Predykcja niezawodności górniczych maszyn wyciągowych

ZE SZ YT Y NA UKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEO 1981

Seria: GŚRNICTWO z

.

Gacek M. CZAPLICKI

PREDYKCJA NIEZAWODNOŚCI GŚRNICZYCH MASZYN WY CI ĄGOWYCH

t

S t r e s z c z e n i e . W pracy rozważano problemy wnioskowania w przy­

szłość o ks zt ałtowaniu się podstawowych wskaźn ik ów niezawodności gór­

niczych maszyn wyciągowych. Zaprezentowano prognozy punktowe i prze­

działowe, a także predykcję bayesowską.

1. Wstęp

Pr zeprowadzając badanie niezawodnościowe maszyn wyciągowych - a ęc badanie, w wy ni ku którego określa się wart oś ci wybranych ws ka źn ik ów i prze­

biegi charakterystyk niezawodności tych obiektów, dokonujemy s f or mu ło wa­

nia diagnozy niezawodnościowej. Postawienie diagnozy, tzn. określenie eta­

nu maszyny wyciągowej w czasie A t , pozwala na podjęcie decyzji odnośnie do dalszego z nią postępowania. Może to być decyzja o jej dalszym uż ytko­

waniu, o podjęciu przedsięwzięć profilaktycznych, terapeutycznych. Można także podjąć decyzję o wp ro wa dz en iu zmian w ko ns tr uk cj i;technologii w y ko na­

nia części, podzespołu lub zespołu; można także podjąć decyzję o zmianie sposobu eksploatacji maszyny. Naturalnym pytaniem po postawieniu diagnozy jest pytanie o zachowanie przyszłe maszyny wyrażone interesującymi ws k a ź ­ nikami lub charakterystykami.

Przedmiotem rozważań niniejszej pracy Jest wnioskowanie w przyszłość kształtowania się podstawowych ws ka źn ik ów niezawodności maszyn w y c i ą g o ­ wych. Z uwagi na to, że z niezawodnościowego punktu widzenia, in teresu­

jący jest proces odnowy o skończonym czasie odnowy maszyn wyciągowych (pro­

c e s : praca - naprawa) oraz strumień awarii niebezpiecznych, dlatego omó­

wiona zostanie predykcja głównych parametrów statystycznych tych procesów.

2. Predykcja podstawowych wskaźn ik ów niezawodności górniczych maszyn wyciągowych w orocesle praca - naprawa

Powyższy proces w eksploatacji maszyn jest w znakomitej większości przy­

padków (jak wy kazały badania [1]) procesem stacjonarnym. Wychodząc zatem z zasad projekcji [6] można przyjąć, że uzyskane z badania oceny punktowe podstawowych wskaźników niezawodności maszyn, tzn. średnich czasów trwa­

nia stanów: naprawy i pracy pomiędzy naprawami oraz współczynnika gotowo­

ś c i , stanowię prognozy punktowe tych wskaźników. Wnioskowanie powyższe Jest Jednak mało precyzyjne. Wyznaczmy zatem, dla uzyskania większej in­

formacji, prognozy przedziałowe tych wskaźników.

Wiadomo [4], że rozkłady czasów trwania stanów naprawy i pracy pomię­

dzy naprawami sę rozkładami klasy gamma. Oznaczmy przez Ga(b,q) rozkład czasów trwania stanu pracy pomiędzy naprawami, a przez Ga(a,w) rozkład czasów trwania stanu naprawy. Przyjmijmy, iż wnioskowanie w przyszłość prowadzimy dysponujęc pobranę próbę statystycznę o l i c z n o ś c i : n Ł - czasów trwania stanu pracy.pomiędzy naprawami i n2 - czasów trwania stanu n a ­ prawy.

Wiadomo, że iloczyn 2q n t T , gdzie: T p - estymator wartości oczeki­

wanej czasu trwania stanu pracy pomiędzy naprawami, ma rozkład 1 o 2njb stopni swobody. Oeżeli zasięg wnioskowania w przyszłość wynosi m przy­

szłych czasów trwania stanu pracy pomiędzy naprawami, to można stwierdzić podobnie, iż 2q m t£P) : i 2 (2m b); gdzie t£P * - przyszła wartość śred­

niego cżasu trwania stanu pracy pomiędzy naprawami.

