ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ 1977
S e r ia l GÓRNICTWO z. 81 Hr k o l. 548
KONFERENCJA: MODELOWANIE GÓRNICZYCH MASZYN WYCIĄGOWYCH 9 - 1 0 .X I I .1977
JOZEF WOJNAROWSKI
INSTYTUT PODSTAW KONSTRUKCJI MASZYN POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ
GLIWICE
ZASTOSOWANIE GRAFÓW I LICZB STRUKTURALNYCH W BADANIU DRGAfl GÓRNICZYCH MASZYN WYCIĄGOWYCH
Za pomocą grafów i lic z b strukturalnych-, sformułowano zagadnie
n ie badania drgań górniczych maszyn wyciągowych. W ykorzystując p o ję c ia m acierzy odcięć g rafu i m acierzy sztyw ności dynamicz
nych przedstaw iono sposób prowadzenia an aliz y widmowej. S to su jąc metodę kodowania grafów za pomocą lic z b stru k tu raln y ch wskazano na możliwość p e łn e j a lg o r y tm iz a c ji o b liczeń ch arak tery sty k dyna
micznych układu i na znaczne skrócen ie czasu prowadzenia z tego zakresu eksperymentu numerycznego.
1 . Wprowadzenie
J e s t znanym, że każde rozw iązanie zagadnienia fizy czn eg o wy
maga p r z y ję c ia modelu c z y l i d y sk r e ty z a c ji fiz y c z n e j i ma decy
dujący wpływ na d ru g i e tap modelowania - p r z e jś c ia do danych l i czbowych [8] . Łatwo zauważyć, że ten dru gi etap c z y li tzw. d ys- k r e ty z a c ja numeryczna wymaga konsekwentnie przemyślanego aparatu matematycznego na odpowiednim poziom ie a b s t r a k c ji. Okazuje s i ę ,
że form alizm t e o r i i grafów i lic z b stru k tu raln y ch umożliwia,w p r o c e s ie modelowania m aszy n ,n ajp ro ście j p r z e jś ć do danych l i c z bowych a ponadto wykazuje sze re g isto tn y c h z a le t . W takim u ję c iu d la g ó rn ic z e j maszyny wyciągowej ustalam y zb ió r elementów i określone na nim r e l a c je przy czym in t e r e s u ją na3 wśród nich t e , k tó re s ą jednoznaczne. P o ję c ie więc układu j e s t id e n ty fik o wane z r e l a c ją s tr u k tu r a ln ą , a d z ię k i przyporządkowaniu mas‘zynie wyciągowej, jak o układowi konkretnemu, j e j modelu abstrakcy jn ego można w badaniu drgań tych maszyn wykorzystać te o r ię grafów . G raf biegunowy bądź blokowy j e s t podstawą a n aliz y numerycznej za pomocą lic z b stru k tu ra ln y c h *[1,5] .
106 J . Wojnarowski
V 5 , 3 - 1 0 3 [ k g m 2]
32 = 20 • 103 «
03 = 79,5-103 « 3 / , = 9 9 - 1 0 3 «
0 5 = 1 7 5 ,5 - 1 0 3 »
2C12= 1,2-107 [ ^ ]
2 C 2 3 = 5 - , 0 8 “
2c34=H4-105 ..
2 C 3 5 = 6 3 , 5 - 1 0 5 »
J
I
0 *
©
w
“ O
©
> 7 7 7 7 7 7 7 7 ,7 / , /
V ,
/ŻŻ77777Z^Q
Rys.1 Model i schemat zastępczy górn iczej maszyny wyciągowej K -s iln ik ; P-przekładnia; B-bęben; K1 , i2 -naczynia wydobywcze; “ lin y
Zastosowanie grafów i l i c z b a tru k tu ra ln y c h .. 107 2 . I s t o t a metody modelowania za pomocą grafów i lic z b s tr u k tu r a l
nych
Rozważmy g ó rn icz ą maszynę wyciągową, k tó rą w dalszym ciągu będziemy nazywać układem mechanicznym.
