WARMTEOVERDRACHT EN AXIALE
DISPERSIE BIJ LAMINAIRE STROMING
IN SCHROEFVORMIG GEKROMDE BUIZEN
WARMTEOVERDRACHT EN AXIALE
DISPERSIE BIJ LAMINAIRE STROMING
IN SCHROEFVORMIG GEKROMDE BUIZEN
BIBLIOTHEEK TU Delft P 1799 5404
WARMTEOVERDRACHT EN AXIALE
DISPERSIE BIJ LAMINAIRE STROMING
IN SCHROEFVORMIG GEKROMDE BUIZEN
Proefschrift ter verkrijging van
de graad van doctor in de
technische wetenschappen
aan de Technische Hogeschool Delft,
op gezag van de rector magnificus
dr. ir. H. van Bekkum, hoogleraar
in de afdeling der scheikundige technologie,
voor een commissie aangeivezen
door het college van dekanen
te verdedigen op
woensdag 23 juni 1976
te 14.00 uur door
Loet Janssen
natuurkundig ingenieur
geboren te Dordrecht
Dit proefschrift is goedgekeurd door de promotor
Prof. ir. C.J. Hoogendoorn
Met dank aan alien die aan de totstandkoming van dit proefschrift hebben bijgedragen.
In het bijzcnder de studenten:
Huug Euser Huub Goumans Peter Kaasjager Martien Lops Hans Nielsen Stephan de Laat Ab Steenbergen Jan Wouter Vasbinder Joop Witkamp
Loet Janssen juni 1976
SUMMARY
The object of this study was to strrive at a better understanding of the heat and mass transfer in helical coiled tubes in case of laminar flow, in relation to the flow behaviour. In spite of the wide range of applications of helices in heat and mass transfer processes, this relation has received little atten-tion so far.
In literature a number of heat-transfer relations are known which show significant mutual differences and where hardly any attention has been paid to physical modelling from which experimental results could be explained or predictions made on the heat-transfer under different conditions.
Much less research has even been done on axial dispersion in helices.
The basis of this dissertation is the analysis of the hydrodynamics given in chapter II. The principal conclusion from this analysis is that the flow can be characterised to a first approximation by the Dean number (ERe(d/D) ). Three regions can be distinguished. This differentiation is related to the ratio of the inertia forces and friction forces in the flow.
The heat-transfer study described in chapter III was mainly experimental. Besides, some numerical calculations have been made. Attention was paid mainly to the local heat-transfer. To study this aspect, experiments have been carried out with electrically heated helices, which enabled us to obtain a boundary condition of a constant heat flow per unit length in the axial direction. Besides, experiments have been carried out with helices heated with condensing steam. Under this condition the boundary condition of an almost constant wall temperature has been established. In these experiments overall heat-transfer coefficients have been measured.
From this study it appeared that for small Dean numbers (Dn < 2.10 ) the 2
dimensionless group Dn Pr characterises the heat-transfer. For greater values of the Dean number this was not the case. In the latter case the heat-transfer in the thermal fully developed region is almost independent of the diameter ratio d/D. This in contrary to what is often assumed in literature.
These results could be explained from the hydrodynamics. The length of the thermal entry region is considerably shorter than that in straight tubes, which appeared to be related to a minimum number of circulations along the secondary streamlines.
Under the condition of small temperature differences in the fluid flow it appeared to be related to a minimum number of circulations along the second-ary streamlines.
Under the condition of small temperature differences m the fluid flow it appeared that the results obtained with the boundary condition of a constant tube wall temperature are slightly different from those of a constant heat flow boundary condition per unit length. However, in case of greater tempe-rature differences the heat-transfer appeared to be much more affected by the value of <1>/i\ than m the straight tube. Efforts to find a simple correction factor for this effect of the temperature dependency of the viscosity on the heat-transfer failed.
The effect of free convection on the local heat-transfer appeared to be 2
related to the value of the group Gr/Dn , which was in agreement with the theory. However, the overall heat-transfer coefficient did not appear to be noticeably affected by free convection under conditions where this should be the case according to the theory.