Bioręc pod uwagę, że iloraz dwóch statystyk X 2 ma rozkład F Snede- cora, można zapisać, iż

P

Stęd łatwo zauważyć, że

p{T p . F1 (2mb,2n1b ) « t£P ) =s T p . F2 (2mb ^ n ^ ) } - 1 -et (2)

określa prognozę przedziałowę dla średniego czasu trwania stanu pracy po­

między naprawami.

Z powyższej relacji można uzyskać prognozę przedziałowę sumy m przy­

szłych czasów trwania stanu pracy pomiędzy naprawami, albowiem

m

pjmT . F 1 (2mb,2n1b) =s tp i )(P)=s m T pF2 (2mb.2n i b ) } - 1 -et (3) i»l

Analogicznie uzyskuje się prognozy przedziałowe średniego czasu trwa­

nia stanu naprawy i sumy m przyszłych czasów trwania stanu naprawy.

Bioręc z kolei pod uwagę, iż [2]:

Predykcja niezawodności.. 61

g d z i e ;

T - estymator wartości oczekiwanej czasu trwania stanu naprawy, (Pi' - wa rt oś ć przyszła, średniego czasu trwania stanu naprawy,

otrzymujemy prognozę przedziałową dla przyszłej wartości współc zy nn ik a go­

towości dla m przyszłych par czasów trwania st an ów ze wzoru

p{ Kg . [ K g + (Kg - l ) Q 2 (2ma.2m2 a.21*6,20^)] 1 =£

Kg [Kg - (Kg - l ) c1 (2ma.2m2 a , 2m b. 2n1b)]

g d z i e :

,-1

1 -oc , (5)

Kg - współczynnik gotowości maszyny.

Zmienna losowa Si (ii,32 ,i3 »84 ) jast il orazem dwóch statystyk Snede< a oraz leżeli 3 ^ = 5 3 i 3 ^ = 3 ^ , to dla znalezienia kwantyli rozkładu zmiennej Q można korzystać z ta blicy zamieszczonej w artykułach [2, 5], Dla dużych m, n, można korzystać z następującego os za­

cowania [ 2 ]:

n0 + ra - ■ - ł J ot = exP-

■ *2 j,

u<*^n2 ma + n*mb ^ (6)

gdzie: ^

u K - kwantyl rzędu oe standaryzowanego rozkładu normalnego N(0,l).

Innym sposobem uzyskiwania prognoz punktowych i przedziałowych średnich czasów trwania st anów i sum czasów trwania st an ów Jest wykorz ys ta ni e za­

sad predykcji bayesowskiej.

Rozważmy problem predykcji w odniesieniu do sumy m przyszłych czasów trwania stanu pracy.

nl

Załóżmy, że dana Jest informacja x = tpi* Rozkład ted zmiennej lo-

sowej Jest postaci ial 1

f(x) = GaCnjb.g). (7)

Przyjmijmy, że q jest zmienną losową o rozkładzie f(q).

Można wyzn ac zy ć rozkład a posteriori ze wżeru

X ) = q? .

f(q)f(x q)dq

\ 1 f p \ A zatem predykcyjny bayesowski rozkład zmiennej losowej y = / *pi

i=l można otrzymać z zależności

f(y x) =f f(y|q)f(q |x)dq, (9)

g d z i e :

f(y|q) = Ga(mb,q).

W przypadku całkowitej niewiedzy o rozkładzie a priori f(q) przyjmu­

je się

f(q) = q-1 (10)

i wówczas

1 k" 1*5 u1"13" 1

f(y|x) = B" (n^b,mb ) (ll)

( x + y ) 1

Predykcyjna wartość oczekiwana dla m b c «

E(y x) = x- (12)

natomiast wariancja predykcji w tym przypadku

d 2 (y|x) = E(y|x) 2 x - E (yIx >]- (13)

Bioręc pod uwagę, że zmienna losowa

n,y z = ^

ma rozkład F ( 2m b, 2n1b), można otrzymać prognozę przedziałowę zmiennej lo­

sowej y ze wzoru

p{2 - x F 1 (2mb,2n1b) S y (P) == x F2 (2mb ,2nib ) } = 1 - ec (15)

Uzyskane tę drogę prognozy sę jednak mało dokładne. Dlatego, w celu podniesienia efektywności wnioskowania w przyszłość, zidentyfikowano roz­

kład parametru q w rozkładach czasów trwania stanu pracy pomiędzy napra­

wami otrzymujęc

Predykcja niezawodności.. 63

f(q) = Ga(/J = 1 «32; T = 422).