Podstawowym krokiem w badaniu drgań układu mechanicznego za pomocą grafów i l ic z b stru k tu raln y ch j e s t p ro c es r e t y k u la c ji czy
l i nadawania układowi / r y s . 1/ stru k tu ry sie c io w e j w p o s t a c i g ra
fu / r y s . 2/
R ys. 2 . Graf biegunowy g ó rn ic z e j maszyny wyciągowej zdyskrety- zowanej do układu o p ię c iu sto p n iach swobody.
W c e lu uzyskan ia modelu stru k tu ry dynamicznej układu, dokonu
jemy o b cią że n ia g ra fu poprzez przyporządkowaniu zbiorowi krawę
d z i 2^ g rafu X pary zbiorów zmiennych f^S , 2S ]o p isu jący ch uk ład S
f : — ^ S , 2 s ] . (1 )
Graf obciążony X = [X , f J zwany d a le j biegunowym o p isu je stru k tu rę układu i o k r e ś la zw iązki między zmiennymi.
Aby p r z e jś ć do z a p isa n ia g rafu w pam ięci op eracy jn ej maszyny cy f
rowej można stosowaćj metodę kodowania g ra fu za pomocą m acierzy od cięć ¿B lub cyklom atycznej ?B względnie lic z b y str u k tu r a ln e j A.
W tym ostatnim przypadku analizowany układ wyciągowy opisujemy modelem w p o s t a c i częściow o uporządkowanego zbioru elementów l i c z bowych, z których każdy j e s t izom orficzny z oznaczeniem krawędzi g ra fu układu i odwzorowuje je g o w ła sn o śc i.
Wprowadzając cyfrowe oznaczenie kraw ędzi g rafu lic z b ę s tr u k tu r a l
ną zapisujem y w p o s t a c i kanonicznej
J . Wojnarowski
A - f i 1 A ± ( 2 )
i=1 gd zie :
Aj j e s t lic z b ą stru k tu raln ą -p ie rw szą utworzoną z elementów będących oznaczeniami krawędzi incydentnych w w ierzcnoł- ku i ,
iU] - lic z b ą wierzchołków g ra fu .
L-czba stru k tu ra ln a g rafu g ó rn icze j maszyny wyciągowej i fu nk cje wprowadzone na tych lic z b a c h u ła tw ia ją zastosow anie maszyn mate
matycznych w badaniu drgań.
3. Zastosowanie m acierzy odcięć w modelowaniu drgań górniczych maszyn wyciągowych
Zakładamy, że d z ię k i d y sk r e ty z a c ji fiz y c z n e j uzyskujemy model g ó rn icze j maszyny wyciągowej w p o s ta c i grafu obciążonego.
Graf ten opisany j e s t na zbiorze sztyw ności dynamicznych elemen
tów układu.
O pisując g r a f m acierzą odcięć -,B oraz s to s u ją c prawa cykliczne i przek roju g rafu d rgan ia wymuszone względem am plitud przem iesz
czeń zapisujem y w p o s ta c i
z = f , ( 3 )
gdzie
z = 2B - W(p) • 2bF ( h )
j e s t m acierzą sztyw ności dynamicznych,
S - wektorem kolumnowym am plitud przem ieszczeń, F - wektorem kolumnowym am plitud wymuszeń,
V (p )~ diagonalną m acierzą równań biegunowych g ra fu . Zależność
2B-W(p) . 2^ = o ( 5 )
j e s t podstawą prowadzenia an aliz y widmowej metodą grafów . h. Opis programu i wyniki numeryczne
'II opracowanym programie WIDMO CZĘSTOŚCI*zastosowano procedu
rę wyznaczania w arto ści własnych do m acierzy sz-tywności dynami
cznych. W sz c z e g ó ln o śc i wykorzystano procedurę wyznaczania w ar
t o ś c i własnych, procedurę transponowania m acierzy, procedurę mnożenia m acierzy i procedurę mnożenia m acierzy p rzez m acierz kolumnową.
