Elementy osobliwe i rozszerzenie pojęcia komutacji w obwodach elektrycznych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: ELEKTRYKA z. 79

1982 Nr kol. 7J3

Lesław TOPÓR-KAMIŃSKI

instytut Podstawowych Problemów Elektrotech' :_ki i Energoelektroniki Politechniki śliskiej

ELEMENTY OSOBLIWE I ROZSZERZENIE POOĘCI* KOMUTA 01 W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

S t r e e z c z e n l e . Pokezeno zastosowanie elgebry 3oole'a do opisu układów złożonych z elementów osobliwych oraz sposób szukania dla nich sieci równoważnych. Zdefiniowano komutator elektryczny jako pa­

rametryczny dwójnik osobliwy oraz podano Jago modele teoretyczne z zastosowaniem źródeł sterowanych o zmiennym współczynniku wz mo cn ie­

nia.

1. WST^P

W roku 1961 Carlln i Youls [l] wprowadzili pojęcie elementów osobli­

wych nullatora, noratora oraz nullora, zwanych także patologicznymi lub z d e g e n e r o w a n y m i , w których wartości napięć 1 prędów określa się tylko J a ­ ko zerowe lub dowolne (rys. l).

a)

Ó

nuttator u * 0 , 1 * 0

b)

nora tor u , i - ^dowolne

Rys. i

0 00

nullor

U1 II 0 0 U2 0 o

*2

Teoretycznie mogę one być zamodelowene za pomocę żyretora lub cyrkula- tora w układach podanych na rys. 2. Sę one Jednak niereelizowalne fizycz­

nie, gdyż posledaję nieskończenie dużę czułość na zmiany elementów uk ła­

du.

6 L. T o p ó r - K a m l ń s k l

a)

rO i ^b) O ^-1

n u i ± n

nullator

4

n H norator -1

Rys. 2

J“!

Elementy te posłużyły następnie do modelowania układów aktywnych, ta­

kich jak: inwertory (2 ], żyratory [3], źródła sterowane [4 ], inwertory d o ­ datnio impedancyjne [6j orsz uogólnione konwertory impedancyjne [ 7 j , za- wierajęce tranzystory lub wzmacniacze operacyjne. Do dwójników osobliwych zostały także zaliczone Idealne zwarcie oraz przerwa w układzie elektrycz­

nym [5] (rys. 3).

a)

i-dowolne 1 u - 0 zwarcie

b)

i i-0 u-dowolne

przerwa Rys. 3

l i

u u

Rys. 4

Dwójnikom osobliwym odpowiedaję pewne zbiory punktów na płaszczyźnie i-u przedstawione na rys. 4. Sę to dla nullatora punkt (0,0), dla n o rra- tore cała p ł a s z c z y z n a , d la zwarcie oś i, dla p r z e r w y oś u.

Dak w y n i k a z d o t y c h c z a s o w y c h z a s t o s o w a ń , d w ó j n i k i o s o b l i w e u m o ż l l w i a j ę m o d e l o w a n i e i d e a l n y c h u k ł a d ó w p r z e n o s z ą c y c h s y g n a ł p r ę d u lub n a p i ę c i a przy

E l e m e n t y o e o b l l w e i r o z s z e r z e n i a polec l e. . . 7

zerowej mocy (np. Idealne źródła eterowane) , występując w nich Jako e l e­

mentarne części składowe obwodu.

2. ZASTOSOWANIE AL GE BR Y BOOLE'A DO OPISU ELEMENTÓW OSOBLIWYCH

(i)

działania algebry Wprowadźmy odwzorowanie zbioru liczb rzeczywistych R w zbiór dwuele- mentowy j0 «1} ** następujęcy sposób:

- Jeżeli x e R i może przyjmować wartość dowolnę, to odpowiada Jej element “1" ze zbioru {0 , 1 J - jeżeli x e R 1 Jest równa tylko zero, to

odpowiada jej element " 0 “ ze zbioru j0 «1)

Zakłada o i ę , źe elementy zbioru spełniaję Boole'8 (negacja, alternatywa, koniunkcja, równoważność).

