Numeryczne aspekty relacji porównania rzeczywistych liczb rozmytych

Pełen tekst

(1)wU' 569. Jacek. Wołoszyn. Katedra Informatyki. Wit Urban Katedra Informatyki. Numeryczne aspekty relacji porównania rzeczywistych liczb rozmytych Streszczenie: Artykuł prezentuje algorytmy numeryczne slużqce wyznaczaniu wartości relacji porównania rzeczywistych liczb rozmytych. Przy ich konstrukcji zostały wykorzystane podstawowe własnosci liczb rozmytych oraz koncepcja przedziałów pewności [Kuufman 19851. Algorytmy te stanowi'l. obok podobnych procedur przeznaczonych dla arytmetyki. rozmytej, istotny element przetwarzania danych rozmytych. Słowa kluczowe: zbiór rozmyty, liczba rozmyta, operacje na liczbach rozmytych.. l. Wprowadzenie Celem niniejszego opracowania jest prezentacja algorytmów numerycznych relacji porównania rozmytych argumentów rzeczywistych. Stanowią one obok podobnych procedur dla arytmetyki rozmytej istolny element przetwarzania danych rozmytych. Tak sformułowanemu problemowi podporządkowano uklad artykułu. Jego pierwsza część stanowi ogólne wprowadzenie w teorię zbiorów rozmytych. Jej rozszerzenie stanowi arytmetyka rozmyta, której podstawowe definicje przedstawia kolejny punkt artykułu. Zawarte w nim stwierdzenia są istotne, ponieważ tworzą podstawy podejścia do teorii liczb rozmytych z punklu widzenia jej zastosowania w praktyce. Zostało ono wykorzystane przy konstrukcji omawianych algorytmów.Temu problemowi poświęcono ostatnią część artykułu..

(2) I. Jacek. Wołoszyn,. Wit Urban. 2. Wprowadzenie do teorii zbiorów rozmytych Podstawą teorii zbiorów rozmytych jest zaproponowane przez L.A. Zadeha [Zadeh 1965) pojęcie zbioru rozmytego. Definicja. Zbiorem rozmytym A w przestrzeni X będącej niepustym zbiorem nazywamy zbiór par uporządkowanych A = {x, J.lA(X): x E X}, gdzie. J.l A : X --) [O;IJ. (1). jest funkcją przynależności, której wartości określają stopień przynależności poszczególnych elementów przestrzeni X do zbioru rozmytego A. Funkcja przynależności określa stopieti przynależności elementu przestrzeni X do zbioru rozmytego A, gdzie oprócz pelnej przynależności oraz całkowi tej nieprzynależności może występować stan "częściowej przynależności" wyrażony wartościami z wnętrza przedzialu [0;1) . Koncepcja funkcji przynależności stanowi uogólnienie pojęcia funkcji charakterystycznej zbioru, utożsamianej także z predykatem logiki klasycznej [Ostasiewicz 1986). Zawężeniem wspomnianej definicji są dwa kolejne istotne pojęcia teorii zbiorów rozmytych: całkowitej liczby rozmytej oraz rzeczywistej liczby rozmytej. Definicja. Rozmyta liczba całkowita (J. [Woloszyn 1990] jest wypukłym zbiorem rozmytym w przestrzeni Z, przy czym warunek wypukłości ma postać:. kE. !l"(kP~ !laCi) A ~laU) 't/ i, j,. Z, i 5, k 5, j. (2). Klasę. rozmytych liczb całkowitych oznacza się przy pomocy zapisu N(Z). Zgodnie z powyższą definicją każda liczba całkowita /l E Z może być traktowanajak całkowita liczba rozmyta o funkcji przynależności:. !l,,(k) =. {IO dlak=/! dla k" n. 't/. kEZ}. (3). Definicja. Rozmyta liczba rzeczywista [Zadeh 1975) jest zbiorem rozmytym w przestrzeni R, mającym ciągłą funkcję przynałeżności J.lu oraz spełnia jącym warunek wypukłości: Ila(y) ~ lla(X). A lla(Z) 't/ x, y,. Z E IR, y E [x;. ZJ. (4). Klasa rozmytych liczb rzeczywistych oznaczana będzie w dalszym ciągu pracy jako N(R). Należy zaznaczyć, że w literaturze występuje także określenie rozmytej liczby rzeczywistej nie wymagające spełnienia warunku wypukłości funkcji przynależności [Chang 1984). Z punktu widzenia takiego podejścia ostatnia definicja odnosi się do podklasy wypukłych rozmytych liczb rzeczywistych. Ponadto w większości publikacji powyższa definicja jest uzupełniana o warunek normalności, zdefiniowany w następuj!ICY sposób [Kaufman 1985):.