^Program opr. Mgr B.Partyka z CBRDiUT DETRANS Bytom.
Program te n napisany w języka A lgol-1204 d z ia ła pod k o n trolą tr a n s la to r a MTA-~1 systemu JE 1204 B.
Danymi wejściowymi s ą : n ~ lic z b a sto p n i swobody, m - lic z b a kraw ędzi,
- lic z b a w skazująca i l o ś ć mas w irujących, ng - lic z b a w skazująca i l o ś ć sztyw ności skrętnych,
e-ij&i - lic z b y związane z d ok ładn ością o b liczeń i niezbędne d la o r g a n iz a c ji programu,
N astępnie w czytuje s ię promień r , a d a le j w k o le jn o ś c i momenty bezw ładności, masy' oraz sztyw ności zgodnie z m acierzą równań b ie gunowych, W końcu w czytują s ię m acierz o d c ię ć ..
Eksperyment numeryczny przeprowadzono d la g ó rn ic z e j maszyny wy
ciągow ej zredukowanej do układu o p ię c iu , trz y n a stu i dwudziestu p ię c iu stopn iach swobody.
Szczegółowe dane liczbowe w jięto z rz e c zy w istej g ó rn icze j maszy
ny wyciągowej [ 3 ,6 ] .
4 .1 . Dla układu o p ię c iu stopn iach swobody / r y s . 2 / wczytano n a stę p u jące dane
g g T a b lic a 1
3 2 1 100 1
5300 20000 79500 99000 1 75000 12000000 500000.000 1 440000 6350000
Za e to s cwanie grafów i l ic z b s tr u k tu r a lnych . « . _________________________
1 0 0 c 0 ”1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 "1 0 0 c 0 1 0 0 0 1 -1 ~t 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1
W wyniku o b lic z e ń , którego c z a s trw ał około 2 minut uzyskano n astęp u jące w arto ści
0 ,0 0 S 4 ,2 1 ; 1 0,35} 4 8 ,4 8 ; 178,40»
4 .2 . Dla układu o trzy n astu stop n iach swobody / r y s . 5 / wczytano n astęp u ją ce dane
110 J . Wojnarowski
Rys. 3 Graf biegunowy g ó rn ic z e j maszyny wyciągowej zdyskreRy
zowane j do układu o 13 stopniach, swobody
Zastosowanie grafów i l ic z b s tr u k tu r a ln y c h ... 111
1 3 2 5 » T a b l i c a 2
3 2 1 1 0 0 2
5300 20000 52000 5550 5550 5550 19200 1100 3800 32000 5300 5300 5300 12000000 500000000 22000 11000
11000 22000 1 |6oo 32000 32000 7200 7200 7200
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 c 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ” 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 ' 0 0
0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 c 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
W wyniku o b lic z e ń , których c z a s trw ał około 5 minut uzyskano n a stęp u jące c z ę s t o ś c i:
0,00} 0,4-0; 0 ,6 0 ; 1,10; 1 ,4 9 ; 1,68; 2,1 1; 2,59; 2,88; 3 ,3 6 ; 4 ,2 7 ; 4 8 ,9 8 ; 1 8 7 ,3 0 .
4 .3 . Dla układu o dw udziestuplęciu stopn iach swobody wczytano n a stę p u jące dane / t a b l i c a 3/
W wyniku o b lic z e ń , którego c z a s trw ał około 12 minut uzyskano n a stęp u jące wyniki
0,00; 4 ,0 2 ; 6 ,3 6 ; 1 0 ,9 5 ; 1 6 ,7 8 ; 1 7,22; 26,66 ; 2 6 ,71;
2 9 ,9 ? ; 3 4 ,9 9 ; 4 0 ,7 9 ; 4 1 ,3 2 ; 4 5 ,2 8 ; 4 8 ,3 1 ; 50,10; 55,23;
5 6 ,7 8 ; 6 4 ,0 0 ; 7 0 ,9 1 ; 10 1 ,7 6 ; 1 0 7 ,6 8 ; 123,44; 183,28.