Korzystajęc z powyższego odwzorowania, napięcia i prędy dwójników oso­

bliwych można także określić Jako elementy ze zbioru jo.lj. Zatem każdy taki dwójnik można opisać formułę boolowskę o następujęcej postaci:

Ai + Bu - O, (2)

g d z i e :

A,B - operatory logiczne mogęce przyjmować wartości ze zbioru {°.l}

i,u - pręd i napięcie

- odpowiednio działania logicznego mnożenia, dodawanis i równoważności.

Z8tem własności tak opisanego dwójnlka osobliwego określa jednoznacz­

nie para operatorów ^a,bJ. Można więc napisać:

11 + lu ■ O — — i1 '1} “ d *a n u lla t ° r a ł li + Ou * O — — i1,0} “ d *8 P r z e r w y ,

01 + lu « O — — - dla zwarcia,

Oi + Ou = 0 — *- {°>°} “ dla noratora. •

Poszukiwanie dwójników osobliwych równo­

ważnych do danych i połęczonych w pewnę sieć sprowadza się do wykonania odpowiednich d z i a ­ łań logicznych na opisujęcych je operatorach.

Połęczenie szeregowe dwójników osobliwych dj, d2 (rys. 5), opisanych formułami (3 ) i (4), Jest równoważne dwójnikowi d opisanemu re­

lację (5).

d l : V + Blu l * 0 (3>

8 L. T o p ó r - K a m l ń s k l

♦ BgUg ■ 0

d:(.Ai ♦ Ag)! + (B1 . Bg)u

(4)

(5)

Połączenie równoległe dwójnlków osobliwych dj , dg (ry6. 6), opisanych foraułeal (6), (7), Jest równoważne dwójnlkowl d opleaneau relacje (0 ).

U

¿2

Rys. 6

d l ! A lil * B lu " 0

+ B_u - O d2 : Agig - Ug

: (Aj . Ag)i + (B1 + Bg)u « O

( 6 ) (7)

(e)

rOCh

Rys. 7

Przykład l: Znaleźć dwójnlk osobliwy równoważ­

ny równoległemu połączeniu noratora 1 nulletora (rys. 7).

Na podstawie (8) otrzymuje się ( O . l ) i + ( l +

♦ 0)u ■ O, czyli 01 + lu » O.

Z relacji (2) wynika, że dwa dwójnlkl osobliwe d^ 1 dg można uważać za r ó wn ow aż ne, Jeżeli opl-

I

Rys. 8

I

Elementy osobliwa 1 rozszerzenie pojęcia... 9

eujł Je Jednakowe pary operatorów Aj., B a oraz *2 * B2 • Umożliwia to dokonywanie tr an sflguracj1 trójników osobliwych o strukturze trójkęta na strukturę gwiazdy (rys. 8).

Nalały w tym calu określić formuły boolowskie więźęce operatory opisujące dwójnlkl trójkęta z operatorami . b k , opisującymi dwójnlki równoważnej gwiazdy. Dokonać tego można dwoma sposobami:

a) Uzleaiajęc kolejno dwa wierzchołki trójkęta, a otrzymany w ten sposób dwójnik wi dziany między trzeslm wierzchołkiem a ziemię będzie równo­

ważny dwójnlkowi w ramieniu gwiazdy wychodzęcym z tego wierzchołka (rys. 9).

Odpowiada on wtedy równoległemu połęczeniu dwójnlków trójkęta stykaję- cych się z tym wierzchołkiem.

b) Pozostawiajęc wierzchołki trójkęta n l e o b c i ę ż o n e , zakłada się równoważ­

ność odpowiednich dwójnlków widzianych między kolejnymi wier z­

chołkami w trójkęcia i gwleżdzle 1 na podstawie opisujęcych Je równań określa się zależności między operatorami opisujęcymi dwójnlkl składo­

we D fc i d k (rys. 10).

