AGREGACJA STRUMIENI W PIERŚCIENIOWYCH SIECIACH OPTYCZNYCH WDM

2004

Poznańskie Warsztaty Telekomunikacyjne Poznań 9 - 10 grudnia 2004 Wojciech Więcławek

Wydział Automatyki Elektroniki i Informatyki Instytut Elektroniki, Politechnika Śląska 44 – 100 Gliwice

ul. Akademicka 16

wojciech.wieclawek@polsl.gliwice.pl

AGREGACJA STRUMIENI W PIERŚCIENIOWYCH SIECIACH OPTYCZNYCH WDM

Streszczenie: Niniejszy artykuł dotyczy problemu agregacji strumieni o niskich przepływnościach w pierścieniowych sieciach WDM z jednolitymi, jednostkowymi oraz statycznymi żądaniami typu każdy-każdy. Poruszony tu został problem minimalizacji liczby elektronicznych multiplekserów ADM wykorzystując ku temu teorię grafów. Narzędzie to pozwoliło również na określenie dolnej granicy ilości tych multiplekserów w tego typu sieciach.

1. WSTĘP

Pierścieniowe sieci WDM, występujące często jako szkieletowe sieci teleinformatyczne, wykorzystują wciąż wzrastającą liczbę długości fal w celu efektywniejszego przenoszenia informacji przez wielokrotne wykorzystanie pojedynczego, fizycznego medium transmisyjnego, w postaci pierścienia optycznego.

Dysponując fizyczną topologią sieci oraz przyporządkowaną jej macierzą żądań transportowych jako pierwszy krok w dalszym jej projektowaniu należy uznać znalezienie zbioru odpowiadających tej sieci ścieżek optycznych. Pojedyncza taka ścieżka to w pełni optyczny obwód pomiędzy węzłami sieci wymagającymi przekazywania danych. Wyłącznie te dwa węzły, będące odpowiednio początkiem i końcem ścieżki, posiadają konieczne do transmisji urządzenia elektroniczne, natomiast pozostałe węzły sieci pośredniczące w tej wymianie danych, znajdujące się gdzieś na ścieżce optycznej przekazują informację bez jej kosztownej

konwersji optyczno-elektroniczno-optycznej, wykorzystując ku temu multipleksery optyczne.

Dysponując zbiorem ścieżek optycznych dla danej struktury sieciowej kolejnym problemem staje się wyznaczenie zbioru długości fal, a przede wszystkim odpowiednie ich przyporządkowanie znalezionym wcześniej ścieżkom. Początkowo sądzono, iż optymalne z ekonomicznego punktu widzenia rozwiązanie wymaga minimalizacji ilości długości fal, stąd też większość prac publikowanych do końca lat ’90-tych poprzedniego stulecia poświęconych była temu zagadnieniu. Okazuje się jednak, że o ile nie przekroczy się limitu ilości długości fal, wynikającego z możliwości łącza

optycznego sieci (jest to wartość stosunkowo duża, a jeśli nawet to jej zwiększenie nie jest zbyt kosztowne) to pierwszym celem minimalizacji winno być ograniczenie liczby wymaganych globalnie przez sieć elektronicznych multiplekserów ADM, będących głównym czynnikiem wpływającym na całkowity koszt sieci. Najbardziej optymalne byłoby rozwiązanie minimalizujące jednocześnie oba czynniki (ilość długości fal oraz liczbę ADM) jednakże nie jest to możliwe, co też zostało wykazane w [3].

Celem niniejszego artykułu jest wsparta przykładami analiza pokazująca, iż redukcja kosztu sieci jest efektywniejsza przy ograniczaniu ilości multiplekserów ADM, a nie liczby długości fal w systemie. W dalszej części publikacji przytoczono analizę pozwalającą określić dolną granicę liczby elektronicznych multiplekserów używając ku temu narzędzia w postaci teorii grafów. Cała analiza ograniczona została do przypadku jednokierunkowych pierścieni optycznych UPSR z jednolitymi, jednostkowymi oraz statycznymi żądaniami transportowymi.