Zauważmy, że a n a liz a widmowa metodą grafów sprowadza s ię do skon
struow ania g r a fu , wyznaczania m acierzy o d c ię ć , równań biegunowych i o b liczeń na EMC.
Należy p o d k r e ś lić , że w w ielu przypadkach zachodzi konieczność konstruowania g rafu d la układu z członami sprzęgającym i3^ o ce-
^ Człon, w którym n astęp u je wzajemne oddziaływanie fiz y k a ln ie różnych w ie lk o ś c i.
112 J« Wojnarowski
T a b lic a 3 19 49
9 2 1 100 2
9900 20000 92000 2770 2770 2770 2770 2770 2770 iTDOO 1100 1100 1100 1270 1270 1270 92000 2650 2650 2650 2650 2650 2650 12000000 500000000 4400000 2200000 2200000 2200000 2200000 2200000 4400000 9500000 9900000 3500000 9600000 4600000 4800000 9600000 1440000 1440000 1440000 1440000 1440000 1440000
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 i 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0
1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 1 o o o o o o o o o c o o o o o o o o o
0 0 1 -1 0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ^ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 —1 0 0 0 0 0 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 O O O O O O O O O 0 0 0 0 0 0 1 o o o o o c o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 —I 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . O O O O O O O O O 0 0 1 0 0 0 0 0 O O O O O O O 0 O O G O O O O O 1 - 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 O O O O t f O O O O O O 0 0 0 0 0 0 1 , - 1 O 0 0 O O O O O O O O O O O O O O O O O 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -I 0 0 O O O O O O O O O C 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 . 0 O O O O O O O O O O 0 0 0 0 1 "i o
O C O O 0 0 o O 0 0 0 0 0 0 0 0 O 0 0 o o t o O O O O O O O O O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 -1
0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 1
Zastosowanie grafów 1 ^ ie zb s tr u k tu r a ln y c h .. 113 chach tran sfo rm ato ra lub g ir a t o r a . Uzyskanie spójnego g rafu ukła
du z takim i sprzężen iam i wymaga odpowiedniego p rz e k sz ta łc e n ia , k tó re d la g ir a t o r a ma ch arak te r p r z e k sz ta łc e n ia dualnego c z ę śc i g r a f u ._D latego t e ż w o g ó ln o ści konstruow ania spójnego g rafu d la układu z liniowymi sprzężeniam i j e s t utrudnione i może prowadzić do g rafu n ie p la n a m e g o . Trudności t e niekiedy można ominąć s t o s u ją c g rafy blokowe [5] .
5 . Badanie drgań maszyn za pomocą lic z b stru k tu raln y ch p ierw szej k a t e g o r ii
A nalizę widmową i modalną można znacznie u p ro ścić / r y s . 4 / j e ś l i g r a f biegunowy układu mechanicznego p rzed staw ić w reprezen
t a c j i kolumn lic z b y str u k tu r a ln e j i fu n k c ji wprowadzonych ra tych lic z b a c h [5].