Rys. 9

Rys. 10

10 L. Topór-Kamlrtskl

Zależności te na podstawie relacji (5) i (8) maję postać:

*

3) - a3 * 81 ■ k a2(a3 ♦ Ai) - al + a2 ‘ k;

V A1 +

2) = a2 ♦ a3 * k:

B1 * (B2 • 03> " b3 • bi = B2 + <B1 • B3> U < T

• b2 ’ B3 ♦ <B2 * Bl) = b2 ■ b3 *

(9)

(10)

Sposób pierwszy prowadzi do określenia tylko Jednego równoważnego ukła­

du gwiazdy, natomiast sposób drugi pozwala określić wszystkie równoważne do zadanego trójkęta gwiazdy. Jeżeli Jest ich więcej niż Jedna.

Przykład 2: Określić trójniki gwiazdowe równoważne trójkątowi osobli­

wemu przedstawionemu na rys. 1 1 , zawierającemu nullator orez dwie przer­

wy.

w oparciu o relacje (9) i (lO) otrzymuje się:

i Rys. 11

kl " k2 = k3 " 1

l l ' l2 ‘ X3 = 0

(1 1) (

12

Wynik (ll) równoważny Jest czterem wariantom w a r ­ tości operatorów a^, a2 , b^ przedstawionym w ta­

beli X. Natomiast wyniki (l2) dają wartości ope­

ratorów :

bl " b3 ■ b2 ■ 0

Tabela I

Elementy osobliwe 1 rozszerzenie pojęcia. 11

Zatem trójnik z rys. 11 posiada cztery równoważne układy gwiazdowe przed­

stawione na rys. 12.

Rys. 12

Sposobem pierwszym otrzymuje się tylko układ a) z rys. 12, natomiast u- kład c) równoważny Jest pokazanemu w pracy [ o ] . Powyższe metodę ok re śl a­

nia układów osobliwych równoważnych można łatwo uogólnić na dowolne wie- loblegunniki n-zaciskowe.

3. KOMUTATOR ELEKTRYCZNY 3A K O PARAMETRYCZNY DWÓ3NIK OSOBLIWY

Klasyczny idealny komutator elektryczny jest to osobliwy dwójnik para­

metryczny, który zmienia swój sten z przerwy na zwarcie lub odwrotnie.

Oznacza to dla opisujęcych go operatorów logicznych zmianę ich obu wa r t o ­ ści z 1 na O i odwrotnie.

jl, oj = 1 = jo, lj (13)

Analogicznie możne dokonywać zmiany wartości operatorów dle innych par dwójnlków osobliwych. Prowadzi to do otrzymania sześciu komutatorów, któ­

rych przejścia przedstawione sę strzałkami w tabeli II. Komutacji kla­

sycznej przerwa-zwercie oraz ‘komutacji nullator-noretor (oznaczonych strzałkami na przekętnych tabeli II) odpowia­

da logiczne działanie negacji obu opisujęcych je operatorów A, B.

{ V B2) - ( v Bij (14)

Natomiast pozostałe cztery rodzaje komutacji otrzymuje się przez zanegowanie tylko Jednego z operatorów opisujęcych.

W ogólnym przypadku element komutujęcy m o ż­

ne opisać relację:

12 L. Topór-Kamióskl

A( t )i + B ( t )u = 0, (15)

w której A(t) oraz B(t.) sę operatorami niestacjonarnymi, czyli:

(16)

(17)

r Zr

A(t) - #A ( t ) .

B(t) • i B ( t ) ,

nr Rye. 13

gdzie § (t) Jest zerojedynkowa funk­

cja czasu. ZakładaJac kwantyzację cza­

su na odcinki, t , można funkcję (t) przedstawić Jako cięg odcinków zer 1 Jedynek (rys. 13).