(3) Numeryczne aspekty relacji porównania .... I. Definicja. 7.biór rozmyty A E P(X) (gdzie P(X) oznacza klasę wszystkich zbiorów rozmytych w przestrzeni X) nazywamy normalnym,jeżeli: 3XEX ~IA(x)= l Jeże li. (5). natomiast:. v X E X ~IA(x) < 1 (6) to zbiór rozmyty A nazywamy podnormalnym (subnormalnym). Do analizowania w sposób uporządkowany pojęć i relacji w procesie modelowania matematycznego systemów rozmytych konieczne jest przyjęcie pewnych zasad notacyjnych. W przypadku zbioru rozmytego najczęstszą formą zapisu dla zbioru A w przestrzeni X jest [Zad eh 1977]: A=. /I-lA(X)jX. (7). x. W tej formie notacji symboII-lA(x)/x oznacza rozmyty singleton, czyli element E X o stopniu przynależności do zbioru rozmytego A równym I1A(X), natomiast symbol calki oznacza sumę mnogościową. Przyjęte ogólne zasady notacji dla zbiorów rozmytych są też bez większych zmian stosowane do rozmytych liczb calkowitych należących do klasy rozmytych liczb całkowitych w przestrzeni Z. Natomiast w przypadku rozmytych liczb rzeczywistych, których klasa, jak to już zostało wspomniane wcześniej, jest symbolizowana poprzez użycie oznaczenia N(IJ!) , przyjmowane (ze wzglę dów praktycznych) ogólne założenie dotyczące przeliczalności zbioru rozmytego traci sens. Dlatego też przy konstrukcji algorytmów numerycznych operacji porównania rozmytych liczb rzeczywistych przyjęto zasadę aproksymacji funkcji przynależności tych liczb przy pomocy złożenia funkcji liniowych. Procedura transfonnacji dowolnej rozmytej liczby rzeczywistej do takiej postaci wymaga jednak spełnienia postulatu wynikającego z następującego stwierdzenia określonego wzorem:. x. N(lJ!) => 3a.,I>, XER XE [a.; 1>] 1\ I1,(X) > O1\ (v Ae[a.;I>]; 11,(1..) = o) x. E. (8). Przy uwzględnieniu założenia upraszczającego, polegającego na tym, że funkcja przynależności danej liczby dla wartości rzeczywistych różniąca się od zera w granicach przyjętego poziomu błędu jest praktycznie równa zeru, wymóg ten jest stosunkowo łatwy do spełnienia. W dalszej kolejności należy wyznaczyć taki przedział, w którym funkcja przynależności jest różna od zera przynajmniej dla jednego elementu oraz równa zeru dla każdego elementu spoza niego. Z praktycznego punktu widzenia w większości przypadków (a zwłaszcza w odniesieniu do zjawisk ekonomicznych) można mówić o funkcji przynależ ności różnej od zera z reguły tylko w pewnym przedziale. Tak więc przyjęte.