Rys. 4 Graf biegunowy g ó rn ic z e j maszyny wyciągowej o n stop n iach swobody
W sz c z e g ó ln o śc i d la g rafu układu / r y s . 4 / opisanym zbiorem sztyw
n o ś c i dynamicznych Z możemy o k r e ś lić
1 ° Sztywność dynamiczną i- t e g o elementu w u k ład zie
114 J . Wojnarowski gdzieś A - lic z b a stru k tu raln a g ra fu ,
- element lic z b y stru k tu ra ln e j przyporządkowanej i - t e j krawędzi g ra fu ,
•a^ - element lic z b y stru k tu ra ln e j przyporządkowanej kra
wędzi wymuszenia siłow ego, det - fu n k cja wyznacznikowa,
Z
lia 3a ~ symbol pochodnej /przeciwpochodnej lic z b y s tr u k tu r a l- n nej względem j e j elementu an#
2 ° Siłow ą funkcję p r z e jś c ia Sim ( 3 A 3 A \ _ 2 U a y O a J
* f --- d et f> A a.
z ^ .
g d zie : Sim - symbol fu n k c ji jed n o cze sn o ści, Z
zB - sztywność dynamiczna przyporządkowana elementowi a^.
3 ° Równanie ch arakterystyczne
dzt = ° * (8 )
n ° Współczynniki głównych p o s ta c i drgań Sim / 3 A 3 A \
Z V3anł 3a /
r . . . = S --- §--- . (9)
‘'l.1' t Sim / 3 A DA \
Z Dat )
57 bezpośrednim badaniu drgań górniczych maszyn wyciągowych po do
konaniu re d u k c ji i ok reśle n iu współczynników sztyw ności dynamicz
nych elementów układu, zagadnienie sprowadza s ię do o b lic z a n ia fu n k c ji wyznacznikowych lic z b y s tr u k tu r a ln e j.
Opracowane programy generowania lic z b strukturalnych*^ i fu n k c ji wyznacznikowych u ła tw ia ją prowadzenie badania drgań na e le k tro n i
cznych maszynach cyfrowych.
W takim przypadku najwygodniej zastosować binarną p o stać ADnatu- r a ln e j lic z b y stru k tu ra ln e j A. Kolumny j e j s ą zapisanymi w ko
dzie binarnym sumami p o s ta c i5®^
* ) Por. np. [5] , nas) Por. [5 ] s t r . 85.
Zastosowanie grafów i lic z b stru k tu ra ln y c h .. . 115
R ys.5 Główne p o stacie drgań d la w artości Uł1 i
116 J . Wojnarowski
= 0,39712
0 ,4 0 0 5 9 4 5
Rys.6 Główne p o stacie drgań d la w artości w i io
s 4
Zastosowanie grafów i l ic z b stru k tu ra ln y c h .. 117
Ab ={ffj s = ( 2 2 a oiÓ2 ) K ¿2= 7 , 2 , . . . ,k , (70)
2 2 3-j=7
g d z ie : a]? - 3o kolumna lic z b y s tr u k tu r a ln e j b in arn e j Ab.
S to s u ją c program ANALIZA WIDMCWA I MODAŁNa generowano binarną p o sta ć lic z b y s tr u k tu r a ln e j i wyznaczono widmo c z ę s t o ś ć i i głów
ne p o sta c ie drgań układu opisanego grafem pokazanym na r y s . 2 . Wyniki zestaw iono na r y s . 5 1 6 «
6. Badanie drgań maszyn za pomocą lic z b strukturalnych, d ru g ie j k a t e g o r ii
M odelując g ó rn iczą maszynę wyciągową grafem blokowym ‘DC / r y s . 7/ można znacznie u p ro śc ić a n a liz ę widmową i modalną.
Rys. 7 . Graf blokowy g ó rn ic z e j maszyny wyciągowej 2 e
D zięki rów ności str u k tu r a ln e j A = A 7 podane wzory w ro z d z ia le 5 s ą również słu szn e w r e p r e z e n ta c ji lic z b stru k tu raln y ch d ru g ie j k a t e g o r ii .
Aby wyznaczyć lic z b ę stru k tu ra ln ą A g rafu blokowego obliczamy lic z b ę stru k tu ra ln ą d o p e łn ia ją c ą s z k ie le tu 0A^.
