o n o m e trisc h e P u n k te in s c h a ltu n g .

§ 21. G raphisches A u sgleichungsverfahren fü r V orw ärts- und v ere in ig te s Vor- und R ü ck w ärtsein sch n eid en . . . 119

§ 22. R ech n erisch es A usgleichungsverfahren fü r trig o n o m etrisch e P u n k te in sc h a ltu n g du rch V o rw ä rtsein sc h n itt . . . 128

§ 23. R ech n erisch es A usgleichungsverfahren fü r trig o n o m etrisch e P u n k te in sc h a ltu n g du rch R ü c k w ä rtse in sc h n itt . . . 135

§ 24. R ech n erisch es A u sgleichungsverfahren fü r v e re in ig te s Vor- u n d R ü ck w ärtsein sch n eid en ... 144

III. Abschnitt.

Bedingte Beobachtungen.

§ 25. A ufstellu n g d e r B ed in g u n g sg le ic h u n g en ... 155

§ 26. Z u rückführung d e r A usgleichung b e d in g te r , d ire k te r a u f v e rm itte ln d e B e o b a c h tu n g e n ... 163

§ 27. A usgleichung b e d in g te r, d ire k te r, g leich g e n au e r B eobach

tu n g e n m itte ls K o r r e l a t e n ...166

§ 28. A usgleichung b e d in g te r, ungleich g e n au e r B eobachtungen m itte ls K o r r e l a t e n ...174

Inhaltsverzeichnis. 5

(10)

Einleitung.

Bei der Feststellung von Tatsachen und Größen mit

tels sinnlicher Wahrnehmung sind w ir Irrtüm ern und Fehlern unterworfen, welche teils der menschlichen Un

vollkommenheit, teils der Mangelhaftigkeit der angewandten Hilfsmittel und Methoden entspringen. Dies zeigt sich, sobald irgend ein von mehreren Menschen beobachteter Vorgang genau festgestellt werden will, oder wenn auch nur ein einziger Beobachter die Ausdehnung oder die physi

kalischen Eigenschaften eines und desselben Gegenstandes mehrmals unabhängig bestimmt. Es zeigt sich auch, wenn man mehrere Größen, welche vermöge eines Naturgesetzes in bestimmter Beziehung zueinander stehen, einzeln und unabhängig mißt (z. B. die beiden Katheten und die Hy

potenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, die drei Winkel eines Dreiecks usw.).

Will man daher W idersprüche in der Feststellung von Größen oder Tatsachen v e r m e id e n , so muß man ent

weder die Augen vor etwa vorhandenen überschüssigen und daher unter allen Umständen widersprechenden Be

obachtungsergebnissen verschließen, oder — auf über

schüssige Beobachtungen überhaupt verzichten. Beide Aus

kunftsmittel wären identisch m it dem Verfahren eines Rich

ters, der über jeden einzelnen Vorgang nur einen einzigen Zeugen hören wollte, auch wenn er von mehreren mehr oder weniger abweichend beobachtet wurde. Das Ergebnis einer solchen Untersuchung hätte wenig Aussicht, die

(11)

§ 1. Einteilung der Beobachtungsfehler. 7 W ahrheit zu treffen. Dagegen w ird man der gesuchten W ahrheit um so näher kommen, je mehr Beobachtungen bei der Feststellung eines Yorganges oder einer Größe be

rücksichtigt werden und je zuverlässiger sie sind.

Wollen wir alle, teilweise widersprechenden Beobach

tungen zu einem einheitlichen Ergebnis — dem richter

lichen Urteil gleich — verarbeiten, so müssen wir jede von dem ihr anhaftenden Fehler zu befreien, „ a u s z u g l e i c h e n “ suchen. Auf sachlichem Gebiet kann die F e h l e r U rsa c h e außer in der Unzulänglichkeit unserer Sinne bloß noch in der M a n g e lh a ftig d ro ft d e r v e r w e n d e te n M e th o d e n u n d I n s t r u m e n t e liegen. Die Untersuchung von Größe und Ursache der Fehler liefert daher neben ihrem eigentlichen Zwecke (der Schaffung eines einheitlichen Resultates) noch wertvolle Fingerzeige für künftige Einschränkung der Beobachtungsfehler.

§ 1. Einteilung der Beobachtungsfehler.

Die U r s a c h e , welcher ein Felder seine Entstehung verdankt, ist häufig auch bestimmend für dessen E i g e n s c h a f t u n d G rö ß e , so daß man umgekehrt aus letzteren häufig auf die Ursache schließen kann.

Entspringt der Fehler z. B. äußeren Einflüssen (Witte

rungsunbilden und anderen Naturereignissen, Böswilligkeit dritter usw.), oder ungewöhnlicher Nachlässigkeit des Be

obachters , so läßt er die Beobachtungsgröße meist um e r h e b l i c h e B e tr ä g e und zwar ebenso wahrscheinlich in der einen, wie in der anderen Richtung unrichtig er

scheinen, er ist ein „ g r o b e r F e h l e r “.

Die groben Fehler lassen sich in den meisten Fällen vermeiden, jedenfalls aber durch überschüssige Beobach

tungen und geeignete Beobaehtungsverfahren ihrer Größe und Richtung nach erkennen und ausmerzen. Sie gehören

(12)

8

n i c h t zu denjenigen, welche der A u s g le ic h u n g unter

liegen, und w ir werden uns mit ihnen im folgenden nicht beschäftigen.