W relacji (l5) między operatorami niestacjonarnymi mogą zachodzić na­

stępujące zależności:

(18)

dla każdego t, to wtedy dwójnik Jest klasycznym elementem komutującym zwarcie-przerwa

*A * *B

dla każdego t, wtedy element Jest komutatorem nulletor-norator. W ogól­

ności doblerajęc odpowiednio przebiegi czasowe funkcji # A oraz # Q , można otrzymać dowolnę kolejność zmian operatorów określających komutator wzdłuż strzałek opisujęcych Je w tabeli II. Przykładem obiegu lewoskrętnego wzdłuż strzałek zewnętrznych będzie komutator określony operatorami opisanymi za pomocę cięgów czasowych (l9s) (rys. 14).

a(t ) - {i. 1. 0. 0 ...]

(I9a) B(t) - |o. 1, 1, 0 ...J

Rys. 14

Elementy osobliwa 1 rozszerzenie pojęcia. 13

Szukając dwójników równoważnych dla aleci złożonej z elementów os ob li­

wych i uogólnionych komutatorów opleanych operatorami logicznymi ni es ta­

cjonarnymi t (t) należy uwzględnić naetępujęce reguły:

oraz dodatkowo:

$ . 1 - i

t . O - 0

$ + 1 » 1

$ + 0 « $

• ♦ i « 1

i • # - o

* - i - #

i * 5 = $

(2 0 )

(21)

(2 2 ) (23)

(24)

(25)

(26)

(27)

Przykład 3: Należy określić dwójnik osobliwy D równoważny układowi po­

danemu na rys. 15, zawierajęcemu komutator K opisany logicznymi opera­

torami ni estacjonarnymi | $ A , # BJ .

Stosujęc kolejno podane poprzednio metody znajdowania dwójników o s o b ­ liwych równoważnych dla trójkęta, połęczenls szeregowego i równoległego otrzymuje alę układy z rys. 15 b) c) i d) ; z których wynika tożsamość dwój- nike D z komutatorem K.

{ M

}

Oznacza to, że układ z rys. 15a) nie zmienia operatorów logicznych dw ój­

ników osobliwych do niego przyłączonych. Ogólnie dwójnik 0 j A , b| (rys.

14 L. T o p ó r - K a m l ń s k l

1 4 ) dla dowolnych elementów składowych opisany J e 3 t operatorami (28), (29). z których można natychmiast otrzymać wynik z rys. 15d).

A . AlA2 ♦ (A l łA ♦ A 3 )(A2 fA ♦ A4 )

B - (81 ♦ B2 )[b3 (B1 ♦ # B ♦ 04 (B2 ♦ * B )]

(28)

(29)

4. TEORETYCZNE MODELE ELEMENTÓW OSOBLIWYCH NIESTACOONARNYCH

Klasyczny komutator elektryczny przerwa-zwarcie realizowany jest w oczywisty sposób przez układ mechaniczny lub przez bezstykowy przełącznik elektroniczny.

Komutacje norator-nullator w sposób teoretyczny możne zamodelo- wać w układach przedstawionych na rys. 2 w dwojaki sposób - poprzez zmianę rotacji (żyracji) lub zm ia­

nę znaku rezystancji obciążających.

Ze względu na fakt, że w modelach układów fizycznych nullator i no- rator występuję zawsze parami (nul- lor) , uogólniony komutator elek­

tryczny można uzyskać za pomocę źródeł sterowanych o zmiennym ws pó ł c z y n ­ niku wzmocnienia k. W tabeli III przedstawione sę cztery takie możliwoś­

ci. przy caym współczynnik k powinien przyjmować wartości 0 lub oo , Co odpowiada funkcji $ o wartościach jo, lj. W każdym przypadku otrzymuje się sprzęźonę (a2 • Aj, Bg = §j) parę komutatorów o Jednym operatorze logicznym zależnym od czasu (rys. 1 6 ).

Rys. 16

Przykład 4: Należy określić operatory oplsujęce dwójnik Ow w układzie (rys. 17), zawierajęcym dwie pary komutatorów sprzężonych typu 1 w tabe­

li III.