2. PROBLEM AGREGACJI STRUMIENI Ograniczenie całkowitej liczby elektronicznych multiplekserów ADM wiąże się z problemem odpowiedniej agregacji strumieni o niskich przepływnościach w globalny strumień transportowy przekazywany pomiędzy węzłami sieci przy pomocy pojedynczej długości fali. Gdyby oba strumienie potraktować jako moduły transportowe oznaczone odpowiednio OC-M i OC-N, to stosunek wartości opisujących wielkość tych modułów N/M określa się mianem współczynnika agregacji (ang. traffic grooming ratio) i oznacza przez C. Innymi słowy oznacza on ilość strumieni o niskiej przepływności przenoszonych na pojedynczej długości fali. By wykazać, że odpowiednia agregacja strumieni o niskich przepływnościach oraz poszukiwanie metod ku temu służących jest uzasadnione, najstosowniej przeanalizować pewien prosty i bardzo popularny w literaturze przykład [1, 2, 4,

5, 6]. W tym celu załóżmy jednokierunkowy pierścień sieci SONET UPSR o liczbie węzłów N=4 oraz niech realizacja żądań transportowych w sieci polega na wymianie informacji pomiędzy każdą parą węzłów w wymiarze ośmiu strumieni OC-3. Ogólnie, chcąc zapewnić pełną komunikację pomiędzy każdą parą węzłów w sieci o N węzłach należy uwzględnić R ścieżek optycznych, gdzie:

( )

2 1

2 2

N

N N N

R C ⋅ −

= = =

   ⁽¹⁾

Dla przykładowej sieci o czterech węzłach mamy więc R=6 ścieżek optycznych, a zatem całkowity strumień transmisyjny w sieci jest równoważny 48 strumieniom OC-3 lub inaczej trzem strumieniom OC-48 i ma on zostać przeniesiony przy użyciu trzech długości fal.

Z powyższych wartości wynika, iż każda spośród długości fal systemu przenosi żądania należące do dwóch ścieżek optycznych (transportuje dane pomiędzy dwiema parami węzłów).

Jedno z rozwiązań, w którym nie zadbano o jakąkolwiek minimalizację polega na tym, że każdy z węzłów sieci nadaje bądź odbiera jakąś cześć danych na każdej spośród występujących w sieci długości fal.

Przedstawia to Rys.1, a przydział długości fal dla ścieżek optycznych obrazuje natomiast Tab. 1.

1

2

3 4

OADM

OADM

OADM OADM

ADM

ADM ADM

λ1,λ ,λ2 3

λ1 λ2 λ3

ADM ADM ADM

λ1

λ2

λ3

ADMADMADM λ1λ2λ3 ADMADMADMλ1 λ2λ3

Rys. 1. Rozmieszczenie multiplekserów ADM w węzłach sieci (rozwiązanie nieoptymalne)

Dł. Fali Ścieżki optyczne λ1 (1-2); (3-4) λ2 (1-3); (2-4) λ3 (1-4); (2-3)

Tab. 1. Dobór długości fal dla ścieżek optycznych (rozwiązanie nieoptymalne)

Zapis użyty w niniejszej tabeli oznacza, że np. fala o długości λ2 służy do przenoszenia żądań transportowych pomiędzy parami węzłów (1-3) oraz (2- 4). Zatem, jak łatwo zauważyć, w każdym z węzłów sieci mamy początek lub koniec ścieżki optycznej skojarzonej z tą długością fali. Analogiczne stwierdzenie można wysnuć dla pozostałych długości fal. Taki

przydział długości fal do ścieżek optycznych wiąże się z koniecznością wyposażenia wszystkich węzłów sieci w multipleksery ADM pracujące na każdej z długości fal dostępnych w systemie. Dla przyjętych wcześniej danych stwarza to konieczność użycia 12 multiplekserów ADM (4 węzły, z których każdy wykorzystuje 3 długości fal).

