ZESZYTY N A UKOW E POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOM ATYKA z. 132
2000 N r kol. 1477
Ryszard GESSING
OPIS I PROJEKTOW ANIE ZAM KNIĘTYCH UKŁADÓW DYNAM ICZNYCH Z REGULATORAM I DYSKRETNYM I
Streszczenie. N a p o czątk u pracy zw raca się uwagę n a trudności w stosow aniu me
tod bazujących n a transform acji Z do opisu układów dyskretnych przy dużych częs
totliw ościach próbkow ania. P roponuje się m eto d ę projektow ania regulatorów d y sk ret
nych przy w ykorzystaniu m etod czasu ciągłego. Stosuje się w niej p ro ste m odele ciągłe układu dyskretnego. Zaprojektow any przy użyciu tych modeli regulator ciągły je st n a
stępnie p rzybliżany regulatorem dyskretnym . Pokazano możliwość zastosow ania m etody do p rojektow ania wielowymiarowych układów dyskretnych z oddzielnym i regulatoram i poszczególnych p ę tli regulacji i z różnym i częstotliw ościam i próbkow ania. Zauważono, że dla tych o statn ich układów nie istnieje opis za p om ocą tran sm itan cji dyskretnej, co u tru dnia ich projektow anie przy w ykorzystaniu m odeli dyskretnych. Z aproponow ano także oryginalną m eto d ę projektow ania ciągłych układów wielowymiarowych. M etody zilust
rowano p rzy k ład am i. 1
DESCRIPTION AND DESIGN OF CLOSE-LOOP DYNAMIC SYSTEM WITH DISCRETE-TIME REGULATORS
S u m m ary . A t th e begining, it is noticed th a t for high sam pling frequencies there arise difficulties in description of discrete-tim e system s by m eans of th e m odels b a
sed on Z tran sfo rm . N ext, th e m ethod of design of discrete-tim e reg u lato r based on continuous-tim e m eth o d s is proposed. T h e sim ple continuous-tim e m odels are used in it.
T he continiuous - tim e regulator designed w ith using these models is th e n approxim ated by m eans of a discrete- tim e regulator. It is shown th a t it is possible to apply th e m ethod for designing m u ltiv ariab le discrete-tim e system s w ith sep arate regulators of p artic u la r
l A r ty k u l z a w ie r a p o d s u m o w a n ie w y n ik ó w o tr z y m a n y c h w p ra c a c h fin a n so w a n y c h częściow o przez K o m ite t B a d a ń N a u k o w y c h .
loops h av in g different sam pling frequencies. It is noticed, th a t for the la tte r system s does not exist th e transfer function description which creates a difficulty in th eir design. An original m e th o d of design of continuous-tim e m ultivariable system s is also proposed. T he m eth o d s are illu strated w ith exam ples.
1. W prowadzenie
Ostatnio coraz częściej w układach automatyki wykorzystuje się regulatory zrealizowane na m ikroprocesorach, przy czym zazwyczaj stosuje się duże częstotliwości próbkow ania.
W iadom o, że w tedy uk ład y takie zbliżają się swoimi własnościam i do układów ciągłych.
T y m niem niej regulator zrealizowany n a m ikroprocesorze pozostaje jed n ak regulatorem d y sk retn y m i musi to być brane pod uwagę przy projektow aniu algorytm u sterowania.
Aktualne więc pozostaje pytanie, jakie metody stosować do opisu i projektowania takich układów ?
W lite ra tu rz e zw raca się uwagę n a trudności związane z zastosow aniem opisu bazu
jącego n a transform acji Z do takich układów. Przyczyna tych trudności je st wyekspo
now ana rów nież n a początku niniejszej pracy. W związku z tym zostały rozw inięte inne tran sfo rm acje, tak ie jak np. transform acja 6 [7], W zrasta również zainteresow anie stoso
w aniem m eto d czasu ciągłego do opisu układów dyskretnych. Ale propozycje takie jak w pracach [8, 5] nie w ydają się być trafione ze względu na stopień ich skom plikowania.
W niniejszej pracy proponuje się oryginalną i p ro stą m etodę projektow ania regula
torów dyskretnych za pom ocą m etod czasu ciągłego. Isto tą m etody je st zastosow anie m odelu ciągłego uwzględniającego próbkow anie i podtrzym yw anie realizow ane przez ek- s tra p o la to r zerowego rzędu. R egulator dyskretny otrzym uje się z odpow iedniego przy
bliżenia re g u la to ra ciągłego zaprojektow anego za pom ocą jednej z m eto d czasu ciągłego.
Zauw aża się także, że układy wielowymiarowe dyskretne z różnym i częstotliwościam i próbkow ania w różnych pętlach nie d ają się opisać za pom ocą macierzowej tran sm itan cji dyskretnej, co stw arza istotne trudności w ich projektow aniu. W zw iązku z ty m wskazuje się n a możliwość odpowiedniego stosow ania proponowanej m etody do ich projektow ania.
U zupełnieniem tych rozważań je st zaproponow ana również oryginalna m eto d a projekto
w ania układów wielowymiarowych ciągłych.
N iniejsza praca w ynikła z mojego "p o w ro tu ” do problem atyki układów dyskretnych i ponow nego zajęcia się nią kilka la t tem u. Było to spowodowane pow szechnym ostatnio stosow aniem regulatorów zrealizowanych n a m ikroprocesorach. N ależy je d n a k zauważyć, że n a o trzy m an e tu ta j wyniki i poglądy bardzo duży wpływ m iało dośw iadczenie zdobyte podczas w ykonyw ania przeze m nie pracy doktorskiej w pierwszej połowie lat sześćdzie
siątych. Burzliw e dyskusje n a sem inariach, prowadzonych przez Prof. S. W ęgrzyna w ówczesnej K ated rze Teorii R egulacji, n a W ydziale Elektrycznym P olitechniki Śląskiej, miały olbrzymi w pływ na kształtowanie się młodych pracowników nauki. Dzisiaj z
p ersp ek ty w y czasu potrafię to chyba właściwie ocenić.