Korzystając z relacji od (20) do (29) otrzymuje się:

Aw * 1 . 0 + (lA ♦ 0)(0A + l) (30)

Bw = 8 + *cf ■ ?(ł + * # 0 * (31) co ostatecznie daje wynik:

Aw = A (32)

Tabele XIX

E l e m e n t y o s o b l i w e 1 r o z s z e r z e n i e pojęcia. 15

16 L. Topór-Kaairtskl

B -w

B dla # „ - § £

dla # „ -

(33)

Przykład 5: Określić dwójnlk Ow oplsujęcy układ z rys. 18, zawiera­

jący dwie pary komutatorów sprzężonych typu 4 w tabeli III. Korzystajęc z relacji od (20) do (29) otrzymuje się:

co daje wynik:

Aw - y < v

) ( v

Bw - (l + 0)[o(l + B) ♦ l(0 ♦ B)] ,

(34)

(35)

A dla

* *

1 dla

B a IV B

(36)

(37)

w obu przedstawionych przykładach dla - 1 układy a« nullato- rowo-noratorowyal modelami konwertora ujeanoiapedancyjnego. Natomiast dla Ą ę » i p m O realizuję bezpośrednie przyłęczenie dwójnika |a, b} do za­

cisków wejściowych (d^).

5. UWAGI KOŃCOWE

Przedstawiona metoda opisu układów złożonych z elementów osobliwych pozwala w prosty sposób określać własności tych układów oraz poszukiwać sieci równoważnych, zawierajęcych t a k t u uogólnione komuta to ry elektrycz-

Elementy osobliwe 1 rozazerzenle pojęci». 17

ne. Wydaje się Możliwe rozszerzenie podanej metody ns układy zawierające inna dwójnikl, takie jak idealna źródła ę u t o n o a i c z n e , idealne eleaenty diodowe oraz konutatory sterowane prędee i napięciem.

LITERATURA

fi] Carlin H . O . , Youla O . C . : Network synthesis with negative resistors.

Proc. IRE 49 1961.

[2] Braun 0. : Equivalent NIC Networks with Nullators end Norators. IEEE Trans, on CT September 1965.

[3] Bendik 3.: Equivalent Gy rator Networks with Nulleters end Norators.

IEEE Trane, on CT. March 1967.

£4] Deviee A . C . : Nullator - Norstor Equivalent Networks for Controlled Sources. Proc. IEEE Ma y 1967.

[5] Davies A . C . : The Significance of Nullators, Norators and Nullors in Active - network Theory. The Radio and Electr. Engin Noveaber 1967.

[6] Pauker V . M . : Equivalent Networka With Nullors for Positive Iaaittance Inverters. IEEE Trans, on CT Noveaber 1970.

[7] Bruton L . T . : A Transistor Realization of the Generalized lapedance Con­

verter. The Radio and Electr. Engin March 1972.

[]8] Myers B . R . : Nullor Model of Tranalstor Procc. IEEE 3uly 1965.

Wpłynęło do redakcji 24 IV 1981 r.

Recenzent: doc. dr hab. inż. Kazimierz Mlkołajuk

AHOMAJlhHHE HEUH H PACBMEEHHE JlOHHTHfl KOI.ttiyTHPOBAHHH aJIEKTPH'ffiCKHX KEHEil

P e 3 » m e

I l p e z c T a B z e a u

npsueaeH ae SyzeBOfl

aHouazbHuz

KOMMytarop onpezeM eiC H zax

panelpK^ecKyu aHOMaxbHy» te n b ,

npHBo- A

ero TeopeTHxecKHe

&

ynpaBjiaeniix

nepe-

M6HHHM KO S^ X jH U H eH TO M y C U J ie H K K .

18 L. Topdr-Kamlriskl

SINGULAR ELEMENTS AND THE ENHANCEMENT OF THE IDEA OF COMMUTATION IN ELECTRIC CIRCUITS

S u m m e r y

The application of Boolean algebra for the description of the networks made of singular elements and the method of finaing their equivalent cir­

cuits were shown. Electric, commutator was defined os a singular network.

Its theoritical models with the use of controlled sources with variable amplification factor were given>

I