Außer diesen, sowohl nach Richtung und Größe, als auch nach ihrer Ursache meist leicht erkennbaren groben Fehlern gibt es aber noch k l e i n e r e F e h l e r (Ab

weichungen des Beobachtungsresultates vom wahren Wert), die sich zwar durch geeignete Hilfsmittel und Beobach

tungsverfahren und namentlich durch erhöhte Aufmerk

samkeit und Erfahrung des Beobachters wesentlich ein- schränken, n ie m a ls a b e r g a n z v e r m e id e n lassen. — D ie F e s t s t e l l u n g d i e s e r u n v e r m e i d l i c h e n F e h l e r a n d e n B e o b a c h t u n g s e r g e b n i s s e n n a c h w a h r s c h e i n l i c h e r U r s a c h e u n d G rö ß e u n d i h r e A u s m e r z u n g b i l d e t d ie A u fg a b e d e r A u s g l e i c h u n g s r e c h n u n g .

Auch sie zeigen übrigens bei näherem Zusehen prin

zipielle Verschiedenheiten, die der Verschiedenartigkeit der Fehlerquellen entstammen, und die uns zwingen, sie in zwei Gruppen getrennt zu betrachten. Wenn es nämlich im einzelnen Beobachtungsfall auch kaum möglich ist, jede einzelne Fehlerquelle und ihren Anteil am schließlichen Gesamtfehler der Beobachtungsgröße festzustellen, so zeigt doch die einfachste Überlegung, daß die eine Fehlerursache eine nach ihrem Vorzeichen sich gleich bleibende, in ge

setzmäßiger Abhängigkeit von der Beobachtungsgröße wachsende Fehlerwirkung ausüben kann, während die andere einen Fehleranteil erzeugt, der nach Größe und Vorzeichen von Beobachtung zu Beobachtung wechselt.

W ird z. B. eine Strecke durch mehrfaches Anlegen eines Maßstabes gemessen, der um ein gew isses, wenn auch kaum erkennbares Maß zu kurz ist, so liefert dieser Maß

stab, falls sein Längenabmangel die einzige Fehlerquelle

(13)

darstellt,’ unter allen Umständen ein zu großes Maß für die Strecke, und zwar wächst der hieraus entspringende Streckenfehler proportional zur festgestellten Anzahl von Maßstablagen, also p r o p o r t i o n a l z u r S tr e c k e n lä n g e . Einen solchen Fehler nennt man „ r e g e l m ä ß i g e n F e h l e r “.

H at umgekehrt der Maßstab zwar die richtige Länge, schleicht sich aber bei jeder neuen Lage ein zufälliger kleiner Anlegefehler ein, so wird dieser ebenfalls das Ge

samtresultat der Strecke schädlich beeinflussen. Da aber der Fehler in der Maßstablage gleich wahrscheinlich in der Vorwärts- wie in der Rückwärtsrichtung wirken kann, so werden einige der entsprechenden, positiv wirkenden Fehlerelemente einige der negativen aufheben. Als Ge

samtwirkung dieser Fehlerquelle auf die Strecke wird daher nur der Überschuß der einen Fehlerrichtung über die andere auftreten. Dieser kann e b e n s o g u t p o s itiv w ie n e g a t i v , und wird seiner absoluten Größe nach im günstigsten (aber u 11 wahrscheinlichen) Fall = 0 sein, wenn nämlich die Gesamtwirkung der positiven gleich derjenigen der negativen Fehlerteile ist. Im ungünstigsten, ebenso un

wahrscheinlichen Fall (wenn alle Fehlerelemente in gleicher Richtung wirken) wäre die Gesamtwirkung, wie im Fall des regelmäßigen Fehlers, proportional zur Streckenlänge.

W eder der eine noch der andere dieser äußersten Fälle wird regelmäßig auftreten. Sicher ist daher, daß die wahrscheinliche Gesamtwirkung dieses „ z u f ä l l i g e n “ (unregelmäßigen) Fehlers l a n g s a m e r w ä c h s t, als die des regelmäßigen Fehlers.

Wenn nach Vorstehendem das W achstum des regel

mäßigen und des unregelmäßigen Fehlers verschiedenen Gesetzen folgt, und wenn w eiter die Möglichkeit vorliegt, daß beide Fehlergruppen in den auszugleichenden Beob

§ 1. Einteilung der Beobachtungsfehler. 9

(14)

10

achtungsresultaten gleichzeitig auftreten, so wird nur die Trennung beider die richtige Erkenntnis der Fehler- Ursachen und die Fehlerverbesserung an der richtigen Stelle ermöglichen.

Eine solche Trennung läßt sich in einzelnen Fällen durch einfache Überlegung ermöglichen.

"Wird z. B. ein und dieselbe Größe (etwa eine Strecke) m it denselben Geräten unter denselben äußeren Um

ständen und nach derselben Methode mehrmals gemessen und weisen die Messungsresultate Unterschiede auf, die zu klein sind, um als Folgen grober Fehler angesehen w erden zu können, so können diese Unterschiede n u r z u f ä l l i g e n , unregelmäßigen F e h l e r q u e l l e n entspringen.

Sind aber die verschiedenen Wiederholungen der Messung je m it anderen Geräten nach anderen Methoden oder unter veränderten Umständen ausgeführt worden, so können die kleinen Unterschiede zwischen den verschie

denen Resultaten ebensowohl z u f ä llig e n , als r e g e l m ä ß ig e n Fehlern und ihrem Z u s a m m e n w ir k e n ent

springen. Durch Vergleichung beider Fehlerbeträge können wir den Anteil beider Gruppen von Fehlern am Gesamt

unterschied ermitteln.

§ 2. W ahrscheinlichster W ert einer Größe aus einer Reihe gleich genauer, mit zufälligen Fehlern behafteter

Beobachtungsresultate.