(4) I. Jacek. Wołoszyn,. Wit Urban. za łożenie nie stanowi istotnego ograniczenia wiedzy o zjawisku reprezentowanym przez rozmytą li czbę rzeczyw istą . Funkcje przy należności rozmytych liczb rzeczywistych mog'l być aproksymowane w takich przypadkach przez złożenie funkcji lin iowych zgodnie ze wzorem:. N(Ihl)=>('1xxi! [a,;B, ]; Ilx(X,)=O)A A(v X, E[a x;Bx] = [XX.l ;X,.2 ]u" . u[X,,"_1 ;x",,]; xE. Xx. E [xX,j;Xx,itl] =>. ~x(Xx) = flx,lX x + bx,;.. i:::::. (9). 1,2,,,,,n -1). gdzie: Yx,; , _. _ Y-t,itl -. ax,i -. _'. .. bx,i -Yx,i -fl x,iX.\',i'. i=1 ,2,,,.,n- l. (10). xx.i+l - xx.i. a poszczególne symbole oznaczają: (xx. i'Y".i) i = 1,2, ". , n - l - ciąg par współrzędnych arbitrałnie przyjętych punktów oryginałnej funkcji przynależności łiczby x . Punkty te spe łniaj ą rolę łączn ików złoże nia funkcji łiniowyc h aproksy mującyc h oryginalml funkcję przynależności. Tym samym są wierzchołkami wykresu aproksymującej funk cj i przy należności rzeczywistej liczby rozmytej x. W dalszym ciągu pracy będą one nazywane w skrócie wierzchołkami funkcji przynależności. Do wyznaczenia wierzchołków funkcji przynależności można wykorzystać następującą procedurę, przyjmując na poc zątku wielkość blędu aproksymacji 8. Wówczas, mając zgodnie z przyjętymi założeniami wyznaczony dla liczby x E N(R) o oryginalnej funkcji przynałeżności ~Lox przedział [a.,; BJ, uzyskujemy dwa pierwsze wierzchołki jej funkcji przynależności:. (a,,~LOx(ax)); (Bx,~Lox (Bx)) xx.1 ;: : a .p Yx,1 ;;;: fl.ox(a x);. .\:x.2::: ł3x .. Y.f,2. = llox((3x);. (11). n= 2. Dla tej pary wierzcholków można przeprowad zić z kolei weryfik ację ich doboru do błędu aproksymacji zgodnie z ogólnym schematem , połegając y m na wyznaczeniu dodatkowego wierzchołka funkcji przynależności (xxdi ' Yxd) o wartościach wspó łrzędnyc h:. x.nu. =~(XX,i+XX,I+l) (12). I. . 1 ( 1.+ 2) X,I Yx,ltl ). .;;:;;_. ) ,'({I!. Następn ie wykorzystując w dalszym ciągu wierzcholki (x"i'Yx )' (Xx,i+ l 'Yx,i+ l) należy wyznaczyć. parametry funkcji lini owej zgodnie ze wzorem (10)..

