Oszacowanie wartości własnych wielowymiarowych układów dynamicznych II rzędu o parametrach przedziałowych

(1)

Seria: BU D OW N ICTW O z. 93 N r kol. 1514

Tomasz LISZKA*

Politechnika Śląska

OSZACOWANIE WARTOŚCI WŁASNYCH WIELOWYMIAROWYCH UKŁADÓW DYNAMICZNYCH II RZĘDU O PARAMETRACH

PRZEDZIAŁOWYCH

Streszczenie. W pracy rozpatryw ane je s t zagadnienie w artości w łasnych układów dynam icznych drugiego rzędu o w spółczynnikach przedziałow ych (a“M + A D + k)x = 0 . P rzedstaw ione w pracy tw ierdzenie pozw ala na oszacowanie w artości w łasnych takich układów w ykorzystując fakt rów now ażności w łasności zespolonych przedziałowych m acierzy i w łasności skończonego podzbioru nie przedziałow ych m acierzy rzeczyw istych.

Praktyczne zastosow anie tego tw ierdzenia zostanie zilustrow ane przykładam i z zakresu teorii konstrukcji.

EIGENVALUES ESTIMATION OF SECOND ORDER

MULTIDIMENSIONAL DYNAMIC SYSTEM WITH INTERVAL PARAMETERS

Sum m ary. T he pap er deals w ith eigenvalues problem o f second order m ultidim ensional dynam ic system with interval param eters (A2M + AD + k)x= 0 . E igenvalues estim ation o f such system s becom es possible using equivalence betw een som e properties o f com plex interval m atrices and equivalent properties o f som e finite subset of explicitly described non-interval real m atrices. P ractical application is illustrated w ith th e exam ple from sctructual design.

1. Wstęp. Podstawowe wzory i oznaczenia

W pracy rozpatryw ane je s t zagadnienie w artości w łasnych rów nań różniczkow ych drugie

go rzędu opisujących ruch układów dynam icznych M y + Dy + K y = 0 , gdzie w ystępujące w równaniu m acierze to odpow iednio sym etryczne przedziałow e macierze: dodatnio określona macierz bezw ładności M e [M ], nieujem nie określone m acierze tłum ienia D e [D] i sztyw no

ści K e [ K ] . W yznaczenie w artości w łasnych dla takich układów sprow adza się do rozw iąza

nia równania charakterystycznego postaci:

(a2M + A D +k)x= 0 . ( l )

'Opiekun naukowy: D r hab. inż. Jerzy Skrzypczyk, prof. PŚ1.

(2)

Z takim zadaniem spotykam y się w zastosow aniach inżynierskich zw iązanych z analizą stabilności, w yznaczaniem częstości drgań w łasnych oraz częstości drgań swobodnych z tłum ieniem , w których param etry analizow anych system ów technicznych są wyznaczone z pew ną tolerancją. Znakom itym narzędziem pozw alającym na uw zględnienie w macierzach niepew ności param etrów je s t algebra interwałow a.

W pracy w ykorzystano w cześniejsze rezultaty badań R ohna [1] i Skrzypczyka [2-3], W pracy przyjęto następujące oznaczenia: A={aij} - m acierze rzeczyw iste, R - zbiór liczb rzeczyw istych, R n - zbiór w ektorów rzeczyw istych, Rnxn - zbiór m acierzy rzeczywistych o w ym iarach nxn, C" - zbiór w ektorów zespolonych ikmax( A ) - najw iększa wartość własna m acierzy A (jeżeli A je s t sym etryczna), A.mirl( A ) ~ najm niejsza w artość w łasna macierzy A (jeżeli A je s t sym etryczna). Zauw ażm y, że dla w szystkich w ektorów x , y e R " , (x ,x ) = xTx oznaczać będzie iloczyn skalam y wektorów , natom iast (.)T zw ykłą transpozycję wektorów, a d l a w ektorów x , y e C ‘, ( x ,x ) = x*x, gdzie x* = x , x - t o w ektor sprzężony do wektora x.

Z biór przedziałów rzeczyw istych oznaczać będziem y I(R), podobnie I(R") - zbiór wektorów przedziałow ych, I(Rnxn) - zbiór m acierzy przedziałow ych.