Opis i projektowanie zam kniętych układów.. 45
2. Przypadek małych okresów próbkowania
Rozważm y u k ła d d y skretny złożony z szeregowo połączonych elem entów: próbku
jącego, e k stra p o la to ra zerowego rzędu EO i obiektu ciągłego G. (rys. Ib). Załóżmy, że obiekt p osiada tra n sm ita n c ję w ym ierną o postaci
= (1)
Rys. 1. a) U kład ciąg ły ; b) u k ład d y sk retn y
F ig .l. a) C o n tin u o u s-tim e system ; b) d iscrete-tim e system
gdzie C (s ) i D (s) są w ielom ianam i odpow iednio sto p n ia m i n, przy czym m < n. Rozpa
tryw any u k ład d y sk retn y m ożna opisać za pom ocą tran sm itan cji dyskretnej określonej przez wzór
G(z) = ( l - z - ' ) Z h[y(kh))l
(2)
gdzie k = 0 ,1 ,2 ,... je st czasem dyskretnym , Z h oznacza transform ację Z o okresie próbkow ania h, y i[t) oznacza odpowiedź skokową obiektu ciągłego G, h je st okresem próbkow ania oraz (1 — z ~ 1) je st odw rotnością tran sfo rm aty Z dyskretnego skoku jedno
stkowego. Niechaj sj i zj, j - 1,2, ...,n są biegunam i odpow iednio tran sm itan cji G(s) i G(z). M am y w tedy
Zj = e3’\ j = 1,2, ...,n (3)
W arto zauw ażyć, że za pom ocą podstaw ienia t = k h zm ieniam y skalę czasu od czasu rzeczywistego t z je d n o stk ą ” 1” do czasu dyskretnego k z jed n o stk ą ”h ”. W zw iązku z tym położenie biegunów z,- tra n sm ita n cji G{z) nie odpow iada przebiegom czasu rzeczywistego.
M ożna zauw ażyć, że te ostanie przebiegi są związane z pierw iastkam i
z] = z ) ' h = j = 1 ,2 ,..., n (4)
w przypadku czasu dyskretnego oraz z pierw iastkam i sj, j — 1 ,2 ,.. . , n , w przypadku czasu ciągłego.
Przypadek graniczny, gdy h dąży do zera, należy traktow ać ostrożnie. W tedy, po pier
wsze, w szystkie bieguny zj dąż ą do granicy równej 1, co oznacza, że ta granica nie zawiera
żadnej inform acji o przebiegach sygnału wyjściowego. Po drugie, jeżeli trak tu jem y .z jako zm ienną zespoloną niezależną od h i różną od 1; w tedy
lim G (z) = 0. (5)
a- o w v '
P rzy p a d ek z 1 odpow iada stanom nieustalonym dla skończonych wartości czasu dyskretnego k. G ranica (5) wynika stą d , że w rozw ażanym przypadku y i ( k h ) —> 0 dla h —* 0, poniew aż yi(0) = 0. G ranica (5) nie m a żadnego znaczenia praktycznego i wynika stą d , że u ży ty został czas dyskretny k z jednostką ”h” zdążającą do zera. Z drugiej strony p rak ty cy wiedzą, że gdy h —> 0,/wtedy om aw iany układ dyskretny zachow uje się tak jak u k ład ciągły opisany tra n sm ita n c ją G(s). Teoretycznie m ożna to pokazać pow racając do czasu rzeczyw istego ciągłego poprzez podstaw ienie z = e xp(sh). O trzym ujem y w tedy
G (s) = lim G (e ^ ). (6)
W łasność (6) w ynika także z nieco zapom nianej obecnie własności tran sm itan cji dysk
retnej d la u k ład u z im pulsatorem idealnym , wyprowadzonej w [4].
Z w łasności (5) wynika, że stosowanie tran sm itan cji dyskretnej G { z ) do opisu układów przy m ały m h może prowadzić do znacznych trudności. Rzeczywiście z pracy [2] wynika, że do zapisu w spółczynników wielomianów tran sm itan cji G (z) p otrzebne są w tedy słowa cyfrowe o bardzo dużej długości. Na p rzykład, do zapisu tych współczynników d la układu, w k tó ry m G (s) = 4 0 .4 8 /(s + l) ( s + 2s + 40.48) i h = 0.01, zapew niającego dokładność p a ra m e tru w zm ocnienia n a poziomie 1% p o trz e b a 8 pozycji liczby dziesiętnej, a przy stosow aniu 5 pozycji m odel je st całkowicie nieadekw atny. Przy h = 0.001 p o trzeb a już 11 p o z y cji,a przy 8 m odel całkowicie upada. Z [2] wynika, że na p o trzeb n ą ilość pozycji liczby dziesiętnej isto tn y w pływ m a wielkość n ( - l o g h ) . Staw ia to pod znakiem za p y tan ia możliwość stosow ania tran sm itan cji G (z) do opisu i projektow ania układów dyskretnych przy m ałych h, szczególnie dla obiektów wyższego rzędu.
3. M odele przybliżone
Jed n y m ze sposobów om inięcia opisanych w poprzednim rozdziale trudności jest stosow anie opisu i projektow ania m etodam i czasu ciągłego. W tym celu będziem y stoso
wać dw a ty p y m odeli przybliżonych: model ciągły układu dyskretnego i m odel dyskre
tny układu ciągłego. Pierwszy model pozwala w ykorzystywać metody projektowania czasu ciągłego^ a drugi pozw ala przejść z otrzym anej tym i m etodam i wersji ciągłej regulatora n a wersję d y sk re tn ą realizowaną za pom ocą m ikroprocesora.
3.1. M odel ciągły układu dyskretnego
R ozw ażm y dw a układy, pierwszy' je st obiektem ciągłym opisanym za pom ocą tra n s
m itan cji G (s) (R ys. la ) i drugi złożony z elem entu próbkującego o okresie h, ekstra-
Opis i projektowanie zam kniętych układów. 47
po lato ra zerowego rzędu EO i obiektu ciągłego G ( s ) (rys. Ib). O tra n sm itan cji G (s) zakładam y tylko to, że G(ju>) -+ 0 gdy u> —> oo. Drugi układ m ożna opisać za pom ocą tra n sm ita n c ji dyskretnej G{z).
Porów najm y odpow iedzi obu układów n a sygnał wejściowy u(t) = c ł , c = const. Niech u ’ {t) oznacza w yjście e k strap o lato ra EO i niech A u(t) = u (t) — u ’ (t). W ykresy sygnałów u (f), u ’ (i) i A u (t) są pokazane n a rys. 2 a i b. Różnicę A u (t) m ożna przedstaw ić w postaci następującego szeregu Fouriera
«) b)
z
2Ł 3h i z UtRys.2. a) S y g n a ły w e jśc io w e ; b) ró ż n ic a sy g n a łó w Fig.2. a) In p u ts; b) inputs d ifferen ce
, . h h ( . 1 . 47T \
+ 7 r i + - J
co
Jeżeli h je st dostatecznie małe',.wtedy |G (jx O I» * = 1 ,2 ,... są m ałe i składow e harm oni
czne w y stęp u jące w (7) są tłum ione po przejściu przez G. O znaczając przez A ti(i) wartość średnią za okres h przebiegu A u (i) oraz uw zględniając to , że c = u ( t )]otrzym ujem y z (7)
, , h h . . .