(5) I. Nt/llleryczne aspekly relacji porównania .... Funkcję tę można traktować jako wstępną aproksymację liniową ~,. .. orygiIVI nalnej funkcji przynależności ~ox liczby x w przedziale [x" i; xx, i + l] c R. (13) Sprawdzając. czy (14). uzyskujemy informację o stopniu dopasowania funkcji przynależności aproksymującej do oryginalnej. W przypadku spełnienia powyższej zależności można uznać, że w badanym przedziale liniowa funkcja przynależności ~xli odpowiada funkcji ~o., na poziomie zadanego błędu o: /!ox(xJ~./!x/i(x)=I'.",;(x,) dla X,E [x,,;;x x,;+']. (15). W przeciwnym wypadku otrzymujemy dwa nowe zestawy wierzchołków: {(X,. i' Y" i)' (Xxdi'Yx<Ii)} oraz {(X"li'YXd;l, (X"i+PY.',i+I)) (16) Można do nich zastosować ponownie przedstawioną procedurę sprawdzającą, po uprzedniej zmianie numerów wierzchołków. W rezultacie zaprezentowanego sposobu postępowania otrzymuje się zbiór wierzchołków {Wp W2 , ... , W,,} funkcji przynależności aproksymującej na poziomie o- funkcję l'"". Oczywiście można zastosować także inne procedury dopasowania złożenia funkcji liniowych do nieliniowej funkcji przynałeżności. W wyniku zastosowania opisanej procedury można uzyskać wierzchołkowy obraz funkcji przynależności rozmytej liczby rzeczywistej. Dzięki temu notacja tej klasy liczb rozmytych upodabnia się do ogólnego zapisu zbioru rozmytego. Celem rozróżnienia przyjęto jednak, że współrzędne wierzchołków są poprzedzane znakiem tyldy (-). Jak można zauważyć, zapis wierzchołków funkcji przynależności przypomina singletony w notacji zbioru rozmytego:. ". AN(R) = ~ -~AN(H) XAN(/I)i. n«oo,. ER,. (XAN(H)' )/XAN( H)i. ~AN{I/)(XAN(łł)I»O. (17). Przykład. J. Wykorzystanie algorytmu aproksymacji nieliniowej funkcji rzeczywistej liczby rozmytej przez zlożenie funkcji liniowych . AN(R) zdefiniowano zgodnie z następującym schematem, określając. przynależności. jej. Liczbę funkcję przynależności:. _{sin(X) V. ~AN(iI)-. O. V. XE[O;1tl} x~[O;1tl. (18). Tak więc aproksymacja funkcji przynależności liczby dotyczyła przedzialu liczb rzeczywistych [O; nl2). Przy przyjętym poziomie dopuszczalnego blędu.

(6) I. Jacek. aproksymacji li = 0,02 otrzymano w postaci wykresu na rys. 1.. zlożenie. Wołoszyn,. Wit Urban. funkcji liniowych przedstawione. Oil 0,6 ........ .................. .... ..........•..." • ..............•..... ...... 0,4. •.....................•.....•............ ......•..........•......•....................•.•.......... _ .......•.................•....•................ 0,2 o~--------. o. __-.__________. ~. __________. 0,5. ~. 1,5. - sin (x) - A 'x+ B. Rys. I. Aproksymacja funkcji Żr6dlo:. pr zynależności. liczby rozmytej AN(R) IV przedziale [O; nl2]. opracowanie włnsne.. D zięk i przyj ętej. metodzie apro ksymacji liczbę rozmytą AN(lI) mo żna zapisać zgodnie z zasadą notacji zawartą we wzorze (17). AN(R) = "0/0 + "0,191/0,196 + "0,383/0,393 + "0,545/0,589 + "0,707/0,785 + "0,815/0,982 + "0,92411,178 + "0,96211 ,374 + "111,571. 3. Podstawowe definlcle arytmetyki rozmytel Arytmetyka liczb rozmytych została określona przy pomocy podanej przez L.A. Zadeha [Zadeh 1975] zasady rozszerzenia. Wyjaśnić ją można następu" jąco:. Definicja. Ni ech f będ z ie odwzorowaniem XI x .. . x X" --l Y takim , że y = = f(x l , ... , x,,); y E Y'X i E Xi i E N" oraz niech Ai E P(X) V i E N". Iloczyn kar· tezjański Al x ... X Ali przekształcany jest zgodnie z odwzorowaniemfw zbiór rozmyty B E P(Y), określony funkcją przy należn ośc i :. _(x,ex,~~~.ex. min(~A, h),· ··, ~LA,,(x,,)) dla rl(Y);ĆeJ) ~8(Y) - y.[(x, .... ,x. ) Vy E Y Odla rl(y) = eJ. (19).