N astępnie w ykorzystując prawa cy k liczn e grafów l ic z b ą stru k tu - ra ln ą g rafu blokowego A wyrażamy p rze z lic z b y stru k tu ra ln e je g o 2 bloków .¡A, 2A» » » « » nA c z y li
118 J . Wojnarowski
• f t 'A =
a 0 Ad • W J (1 1)
g d zie : QA j e s t lic z b ą stru k tu ra ln ą d o p e łn ia ją c ą s z k ie le tu gra
fu blokowego, n - j e s t lic z b ą bloków,
| - oznacza operację p r z e n ie s ie n ia wskaźników dolnych.
W rozpatrywanym przypadku s z k ie le t g rafu blokowego / r y s . 8/ wy
brano w ten sposób, że wykorzystano w yłącznie krawędzi o d n ie sie n ia .
Rys. 8 S z k ie le t g rafu blokowego
Liczba stru k tu ra ln a d o p e łn ia ją c a s z k ie le tu wynosi Ad =[b,,a2 ] [b2a j ] [b2a4 ]
natom iast lic z b a stru k tu ra ln a g rafu blokowego nrzyjm ie p o stać
- [0Ad] |
V ] r . Ai
2a
9 9 ( 3 2a
3A 9 [ b1a2] 9 [b2a3] ' 3[b2a4-] 3A
ą A ąA
)) (12 }
Zastosowanie grafów i l i c z b s tr u k tu r a ln y c h ,.. 119 alb o o sta te c z n ie
1Ab 1Ab 1Ab 1A 1A 1A
2Ab 2Ab 2 A 2Aab 2Aab 2Aa
= 3A 3Aa 3Aa 3A 3Aa 3Aa
ą Aa ą A 4Aa bAa ą A 4A .
Wyrażenie (1 2 ) uw idacznia k o le jn o ść zw ierania wierzchołków b lo
ków. ?
Aby o k r e ś lić fu n k cje wyznacznikowe lic z b y str u k tu r a ln e j A wykonujemy d z ia ła n ia na fu n k cjach wyznacznikowych j e j elementów.
Po uporządkowaniu ta k otrzymanego wielomianu i przyrównaniu do zera uzyskujemy równanie c z ę s t o ś c i.
Algorytm opracowanego programu zaw iera:
1 ° Wczytanie m acierzy in c y d e n c ji sztyw ności dynamicznych i lic z b stru k tu ra ln y ch bloków,
2 Procedurę tw orzenia lic z b y d o p e łn ia ją c e j s z k ie le t u ,
3 ° Procedury o b lic z a n ia pochodnych l ic z b stru k tu raln y ch bloków względem lic z b y d o p e łn ia ją c e j s z k ie le tu i wyznaczania lic z b y
z a s tę p c z e j,
A° Wyznaczanie równania ch arak terystyczn ego i o b lic z a c ie c z ę s t o ś c i drgań własnych i współczynników głównych p o s ta c i drgań.
7. Uwagi o modelowaniu drgań g ó rn ic z e j maszyny wyciągowej jako układu o param etrach rozłożonych w sposób c ią g ły
V/ modelowaniu drgań g ó rn ic z e j maszyny wyciągowej jak o układu mechanicznego o param etrach rozłożonych w sposób c ią g ły należy o p isa ć lin ę d r g a ją c ą wzdłużnie s k rę tn ie oraz g ię t n ie . Drgania te można modelować odpowiednio grafam i blokowymi t r ó j i p ię c io -w ie rz - chołkowymi o nieznanych stru k tu ra ch wewnętrznych.
J e ś l i wymuszenie j e s t harmoniczną fu n k cją czasu d z ia ła ją c a na wy
odrębniony p rz e k ró j lin y to zagadnienie a n a liz y drgań sprowadza s ię wprost do badania a lg e b raiczn y ch równań am plitud przy z a sto sowaniu modelu układu w p o s t a c i g rafu blokowego i zupełnego..