A u (i) = - c = - u (i). (8 )
M ożna zauw ażyć, że odpow iedź uk ład u G(s) n a sygnał (8) dla m ałego h określa w przy
bliżeniu sygnał A y(t) = y ( i) — y i( i) . W prow adzając oznaczenia A U(s) = £[A u (f)], U(s) = £ [u (i)], y ( s ) = £ [y (i)], r ,( s ) = £ [y i(t)], A y ( s ) = y ( s ) - l j ( s ) , gdzie £ oznacza symbol tran sfo rm acji L aplace’a,otrzym ujem y;
A Y (s) » A Y ( s ) = G ( s ) A U ( s ) = G ( s Ą s U ( s ) = ^ s Y ( s ) ,
(9)
Y i(s) w Gd(s)U (s), G j ( s ) = (1 - - s ) G ( s ) . (10) P rzybliżone zależności (9) i (10) są ty m d o k ł a d n i e j s z e j bardziej są tłu m io n e przez G składow e sinusoidalne szeregu (7). Zauważmy, że zależności te obow iązują nie tylko dla u (t) = ct, ale także dla dowolnych u (t), dla których zm iana pochodnej u ( f ) za okres (i — h , t ) h je st pom ijalnie m ala.
Zależność (10) określa oryginalny przybliżony m odel ciągły w postaci tran sm itan cji G j(s) d la u k ła d u dyskretnego - rys. Ib.
Inny model ciągły przybliżony układu dyskretnego z rys. Ib m ożna wyprowadzić zauw ażając, że średnia za okres (i — h , t ) wartość sygnału u"(t) oznaczana przez €i’ (t) sp ełn ia zależność u ’ (t) = u(t — | ) . O trzym ujem y stąd
Y ^ s ) * Ge(s)U(s), Gc(s) = G(s) e~*\ (11) D okładniejsze uzasadnienie m odelu (11) m ożna znaleźć ju ż w lite ra tu rz e z la t sześćdzie
siątych [6], a możliwość jego zastosowań zauw ażona je st również w aktualnej literatu rze
Ul-
O b a m odele przybliżone w ynikają z modyfikacji tra n sm itan cji G(s)\ Gd(s)je st zmo
dyfikowana przez pochodną, a Gc(s) - przez opóźnienie. M ożna zauw ażyć, że Gd(s) wy
nika z ( ^ ( s ) , jeżeli w tym o sta tn im rozwiniemy funkcję e x p ( —h s / 2 ) w szereg i uwzględ
nim y tylko pierw szy w yraz rozwinięcia.
3.2. M odel dyskretny układu ciągłego
D any u k ład ciągły opisany tran sm itan cją w ym ierną R (s) m ożna aproksym ow ać opi
sem dy sk retn y m n a wiele sposobów. W dalszych rozw ażaniach będziem y w ykorzystywać tzw. aproksym ację T ustina, w której model dyskretny w postaci tra n sm itan cji dyskretnej R {z) u k ład u ciągłego R [s) wynika ze wzoru
< i 2 >
M ożna pokazać [7],że m odel (12) wynika z tzw. trapezowej aproksym acji całkowania.
Oczywiście dokładność aproksym acji zależy od stosunku częstotliwości próbkow ania do m aksym alnej częstotliwości w idm a sygnału wejściowego. Im większy ten stosunek, ty m w iększa dokładność aproksym acji. W proponowanej dalej m etodzie projektow ania odpow iednia w artość tego stosunku wynika z poczynionego ta m założenia dotyczącego tzw . częstotliwości określającej pasm o przenoszenia.
4. Projektowanie regulatora dyskretnego
Rozważm y układ dyskretny pokazany na rys. 3a składający się z obiektu ciągłego o tra n sm ita n c ji G (s), e k strap o lato ra zerowego rzędu EO , re g u lato ra o tra n sm itan cji dysk
retnej R ( z ) i dwóch synchronicznych elementów próbkujących o okresie próbkow ania h.
W realizacji praktycznej próbkow anie elem entu 2 odpow iadające przetw ornikow i cyfrowo- analogow em u je st nieco opóźnione w stosunku do próbkow ania elem entu 1 odpow iada
jącego przetw ornikow i analogowo-cyfrowemu. Opóźnienie to je st przeznaczone n a wyzna
czenie nowej w artości sterow ania u (k h ) po otrzym aniu nowej w artości po m iaru y ( k h ) i w rozw ażanym m odelu pom ijam y je.
Opis i projektow anie zamkniętych układów.. 49
P rzedstaw iony na rys. 3b m odel ciągły je st m odelem układu dyskretnego z rys. 3a;
jeżeli tra n s m ita n c ja G j(s) jest zw iązana z G(s) zgodnie ze wzorem (10), a tra n sm ita n c ja R ( z ) w ynika z aproksym acji T u stin a (12) tran sm itan cji R(s). Z am iast m odelu Gd(s) m ożna również używ ać m odelu Ge(s), k tó ry je st określany za pom ocą tra n sm ita n cji z opóźnieniem (niew ym iernej)!co jed n ak prowadzi do zwiększenia trudności projektow ania.
Rys.3. a) Z a m k n ię ty u k ład d y sk retn y ; b) je g o m o d el ciągły
Fig.3. a) D isc re te -tim e c lo sed -lo o p system ; b) its c o n tin u o u s-tim e m odel
D odatkow ym w arunkiem je st odpow iedni stosunek częstotliwości próbkow ania do częstotliwości określającej pasm o przenoszenia. Niechaj ujg oznacza częstotliw ość określa
jącą pasm o przenoszenia m odelu uk ład u z rys. 3b, m am y zatem \ G i ( j u ) R ( j u j)| < 1 (lub
|Gc(jw )/? (ju ;)| < 1) dla 0 < w < ojg. O m aw iane m odele obow iązują dla m ałych h, dla których sygnał o częstotliwości próbkow ania i wyższej je st dostatecznie tłum iony przez G. O rien tacy jn ie zachodzi to wtedy^/gdy częstotliw ość próbkow ania w, = 2ir/h jest w przybliżeniu n ie m niej niż dziesięć razy w iększa niż u>g. To zalecenie w ynika z dotych
czasowych rozw ażań, jak również z przeprow adzonych badań, num erycznych. Je st ono zgodne z zaleceniem określającym częstotliw ość próbkow ania znajdującym się w (7, str.
461], P rzy sp ełn ien iu tego w arunku będziem y uważali,że układ z "rys. 3b z o biektem G j(s) (lub G e(s)) je st m odelem ciągłym uk ład u dyskretnego z rys. 3a. O znacza to, że odpo
wiednie ch arak tery sty k i czasowe i częstotliwościowe om awianych układów są zbliżone do siebie.