Alternatywą dla przedstawionego powyżej rozwiązania jest inne zobrazowane na Rys. 2.

1

2

3 4

OADM

OADM

OADM OADM

ADM ADM

λ1,λ ,λ2 3

λ1 λ3

ADM ADM ADM

λ1

λ2

λ3

ADMADM λ2λ3 ADMADMλ1 λ2

Rys. 2. Rozmieszczenie multiplekserów ADM w węzłach sieci (rozwiązanie optymalne) Zastosowano tu przydział długości fal dla ścieżek optycznych jak w Tab. 2.

Dł. Fali Ścieżki optyczne λ1 (1-2); (1-3)

λ2 (2-3); (2-4)

λ3 (1-4); (3-4)

Tab. 2. Dobór długości fal dla ścieżek optycznych (rozwiązanie optymalne)

Przeprowadzając identyczną interpretację jak poprzednio, łatwo zauważyć, że każda z długości fal, mimo, iż zapewnia łączność pomiędzy dwoma parami węzłów (tak jak poprzednio) występuje wyłącznie w trzech z czterech możliwych węzłów sieci. Np.

długość fali λ3 przenosi strumienie między parami węzłów (1-4) oraz (3-4), a zatem ścieżki optyczne skojarzone z tą długością fali zaczynają się lub kończą tylko w trzech węzłach sieci. Globalnie można się więc tu doliczyć 9 multiplekserów ADM (3 długości fal, każda w trzech z czterech możliwych węzłów).

Mimo, iż oba rozwiązania przenoszą taką samą ilość informacji wymagają zróżnicowanej liczby multiplekserów ADM. Rekapitulując, dzięki zastosowaniu odpowiedniej agregacji strumieni o niskiej przepływności można zmniejszyć liczbę wymaganych multiplekserów ADM. Jest to o tyle uzasadnione, iż głównie te elementy sieci wpływają na całkowity jej koszt.

3. MODELOWANIE PROBLEMU AGREGACJI PRZY POMOCY TEORII GRAFÓW

Jedną z możliwości rozwiązania problemu minimalizacji kosztu sieci pod kątem optymalizacji ilości multiplekserów ADM jest użycie do tego celu teorii grafów. Dalsza analiza zostanie ograniczona do przypadku jednokierunkowych pierścieni UPSR z jednolitymi, jednostkowymi i statycznymi żądaniami typu każdy-każdy.

Dowolny pierścień sieci przedstawić można w postaci grafu, którego wierzchołki odpowiadają węzłom sieci, natomiast krawędzie ścieżkom optycznym pomiędzy poszczególnymi parami węzłów. Ze względu na przypadek żądań typu każdy-każdy oznaczający pełną komunikację w sieci, polegającą na wymianie informacji pomiędzy dowolną parą węzłów, graf powstały do opisu tego problemu będzie grafem zupełnym. Problem minimalizacji liczby multiplekserów może natomiast zostać wyrażony jako podział krawędzi zupełnego grafu G o zbiorze wierzchołków V(G) (moc zbioru |V(G)|

wynosi N) oraz krawędzi E(G) (moc zbioru |E(G)|

wynosi R) oznaczanego przez G=(V,E)=KN w W podgrafów Bλ gdzie λ=1,2,...,W posiadających |E(Bλ)|

krawędzi oraz |V(Bλ)| wierzchołków spełniających warunek |E(Bλ)| ≤ C, przy czym C to współczynnik agregacji, oraz gdzie wyrażenie opisujące liczbę wierzchołków w podgrafach, czyli pośrednio liczbę multiplekserów ADM w sieci, postaci:

( )

1 W

V B_λ

λ =

∑

podlega minimalizacji. W takiej reprezentacji krawędzie grafu KN korespondują ze ścieżkami optycznymi, podgrafy Bλ z długościami fal, a wierzchołki każdego z podgrafów z elektronicznymi multiplekserami ADM przyporządkowanymi odpowiedniej długości fali, której odpowiada dany podgraf.