Ist die Beobachtung einer Größe m it denselben Hilfs

m itteln und Methoden und unter denselben äußeren Verhält

nissen mehrfach ausgeführt worden, kann also jedes der er

haltenen, um geringe Beträge voneinander abweichenden Resultate als gleich zuverlässig angesehen werden, so würde die Annahme irgend eines dieser Beobachtungsresultate als endgültigen W ertes der Beobachtungsgröße eine Vergewal

(15)

§ 2. Wahrscheinlichster Wert einer Größe usw. 11 tigung der übrigen und eine nutzlose unwirtschaftliche Arbeitsvergeudung darstellen. Denn letztere hätten, falls es sich bei ihrer Beobachtung etwa nur um Schutz gegen g ro b e Fehler handelte (Kontrollbeobachtungen), zum min

desten mit geringerem Aufwand an Sorgfalt und Zeit er

mittelt werden können. Wählen w ir dagegen den end

gültigen Wert der Beobachtungsgröße unter gleichmäßiger Berücksichtigung aller beobachteten Einzel werte aus, so erzielen w ir damit zweifellos eine Genauigkeitssteigerung, weil zum mindesten ein Teil der zufälligen, ebenso w ahr

scheinlich positiven wie negativen Einzelfehler sich dabei aufhebt.

Die Voraussetzung, daß sämtliche Beobachtungen mit gleicher Sorgfalt, also vermutlich auch gleicher Genauig

keit ausgeführt sind, führt zum Zweck der Auswahl eines endgültigen ausgeglichenen Mittelwertes L für die Beobachtungsgröße zu der Forderung, an sämtlichen Be

obachtungswerten l gleich große, im Vorzeichen wechselnde Verbesserungszuschläge v anzubringen, welche dem bei der Beobachtung eingeschlichenen gleich wahrscheinlich posi

tiven wie negativen und gleich großen zufälligen Fehler entsprechen. Diese Forderung läßt sich aber nur im Fall zweifacher Beobachtung erfüllen.

Trägt man nämlich die Beobachtungswerte lt l2 . . . als Ordinaten zu e in e r beliebigen Abszisse auf (Fig. la ), so läßt sich nur dann ein Punkt finden, der von den End

punkten der Ordiuaten gleichen Abstand v hat, wenn die Zahl der letzteren = 2 ist.

In diesem Fall sind die Verbesserungszuschläge i \ = — v2 . Legt man der vom Endpunkt der l aus in der Ordinatenrichtung verlaufenden Verbesserung v das Vorzeichen + , der ändern das Vorzeichen — bei, so wird

(1) + i'2 = 0

(16)

12 und

. ~K i H- >1^{- f}^2 ^{h ~ \-h}

Ist die Zahl der BeobachtungsWiederholungen 2” und träg t man die Beobachtungswerte ly . . . als Ordinaten

r iS1 H ö"

1^, 1,

riS T r ß — Tr rj*

I J o

1^.

r ' L-, E' L ' L-, E‘

L

Fig. la. Fig. Ib.

zu beliebigen Abszissen auf, so ist es unmöglich, eine Parallele zur Abszisse zu ziehen, deren Abstände v von allen Ordinatenendpunkten gleich groß sind. W ir müssen also auf die Forderung verzichten:

absolut i>, = absolut v2 = • • • = absolut vr = • • ■ (Fig. lb ). Immerhin kann man zwei der Beobachtungs

werte , z. B. und l2 , zu einem Resultat L \ = ^ ^

(17)

§ 2. Wahrscheinlichster Wert einer Größe usw. 18

damit ebenso viele Werte L ', als Beobachtungs p a a r e vor

handen sind. Gleichzeitig ist dann wie vorhin vi + v2 = 0 )

«3 + * h = t> >[»]*) = 0.

Faßt man jetzt je zwei der so gefundenen W erte U wieder zu einem W ert L " zusammen und heißt die an den W er

ten U anzubringenden Verbesserungen ?/, so ist wieder

und man hat nur noch den vierten Teil der ursprüng

lichen Beobachtungswerte.

Fährt man mit der paarweisen Zusammenfassung der gewonnenen W erte zu Mittelwerten L " \ I V " . . . fort, wobei wieder r,,,n _ n

so bleibt schleißlich ein W ert L als endgültiger Mittelwert übrig. Heißen die an den lusprünglichen Beobachtungs

werten l anzubringenden Zuschläge, welche nötig sind, um sie auf diesen Mittelwert L zu bringen, F , so wird;

(1) ( L - l 1) + ( L - l 2) + ...^ [ v ] + [v'] + [v"l + - = m = 0

*) Das von K. F. G auß (geb. 30. April 1777, gest. 23. Febr.

1855), dem Begründer der Methode der kleinsten Quadrate, eingeführte Zeichen [ ] , für die Summe einer endlichen Zahl gleichartiger Größen, entsprang dem griechischen 2 = Summe aller. Der einfacheren Schreibweise halber entstand daraus [ und, zur genauen Begrenzung des zusammenzufassenden Aus

drucks, []. Es wird aus sachlichen und aus Gründen der Pietät im folgenden beibehalten werden.

- = L'2 usw. und erhält

[»"] — o [©'"] = 0 usw.

(18)

14

als E i g e n s c h a f t d e s e n d g ü l t i g e n M i t te lw e r te s L a u s e in e r A n z a h l 2wg le ic k g e n a u e r B e o b a c h tu n g e n .

Die in (1) gefundene Eigenschaft des endgültigen Mittelwertes L aus einer Anzahl 2M nur mit zufälligen Fehlern behafteter, gleich genauer Beobachtungen l wohnt dem wahrscheinlichen Mittelwerte inne, auch wenn die Beobachtungszahl nicht gerade = 2 ” ist. Denn die un

gefähr gleich großen zufälligen Beobachtungsfehler V wer

den gleich wahrscheinlich positiv wie negativ auftreten, sich also bis auf einen im Vergleich zu [/] sehr Meinen Best um so eher aufheben, je größer die Zahl der Be

obachtungen l ist. Mit großer Wahrscheinlichkeit dürfen w ir daher Gleichung (1) als allgemein gültige Bedingung für die Auswalil des wahrscheinlichsten Mittelwertes L einer beliebigen Anzahl gleich genauer Beobachtungen l festsetzen. W ir gewinnen damit allerdings nur eine Hy

pothese für ein Naturgesetz, die aber um so gesicherter ist, je m ehr daraus zu ziehende Schlüsse mit der W irk

lichkeit übereinstimmen. Wie man nun aber auch den wahrscheinlichsten W ert L der Beobachtungsgröße wählen möge, immer wird die Beziehung bestehen:

Verbesserung V = L — l , oder (wenn man V durch v ersetzt):

L = ll -\-vl L = l2 -\-v2

L = ln-\~vn

n L = [l\ + [r] . F ü r (1): [v\ == 0 wird daraus (2) Endw ert L = U = dem a r i t h m e t i s c h e n M itte l d e r

n

B e o b a c h tu n g s w e r te , übereinstimmend mit unserem natürlichen Empfinden.