Poniew aż m odel z pochodną je st prostszy, je st on zalecany w przy p ad k u obiektów bez opóźnienia. Nietrudno zauważyć, że proponow ana m eto d a może być również stosow ana dla p rz y p ad k u obiek tu z opóźnieniem . W ty m p rzy p ad k u stosowanie m odelu z opóźnie
niem w ydaje się bardziej właściwe.
4.1. A lgorytm projektowania
Proponujem y zatem następujący algorytm projektow ania regulatora dyskretnego.
1. D la danej tra n sm itan c ji obiektu G(s) i przyjętego okresu próbkow ania h two
rzym y m odel z pochodną G j( s ) — G (s )(l — | s ) lub model z opóźnieniem G e(s) = G { s ) e x p { - f s ) ;
2. S tosując je d n ą ze znanych m etod projektow ania układów ciągłych( dobieram y re
gu lato r R (s ) do stosowanego m odelu G j(s) lub G c(s );
3. Jeżeli oij>10u)Sjto regulator dyskretny R ( z ) wynika z przybliżenia reg u lato ra R (s), określonego wzorem T u stin a (12).
U w a g a . W celu przyjęcia właściwego h zapew niającego spełnienie w arunku z p u n k tu 3 m ożna najpierw w yznaczyć częstotliwość p asm a przenoszenia dla u k ład u ciągłego z regulatorem R'{s) zaprojektow anym dla obiektu G (s) i przyjąć,że określa ona w przy
bliżeniu in teresu jącą nas częstotliwość pasm a przenoszenia ojg.
4.2. Przykład Rattana
P rzy k ład wprowadzony przez R a tta n a [8] byl również rozpatryw any przez Kellera i A ndersona [5]. W przykładzie ty m obiekt i regulator m a ją tra n sm ita n c je w postaci
G<5> = ^ T T i ' <I3>
, 0.416s + 1
= o lś s T T i • (14>
D la h = 0.15 zaprojektow any przez R a tta n a regulator dyskretny m a p o stać
, 3 .4 3 6 Z - 2.191 ,
z + 0.239 ' <‘5>
D la tego sam ego h m odel z pochodną przyjm uje postać G j ( s ) = R egulator zaprojektow any dla tego m odelu przy w ykorzystaniu k ry teriu m M a x u M , (M = l i+yfilb l) przyjm uje p ostać
<16>
R egulator dyskretny wynika z (16) i (12)
D la rozpatryw anego p rzy k ład u m am y M a x wM = 1.35, u>g — 5.2, o j, = 41.9, oj,/ujg = 8.06. T y m niem niej odpowiedzi skokowe, wykresy wskaźnika regulacji i w ykresy Nicholsa dla u k ład u dyskretnego i odpow iadającego m u układu ciągłego są jeszcze wzajemnie zbliżone. Dzięki te m u u k ład dyskretny z zaprojektow anym reg u lato rem (17) m a dobre własności.
Z aprojektow any regulator (17) i regulator R a tta n a (15) są reg u lato ram i 1 rzędu.
Keller i A nderson zaprojektow ali dla obiektu (13) regulator 2 -rzędu dla A = 0.157,
Opis i projektowanie zam kniętych układów.. 51
0.314, 0.42. Jed n ak że te o statn ie regulatory d ają nieco gorsze przebiegi niż regulator R a tta n a (15).
l- R o r w ią ju n i« R i t t i n i . u kła d ciągły, o — 2 -R or»< ą«rt*« R e ru n « , u t t . d y jk r ., h - O .ł i ;
z p o c h o d n ą i r u iz * rozw iązani*
d y sk retn e p rzy k ła d u Rattan*.
1-R ozw iązanie R a t t a i n , u ldvd c iągły, 2 -R ozw iązanie R a tta n a, u k ła d d y sk re tn y , h “ 0 . t J;
3-Nmz model ciąjB^y z pochodną;
4 - N u z u k ła d d y a k re tn y t i a p rzy k ła d u R attana d l i b - O . l i .
c) W ykresy N icholsa uk ład u o tw artego c) N ichols plots o f the opcn-loop system . a) O d pow iedzi skokow e zam kniętego układu
a) S tep responses o f the closcd-loop system
l - U l i a d c iągły R attana, 2__2- U k ła d d y ik je tn y
3 -M o d c l Z p o c h o d n ą i r u n . t a m e nrrvV Jvdu Rattana.
b) W ykresy Bode'ego w skaźnika regulacji b) Bode plots o f the control index
Rys. 4. C h a ra k te ry sty k i cz a so w e i c z ęsto tliw o ścio w e dla p rzy k ład u R attana Fig.4. T im e an d freq u e n cy ch aracteristics fo r R a ttan ’s exam ple
N a rys. 4 a, b, c przebiegi charakterystyk d la układu z naszym regulatorem (17) są porów nyw ane z przebiegam i dla regulatora R a tta n a (15). W idać, że nasz regulator je st nieco szybszy, daje nieco m niejsze przeregulow anie,a naw et nieco większy zapas fazy w porów naniu do re g u lato ra R a tta n a . Tylko zapas am p litu d y dla naszego re g u lato ra jest mniejszy.
5. Układ w ielowym iarowy z różnymi okresami próbkowania
Rozw ażm y u k ła d wielowymiarowy dyskretny w czasie pokazany n a rys. 5 złożony z ciągłego wielowejściowego i wielowyjściowego o biektu opisanego tra n sm ita n c ją m acie
rzową
G (s)
G u (s)i ■■■ G i m(s) ć?ml(s)> fu'mTTi(^)
(1 8)
i z rn sprzężeń zw rotnych zawierających elem enty próbkujące z różnym i okresam i prób
kowania A,-, ek strap o lato ry zerowego rzędu B O i oraz regulatory d y sk retn e opisane trans- m itan cjam i R i ( z ) 1 i = 1, 2, m. Różne okresy próbkow ania zastosow ane w różnych sprzężeniach m ogą wynikać z różnych prędkości przebiegów,'jak również z ograniczeń ele
m entów pom iarow ych i przetworników analogowo-cyfrowych.
R ys.5. U k ład w ie lo w y m ia ro w y d yskretny z ró żn y m i ok resam i p ró b k o w an ia F ig.5. D isc rete-tim e, m u ltiv ariab le, m ultirate system
R ozw ażany u k ła d je st liniowy, ale nie da się opisać za p om ocą tra n sm ita n c ji m acie
rzowej. Rzeczywiście^opis w postaci tran sm itan cji macierzowej całego u k ład u z rys. 5 byłby możliwy('gdyby istn iała tra n sm itan cja dla u k ład u pokazanego n a rys. . 6 o jednym wejściu i je d n y m wyjściu, w przypadku gdy A; yś Aj. Pow staje zatem p ytanie: czy i w jak im p rzy p ad k u istnieje opis w postaci tran sm ita n cji (lub stacjonarnych rów nań stanu) d la u k ła d u z rys. 6. Należy podkreślić, że w dostępnej lite ra tu rz e b rak je st wyraźnej odpow iedzi n a to p y tan ie, chociaż problem został zauważony np, w [13].