K ażdą rzeczyw istą m acierz przedziałow ą [A ]e I(R "X” ) m ożem y zapisać w postaci:

tzn. E" będzie zbiorem w szystkich n-w ym iarow ych w ektorów o w artościach ±1, moc tego zbioru w ynosi 2 ". D la każdego x e R " oznaczym y przez Ts e E"xn m acierz diagonalną o w ym iarach nxn, która na diagonali ma w ektor sign(x), gdzie

r i f 1 d la X; >0

sign(x) :={sign(x,}w 2 „, sign(x,) := ł d ] a x ś ( ) > (■

D la dow olnego w ektora z e E ” i macierzy [A ]e I(R "X") zdefiniujem y następujące macierze

niow ana dla dowolnej m acierzy rzeczyw istej A e R " xn i dodatnio określonej macierzy B e R "x" jako

[ A ] : = [ A - A a , A + A a ] = {a : A - Aa < A < A + A a } A ,A Ae R nxn (2)

Z a R ohnem [1] w prow adzim y do rozw ażań zw ykły zbiór indeksowy

(3)

A j = A - TzAaTz, A j = A + TzAaTz (5) W pracy będzie używ ana uogólniona funkcja Rayleigha postaci tAb: R nxn x R ”Xjl —> R ' zdefi-

7. A z

F(A , B) := {rA B ( z ) : 0 * z e R 1n} rA B (z) :=

(z, Az) _ z TAz ( z , B z ) z tBz

(6)

(3)

Własności tej funkcji dla m acierzy rzeczyw istych i zespolonych są om ów ione w pracach [2-3]. Ponadto będziem y używ ać form kw adratow ych, które będziem y oznaczać x 'A x = A x .

2. Oszacowanie wartości własnych

Celem tej pracy je s t przedstaw ienie tw ierdzenia pozw alającego na oszacow anie ekstrem al

nych wartości w łasnych, które m o g ą być w yznaczone z analizy skończonych podzbiorów macierzy rzeczyw istych z przedziałów [M], [D] i [K],

TWIERDZENIE 1. D la dow olnych sym etrycznych m acierzy [M ],[D ],[K ]e I ( R nxn), [M] je st dodatnio określona, [D] i [K] są nieujem nie określone, dla których w yznacznik trójm ianu kwadratowego rów nania charakterystycznego (1) A e [A] = [A A*], zachodzi:

A. Jeżeli A+ < 0 , to

B. Jeżeli A > 0 , to Im>- = 0 oraz

C. Jeżeli A" < 0 i A+ > 0

DOWÓD

Równanie charakterystyczne (1) przekształcim y do postaci:

A2x*Mx +Ax*Dx + x*Kx = 0 (7)

(4)

a następnie poszukujem y rozw iązania postaci Z = R e + iIm rozpatrując, podobnie jak w tw ierdzeniu 1, trzy przypadki w zależności od znaku A = (D x ) 2 - 4 M XK X:

1. Jeżeli Ał < 0 , to:

R eZ =

2M ImZ = ±. ^{- A} ¹

4(M )

= + . — D ,

M, + -J£x M„

W ykorzystując w łasności uogólnionej funkcji R ayleigha dla pary m acierzy, opisanych w pracy [3], m ożem y zapisać:

Re X — \ rD M , Im X — + y j 4 (rD.M) + r K,M ® korzystając dalej z oszacowań uogólnionej funkcji R ayleigha ostatecznie otrzym ujem y:

- i r. < R e A , < 4 r ₍10)

( 11)

Jeżeli podobnie postąpim y dla pozostałych przypadków A, potw ierdzim y popraw ność wyni ków otrzym anych w tw. 1.

2. Jeżeli A ' > 0 , to Im Z = 0 oraz

R eZ = -. J K .

2M .

1

^{M ,} ^{M .}

(12)

i podobnie ja k we w zorach (9-11) w ykorzystując w łasności funkcji R ayleigha otrzymujemy Re X — j rD M ± y j J (rD M) rK M (13)

co ostatecznie prowadzi do oszacow ania

_ ł ^ . M - — > / ^ r D*,M- ^ - r K-,Mł 2’ r D-,Mł + ' \ / ^ r D *M “ ^ _ I K-.Mł ^

3. W przypadku gdy A < 0 i A+ > 0 , korzystając z przedstaw ionych dow odów otrzymujemy (15)

| l m X | < A/ - | ( r D. MJ 2 + r r M . (16)

Znając oszacow ania w artości własnych przedstaw ione w tw. 1 m ożem y je wykorzystać do w yznaczenia dla konstrukcji opisanej równaniem ( 1) częstości drgań własnych, częstości drgań sw obodnych z tłum ieniem , a także m ożem y przeprow adzić analizę stateczności kon

strukcji.

Z astosow anie tego tw ierdzenia zostanie zilustrow ane przykładam i.

(5)

3. Przykłady

PRZYKŁAD 1. D ana je s t jednow ęzłow a ram a przestrzenna, której schem at przedstaw iono na rysunku 1. D la te g o układu przyjęto następujące dane geom etryczne i m ateriałowe:

długości prętów 1=5 m, pole przekroju poprzecznego F = l,492e-3 m 2, ciężar prętów p=l 1,7142 kg/m b, oraz przedziałow e sztyw ności giętne E I= [3 11450 380670] N m 2 i skrętne GIS=[ 126710 154870] N m 2 prętów.