Rozwiązanie poprzedniego przykładu (zarówno nieoptymalne jak i optymalne) przy pomocy teorii grafów miałoby więc postać jak na Rys. 3.

11 2

4 3

11 2

4 3

11 2

4 3

11 2

4 3

11 2

4 3

11 2

4 3

11 2

4 3

λ1

λ2

λ3

a) b)

Rys. 3. Dekompozycja grafu:

a) przypadek nieoptymalny b) przypadek optymalny Dekompozycji podlega graf zupełny o N=4 wierzchołkach i R=6 krawędziach. Graf ten dekomponowany jest na trzy podgrafy, gdyż w systemie

do przenoszenia żądań transportowych użyto trzech długości fal. W pierwszym rozwiązaniu (przypadek a)) każdy z podgrafów posiada cztery (czyli wszystkie z możliwych) wierzchołki. Oznacza to, że każda z trzech długości fal występujących w systemie będzie wymagała obecności multipleksera ADM w każdym z węzłów sieci. Da to ich łączną liczbę wynoszącą 3•4=12.

Drugi przypadek (przypadek b)) to również dekompozycja tego samego grafu zupełnego na trzy podgrafy, z których każdy nadal posiada dwie krawędzie (gdyż dwie pary węzłów, dwie ścieżki optyczne obsługiwane są przez jedną długość fali) lecz liczba wierzchołków każdego z nich wynosi 3. A zatem każda z długości fal systemu będzie obecna wyłącznie w trzech z czterech możliwych jego węzłów. Ogranicza więc to całkowitą ilość multiplekserów ADM, która w tym przypadku wynosi 3•3=9.

Jak widać optymalne rozwiązanie problemu polega na takim podziale krawędzi grafu zupełnego pomiędzy podgrafy występujące w ilości równiej liczbie długości fal w systemie, aby ilość wierzchołków każdego podgrafu była minimalna, liczba krawędzi podgrafów nie większa od ilości ścieżek optycznych, które obsługuje pojedyncza długość fali, a łącznie wszystkie podgrafy wykorzystywały pełny zbiór krawędzi wyjściowego grafu zupełnego.

4. OKREŚLENIE DOLNEJ GRANICY LICZBY MULTIPLEKSERÓW ADM

Ponieważ w poszukiwanej dekompozycji grafu zupełnego najbardziej interesujące są podgrafy posiadające dużą (nie większą jednak od wartości współczynnika agregacji C) liczbę krawędzi oraz jednocześnie stosunkowo niewielką liczbę wierzchołków, dla każdego z tych podgrafów można zdefiniować współczynnik będący jego miarą jakości jako stosunek ilości krawędzi do ilości wierzchołków tego podgrafu, czyli:

( ) ( ) ( )

B E B V B

λ λ

λ

ρ = (3)

i w każdym z podgrafów dążyć do jego maksymalizacji.

Przy pomocy tego współczynnika można wyrazić całkowitą liczbę krawędzi grafu zupełnego, będącą sumą krawędzi we wszystkich podgrafach. Mamy więc:

( ) ( ) ( )

1 1

W W

R E B_λ B_λ V B_λ

λ λ

ρ

= =

=

∑

∑

W ogólnym przypadku współczynniki ρ(Bλ) każdego z podgrafów mogą przyjmować różne wartości. Wynika to z faktu, iż każdy z nich może mieć różną ilość krawędzi oraz wierzchołków. Przez wzgląd na fakt, iż przy dekompozycji grafu zupełnego dążymy do maksymalizacji tego współczynnika, więc na pewno jeden (lub kilka) podgrafów będzie charakteryzował współczynnik o największej spośród pozostałych wartości. Oznaczmy go przez:

( ) { ( ) ( ) }

max C max B_λ : E B_λ C

ρ = ρ ≤ (5)

Uwzględniając ten współczynnik w wyrażeniu na ilość ścieżek optycznych (4) uzyskamy nierówność postaci:

( ) ( )

max

1 W

R C V B_λ

λ

ρ

=

≤ ⋅

∑

Suma wierzchołków we wszystkich podgrafach występująca w tej nierówności jest niczym innym jak całkowitą ilością multiplekserów ADM występujących w sieci. Możemy więc na podstawie tej nierówności określić warunek na ich minimalną ilość:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

1 max max

, 1

2

W R N N

A C N V B

C C

λ

λ= ρ ρ

⋅ −

= ≥ =

∑

który jest funkcją ilości wierzchołków pierścienia optycznego oraz współczynnika agregacji C.