6. Istnienie transmitancji
Rozważm y trz y przypadki:
1. hi = A, Aj = NA, N - liczba całkowita;
2. Aj = MA, Aj = A, M - liczba całkowita;
3. A, = MA, Aj = NA, M , N - względne pierw sze liczby całkow ite, dod atn ie, a A oznacza pew ien podstawowy okres próbkow ania (najw iększy w spólny podzielnik okresów A,- oraz Aj).
Opis i projektowanie zam kniętych układów.. 53
V ZOHj \
* o s C0 —/ Vi
Rys. 6. U kład d y sk re tn y z hj * hj Fig.6. D isc rete-tim e sy stem w ith h, * hj
W prow adźm y następ u ją ce wyrażenie •
oo
Y h(z) = Z h[y(kh)\ = J 2 y ( kh)z ~k>
k=Q
(19)
tzn. sym bol Z h oznacza tra n sfo rm a tę Z przy okresie próbkow ania h,
W przy p ad k u 1 d la dowolnego ciągu [u(iiV /i)] i odpow iadającego m u ciągu [y(Jt/i)], k = 0 ,1 ,2 ,... zachodzi:'
Vi(k h ) = £ [ u ( W i ) - u ((/ - l) N h ) ] y n ( k h - IN h),
1=0
gdzie
(2 0)
(21)
a £ 1 oznacza sym bol odw rotnej transform acji L aplace’a. Po zastosow aniu transform acji Z do obu stro n zależności (20) otrzym ujem y: '
OO
Y k(*) = Y X lNh)
" " 1
)Nh)]Zh[yij{kh)]z-,N =(1 - V)ii*[yy(AA)I(22)
1=0
lub
gdzie
Y \ z ) = G l>j { z ) U " \ z N ) i
oo
Y \ z ) = Z h[y(kh)}, UNh( z N) = J u P J i / ) - 1
t=o
G ^ i l - z - ^ M k h ) ) .
(23)
(24)
(25) Tak więc dla przy p ad k u 1 istnieje opis w postaci tran sm itan c ji (25) w iążącej wyjście Y h{z) z wejściem U Nh{zN ).
N ato m iast dla przypadku 2 m ożna zauważyć, że tra n sm ita n c ja wiążąca wyjście z wejściem nie istnieje, gdyż rozpatryw any układ je st niestacjonarny. Rzeczywiście, jeżeli dla dowolnego wejścia Uj(kh} otrzym ujem y wyjście y ^ k M h ) , k — 0 ,1 ,2 ,..., w tedy dla takiego sam ego wejścia ale przesuniętego w czasie o A,tzn. dla Uj(kh — A), wyjście t/,- nie je st p rzesu n ięte o A,'gdy m inim alne przesunięcie w czasie w yjścia y, je st równe A; = M h .
Również dla p rzypadku 3 tra n sm ita n c ja opisująca u k ład z rys. 4 nie istnieje, gdyż również w tedy u k ład je st niestacjonarny.
Poniew aż w układzie wielowymiarowym, naw et jeżeli kanałowi skrośnem u od wejścia u,- do w yjścia yy odpow iada przypadek 1,'to kanałowi skrośnem u od Uj do y,- odpow iada przypadek 2. W ynika stąd,że dla całego uk ład u dyskretnego wielowymiarowego z różnym i częstotliw ościam i próbkow ania nie istnieje opis w postaci tra n sm itan cji macierzowej (ani w postaci stacjonarnych rów nań stanu), co znacznie u tru d n ia projektow anie takich u k ła
dów m eto d am i czasu dyskretnego. W zw iązku z ty m w zrasta znaczenie zaproponow anej w n a stę p n y m rozdziale m etody projektow ania bazującej n a opisie ciągłym .
7. Projektowanie dyskretnych układów wielowymiarowych
Z akładam y, że w układzie z rys. 5 wejście u; obiek tu je st odpow iednio dobrane do w yjścia y;, i = 1,2, ta k że oba w ystępują w i-tym sprzężeniu zw rotnym . Inaczej m ówiąc, zakładam y, że problem doboru sygnału regulującego uj do sygnału regulowa
nego y,- został ju ż rozstrzygnięty przy w ykorzystaniu różnych przesłanek (wzm ocnienie i sta łe czasowe poszczególnych kanałów, oraz ew entualnie inne przesłanki w ynikające z fazy tw orzenia m odelu obiektu). Ponieważ cały układ nie m oże być opisany za po
m ocą macierzowej tran sm itan c ji dyskretnej/uzasadnione je st w ykorzystanie omówionego poprzednio m odelu ciągłego do opisu poszczególnych kanałów obiektu z uw zględnieniem różnych okresów próbkow ania. Dzięki tem u m ożna zaproponow ać n astępujący algorytm projektow ania wielowymiarowych układów dyskretnych.
7.1. Algorytm projektowania
1. D la danej tran sm itan c ji Gij(s) ij-tego kanału obiektu i przyjętego okresu próbko
w ania hj należy utw orzyć tran sm itan cję zm odyfikow aną przez p ochodną Gfj{s) = (1 — h j s / 2 ) G ( s ) (lub przez opóźnienie G-j(s) = e x p ( —h j s / 2 ) G ( s ) , i = 1,2, ...m ).
2. W yk o rzy stu jąc je d n ą ze znanych m etod projektow ania wielowym iarowych układów dyskretnych, znaj dujem y tra n sm itan cję Rj ( s ) regulatorów ciągłych dla o biektu opi
sanego przez tra n sm ita n c ję G fj(s) (lub G -^ s )).
3. Spraw dzam y, czy okresy próbkow ania hj są dostatecznie m ałe, tzn. czy częstotli
wość próbkow ania u)j = 2tt/ hj je st około ‘dziesięć razy w iększa od częstotliwości
Opis i projektowanie zamkniętych ukiadów. 55
określającej częstotliw ość pasm a przenoszenia uij j -tej p ętli sprzężenia ; jeżeli nie - to zm niejszam y okres hj i pow tarzam y kroki 1 i 2.
4. T ra n sm ita n c je regulatorów dyskretnych poszczególnych p ętli R j ( z ) w ynikają z ap
roksym acji T u stin a tran sm itan cji R j(s ), czyli
(26) C zęstotliw ość p asm a przenoszenia j-tej p ętli cuj obliczam y biorąc pod uwagę trans- m itancję o b iek tu zastępczego Gj w iążącą wyjście Y j ( s ) z wejściem Uj(s) o biektu i wy
prow adzoną przy uw zględnieniu pozostałych m-1 p ętli zam kniętych. Dalej zostanie to objaśnione dokładniej i stanie się zrozum iale po przedstaw ieniu p rzykładu.