(7) I. Numeryczne aspekty relacji porównania .. .. Przedstawiona zasada rozszerzenia pozwala znajdować rozmyte odpowiedniki nierozmytych odwzorowali poprzez zas tąpienie koncepcji zmiennej. maj ącej ściśle określoną wartość, koncepcją zmiennej, której przypisano zbiór wartości stopni przynależności charakteryzujących poszczególne potencjalne wartości tej zmiennej. Wykorzystując powyższą definicję można określić podstawowe operacje arytmetyczne na liczbach rozmytych. Podane one zostaną dla klasy rozmytych liczb rzeczywistych. Klasa tych liczb będzie też w dalszym ciągu tej części artykułu wykorzystywana jako punkt odniesienia do rozważaJ\ związanych z arytmetyką liczb rozmytych. Stąd też pojęcia liczby rozmytej oraz rozmytej liczby rzeczywistej będą traktowane zamiennie. Takie zawężenie rozważali do jednej klasy liczb rozmytych zostalo przyjęte przy za lożeniu , że podane definicje stosują się do wszystkich liczb rozmytych. Definicja. Zakładając, że A i B E N(R) oraz przyjmując: a)f(xJ> X2) = Xl + x 2 dla operacji dodawania. A + B E N(R). 11A+/J(Y)=. sup x 1,X2 eR Y"'''"] +,\'2. min(I1A(xl),l1l1h))IIYER. (20). b) f(xl' Xz) = Xl - Xz dla operacji odejmowania, A - B E N(R). I1A,n(Y)=. SUI' xl,xl~R. min(~IA(Xl).I1/Jh)) IIYER. (21 ). Y"'Xl-x2. c)f(xJ> Xz) = X l . x 2 dla operacji. mnożenia,. A· B E N(R). ~IA.n(Y) = sup min(I1A(xr), I1n(xz)) II YER. (22). .tl,·tlER. d) flxJ> x 2) = xliA'z' Xz. ;t. O dla operacji dzielenia, AlB. ~L'I/B(Y)=. sup x]ER,X2. En -{O}. E. N(R). min(I1A(Xl),~t8(xz))IIYER. (23). y=-XJi.t l. Nieco odmienne podejście do definicji działml arytmetycznych na liczbach rozmytych zastosował A. Kaufmann [Kaufmann 1985]. Wykorzystał on wymóg posiadania przez łiczbę rozmytą dwóch własności: wypukłości orllZ normalności. Można wówczas dla liczby rozmytej A wyznaczyć przedziały pewności związane z poziomami dopuszczalności a wartości funkcji przynależności tej liczby. Definicja. [Kaufmann 1985] Jeżeli A E N(R), to poziom dopuszczalno śc i wartości funkcji przynależności A, nazywany dalej krótko poziomem dopuszczalności, a E [O; l] pozwala wyznaczyć przedzial pewności:.

(8) I. Jacek. Wołoszyn,. Wit Urban. (24) Uwzględniając wlasność wypuklości. liczby rozmytej A, można stwierdzić, że Au jest malej ącą funkcją poziomu dopu szczalności a. Wynika z tego kolejna definicja. Definicja. [Kaufmann 1985) Jeżeli A E N(Ił) oraz A spelnia warunek wypukłości, to dla każdych a, a' E [0;1) takich , że a' > a,jeżeli: przedział pewności. Au =[alal;a\Ul]=(XA. ElłliJA(x)~a}. (25) (26). wówczas: (27). lub inaczej: (28). Na podstawie dwóch przedstawionych definicji można określić podstawowe na liczbach rozmytych. Dąfinicja. [Kaul'mann 1985] Jeżeli liczby rozmyte A i B E N(Ił) oraz Au i Bu oznaczają przedziały pewności przy dopuszczalnym poziomie a dla tych liczb wyznaczone wzorami:. działania. Aa =[a!ulAal]=(x A EIRI!IA(x)~a}. (29). =[blal;b~alJ={X8EIłI!lu(x)~a}. (30). Bu. wówczas. a. \;f. E. [0 ;1]. A+ B = [a!a l ; a\al]+lu l ;. b~ulJ= [al"l + bl al ; a~"l + b~nlJ. (31). oraz. Ze. względu. na problemy z jednoznacznym zdefiniowaniem dwóch pozostalych czyli mnożenia i dzielenia, za pomocą przyjętego podejścia [Kaufmann 1985], przestrzelI , w której są określane argumenty tych operacji, została zawę żona do przestrzeni R+. dzialań,.