(19)

Wir erkennen, daß jeder neue Beobachtungswert l einen neuen Widerspruch v gegen den Mittelwert L und damit eine kleine Veränderung des letzteren bedingt. Je größer aber die Zahl n der zur Mittelbildung bereits verwendeten Beobachtungswerte l und je größer ihre Genauigkeit ist, um so geringer wird der Einfluß einiger neu hinzukommender Be

obachtungswerte auf das Endergebnis sein. Die Veränderung des Endresultates durch neu hinzutretende Beobachtungswerte würde aber erst dann gleich 0 , wenn die Zahl der bereits verwendeten oo groß wäre. Dann hätte man den auf dem Weg der Beobachtung tatsächlich unerreichbaren w ahren W e r t der Beobachtungsgröße gefunden.

§ 3. Grundbedingung für die Ausgleichung nach der Methode der kleinsten Quadrate. Einteilung der Aus

gleichungsaufgaben.

Die Bedingung (1) führt auf einem sehr einfachen Weg zur eindeutigen Erlangung des wahrscheinlichsten W ertes L aus einer Anzahl gleich genauer Beobach

tungen l, wenn, graphisch betrachtet, die gesuchte Aus

gleichungslinie (s. Fig. 1 b) ihrer Richtung nach (hier als Parallele zur a;-Achse) zum voraus bekannt ist. Trifft dies nicht zu, so genügt die Bedingung \v\ = 0 nicht zur eindeutigen Auswahl dieser Ausgleichungslinie. Ist z. B.

die beobachtete Größe L (statt wie bisher konstant) ab

hängig von einer zweiten veränderlichen Größe, so kann man zwar die Beobachtungswerte l , wie in Fig. 1 a und 1 b, als Ordinaten und zwar diesmal zu den korrespondierenden W erten der zweiten Veränderlichen als Abszissen auf

zeichnen.

Mögen, z. B. bei gleich bleibender Temperatur, aber ver

änderlichem Luftdruck an einem Quecksilber- und gleichzeitig an einem Federbarometer korrespondierende Ablesungen ge

macht worden sein, um die Beziehung zu finden zwischen der Anzahl von Teilen, um welche sich der Zeiger des Aneroid

§ 3. Grundbedingung für die Ausgleichung usw. 15

(20)

L 'X' ¿Z Achse

/ <

tüct * Ri(9itun(js - koefftzient - Muitipl. -Kimfiante^v

barometers fortbewegt, und der Anzahl von mm, um welche sich aus denselben Ursachen die Höhe der Quecksilbersäule verändert. Es sei ferner festgestellt worden, daß die gesuchte Beziehung zwischen den Quecksilberhöhen b und den Aneroid- ablesungen a von linearer Form ist:

b — a x -\- c .

. Trägt man nun die Quecksilber

ablesungen b als Ordinaten zu den zu

gehörigen Aneroidablesungen a als Ab^

szissen auf und verbindet die so erhal

tenen Bildpunkte, so ist bei fehlerfreien Ablesungen derenVerbindungslinie eine Gerade. Ihr Richtungskoeffizient (tgdes Richtungswinkels) stellt die gesuchte Multiplikationskonstante x vor, ihr Ab

schnitt auf der y -Achse die (uns zunächst nicht interessierende) Additio

nalkonstante c. Nun sind aber die Ablesungen an beiden Barometern mit kleinen Fehlern behaftet, welche zur Folge haben, daß die Verbindungslinie der Bildpunkte keine Ge

rade wird, wenn die Zahl der letzteren > 2, d. h. wenn Überbestimmung vorhanden ist.

Die Abweichungen einer den Bildpunkten möglichst angepaßten Geraden von diesen sind auch hier nichts anderes, als die Ver

besserungen v (s. Fig. 2), welche an den Quecksilberablesungen b anzubringen sind, damit die der Aneroidablesung a entsprechende g e m i t t e l t e Quecksilberablesung B erscheint, deren al

gebraische Summe wir laut Bedingung (1) = 0 machen sollen.

Nun kann man aber jede Richtung parallel mit sich selbst so verschieben, daß schüeßlich [algebr. v\ = 0^wird, jede liefert ein anderes c und x , d. h. es g ib t u n e n d  l ic h v ie l e G e ra d e , w e lc h e d e r g e s t e l l t e n B e d in g u n g [;<;] = 0 e n ts p r e c h e n . Zur Auswahl der best

O- Achse/

hy

F ig . 2.

(21)

§ 3. Grundbedingung für die Ausgleichung usw. 17 möglichen Ausgleichungslinie brauchen wir eine weitere Bedingung, welche die unter (1) aufgestellte ersetzt oder ergänzt. Als solche weitere Bedingung könnte man etwa wählen: r , , . , .

[absolut rj = Minimum.

Diese Form wurde in der Tatvon L a p la c e im Jahre 1802 aufgestellt und begründet.

Sie leidet aber an verschiedenen Mängeln. In erster Linie tut sie den V e r b e s s e r u n g e n v , welche ohne Vor

zeichen undenkbar sind, Z w a n g a n , indem sie ihnen das V o rz e ic h e n ra u b t.