Predykcyjny rozkład warunkowy opisuje wzór

-1 yml5-l T + X n ib+/3

f(y|x) = B (Bb.njb*/*) * mŁVn b+A “ rVs * 1 (x+y+T) 1

(16)

(17)

Rys. 1. Funkcje gęstości predykcyjnego rozkładu sumy m = 1, 2, 3 przy­

szłych czasów trwania stanu pracy

(18) Predykcyjna wartość oczekiwana dla mb € ii

=<V «> ■ ( ! $ $ •

natomiast wari an cj a predykcji w tym przypadku

¿ 2 ( ylx) = E(y,x) - E(y |x)j . (19)

Podobnie

n lV

*(x+T) ^{( 2 0 )}

ma rozkład F(2m b, 2n1b + 2^3). Stęd bayesowska prognoza przedziałowa okre­

ślona jest wz or em

p | S - ( x+T) F1 (2mb.2n1b+2/}) s y=S — (x+T) F2 (2mb.Zń^+Zji) j = 1 -ci (21)

i

Dla stanu naprawy zidentyfikowano rozkład parametru w otrzyroujęc

f (w ) = Ga(l,27; 1.11). (22)

3. Predykcja pr awdopodobieństwa niepojawienia się awarii niebezpiecznej w czasie przyszłym T

Pod pojęciem awarii niebezpiecznej maszyny wyciągowej przyjęto uważać takie uszkodzenie maszyny, w wy ni ku którego następuje przejechanie naczy­

nia wy ci ąg ow eg o przez krańcowe poziomy i uderzeniu tego naczynia w belko odbojowe.

Najbardziej interesujące wydaje się wyznaczenie funkcji prawdopodobień­

stwa niepojawienia się awarii niebezpiecznej w żadnej z eksploatowanych maszyn wyciągowych w Polsce w czasie przyszłym T. 3ak wykazały badania

[1], strumień awarii niebezpiecznych maszyn wyciągowych w Polsce Jest stru­

mieniem stacjonarnym pojedynczym o czasach pomiędzy awariami klasy gamma

W celu rozwiązania tego problemu sięgnięto do infor­

macji, Jakie uzyskano w w y ­ niku badania prawidłowości te­

go typu awarii.

Wychodząc z zasad projek­

cji [6] można stwierdzić, że funkcja prawdopodobieństwa niepojawienia się awarii nie­

bezpiecznej określona jako

PQ (t - T) = 1 - G(t = T), (23)

g d z i e :

G ( t ) - dystrybuanta czasów pomiędzy awariami niebezpiecznymi maszyn w y ­ ciągowych w Polsce obrazuje interesującą nas krzywą - rys. 2.

Jednakże dysponując funkcją P0 (t) można twierdzić stele, bez względu na dalsze płynące z realizacji strumienia informacje, że funkcja prawdo­

podobieństwa niepojawiania się awarii niebezpiecznej w czasie Jest taka sama. Niezbędne jest zatem włączanie informacji uzyskiwanych w miarę re­

alizacji strumienia. Informacje te powinny być wykorzystane w pierwszym rzędzie do podniesienia efektywności oszacowania parametrów rozkładu opi­

sującego czasy pomiędzy awariami niebezpiecznymi, gdyż liczba awarii nie­

bezpiecznych w czasie jest niewielka. Można to uczynić, biorąc pod uwagę dwa rodzaje informacji, jakimi dysponuje śię w wyniku obserwacji strumie­

nia;

- dane jest n czasów pomiędzy awariami niebezpiecznymi; tmi *i“ 1 *2 ...

Ga [ji, tp ] ze średnią wynoszącą ok. 200 dni.

Rys. 2. Prawdopodobieństwo bezawaryjnej pracy górniczych maszyn wyciągowych w

Polsce

Predykcja niezawodności... 65

- dane jest n czasów pomiędzy awariami niebezpiecznymi oraz czas od ostatniej awarii niebezpiecznej do chwili obecnej.

W pierwszym przypadku konieczne jest najpierw zweryfikowanie hipotezy głoszęcej stacjonarność czasów pomiędzy awariami, a następnie dokonanie estymacji parametrów. Kolejnym krokiem jest przeprowadzenie badania zgod­

ności rozkładów empirycznego skonstruowanego z czasów tm i ; i = l,2,...,n oraz teoretycznego z ocenami parametrów uzyskanymi z estymacji. Jeżeli zarówno test stacjonarności, jak i zgodności nie dadzę podstaw do od rz u­

cenia weryfikowanych hipotez, wówczas uzyskane oceny parametrów mogę st a­

nowić podstawę do wy zn ac ze ni a funkcji PQ (t).