U w a g a . Ażeby w ybrać odpow iednie okresy próbkow ania hj zapew niające spełnie
nie w arunku ujj > IOwtj/nąjpierw m ożna określić częstotliwość uij' p asm a przenoszenia dla układ u z reg u lato ram i R j'{s) zaprojektow anym i dla obiektu G{s). N astępnie m ożna przyjąć, że ujj m u i określić hj.
W opisanym algorytm ie projektow ania w ykorzystuje się dow olną m eto d ę projektow a
nia w ielowym iarowych układów ciągłych. W n astęp n y m rozdziale opiszem y oryginalną m etodę projektow ania takich układów.
8. Projektowanie ciągłych układów wielowymiarowych
Rozw ażm y te ra z wielowymiarowy u k ład ciągły pow stający z uk ład u pokazanego na rys. 5, jeżeli w ty m o sta tn im nie w ystęp u ją elem enty próbkujące i ek strapolatory, a w m iejsce regulatorów dyskretnych R j ( z ) w ystęp u ją regulatory ciągłe R j( s ) . Opiszemy teraz ory g in aln ą m e to d ę projektow ania regulatorów R j ( s ) dla tych układów polegającą na sukcesywnym stosow aniu m etody projektow ania reg u lato ra dla obiektu o jed n y m wejściu i jednym w yjściu. Proponow ane podejście polega n a repetycyjnej procedurze, w której regulator R j ( s ) j-te j p ętli jest projektow any dla obiek tu zastępczego o je d n y m wejściu Uj i jednym wyjściu j/j,pow stającego z uw zględnienia pozostałych p ętli zam kniętych (tych, które ju ż m a ją zaprojektow ane w poprzednich krokach regulatory).
Tak więc najpierw je st projektow any reg u lato r R \ ( s ) dla obiektu G u ( s ) , pozostałe pętle są o tw arte, gdyż nie m ają one jeszcze zaprojektow anych regulatorów . D rugi re
gulator R i ( s ) projektujem y dla jednow ym iarow ego obiek tu zastępczego pow stającego z uw zględnienia pierw szej p ętli zam kniętej i pozostałych otw artych; trzeci i?3(s) - dla za
stępczego o b iek tu uwzględniającego dwie pierw sze p ętle zam knięte, a po zo stałe otw arte;
ostatni m -ty reg u lato r Rm {s) dla o biektu zastępczego uwzględniającego w szystkie pozo
stałe p ętle zam knięte.
N astępnie pow tarzam y procedurę projektow ania rozpoczynając od pierwszej pętli i p ro jek tu jąc regulator R j(s ) j-tej p ętli, j = 1,2, ...,m dla obiektu zastępczego jednow y
miarowego wynikającego z uw zględnienia pozostałych pętli zam kniętych z regulatoram i zaprojektow anym i w ostatnich m-1 krokach. Jeżeli potrzeba, pow tarzam y procedurę pro
jektow ania, aż dalsze kroki nie dadzą poprawy sterowania.
Należy podkreślić, że proponow ana p rocedura projektow ania je st zazwyczaj szybko zbieżna. W ynika to z fak tu , że zm iana reg u lato ra Rj(s) j- te j p ętli w pływ a głównie na ch arak tery sty k i otw artej j-te j pętli w ykorzystyw ane przy projektow aniu. C harakterystyki pozostałych kolejno otw ieranych pętli są znacznie mniej zależne od tej zm iany, gdyż dla nich j- ta p ę tla je st zam k n ięta,a więc zazwyczaj m ało wrażliwa n a zm ianę param etrów .
R eg u lato r Rj(s) określam y stosując dowolną m etodę projektow ania układów jedno
wym iarow ych. Je d n ą z zalecanych je s t m e to d a bazująca n a ch arakterystykach częstotli
wości i k ry teriu m M mas, k tóre jest stosow ane w opisanym dalej przykładzie. R egulator Rj (s) pow inien być zaprojektow any ta k , że M max « 1.3,gdzie M max je st równe m aksi
m um m o d u łu charakterystyki am p litu d y zam kniętego układu.
9. Przykład
Rozważm y układ dyskretny o dwóch zm iennych regulowanych pokazany n a rys. 5, w k tó ry m tra n sm ita n c ja macierzowa obiektu przyjm uje postać
10 7
<?(*) =
s ( s + l ) ’ 5( 3 + 2 ) ( s + 3 )
7 (27)
s ( s + l ) ’ (s + 2 )(s + 3 )
Celem rozw ażań jest zaprojektow anie tran sm itan cji R\ (z ) i R 2(z)fktóre określają algorytm y regulatorów dyskretnych w obu pętlach.
Po w stępnych próbach,w których brano pod uwagę prędkości przebiegów obu pętli, przyjęto hi = 0.18 i h2 = 0.24. Z atem dla obiektu otrzym ujem y n astęp u jący model z p ochodną
" —0.93+10 -0 .8 4 3 + 7 3(3+1) 5 (s+ 2 )(s+ 3 ) G '( s ) =
-0.453+5 -0 .8 4 3 + 7 (s + 2 )(s + 3 )
(28)
s ( 3 + l )
N ajpierw projektujem y regulatory ciągłe Rj{s), j — 1,2 za p om ocą m eto d y opisanej w p oprzednim rozdziale. W pierw szym kroku projektujem y regulator R'i(s) d la obiektu G jj(s ); d ru g a p ę tla je st o tw arta,poniew aż nie m a jeszcze zaprojektow anego regulatora.