Sodann verursacht die A u f s t e l l u n g e in e s a l l g e m e in g ü l t i g e n A u s d r u c k e s für den absoluten Wert jedes einzelnen v oder für deren Summe jabs. »], welche zum Minimum werden soll, erhebliche Schwierigkeiten.

Denn je nach der Größe des Beobachtungswertes l , bzw.

desjenigen von L ist abwechselnd abs. » = L — l oder abs. v = l — L .

Endlich nimmt die Bedingung [abs. v\ = Min. k e in e R ü c k s i c h t a u f d ie W e r tu n g d e r e in z e ln e n B e o b a c h t u n g s f e h l e r v n a c h i h r e r G rö ß e . Handelt es sich nämlich darum, die Güte einer Beobachtungsreihe im ganzen zu beurteilen, so wird man dazu am besten den W ert derjenigen Funktion der Beobachtungsfehler v ver

wenden, die man zum Zweck und anläßlich der Auswahl des bestmöglichen Mittelwertes L zum Minimum gemacht hat, im vorüegenden Fall also [abs.»] oder

(3) tabs.«]

n

Der W ert d stellt dabei den absoluten Durchschnittswert aus n Beobachtungsfehlern v , den „ d u r c h s c h n i t t l i c h e n F e h le r e i n e r B e o b a c h t u n g “ vor.

W e i t b r e c h t , A u sg le ic h u n g s re c h n u n g . 2

(22)

18

Möge nun z. B. ein be

stimmter Beobachter mit einem gewissen Instrument und unter Einhaltung einer gewissen Messungsmethode beim Nivellement gleich langer geschlossener Schlei

fen etwa folgende Abschluß

differenzen gegen den (in diesem Fall bekannten) Soll

wert 0 erzielt haben:

Ein zweiter Beobachter habe dagegen beim Nivelle

ment derselben Schleifen mit anderem Instrument und nach anderer Methode folgende Abschlußdifferenzen erzielt :

S c h le ife A b sc h lu ß

-t- mm

d ifferen z v

- mm S c h le ife A b sc h lu ß d iffe re n z v + mm ! - mm

1 4 1 1

2 5 2 1

3 6 3 1

4 5 4 10

5 5 5 12

6 5 6 0

7 5 7 1

8 6 8 0

9 5 9 15

10 4 10 9

24 26 2 48

[abs. »] == 50 [abs. u] = 50

(i==[abs1u] = 5 ¿ = 1 ^ 3 = 5.

n n

Beide Beobachtungsreihen zeigen denselben Betrag für [abs. «] und daher denselben durchschnittlichen Fehler d. Trotz

dem sind die dadurch ausgeführten Höhenbestimmungen durch

aus nicht gleich zuverlässig. Schon der Umstand, daß die Zahl der positiyen Abweichungen v in der zweiten Reihe gegen

über derjenigen der negativen erheblich verschieden ist, wider

spricht ihrer Eigenschaft als zufällige Fehler und weist auf

(23)

die Einwirkung grober oder regelmäßiger Fehler hin, die sich möglicherweise bis auf den schließlich festgestellten Betrag gegenseitig aufgehoben haben können.

Noch mehr aber spricht die absolute G röße der A b s c h lu ß d iffe re n z e n gegen die Gleichwertigkeit der beiden Gruppen von Messungen. Jede dieser Differenzen setzt sich nämlich zusammen aus einer Reihe von in ihrer Ursache und Wirkung teilweise unbekannten Fehlerelementen, die sich teils addieren, teils gegenseitig aufheben. Die Abschlußdifferenz ist nur ihr in die Erscheinung tretender Rest. Ist dieser Rest in den einzelnen Beobachtungsfällen sehr verschieden, so beweist dies, daß die Fehlerelemente selbst verhältnismäßig groß sind, so daß einige von ihnen, welche ausnahmsweise der Regel widersprechen, gleich wahrscheinlich positiv wie negativ zu sein, hinreichen, das Beobachtungsresultat und die Abschluß

differenz merklich zu beeinflussen. Das zufällige, eben hieraus erklärliche Vorkommen einiger auffallend kleiner Abschluß- differenzen ändert an der Tatsache der geringen Zuverlässig

keit ebensowenig, als etwa einige zufällige Kernschüsse den

jenigen zum hervorragenden Schützen stempeln, der mit anderen seiner Schüsse nicht einmal die Scheibe trifft. Wird ja auch nicht derjenige Mensch als der brauchbarere von zweien an

gesehen, der zwar im Falle zufällig glücklicher Disposition einmal eine ganz hervorragende Leistung hervorbringt, aber zwischenherein, vielleicht gerade wenn man ihn nötig braucht, versagt!

Sollen aber nach dem Ausgeführten die Beobachtungs

fehler v in dem Sinne gewertet werden, daß größere Fehler progressiv wachsend in die Wagschale fallen, so bleibt nichts übrig, als irgend eine P o te n z von ihnen in Vergleich zu ziehen. Dabei hat eine Potenz mit geradem Exponenten noch den Vorzug, das lästige Vorzeichen des Fehlerbetrages v auf natürliche Weise zum Verschwinden zu bringen. Die Frage, w elch e gerade Potenz der v gewählt werden soll, be

antwortet sich aus der Eigenschaft der Fehler als Natur

erscheinungen, die gewissen (uns zunächst unbekannten) Ge

setzen unterworfen sind: Im Zweifelsfalle ist die einfachste Form die richtige, sofern sie anderen, bereits festgestellten Gesetzen (im vorliegenden Falle (1): [algeb. «] = 0 und (2): L = ® j nicht widerspricht.

2 *

(24)

20

Unter letzterer Voraussetzung und an Stelle der als unrichtig erkannten Annahme [abs. v\ = Min. setzen wir jetzt für die W e r t u n g d e r e r r e i c h t e n B e o b a c h t u n g s g e n a u i g k e i t sowohl, als für die A u s w a h l d e s w a h r s c h e i n l i c h s t e n W e rte s der Beobachtungsgröße L die Bedingung

(4) \v v\ = Min.