(9) I. Numeryczne aspekty relacji porównania .... Definicja. [Kaufmann 1985] Jeżeli liczby rozmyte A i B E N(R+) oraz An i Ba oznac zają przedziały pewności przy dopuszczalnym poziomie a dla tych liczb wyznaczone wzorami:. [o!«); O~a)]+A. E. Ołl/!A(X) <! a}. (33). Ba = [b!n) ; b\U)]={XB. E. Ołll-ln(X)<! a}. (34). =. [a!a). b!a) ; ala) .bl«)]. (35). Au =. wówczas V a. E. [O; I]. A· B =. ala)J[ bln); bl. [a!a);. a. )]. oraz. dla b(<<) >O 1. (36). Zastosowane w powyższych definicjach podejście do działm\ arytmetycznych na liczbach rozmytych traktujące przestrzeI\, w której zdefiniowany jest wynik operacji, jako funkcję kolejnych poziomów funkcji przynależności argumentów (poziomów dopuszczalnośc i a), stanowi odwrócenie zasady rozszerzenia L.A. Zadcha. Naturalne rozszerzenie przedstawionych zasad arytmetyki rozmytej stanowią relacje porównani a liczb rozmytych.. 4. Reiacie porównanIa dla rzeczywistych liczb rozmytych Algorytmy relacji porównania, obok procedur numerycznych dla operacji i arytmetycznych, s tanowią istotny sposób przetwarzania danych rozmytych. Przy ich konstrukcji zostało wykorzystane podej śc ie zaproponowane przez A. Kaufmanna [1985]. Jego podstawę stanowi definicja zawierająca określenie nierówności rzeczywistych liczb rozmytych przy wykorzystaniu przedziałów pewności. Definicja . [Kaufmann 1985].Jeże li liczby rozmyte A i B E N(R) oraz A. i Ba oznaczają przedzialy pewności przy dopuszczalnym poziomie a dla tych liczb wyznaczone wzorami: mnogościowych. Aa = [a fa); a~a)]={XA E~I~l,,(x) <!a} Bn to A ~. B,jeś li. Va. E. =. [0;1]. [bl"); bla)] = {xn. E. OłI~l/l(X) <! a}. (37). (38).