W drugim kroku projektujem y regulator R ^(s) dla obiektu zastępczego (z wejściem u2 i w yjściem y2oraz zam k n iętą pierw szą p ę tlą zaw ierającą regulator R[{s)) opisanego tra n sm ita n c ją
G2{s) = G \2 - G R[ (29)
Opis i projektow anie zam kniętych ukiadów.. 57
W trzecim kroku projektujem y regulator R" (s ) d la obiektu zastępczego opisanego tra n sm itan cjąC
G \ ( s) = G du - G i ^ r g f 2 (30)
•«jl---.--- --- . ■ ■
• • 1 » * * 0*1 1
a) Odpowiedzi skokowe y l(t) na w 1-1 (tX w2“ 0 a) Step responses o f y l( t) for w l- l( tX w2-O
b) Odpowiedzi skokowe y2(t) na w2=l(tX w l- 0 b) Step responses o fy 2 (t) for w 2 -l(tX w l - 0
c) Time responses o f y2(t) for w l- l( tX w 2 -0 d) Time responses o f yl(t) for w 2-l(tX w l-0
Rys.7. P rzeb ieg i cz a so w e w o b u pętlach dla zap ro jek to w an eg o u k ład u d w u w y m ia ro w e g o Fig.7. T im e resp o n ses o f b o th th e loops for th e designed tw o d im en sio n al system
W czw artym kroku projektujem y regulator dla obiektu zastępczego G 2 (określo
nego przez (29) z R t zastąpionym przez R'[). Jed n ak ż e dla rozważanej klasy regulatorów opisanych tra n s m ita n c ją w ym ierną pierwszego rzędu w czw artym kroku nie otrzym ujem y już istotnej popraw y. O statecznie otrzym ujem y regulatory R i ( s ) = R'{(s) i R j {s ) = R^{s) w postaci
R l ^ = ° ‘4 5 i 5 t t ’ r ^ = t '- (31)
Częstotliw ości określające p asm a przenoszenia obu p ętli z odpow iednim i obiektam i zastępczym i są tui = 3.57 i wj = 1.27. Poniew aż u>\ = 27r/0.18 = 34.9 i u>2 — 2zr/0.24 = 26.1,więc Wi / u* = 9.78 i = 20.55. T ran sm itan cje regulatorów d yskretnych o trzy mujemy z ap ro k sy m acji T u stin a tran sm itan cji (31)'(co daje
- 1 .8 7 3 6 8 4 (z - 0.7977528) X^Z’ ~ z - 0.05263158
szczególnych p ętli,a na rys. 7 c i d - przebiegi wynikające z interakcji dla m odelu ciągłego określonego przez (28) i (31). Przebiegi te porów nano z układ em d y sk retn y m opisanym przez (27) i (32). Ponieważ dla uk ład u dyskretnego nie istnieje opis w postaci tra n sm ita ncji, om aw iane przebiegi w yznaczono przy w ykorzystaniu program u SIM U LIN K . W idać, że przebiegi m odelu ciągłego i uk ład u dyskretnego są bardzo do siebie zbliżone.
10. Uwagi o niektórych programach
W p rzypadku układów wielowymiarowych o wielu zm iennych regulow anych wy
znaczenie -transm itancji obiektu zastępczego jednowymiarowego G ), j = 1 ,2 ,..., m może być bardzo pracochłonne. M ożna jed n ak korzystać z niektórych program ów . Jeżeli znam y wzory określające Gj>typu (29), (30), to możemy skorzystać z P rogram u CC, k tó ry um ożli
wia w yznaczenie G j bezpośrednio z zapisanych wzorów.
Jeżeli nie chcemy wyprow adzać wzorów (co też może być pracochłonne), to możemy korzystać z program u M ATLAB-SIM ULINK. W ty m celu, najpierw korzystając z pro
gram u SIM U LIN K jiikładam y schem at blokowy sym ulujący m odel ciągły u k ła d u . N astęp
nie przeryw am y j- tą pę tlę zaznaczając wejście uj i wyjście yj odpow iednio za pom ocą bloków „inport” oraz „outport” i nazyw am y dowolnie schem at, np. ” tra n s-j.m ” . Kolejno stosujem y trzy następujące funkcje M ATLAB-a : [A, B , C , D] = l i n m od ( ' t r a n s - j 1), [n u m ,d e n ] = s s 2 t f ( A , B , C , D ) , [L, M] = m i n e r al {num, den), k tó re w yznaczają we
ktory L i M, określające w spółczynniki wielomianów odpow iednio licznika i m ianow nika tra n sm ita n c ji G j - bez w yprow adzania wzorów.
O s tr z e ż e n ie . W przypadku w ystępow ania w sym ulującym schem acie blokowym ele
m entu z opóźnieniem wym ienione funkcje M A TLA B-a dają w ynik niepopraw ny bez żad
nego ostrzeżenia! D la tego p rzypadku a u to r niniejszej pracy ulożyl p ro g ram M A TLAB-a w yznaczający odpow iednie p rz y d a tn e do projektow ania charakterystyki częstotliwościowe rep rezentujące G j.
Przy okazji w arto jeszcze omówić niektóre potknięcia w ystępujące w program ach.
P rzy projektow aniu układów dyskretnych często w yznacza się tra n sm ita n c je dyskretne dla części u k ład u złożonej z elem entu próbkującego, ek strap o lato ra i obiektu ciągłego.
P ro g ram CC zaw iera rozkaz "co n v ert” pozw alający obliczać tra n sm ita n c ję d y sk re tn ą dla danej tra n sm ita n cji ciągłej w dziesięciu różnych wersjach. D la nas interesu jące są wersje nr 7, 8 i 9 odnoszące się do układów odpow iednio z im pulsatorem idealnym , ekstrapola- to rem zerowego rzędu i ek strap o lato rem pierwszego rzędu. O tóż w pew nych przypadkach om aw iany rozkaz w yznacza tra n sm ita n c je dyskretne, k tóre zastosow ane do opisu u k ła dów zam kniętych prow adzą do niepopraw nego opisu układu. D la przypadków odpow iada
jących w ersjom 8 i 9 w ystępuje to wtedy, gdy tra n sm ita n c ja ciągła o biektu je s t w ym ierna
Opis i projektowanie zam kniętych układów.. 59
i m a sto p ień licznika równy stopniow i mianownika. Skokowa zm iana wejścia dla takiego obiektu w yw ołuje skokową zm ianę (nieciągłość) w yjścia i przy obliczaniu tran sm itan cji dyskretnej powstaje problem, którą granicę lew o-czy prawostronną uwzględnia w chwili nieciągłości elem ent próbkujący. Prow adzi to do rozróżnienia dwóch różnych tran sm i
tancji dysk retn y ch , odpow iednio przyczynowej i nieprzyczynowej [4]. O tóż program CC w yznacza tra n sm ita n c je nieprzyczynow e( a do opisu u k ład u zam kniętego p otrzebne są zazwyczaj tra n sm ita n c je przyczynowe nie w yznaczane w program ie CC.
D la wersji 7 rozkazu ’’convert” poczynione tu ta j uwagi odnoszą się do przypadku,gdy tra n sm ita n c ja ciągła m a stopień licznika o jedność m niejszą od sto p n ia m ianow nika. N a
leży p o d kreślić,że d la tego p rzypadku popraw ne podejście prow adzące do tran sm ita n cji przyczynowej p rzedstaw ił Prof. S. W ęgrzyn już w 1960 r. w pracy [9], a także w książce [10],której pierw sze w ydanie ukazało się w 1963 r.
N ależy podkreślić, że również w M ATLAB-ie problem tran sm itan cji przyczynowych nie został zauważony.
I jeszcze w arto zauw ażyć, że P rogram CC, a w szczególności podręcznik użytkow nika [13]^'poświęca stosunkow o dużo m iejsca opisowi i analizie układów dyskretnych z różnym i częstotliw ościam i próbkow ania. Do przedstaw ionych ta m przykładów opisu i analizy układów zam kniętych należy jed n ak podchodzić ostrożnie, gdyż bazu ją one na istnieniu tra n sm ita n c ji, co nie we w szystkich rozw ażanych ta m przypadkach zachodzi.