Ob diese Bedingung den für gleich genaue Beobach

tungen einleitend bewiesenen, oben angegebenen Gesetzen (1) und (2) nicht widerspricht, untersuchen w ir wie folgt:

v1 = L — li also v\ — L 2 — 2 L v2 = L - l 2 „ v\ = V ~ 1 L l 2 + P2

v„ = L - l „ „ rjj = i 2- 2 L l n+ r n

B e h a fte t m an die an d en B eobach

tu n g sw erten ¿ a n zu b rin g en d en Y erbesserungs- b e trä g e v m it a l

g eb raisch en Vor

zeichen , so is t allg em ein g ü ltig , w elch er W e rt a uch fü r L g e 

w ä h lt w erden m ö g e :

Soll nun der wahrscheinlichste W ert L so ausgewählt werden, daß [vv] = Min., wobei also L die einzige Ver

änderliche der rechten Seite ist, so muß sein d[v »]

<IL oder

woraus

2 n L — 2 [Z] = 0 . 2 [l] _ \l\

2 n

- M

ra=o

n

in Ü b e r e in s tim m u n g m it G le ic h u n g e n (2) und (1).

Die G le ic h u n g (4) b i l d e t d ie g r u n d le g e n d e B e d in g u n g f ü r d ie g e s a m te A u s g l e i c h u n g s r e c h

(25)

n u n g. Nach ihr erhielt letztere die Bezeichnung „ M e th o d e d e r k l e i n s t e n Q u a d r a t e “ (besser: Methode der kleinsten Quadratsümme). Sie läßt, wie Gleichung (1), eine be

merkenswerte mechanische Deutung zu. Denkt man sich nämlich die Beobachtungswerte l (wie in Fig. 1) als Or- dinaten aufgetragen, so stellen deren Abweichungen v vom Mittelwert L die Ordinaten ihrer Endpunkte vor in bezug auf die durch den Endpunkt dieses Mittelwertes parallel zur Abszisse gezogene Achse. Betrachtet inan diese Ordinatenendpunkte als Massenpunkte, denen ver

möge der gleichen Beobachtungsgenauigkeit je dasselbe Gewicht 1 zukommt, und denkt sich die Gewichte in ihnen angreifend und parallel zur Achse wirkend, so be

deutet [v] die Summe der statischen Momente für Drehung um den Endpunkt des Mittelwertes L , und (1) [v\ = 0 das vorhandene G le ic h g e w ic h t, [vv] stellt das axiale T r ä g h e its m o m e n t für die durch den genannten End

punkt gehende Achse vor, und (4) [vv\ = Min. be

deutet wie (1) \y] = 0, daß dieser E n d jiu n k t d es M i tte lw e r te s L d e n S c h w e r p u n k t d e s S y s te m s g le ic h g e w i c h t i g e r M a s s e n p u n k te vorstellt; ganz in Übereinstimmung mit unserem praktischen Gefühl.

Zum Schluß möge noch untersucht werden, welche Werte die Summen der Quadrate der Abschlußdifferenzen in beiden Beobachtungsreihen (s. S. 18) annehmen.

Die erste Reihe liefert:

lfi 4- 25 + 36 + 25 + 25 + 25 + 25 + 36 + 25 + 16 = 254 . Die zweite Reihe liefert:

1 + 1 + 1 + 100 + 144 + 0 + 1 -f- 0 + 225 - f 81 = 554 . Es ist also, wie vorauszusehen war, die Summe der Fehlerquadrate in der zweiten Reihe größer, die Beobach

tungsgenauigkeit geringer als in der ersten.

(26)

22

E i n t e i l u n g d e r A u s g le ic h u n g s a u f g a b e n . In den §§2 und 3 sind zwei Aufgabenfälle angedeutet worden, deren erster durch die Bedingung, daß die Summe der an den einzelnen Messungsresultaten anzubringenden Verbesserungen gleich 0 sein soll, ([n] = 0), eindeutig ge

löst werden konnte, während dieser Bedingung im zweiten Falle eine unendlich große Zahl von Lösungen entsprach.

Dies zeigt, daß beide Fälle prinzipielle Verschiedenheiten aufweisen müssen. In der Tat hat es sich im ersten um die Auswahl eines bestmöglichen W ertes für die d i r e k t und mehrfach beobachtete Größe L gehandelt, während im zweiten Falle andere, zu ihr in Beziehung stehende Größen beobachtet wurden, d u r c h deren V e r m i t t l u n g die gesuchte Multiplikationskonstante x e r s c h l o s s e n werden mußte.

Im ersten Falle handelte es sich um die A u s g l e i c h u n g d i r e k t e r B e o b a c h tu n g e n , im zweiten um die A u s g le ic h u n g v e r m i t t e l n d e r B e o b a c h tu n g e n .

Es ist auch möglich, daß zwar die mehrfach beobach

teten Größen selbst gesucht, daß sie aber unter sich nicht unabhängig sind, sondern streng zu erfüllenden Be

dingungen unterliegen (Winkel im Dreieck usw.). In diesem Falle spricht man von der Ausgleichung b e d i n g t e r d i r e k t e r B e o b a c h tu n g e n . Endlich können die direkt beobachteten Größen zur Bestimmung anderer Größen dienen, die aber ihrerseits gewisse Bedingungen erfüllen müssen (z. B. Einschaltung eines durch Winkel

beobachtung bestimmten Dreiecknetzes in ein als fehler

frei anzunehmendes Netz höherer Ordnung): man hat den Fall der Ausgleichung b e d i n g t e r , v e r m i t t e l n d e r B e o b a c h tu n g e n . Für jeden dieser Aufgabenfälle wird ein besonderer Gang der Lösung aufzustellen sein, der ge-

(27)

§ 4. Genauigkeit einer Binzeibeobachtung. 23 rade für ihn zweckmäßig ist. Doch ist diese Unterscheidung keineswegs so scharf, daß sich nicht auf spezielle Aufgaben sowohl die eine als die andere Lösung anwenden ließe.