Przyjrzyjmy się jeszcze bliżej współczynnikowi ρ(Bλ) i jego maksymalnej wartości ρmax(C). Chcąc ją osiągnąć można by przyjąć hipotezę, iż będzie to miało miejsce dla podgrafu o największej spośród możliwych liczbie krawędzi (tzn. wynoszącej C, stąd też argument tego współczynnika zamiast wcześniej stosowanej konwencji ρmax(Bλ)) oraz minimalnej liczbie wierzchołków wymaganych do pokrycia wszystkich tych krawędzi. Jak nietrudno spostrzec największą wartość tak zdefiniowanego współczynnika mają grafy zupełne.

Posługując się równaniem określającym ilość krawędzi tych grafów (równanie (1)) łatwo wyznaczyć minimalną liczbę wierzchołków podgrafu posiadającego zadaną (ogólnie wynoszącą m) ilość krawędzi:

( ) ^{1 1 8}

2 m m

ϕ + + ⋅

= 

 

  ⁽⁸⁾

Kontynuując wysuniętą powyżej hipotezę maksymalną wartość współczynnika ρmax(C) należałoby policzyć jako:

( )

( )

max

C C ρ C

=ϕ (9)

Takie rozwiązanie maksymalizujące wartość współczynnika ρ przez co i jednocześnie ilość krawędzi podgafów daje gwarancje dekompozycji grafu zupełnego na najmniejszą z możliwych ilość podgrafów, czyli jest rozwiązaniem minimalizującym ilość długości fal wykorzystywanych przez sieć. Ta minimalna ilość długości fal w systemie, o której tu mowa jest definiowana jako zaokrąglenie ku górze do pierwszej całkowitej wartości stosunku liczby ścieżek optycznych w sieci, czyli ilości krawędzi grafu zupełnego, do współczynnika agregacji C, czyli:

( )

min

1 2 N N W R

C C

⋅ −

= =

⋅

 

   

     ⁽¹⁰⁾

Nie zawsze jednak rozwiązanie takie, jest rozwiązaniem optymalnym. By się temu przyjrzeć rozważmy przykład dekompozycji grafu zupełnego K13 przy współczynniku agregacji C=7. Z punktu widzenia maksymalnej wartości współczynnika ρ dekomponowanych podrafów i jednocześnie minimalnej liczby długości fal należałoby graf K13 poddać dekompozycji na Wmin=12 podgrafów.

Część z nich posiadać będzie maksymalną tzn. równą C liczbę krawędzi – oznaczmy ich ilość przez W7. Pozostałe zaś podgrafy w liczbie 12 – W7 posiadają co najwyżej C –1 tzn. sześć krawędzi. Znając globalną ilość krawędzi dla grafu K13 można określić ilość grafów o siedmiu krawędziach na podstawie warunku:

( )

7 7

7⋅W + ⋅6 12−W ≥78 (11) z którego uzyskujemy: W7≥6.

Graf posiadający siedem krawędzi wymaga co najmniej φ(7)=5 wierzchołków, czyli i ADM’ów (współczynnik jakości takiego grafu wynosi 7/5). Daje to łączną liczbę wierzchołków w podrafach o siedmiu krawędziach równą 5•W7, a całkowita liczba krawędzi w tych podgarfach wynosi 7•W7. Pozostaje zatem 78 – 7•W7

krawędzi, które muszą należeć do pozostałych podgrafów posiadających nie więcej niż 6 krawędzi, a zatem na podstawie (8) co najmniej φ(6)=4 wierzchołki. Maksymalna wartość współczynnika ρ takich podgrafów wynosi więc 6/4, co pozwala na określenie liczby pozostałych do pokrycia wierzchołków jako stosunek ilości krawędzi do współczynnika ρ, czyli (4/6)•(78 – 7•W7). Łącznie sumując otrzymane wartości ilości wierzchołków oraz uwzględniając minimalną wartość ilości podgrafów o siedmiu krawędziach W7

otrzymujemy warunek na ilość koniecznych multiplekserów ADM:

( ) 7 ( 7)

7,13 5 4 78 7

A ≥ ⋅W + ⋅6 − ⋅W (12)

Wynika stąd, iż: A(7,13)≥54. Powyższa analiza jest minimalna pod względem ilości długości fal użytych w systemie, jednakże liczba multiplekserów ADM nie jest najmniejsza. Ten sam bowiem graf K13 można zdekomponować na 13 podgrafów K4, czyli podgrafów zupełnych o liczbie wierzchołków równej 4 i liczbie krawędzi wynoszącej 6, dla których współczynnik ρ wynosi 6/4 (wartość ta jest więc większa od wartości współczynnika ρ dla pografu o większej, równej 7, liczbie krawędzi z poprzedniej dekompozycji). Takie rozwiązanie determinuje liczbę multiplekserów ADM w wymiarze 13•4=52.

Przykład ten pokazuje, że współczynnik ρmax(C) nie zawsze osiąga największą wartość dla podgrafów o największej (dążącej do C) liczbie krawędzi. Pokazuje on również, iż minima obu wielkości tzn. liczby długości fal w systemie oraz ilości multiplekserów ADM nie zawsze są jednocześnie osiągane. Czasem zwiększenie pierwszego czynnika pozwala na ograniczenie dużo silniej wpływającego na koszt sieci drugiego – ilości elektronicznych multiplekserów ADM.

Dla współczynnika agregacji wynoszącego 7 w łatwy sposób można stworzyć nieskończoną rodzinę grafów, pozwalających się dekomponować wyłącznie na podgrafy K4. Jest to możliwe dla grafów których liczba krawędzi jest całkowitym podzielnikiem 6, a stopień każdego wierzchołka (liczba krawędzi związanych z tym wierzchołkiem) całkowitym podzielnikiem 3.

Wartość współczynnika agregacji z wyżej omówionego przykładu nie jest jedyną, dla której taka sytuacja ma miejsce. Można się z nią spotkać wówczas, gdy spełnione są niżej przytoczone warunki podane w [4, 5] jako propozycje autorów. Określają one również w jaki sposób wyznaczyć wówczas maksymalną wartość współczynnika ρ. Są to:

1. O ile istnieje takie k, że:

( ¹) ( ¹) ( ¹)

2 2

k k k k

⋅ − C + ⋅ −

≤ ≤ (13)

to:

( )

max

1 2 C k

ρ = ⁻ (14)

2. O ile istnieje takie k, że:

( ¹) ( ¹) ( ¹)

2 2

k k k k

+ ⋅ − C + ⋅

≤ ≤ (15)

to:

( )

max 1

C C

ρ = k

+ (16)

Jak widać w obu tych przypadkach wartość współczynnika ρmax(C) odbiega od wartości, którą można uzyskać z równania (9). Przy dekompozycji z takimi współczynnikami nie uzyska się więc już podgrafów o dążącej do C liczbie krawędzi, a ich ilość nie będzie minimalna. Jednak uwzględniając nową wartość tego współczynnika w równaniu (7) uzyskamy minimalną wartość ilości multiplekserów ADM w pierścieniowej sieci optycznej. Rozmiar korzyści jakie daje użycie większej ilości długości fal w systemie objawiające się zmniejszeniem liczby multiplekserów ADM pokazuje poniższa charakterystyka, Rys. 4.