(10) I. Jacek WOIOSZY", Wit Urban. (39). Natomiast jeżeli istnieje takie (1., że pomiędzy granicami przedzialów Au i Bu nie zachodzi ten sam typ relacji lub dla różnych CI. zachodzą różnice w kierunku takich relacji, wówczas liczby A i B są nie porównywalne. Przyjęte podejście stalo się punktem wyj ścia do stworzenia za lo żeń dla algorytmów relacji porównania liczb rozmytych. Przy ich tworzeniu wykorzystano także podstawowe standardy obowiązujące w zakresie implementacji programowych tych relacji. W rezultacie otrzymano zbiór zasad, którego najistotniejszymi elementami są następujące założenia: a) porównanie dwóch liczb rozmytych powinno polegać na porównywaniu wartości z ich przedziałów zdefiniowania (w których wartość funkcji przyllUleżności jest różna od zera przynajmniej dla jednej wielkości) dla tych samych wartości funkcji przynależności; b) w wyniku wykonania algorytmu numerycznego relacji porównania algorytm powinien zwracać wartość określającą wynik operacji . Istnieją w tej dziedzinie dwa standardy: - pierwszy oparty na wykorzystaniu wartości logicznych "PRAWDA" oraz "FAŁSZ", w którym pierwsza z nich oznacza zachodzenie określonej relacji, - drugi polegający na odniesieniu wartości logicznych do zbioru liczb calkowityclI. W tym systemie każda wielkość niezerowa stanowi numeryczny odpowiednik logicznej "PRAWDY". Natomiast zero jest ekwiwalentem "FAŁSZU". W niniejszym artykule przyjęto drugie rozwiązanie. Przy uwzględnieniu przyjętych założcIl otrzymano następujące stwierdzenie wykorzystane w procedurach numerycznych wyznaczających wyniki relacji porównania dla liczb rozmytych: NA. ((. (. Ap.N(z). Ap,N(R). = 2,IlA(XA,i)/XA,i. NU. A Bp.N(z). = 2,flll(XB,i)/XB,i AXAIB,i. / .. 1. =. EZ. Jv. 1=1. 2, -IlA (XA,i)/x A,I A B N(,,) = NB 2, - Il o (.<n,i )1x n,i A x Aln.i E lIł. NA. t- I. J) <=>. /=1. A ~ B ~ VXA,i(3xB.i \l Xn.i(3x A,i. A. t\. J..lA(XA,i) = MU(XLł,j) " XA,I ~ Xn,j) A. Iln(x /J.i) = Il" (X;\,i. A < B <=* 'tlx A.i(3x /J,j. 1\. k xA,; ,; x n.i);. ~lA (x II';) ::: ~ln(X 8,j) 1\ XA,i. < .t IJ.;). \lX/ł.i(3x A,i A Il n(x n.i) = ft" (x A,/) 1\ XA,i < x /ł,i):. (40) 1\. (41).

(11) I. Numeryczne aspekty relacji porównania",. A. ~ B {:::} \fx A,;(3X B,j 1\ Il A(x A';) = ).l n(x B,j) /\ x A,i ~ x B,j) 1\ \fx B,j(3XA,j /\).ln(XB,j) = IlA(XA,j)/\XA,i. A> B {:::} \fXA.i(3.tn,j I\J-lA(X A,i) = \fx B,j(3X A,i /\ J-ln(x B,j) = J-lA. A=B. <:=}. \iXA.i(3.tn,j. \Ix nA3x A,i. 1\. 1\. ~XB,j):. ~tn(xn,j) /\XA,i. (x A,i). 1\. (42). > XR,j)/\. xAJ > x B,j);. (43). ~tA (XAJ) = Jln(X B,j) /\ X A,i = XB,j) 1\. ~tB(X B,j) ~!-lA (XA.i) 1\ XA,i ~ XB,j);. (44). Jak wynika z powyższych zależności, wykonanie algorytmów operacji relacji sprowadza się do porównywania wierzchołków w przypadku rozmytych liczb całkowitych, Zastosowanie ich w odniesieniu do rozmytych liczb rzeczywistych rozszerza zbiór potencjalnie porównywanych wartości także o punkty odcinków, w których występuje określona aproksymacja liniowa funkcji przynależności. Uwzględnienie tych wartości następuje w sytuacji, gdy odpowiadająca im wielkość funkcji przynależności jest równa wartości funkcji któregoś z wierzchołków liczby przeciwnej, Z przedstawionych rozważań wynika podstawowe ograniczenie wykorzystywanego algorytmu, Sprowadza się ono w przypadku rozmytych liczb rzeczywistych do zawężenia relacji porównania do skOl\czonego zbioru wartości odpowiadających selektywnie potraktowanym poziomom funkcji przynależno ści (poziomom pewności wedlug [Kaufmann 1985]), Przykład 2, Algorytm numeryczny relacji porównania dwóch rzeczywistych liczb rozmytych, Niech AN(R) oraz BN(R) E N(R) AN(R) ~. B N(R). -0/3 + -116 + -0110. ~ -0/1. + -112 + -0/3. Wówczas wykonanie algorytmu numerycznego polegającego na sprawdzeniu kolejnych relacji zachodzących pomiędzy tymi dwoma liczbami daje rezultaty zamieszczone w tabeli l,.