IX. Uwagi końcowe
W p rzy p a d k u stosunkowo dużych częstotliwości próbkow ania tra n sm ita n c je dyskre
tne b azujące n a transform acji Z m ają niekorzystne własności, np. w ym agają długiego słowa cyfrowego do zapisu w ystępujących w nich w spółczynników . Je d n y m ze sposobów uniknięcia w ystępujących trudności zaproponow anym w niniejszej pracy je st stosowanie oryginalnego, przybliżonego m odelu ciągłego i dowolnej m eto d y projektow ania układów ciągłych.
Z aproponow ana m e to d a m a tę zaletę, że je st p ro sta i m ożna j ą zastosow ać do zapro
jektow ania re g u la to ra dyskretnego naw et bez bliższej znajom ości zasad opisu układów dyskretnych. P ro s to ta m eto d y um ożliw ia pow tórzenie projektow ania dla różnych okresów próbkow ania i w ybór najbardziej odpow iedniego okresu. Korzyści są w yraźnie widoczne dla układów z w ielom a reg u lato ram i dyskretnym i pracującym i z różnym i częstotliwoś
ciami próbkow ania, niekoniecznie synchronicznie. W tym p rzypadku zastosow anie m etod opisu układów d y sk retn y ch nap o ty k a na. duże trudności. M etoda m oże być również sto
sowana do układów z opóźnieniem .
C hociaż m e to d a szczególnie nadaje się dla dużych częstotliwości próbkow ania, to daje ona rów nież dobre re z u lta ty d la zalecanych w lite ra tu rz e [7] częstotliwości próbkow ania wynikających z pasm a przenoszenia układu. Po uwzględnieniu powyższych rozważań wydaje się, że z punktu widzenia inżynierskiego m etoda może mieć istotne znaczenie.
Uzupełnieniem do tych rozważań jest opracowana także oryginalna metoda projektowania wielowymiarowych układów ciągłych, z oddzielnymi regulatorami w poszczególnych pętlach regulacji. M etoda polega na kolejnym projektowaniu regulatorów w poszczególnych pętlach dla obiektu zastępczego z jednym wejściem i jednym wyjściem, wynikającego z uwzględnie
nia pozostałej części układu z zamkniętymi pętlami regulacji. W ten sposób układ wielowy
miarowy jest projektowany przez wielokrotne stosowanie dowolnej metody projektowania układu j ednowy miarowego.
LITERATURA
1. Franklin G.F., Powell J.D., Emami Naeini A.: Feedback Control o f Dynamie Systems, 3- rd ed. Reading, MA, Addison Wesley, 1994.
2. Gessing R.: Properties o f Discrete-Time Transfer Functions for Small Sampling Periods.
Proceedings o f 2-nd European Control Conference, June 29-July 1, 1993, 1699-1702.
3. Gessing R.: Comments on „A Modification and the Tustin Approximation” with a Conc
luding Proposition. IEEE Trans Autom. Control, vol. 40, no. 5, 1995, pp. 942-944.
4. Gessing R.: Causal and Noncausal Discrete-Time Transfer Functions and Their Applica
tions. Inf. J. Control (w druku).
5. Keller J.P., Anderson B.D.O.: A New Approach to the Discretization o f Continuous-Time Controllers. IEEE Trans. Autom. Control, Vol. 37 No 2. 1992, pp. 214-223.
6. Kuzin L.T: Opis i projektowanie układów dyskretnych. M oskwa 1962, (po rosyjsku).
7. Middleton R.H., Goodwin G.C.: Digital Control and Estimation, A Unified Approach, Englewood Clifs, NY: Printice Hall 1990.
8. Rattan K.S.: Digitalization o f Existing Continuous Control Systems, IEEE Trans. Autom.
Control, Vol. AC-29, 1984, pp 282-285.
9. Węgrzyn S.: Différentes transformées en z de l’échelon uinitaire et leurs applications dans l’analyse des systèmes puisés. Bulletin de L ’Academie Polonaise des Scientes Vol. VIII, No. 6, 1960.
10. W ęgrzyn S.: Podstawy automatyki. PWN, W ydanie 5, Warszawa 1980.
11. MATLAB ver. 4.2c.l. U ser’s Guide - For M icrosoft Windows The Math. Works Inc., 1993.
Opis i projektowanie zamkniętych układów... 61
12. SIMULINK ver. 1.3. Dynamic System Simulation Software U ser’s Guide, The Math.
Works Inc., 1993.
13. Program CC. Tutorial and U ser’s Guide. System Technology Inc. California, 1991.
Recenzent: Prof.dr hab.inż. Wojciech Mitkowski
Wpłynęło do Redakcji 10 grudnia 1998 r.
Abstract
In th e beginning of th e paper th e atte n tio n is focussed on th e difficulties appearing in description and design of discrete-tim e (D T ) system s by m eans of th e m ethod basing on Z transform . Namely, for sm all sam pling periods som e very long digital words are needed for recording th e coefficients of th e DT transfer function (T F ) p aram eters. Next, the m ethod of ap p ro x im ate description and design is proposed basing on continuous-tim e (CT) m odel of th e D T system com posed of sam pler, zero order hold and C T p lan t. For the C T plan ts w ith ratio n al, proper T F -s a model w ith derivative is proposed and for the C T p lan ts containing additionally, a delay a model w ith delay is recom ended. In the proposed m eth o d , first a C T controller w ith a T F R( s) is designed for th e C T modified plant described by one from th e m entioned m odels. For designing any from th e well know C T m ethods of design can be applied. T he DT controller T F R ( z ) results from the T ustin approxim ation of th e C T controller R ( s ) in accordance w ith th e form ula R(z) = R ( $*=$).
T he proposed m ethod has one im p o rtan t advantage, th e D T controller can be de
signed, p ractically w ith o u t knowledge concerning description of D T system s. T h e used models are very sim ple and th e design can be easily rep eated for different sam pling pe
riods. T h e advantage is exactly seen in th e case of m ultivariable system s w ith m any DT controllers hav in g different sam pling periods w ith asynchronous sam pling instants. In this case it is very difficult to describe th e system and to design th e controllers using usual D T m ethods.
A dditionally an original m ethod of design of continuous-tim e m ultivariable system s with se p arate regulators of p a rtic u lar loops is proposed. T he m ethod m akes it possible to design th e m ultivarible system , by m eans of successive d eterm ination of th e regulators, with using rep eated ly any m ethod of design of one variable system .
T he proposed m ethods are very sim ple, then from engineering p o in t of view they have an essential m eaning.