Każdemu grafow i blokowemu można przyporządkować obciążony g r a f zupełny a z a le ż n o śc i między współrzędnymi uogólnionymi ^s^ przy
porządkowanymi wierzchołkom i siła m i uogólnionymi wyrażany za pomocą stabelaryzow anych dynamicznych p o d atn o ści [2] ,
W takim przypadku w szystkie krawędzie g rafu zupełnego s ą opisane wagami y^ ze zbioru p o d atn o śc i dynamieznych(y^ e T.),
Uw zględniając c ią g ły ro zk ład mas l i n , g órn iczą maszynę wyciągo
wą / r y s . 1 / modelujemy grafem pokazanym na r y s . 9 . Graf ten o p isu je drgan ia maszyny z uwzględnieniem wzdłużno-skrętnych drgań l i n .
120 J . Wojnarowski
Rys. 9 Graf blokowy (a ) układu wyciągowego modelujący drgan ia wzdłużno skrętne l in nośnych i zupełny; ( b ) do wyzna
czan ia wag dendrytowych.
Zastosowanie grafów i l i c z b stru k tu raln y ch . 121
P ełn ą alg o ry tm iz a c ję a n aliz y drgań uzyskujemy s to s u ją c a l gebry l ic z b stru k tu ra ln y ch w yższej k a t e g o r ii i zupełnych [ 1 ,5 ] . Wyznaczając fu nkc ję wyznacznikową g rafu blokowego określamy wid
mo c z ę s t o ś c i drgań modelu g ó rn io ze j maszyny wyciągowej d e t ( 2 A ) = d e t St a 0 , A i 2A ,
2 Dy E D
g d zie ś St - lic z b a stru k tu ra ln a zupełna,
D - d e t Z j e s t wyznacznikiem charakterystycznym roz
patrywanego złożonego układu d rg a ją c e g o , I - oznacza równość str u k tu r a ln ą ,
D ij - wyznaczniki odpow iadające równaniom am plitud pod- układów p ro sty ch d la różnych warunków brzegowych.
8 . Uwagi końcowe^
Przedstaw iona metoda badania drgań górniczych maszyn wycią
gowych odznacza s ię p e łn ą a lg o ry tm iz a c ją o b lic z e ń .
J e s t ona szc z e g ó ln ie wygodna, gdy w p r o c e s ie modelowania układ dyskretyzujemy do w iększej lic z b y sto p n i.
I s t o tn ą z a le t ą metody grafów i lic z b stru k tu raln y ch j e s t t o , że prowadzi s ię d z ia ła n ia na funk cjach wyznacznikowych, które s ą rozw iniętym i wyznacznikami m acierzy sztyw ności lub podatnoś
c i dynamicznej i uzyskuje s ię bezpośrednie wyniki bez potrzeby wykonywania pracochłonnych rozw iązań wyznaczników m acierzy.
J e ś l i wziąć pod uwagę, również t o ,ż e d z ia ła n ia na lic z b a c h s tr u ktu raln ych zasadn iczo o g ra n ic z a ją s ię do wykonywania o p e r a c ji na wskaźnikach będących oznaczeniam i elementów g rafu a repre
zentowanych w maszynie cyfrow ej przoz lic z b y n atu raln e lub b i
n arne, to łatw o zauważyć, że prowadzenie eksperymentu numery
cznego t ą metodą pozwala znacznie sk ró c ić c z a s o b lic z e ń .
LITERATURA
[ l l B e lle r t S . , Woźniacki H.s A n aliza i syn teza układów e le k trycznych metodą lic z b stru k tu ra ln y ch , WNT, Warszawa 1968.
[ 2 ] G ladw ell G .M .L., Bishop R .E .D .: I n t e r io r recep tan ces of beams, I .iJe c h .E n g n g .S c i., 2 n r 1 / 1 960/, 1-15*
[3] P raca zbiorowa pod re d . J . Wojnarowskiegos Pewne problemy modelowania w ieiolinowych układów wyciągowych. Zeszyt nauk.