Die Ausgleichung selbst kann auf r e in r e c h n e r i s c h e m Wege durchgeführt, oder durch g r a p h i s c h e Dar

stellung unterstützt werden. Das erstere Verfahren hat den Vorzug größerer Genauigkeit, das letztere denjenigen größerer Übersichtlichkeit und des Erkennenlassens etwaiger bei der Beobachtung unterlaufener grober Fehler vor Abschluß der Ausgleichung.

I. A b s c h n itt.

A usgleichung d ire k te r B eobachtungen.

1. Kapitel.

Direkte Beobachtungen von gleicher Genauigkeit.

§ 4. Untersuchung der einer Einzelbeobachtung inne

wohnenden Genauigkeit.

Die wichtigste Aufgabe der Ausgleichungsrechnung:

Feststellung des wahrscheinlichsten Wertes der Be

obachtungsgröße, haben w ir für den Fall gleich genauer, direkter Beobachtungen gelöst. Von Interesse, namentlich im Hinblick auf die Auswahl möglichst zweckmäßiger Beobachtungsmethoden ist nun noch ein Einblick in die bei der Einzelbeobachtung erreichte Genauigkeit. W ir haben zu diesem Zwecke schon auf S. 17 die durchschnitt

liche Abweichung d der Beobachtungen vom w a h r e n S o llw e r t der beobachteten Größe berechnet. W ir haben aber dabei erkannt, daß dieser Durchschnittsbetrag d einen

(28)

Maßstab für die erreichte Genauigkeit der Einzelmessung nicht abzugeben vermag, weil Beobachtungsreihen von ganz verschiedener Zuverlässigkeit identische W erte für d ergaben.

Um die größeren Abweichungsbeträge v stärker in die Wagschale zu werfen, haben wir statt ihrer selbst eine Potenz von ihnen verglichen und hierfür die zweite Potenz gewählt. W ir haben schließlich für die richtige' Auswahl des wahrscheinlichsten W ertes der Beobachtungs

größe die Bedingung festgesetzt: = Min. Diese zum Minimum zu machende Quadratsumme der Abweichungen v kann nämlich aus dreierlei Ursachen heraus einen großen Betrag erreichen: 1. durch unzweckmäßige Auswahl des End wertes L aus den Beobachtungswerten l , 2. durch fehlerhafte Beobachtungen l und 3. durch große Anzahl n der Beobachtungen l, also der Abweichungen v. W urde L nach Gleichung (2) gewählt, so ist \v v\ = Min., also ein kleinerer W ert \v v] durch andere Auswahl von L nicht zu erreichen. Dann ist der W ert von [v ?;] lediglich noch abhängig von der Beobachtungsgenauigkeit und von der Zahl n der Beobachtungen. Da die Genauigkeit j eder Einzel

beobachtung von deren Zahl unabhängig ist, so ist zu ihrer Erkenntnis die Quadratsumme \yv\ durch Division mit der Wiederholungszahl n auf das Quadrat des Fehlers e i n e r Beobachtung zurückzuführen, und man erhält unter der V o r a u s s e t z u n g , d a ß d ie A b w e ic h u n g e n vw w a h r e B e o b a c h t u n g s f e h l e r vorstellen, als Maßstab für die im Mittel bei einer Beobachtung erreichte Genauigkeit:

\vw vtr |

n

(5 a)

[Go»n>] _ I m i t t l e r e r F e h l e r e in e r n ( B e o b a c h tu n g .

(29)

4. Genauigkeit einer Einzelbeobachtung. 25 Die Voraussetzung, daß wir es mit w a h re n Beobach

tungsfehlem zu tun haben, trifft in denjenigen Fällen zu, in denen der Sollwert der Beobachtungsgröße zum voraus be

kannt ist (Winkelsumme im Dreieck oder im Vieleck; Summe der Projektionen der Seiten eines geschlossenen Polygons auf eine beliebige Achse; Summe der Höhenunterschiede einer Nivellementsschleife, bei welcher an identischem Punkt an- und abgeschlossen wurde usw.).

So liefert das hierhergehörige Beispiel S. 18 und 21 als mittleren Fehler einer Beobachtung der ersten Keihe

als mittleren Fehler einer Beobachtung der zweiten Reihe

Der Vergleich mit dem durchschnittlichen Fehler d — 5 mm (s. S. 18) zeigt nebenbei, daß der m ittle re Fehler nicht bloß ein gerechterer, sondern auch ein strengerer Richter ist, als der d u rc h s c h n ittlic h e Fehler.

Ist der W ert der Beobachtiingsgröße nicht zum voraus bekannt, muß er vielmehr erst aus einer endlichen Zahl von Beobachtungen nach Gleichung (2) erschlossen wer

den, so ist er selbst nicht fehlerfrei, also sind es auch nicht die aus ihm abgeleiteten Verbesserungsbeträge v der Beobachtungswerte l .

Möge der nach Gleichung (2) berechnete Mittelwert L Tun den nach Vorzeichen und Größe unbekannten Be

trag + M unrichtig sein, so daß sein wahrer (aber unzugänglicher) Wert = L -f- M ist, möge ferner die unzugängliche, w a h re Abweichung jedes einzelnen Be

obachtungswertes l von ihm m it vw, die uns zugängliche Abweichung vom Mittelwert L mit v bezeichnet werden, so ist

(30)

„fPi = ( L + M ) — l1= L — l1 + M = v1 + M vic[ = (L + M) — = L — + M =v.2 + J f

u,fn = (X + Af) - t,, = £ - i „ + 3 f = ph+ M __________

[u,„uj = [u u ]-f« M 2- f 2M [»]

und, da nach Gleichung (1) [v] = 0 , (6⁾ [»„ • v„] = \v v\ + n M2^.