4 6 8 10 12 14 16

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

C=7

*C=16

Rys. 4. Dolna granica liczby multiplekserów ADM dla dwóch wartości współczynnika agregacji C=7, 16 Przedstawia ona zależność minimalnej liczby multiplekserów ADM w funkcji ilości węzłów sieci określonej równaniem (7) dla dwóch różnych wartości współczynnika agregacji C. Są to wartości spełniające warunki (13,15) tzn.: C=7, 16. Dla każdego ze współczynników wykreślono dwa zbiory wartości funkcji A(C,N): pierwsza z użyciem, współczynnika ρmax(C) wyznaczonego na podstawie równania (9), czyli gwarantującego rozwiązanie z minimalną liczbą długości fal, druga natomiast oparta na współczynniku ρmax(C) wyznaczonym (w zależności od przypadku 1 lub 2) na podstawie równań (14) lub (16), pozwalająca zmniejszyć liczbę multiplekserów ADM kosztem zwiększenia liczby długości fal użytych w systemie.

O ile w przypadku grafów o niewielkiej liczbie wierzchołków, których ilość ponadto charakteryzowana jest przez dodatkowe własności (takie jak w prezentowanym powyżej przykładzie, gdzie liczba krawędzi grafu była wielokrotnością liczby 6 i jednocześnie stopień każdego z wierzchołków wielokrotnością liczby 3) uzyskanie optymalnego

rozwiązania nie stanowi większego problemu, o tyle przy wzrastającej liczbie wierzchołków grafu bez żadnych dodatkowych własności, osiągnięcie tej dolnej granicy staje się praktycznie niemożliwe. Do rozwiązywania problemu RWA (ang. Routing and Wavelength Assignment) oraz problemu agregacji strumieni, których efektem ma być określenie liczby multiplekserów ADM w sieci wraz z ich rozmieszczeniem w jej węzłach używa się programowania liniowego ILP (ang. Integer Linear Programming) oraz różnych algorytmów heurystycznych. Dają one rozwiązania jedynie dążące do zdefiniowanej tu dolnej granicy tych elektronicznych urządzeń.

3. PODSUMOWANIE

W publikacji dotyczącej pierścieniowych, jednokierunkowych sieci WDM ze statyczna macierzą żądań jednolitych i jednostkowych pokazano, iż ich ekonomiczne projektowanie zależne jest przede wszystkim od ograniczenia występujących w nich elektronicznych multiplekserów ADM przez właściwą agregację powolnych strumieni danych w wynikowy strumień transportowany na pojedynczej długości fali.

Rozwiązanie problemu zamodelowane zostało jako dekompozycja grafu zupełnego w podrafy o określonej wielkości wynikającej z własności i parametrów konkretnego pierścienia sieci. Pokazana została również wartość tej niezbędnej, minimalnej liczby multiplekserów dla tego typu sieci oraz fakt, iż nie zawsze jest ona osiągana dla najmniejszego zbioru długości fal w systemie.

SPIS LITERATURY

[1] E. Modiano, P. Lin, Traffic grooming in WDM networks, IEEE Commun. Mag., vol. 39, pp. 124- 129, July 2001

[2] J.Q. Hu, E. Modiano, Traffic Grooming in WDM Networks, manuscript, 2003

[3] O. Gerstel, P. L, G. Sasaki, Wavelength assignment in a WDM ring to minimize cost of embedded SONET rings, In IEEE Infocom, pp. 94-101, San Francisco, California, 1998

[4] J. C. Bermond, D. Coudert, Traffic grooming in unidirectional WDM ring networks using design theory, ICC 2003 - IEEE International Conference on Communications, vol. 26, no. 1, May 2003 pp.

1402-1406

[5] J. C. Bermond, D. Coudert, X. Munoz, Traffic grooming in unidirectional WDM ring networks:

the all-to-all unitary case, ONDM 03, 7th IFIP Working Conference on Optical Network Design and Modelling, pp. 1135-1153, 3-5 February, 2003 [6] E. H. Modiano, A. L. Chiu, Traffic grooming

algorithms for reducing electronic multipleksing costs in WDM ring networks, IEEE/OSA Journal of Lightwave Technology, 18(1):2-12, January 2000