I n s t.P o d s t.K o n s tr . Maszyn z. 25/59 Gliwice 1976.
[ 4 ] S y c G . : G e n e ro w a n ie d rz e w i m u lt id r z e w m u l t i g r a f ó w o p i s a n y ch m e to d ą l i c z b s t r u k t u r a l n y c h b i n a r n y c h z a p o m o cą ma
s z y n c y f r o w y c h , R o z p r . E l e k t r o t . , Y o l . 3 * / 1 9 6 9 / » 4 9 5 - 5 1 3 »
122 J . Wojnarowski Ï 5 Î Wojnarowski 3. : Grafy i liczb y stru k tu raln e jak o modele
układów mechanicznych, P o litech n ik a ś lą sk a - PTMTiS Od
d z ia ł G liw ice, z. 38, Gliwice 1977«
[ 6 ] Wojnarowski J . , Świder J . : Wyznaczanie fu n k c ji podatności dynamicznej górn iczej maszyny wyciągowej metodą grafów.
Konferencja Modelowanie górniczych maszyn wyciągowyoh (1977 ), (w tym zbiorze mat.) .
t ? J Wojnarowski J . , Buchacz A .Z a sto so w a n ie grafów i lic z b strukturalnych wyższej k a te g o r ii w modelowaniu układów mechanicznych. Sympozjon - Modelowanie w mechanice, zbiór referatów FiMTS Oddział Gliwice (1976), 507-517.
[ 8 ] Woźniak Cz. : Dyskretyzacja -fizyczna a d y skretyzacja nume
ryczna w mechanice k o n stru k c ji. I I I Konferencja Metody Komputerowe w Mechanice, R eferaty Problemowe t . 3 , Opole maj (1977), 69-91.
APPLICATIONS OF GRAPH3 AND STRUCTURAL NUKBSRS IN INVESTIGATIONS OF THE VIBRATIONS OF HAULING MACHINES
By means of graphs and stru c tu ra l numbers the problem of in v e s ti
gatin g the v ib ra tio n s h auling machines has been form ulated.
Using the concept of a c u tse t m atrix o f a graph and a m atrix of dynamical s t if f n e s s e s , the method o f spectrum a n a ly s is has been represented.
Applying the method o f the coding o f graphs by means o f stru c tu r a l numbers i t has been shown th at i t i s p o ssib le to fin d the algorithm s o f the dynamical c h a r a c t e r is t ic s . The p r a c tic a l a p p li
catio n s of the methods described have been demonstrated on exam
p le s .
I lp B M e H e H H e r p a i p O B a C T p y x T y p H u x V B c e a b B c c a e x o B a H H a x K o a e C e a n i l n o x z ë i s H m x r o p H H x u a m x a
B a a a ^ a H c c a e x o B a H H k K o a e ó a H K :} ó z u i a c ^ o p u y j i a p o B a H a c n o u o m b i o r p a - ( J o b u c T p y K T y p E K x ’i B c e n . n c n o f l Ł s y s n o s a i n e u a T p H m j o T c e v e a a f i r p a $ a b u a r p a a u x a a a M B v e c K B x s c e c T a o c T e k 6 n a p a 3 p a 0 o T a H t i e T o j ; c n e x i p o v a c “*
r o T H o r o a a a j i B 3 a . f l p B u e a a a x o j a p o B a H a e r p a $ O B c n o K o m b E c T p y K T y p H i i x t i B c e z , û ü n a y x a 3 a a a b o s m c x b o c t b n o j m o f i a z r o p u t u b 3 a n b b p a c v ë T O B g k h ł — M H M e cK H X C B C T e U .
U paxTBvecE oe npaueH eaue onBCHBaeBHx m sto xo b x e u o a c T p H p y e ic a a a n p a - uepax.