Jedes der drei Glieder ist als Summe quadratischer Einzelsummanden positiv, folglich [»,„ v„] > [v v \ .

Hieraus geht hervor: Treten an Stelle der w a h r e n Ab

weichungen v„, in Gleichung (5a) die w a h r s c h e i n l i c h e n Abweichungen v , so wird dadurch der Zähler [» c]

kleiner, also muß dies beim Nenner n im gleichen Ver

hältnis der Fall sein. Die Bestimmung des Beduktions- verhältnisses ist aber einwandfrei jetzt noch nicht mög

lich, weil w ir den Fehler M des Mittelwertes L der Be

obachtungsgröße [s. Gleichung (6)] noch nicht berechnen können. Immerhin können w ir jetzt schon erkennen, daß der an Stelle von n in (5 a) tretende Nenner so beschaffen sein muß, daß er: 1. im Falle mangelnder Überbestim

mung, d. h. wenn nur e in e Beobachtung l vorhanden ist, für die dabei erreichte Genauigkeit einen unbestimmten W ert liefert, weil diese hieraus überhaupt nicht erschlossen werden kann; 2. im Falle vorhandener Überbestimmung gegen die Wiederholungszahl n konvergiert, wie der Aus

druck \vv\ gegen [vmvw] . Beides trifft zu für den Nen

ner n — 1 ^.

Denn im Falle einer einzigen Beobachtung wird die Abweichung v ihres Besultates vom M ittelwert L , gleich 0, ebenso der Nenner n — 1 = 0 , folglich

[ » » ] 0 .

» r = —— ~ = — = unbestimmt.

n — 1 0

(31)

§ 4. Genauigkeit einer Einzelbeobachtung. 27 Im Falle einer sehr großen Zahl n von Beobachtungen nähert sich L dem wahren W ert, v der wahren Abwei

chung vw ,? i — l der Wiederholungszahl n , folglich

W ir setzen daher vorbehaltlich später zu erbringenden Beweises (s. S. 35) unter Ersetzung der wahren, unzugäng

lichen Abweichung v„ durch die zugängliche Abweichung v einer Beobachtung l vom wahrscheinlichen W ert L

S a tz . D as Q u a d r a t d e s m i t t l e r e n F e h l e r s e i n e r B e o b a c h tu n g i s t g le ic h d e r S u m m e d e r Q u a d r a te i h r e r A b w e ic h u n g e n je vom M i tte lw e r t, d i v i d i e r t d u r c h d ie Z a h l d e r ü b e r s c h ü s s i g e n B e o b a c h tu n g e n .

Aus den Fehlergleichungen S. 14 und 20

erkennen w ir, daß die Abweichungen v Größen gleicher Art und Gattung vorstellen, wie die Beobachtungsgrößen l , sie bedeuten Yerbesserungszuschläge zu den Beobach

tungswerten l , welche nötig sind, um diese in den Mittel

w ert L überzuführen. Als benannte Größen lassen sie sich aber weder quadrieren noch differenzieren, wie dies S. 20, 25 und 26 geschah!

Den hierin liegenden W iderspruch überwinden wir, indem w ir jedes v mittels Division durch seine eigene Maßeinheit auf eine unbenannte Zahl zurückführen, ohne

fi — 1 (5 b)

m i t t l e r e r F e h le r e i n e r B e o b a c h tu n g .

v = L — l oder L = l -j- v

(32)

dabei an der absoluten Zahlengröße etwas zu ändern.

Zum Schlüsse führen wir dann für den mittleren Fehler m die der Verbesserung v geraubte Benennung wieder ein.

§ 5. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L und der Summe der Fehlerquadrate [rr] aus den Beobach

tungswerten l .

Sind die Beobachtungswerte l durch große Zahlen, oder gar durch Benennungen ausgedrückt, deren Be

ziehung nicht dezimal ist (z. B. Winkel in alter, sexa- gesimaler Teilung), so wird die Ausrechnung des Mittel- wertes L nach Formel (2) L — — sehr schwerfällig.m

n

Führen w ir dagegen einen dem Mittelwert L sich mög

lichst anschmiegenden Näherungswert N ein und be

zeichnen die an diesem anzubringenden kleinen Zuschläge mit v , so daß

Beobachtungswert — N -f- 12 — A — r2

L = N + vn [1] = n ■ N + [v] ,

n 1 1

Zur Berechnung des mittleren Fehlers m einer Be

obachtung brauchen w ir nach Gleichung (5 b) die Summe [vv\ der Fehlerquadrate, welche w ir durch Quadrierung der Verbesserungszuschläge v = L — l [s. Gleichung (1)]

erhalten. Um die Fehlerquadratsumme direkt zu finden, setzen wir

so wird ( ' )

(33)

§ 5. Praktische Ausrechnung des Mittelwertes L usw. 29 V i = L _ j i . v‘1 = L 2 — 2 L l 1+ l ,1

vn = L - i n - v i = r - 2 L i n+ r n [ v v ] = n L * — 2L[l\-\-[lT]

und durch Einsetzung von X = ü

n

Diese Gleichung ist praktisch nicht verwertbar. Da

gegen können wir sie verbinden mit der zur Ableitung von (7) verwendeten Gleichung v = / — N . Aus dieser kommt

v\ = % _ 2 1, N + N 2

vl = e „ - 2 l „ N + N 2 [ w] = [ll] — 2N[ l ] + n - N \ Durch Einsetzung von [l 1] = [« « ]-[- ßL

n und L = -E- kommt n

[ " ] = + [„„] _j_ n(L — N )2

oder

i

\yv\ = [vv] n (L — N)2 und unter Beachtung von (7⁾

r i M 2

~ [ v v \- n

Damit läßt sich der mittlere Fehler einer Beobachtung ohne vorgängige Ausrechnung der einzelnen Beobach

tungsfehler v , ja sogar ohne Berechnung des Mittel-