Rys. 1. Schem at statyczny Fig. 1. Static structure

Przy obliczeniach częstości drgań w łasnych konstrukcji o param etrach interw ałow ych po

minięto w pływ odkształceń podłużnych, a dla przyjętych danych otrzym ano następujące ma

cierze bezw ładności i sztyw ności:

/

M =

58,571 0 0 0

0 244,311 0 0

0 0 244,1784 0

0 0 0 122,22

K = 105 *

[0,2990 0,3654] [-0,9136 -0,7475]

[-0,9136 -0,7475] [4,8672 5,9488]

0 0

0 0 0

0

0 0

[4,3604 5,3293] 0

0 [2,3756 2,9035]

(6)

Dla tak opisanego układu prętow ego oszacow ano wartości własne rów nania charakterystycz

nego ( 1), które zostały pokazane na rysunku 2 , w raz z w artościam i w łasnym i wyznaczonymi na końcach przedziałów rów nania o w spółczynnikach interwałow ych M y + Ky = 0 prze

kształconego do postaci

'M 0 '

M-

^{' 0} ^{I '}

0 M

u r

^{- K} ⁰

W

D aje ono dokładne rozw iązania skrajne dla m acierzy spełniających założenia z twierdzenia 1, lecz złożoność obliczeniow a w tym przypadku w ynosi 2 (2n) .

Rys. 2. O szacow anie w artości w łasnych Fig. 2. E stim ation o f eigenvalues

Porów nując obliczone w artości skrajne i oszacow ania w artości w łasnych m ożem y przyjąć, że oszacow ana w g tw ierdzenia 1 w artość w łasna A = ±13,6863 [rad/s] je s t pierwszą częstością drgań w łasnych konstrukcji o param etrach niepew nych, a przedział

A = [A J = [-52,0961 -1 3 ,6 8 6 3 ] u [13,6863 52,0961] [rad/s] zaw iera w szystkie częstości drgań w łasnych tej konstrukcji prętowej.

P R ZY K ŁA D 2. D la konstrukcji ja k w przykładzie 1 i param etrów jw . zo staną oszacowane częstości drgań sw obodnych układu z tłum ieniem . Przyjęto m acierz tłum ienia D = |iM + kK, gdzie [t = 0,4425 [s-1 ] i K = 0,00141 [s], która dla danych ja k w poprzednim zadaniu ma po

stać

(7)

[68,08 77,44] [-128,82 -105,40] 0 0

_ [-128,82 -105,40] [794,38 946,89] 0 0

0 0 [722,86 859,48] 0

0 0 0 [389,04 463.47]

Po oszacow aniu w artości w łasnych i naniesieniu ich na w ykres w raz z w artościam i obli

czonymi po końcach przedziałów otrzym ujem y

Rys. 3. O szacow anie w artości w łasnych Fig. 3. E stim ation o f eigenvalues

Widzimy, że obszar ograniczony przez oszacow ania w g tw .l zaw iera całe spektrum czę

stości drgań sw obodnych tłum ionych konstrukcji o param etrach przedziałow ych.

4. Wnioski

Po analizie przykładów m ożem y stw ierdzić, że przedstaw ione tw ierdzenie pozw ala na oszacow anie przedziału, w którym są zaw arte w szystkie wartości w łasne układów dyna

micznych opisanych rów naniam i różniczkow ym i drugiego rzędu, w których param etry opi

sujące konstrukcję są określone z p ew n ą tolerancją.

(8)

Z najom ość tego przedziału pozw ala na określenie w sposób przybliżony częstości drgań w łasnych konstrukcji, w pływu tłum ienia na ruch konstrukcji, a także stabilności ruchu kon

strukcji o param etrach przedziałow ych.

L ITER A TU R A

1. R ohn J.: Positive definiteness and stability o f interval m atrices, SIAM J. M atrix Anal.

Appl. 1994 15, 175-184.

2. Skrzypczyk J.: B ounds on Eigenvalues o f C om plex Interval M atrices, Zesz. Nauk. Katedry M ech. Stosow anej 14, G liw ice 2000, 123-128.

3. S krzypczyk J., Liszka T.: U ogólnione przedziałow e zagadnienie w artości własnych, XL Sym pozjon „M odelow anie w m echanice” , W isła 2001.

Recenzent: Prof, dr hab. inż. Stefan Jendo

Abstract

T he paper is concerned on eigenvalues problem o f second order m ultidim ensional dynamic system w ith interval param eters (X2M + XD + k)x= 0 . Eigenvalues estim ation o f such systems becom es possible using equivalence between som e properties o f com plex interval matrices and equivalent properties o f some finite subset o f explicitly described non-interval real matri

ces. Practical application is illustrated with the exam ple from construction theory.