<V przypadku drugim, wy korzystujęc informacje a priori, że cięg czasów t , s i = l,2,...,n Jest stacjonarny i, że te zmienne można opisać klasę

ffl 1

rozkładów gamma, można przystępie do estymacji parametrów w oparciu o bayesowskę procedurę przy całkowitej ignorancji o rozkładzie parametrów:

3 P p l n ^ m i b i t J J n( f)" p § tni r(?>.tb ^ ) j

'I-i [ J m ^ V e ___________ (1 - r W " i a o.

L i-l i = _ ______________i ż l---i = O.

(DlJJ 0Cf>

/ g d z i e :

8 (tB i ) - zdarzenie polegajęce na pojawieniu się i-tej awarii niebez­

piecznej po czasie tmi od poprzedniej,

£ ( t b ) - zdarzenie polegajęce na niepojawieniu się awarii niebezpiecz­

nej po czasie t^ od ostatniej awarii.

Niezbędne jest również spełnienie warunku dostatecznego istnienia eks­

tremum funkcji w punktach będęcych ocenami parametrów uzyskanymi z rozwięzania równań (24). Uzasadnienie powyższego rozwięzania można z n a­

leźć w artykule [3].

Uzyskane tę drogę oceny parametrów stanowić mogę podstawę do wy znacze­

nia szukanej funkcji P0 (t).

Z chwilę gdy oszacowania parametrów uzyskane będę w oparciu o licznę próbę, wówczas korzystne jest rozważenie warunkowego prawdopodobieństwa, że nie pojawi się awaria niebezpieczna w czasie T pod warunkiem, iż w

n

czasie poprzedzajęcym A t = tBi ♦ t^ zaobserwowano n awarii tego typu, tzn. i»l

TlAt,

p0 (t) . Pn U t )

P ( A t + T ) * (25)

Powyższy wzór może stanowić podstawę do bieżącego wnioskowania w przy­

szłości o niepojawieniu się awarii niebezpiecznej w czasie przyszłym T.

LITERATURA

[1] Antoniak 3., Brodziński S . , Czaplicki 3., Lutyński A.: Badania nie­

zawodnościowe urządzeń w y c i ąg ow yc h z uwzględnieniem badań rozrucho­

wych. Praca nauk.-bad. IMG, Pol. 'Sl., (mat. nie publ,), 1976-1980.

[2] Czaplicki 3 . M . : Estymacja i predykcja przedziałowa niektórych ws ka ź­

ników niezawodności odnawialnych ob iektów tecnnicznych i ich systemów.

Przegląd Statystyczny, z. 4, 1977.

[3] Czaplicki 3.M . : Estymacja (przy informacjach a priori) parametrów funk­

cji gęstości czasu pracy obiektu. Z E H z. 2, 1978.

[4] Czaplicki 3 . M . : Model procesu odnowy o skończonym czasie odnowy gór­

niczych maszyn wyciągowych. Konf. Niezawodność i trwałość maszyn i sy­

stemów maszynowych w górnictwie. ZN Pol. Sl. z. 92, Gliwice 1979.

[ 5] Czaplicki 3., Lutyński A.: Predykcja współczynnika gotowości górni­

czych systemów transportu ciągłego. ZN Pol. Sl., Górnictwo z. 72,Gli­

w ic e 1 9 7 6 .

[6] Wybrane problemy prognoz statystycznych. Semin. GUS. Warszawa 1970.

Wpłynęło do Redakcji w kwietniu 1981 r.

R e c e n z e n t : Ooc. dr Leon Dziembafra

IIpeACKa3aHiie Ha^eatHocTH ro p H u x noA ieuH ioc uaaua

P e 3 » u e

B p a ó o i e o f i c y s y i e H L i n p o ó j i e u u n p o r H 0 3 H p o E a H H E ( J J o p M n p o e a H H a b SyAyąeii o c h o - b h u x n o K a3 a T e a e i i u a A e x H o c i H r o p u u x D O A B e u u u z u a m u H . U p e A c x a B j i e H u a p o r H o s u : T o ^ e t H w e u A O B e p i i T e a b H u x H H i e p B a j i o B , a i a i c * e n p e A C K a3 a H n e B aftec a.

Predication of winder reliability

S u m m a r y

The paper deals with problems of anticipation of trends in winder re­

liability indices, presenting punctual and interval prognoses as well as the Bayesion prediction.