(12) I. Jacek. Wołoszyn,. Wit Urball. 1,2,.------ - - -- - -- - - - - - - - - - ,. , ,,. ,. ... _. _______ .__ .. _____ ._._._._ _._ _, ... _______ \ ..•. _'•.._ ..___ H._._._._.... _._. ,. O,R. ,,. .. __.... _._·t. ··. 0,6. ,, ,. .._. __. ......" ........ 0,4. ,. ,, ,. ~ _,_. _._.. _. -. _ . ~. __ ._. __ .__ ._._._.. __.,..................... ,. ,. 0,2 - - - - .-- --- - -- - - - - -,'-- ---- ------\ , - - -. ,,. O +---L-~r_----~--~--_r------,---l-__4. 2. 6. 3 AN(R). 10. BN(R). Rys. 2. Liczby rozmyle A NU') i BNIR) Żródło: opracownnie włnsne.. Tabela I. Wyni ki relacji porównania liczb rozmytych A i B (rys. 2) Wynik. Relacja. Uwagi. AN(/ł) :::;: BN(m. FAŁSZ. dla W8 110ści 6 i 10 liczby AN(R) brnk odpowiednich wartości spelninj!}cych zależ ność określollą wzorem (40). < BN(m. FAŁSZ. dla. AN{R). wartości. 3,6 i 10 liczby AN(R) brak odpowiednich wzorem (41). wartości. spełniających za l eż ność określoną. ANIR) ~ BN(/I). PRAWDA. zachodzi zal eżność. ok re ślona. wzorem (42). AI/(R) > BNIR). PRAWDA. zachodzi za l eżność. okreś lona. wzorem (43). FAŁSZ. dla w8I1ości 6 i 10 liczby ANIR) oraz I i 2 liczby IJ/I(/n brak. ANIR). = BNI R). odpowiednich. wartości spełniających zależność ok reś l onq. wzorem (44). Literatura Chang W.K. . Chow L.R _, Clmng S.K . [1984] . Arif/łllIl!lic Opera/iol/s Oll Lcvcl Sct!.' oj COIJIICX Fuzzy N/lmbers. Fuzz)' Sets (/Iul Systems, Kaufmalln A., GlIptn M.M. [1985], Illtl'Oduclio/l lo Fl/zzy Arithmctic: Theory alld ApplicllliollS, Van Nostrund, New York. Ostnsiewicz W. [1986], Zaslosowanie zbiorów rozmytych II' ekollomii, PWN, Warszawa. Wołoszyn J. [1990], Gra{ify rozmyte i możliwości ich wykorzystallia IV ekoJ/omii, Zeszyty Naukowe AE W Krnkowie, Seria specjalnn: Monografie, Kraków, nr 90. Zadch L. A. [1965], Fuzzy Scl.\' , ,,]nformntion nnd Control", nr 8. Zadch L.A, [1 975], Tlle COl/cep' oj a Lillgu;slic: Val'iable al/d lIs Applicll1;ol/ 10 Approximate ReasDllillg "Information SciCIlCCS" nr 8. t. t.

(13) Numeryczne aspekty relacji porównania .... I. Zadch L.A. [1997], Fuzzy Sets and Tlleir AppUcatioll to Pattem Classificatioll wul Clusterillg Allalysis [w:] Classification and C/lIstering, 1. Van Ryzin (cd.), Proccedillgs of an advanccd scminar conductcd by the Mathematics Rescarch Center, Univcrsity of Wisconsin-Madison, May 3-5.. Numerical Aspecls ol Comparison Relation ol Real Fuzzy Numbers The article presents numerical algorithms for comparisoll relatiol1 af real fuzzy numbers. The structure af these algorithms is based on the conception of cewlinty intervals (fonnulated in [Kaufmann 1985]) and on the basic properties of fuzzy numbers..

(14)