The axial dispersion has been studied for two situations: the spread of residence times without effect of molecular diffusion and the axial disper-sion in case of a strong molecular diffudisper-sion.
For both situations numerical calculations and experiments have been carried out. For small Dean numbers (Dn < 2.10 ) the residence tine distribution is independent of the Reynolds number and the diameter ratio d/D, provided the
2 D tube-length fulfils the condition L/d > 5-10 -r-— .
For large Dean numbers (Dn ^ 10 ) the residence time distribution appeared to be clearly affected by the value of the Dean number.
Diffusion criateria to indicate whether molecular diffusion plays a significant role in the residence time distribution, have been calculated and determined experimentally. Theory and experiments agreed fairly well.
Similar to the heat-transfer, the axial dispersion in case of strong molecular 2
diffusion, was found to be characterised by the group Dn Sc for small Dean
1 2 3
numbers (Dn < 2.10 ). At Dn Sc > 3.10 , the axial dispersion coefficient appeared to be about I of that of the straight tube. Besides, the experiments showed that for helices the axial dispersion model can be applied if
2 2 D x/a > 0.25, whereas for straight tubes the condition D i/a > 1 has to be
m m fulfilled.
As a final conclusion of this study it can be stated that a clear relation-ship was established between hydrodynamics and heat and mass transport phenomena, from which it was possible to explain the transport phenomena observed and to make predictions for other conditions.
SAMEHVATTIHG
De doelstelling van dit onderzoek was beter inzicht te verkrijgen in het warmte- en stoftransport in schroefvormig gekromde buizen, bij laminaire stroming, in relatie met het stromingsgedrag. Ondanks de uitgebreide toe-passing van gekromde buizen bij velerlei warmte- en stoftransportprocessen, is hieraan tot heden slechts weinig aandacht besteed.
Ten aanzien van de warmteoverdracht zijn in de literatuur een aantal relaties bekend, die onderling duidelijke verschillen vertonen en waarbij niet of nauwelijks sprake is van fysische modelvorming, op basis waarvan gevonden resultaten kunnen worden verklaard, of voorspellingen kunnen worden gedaan omtrent de transportverschijnselen onder andere kondities. Op het gebied van axiale dispersie in gekromde buizen is nog aanmerkelijk minder onderzoek ge-daan.
De basis van dit proefschrift is de analyse van de stromingsverschijnselen, beschreven in hoofdstuk II.
Als voornaamste konklusie volgt uit deze analyse, dat de stroming in eerste
2
benadering gekarakteriseerd kan worden door het Deangetal (= Re (d/D)^), waar-bij drie gebieden onderscheiden kunnen worden. Dit onderscheid hangt samen met de verhouding tussen de optredende traagheidskrachten en wrijvingskrach-ten in de stroming.
Het onderzoek aan de warmteoverdracht, beschreven in hoofdstuk III, is voor-namelijk geschied aan de hand van experimenten. In beperkte mate zijn ook numerieke berekeningen uitgevoerd. Het experimentele gedeelte heeft zich voornamelijk toegespitst op de bestudering van de lokale warmteoverdracht. Hiertoe zijn experimenten uitgevoerd met electrisch verwarmde helices , waarbij een randvoorwaarde werd gekreeerd van een konstante warmtestroom per lengte-eenheid in axiale richting. Daarnaast zijn ook experimenten verricht aan met condenserende stoom verwarmde helices, waarmee een randvoorwaarde van een vrijwel konstante buiswandtemperatuur werd verkregen. Bij deze expe-rimenten werden overall-waarden voor de warmteoverdracht bepaald.
Uit het onderzoek bleek, dat voor lage Deangetallen (Dn < 2.10 ) de groep 2
Dn Pr karakteristiek is voor de warmteoverdracht. Voor hogere waarden van het Deangetal bleek dit niet het geval te zijn, de warmteoverdracht in het ther-misch ingestelde gebied wordt dan niet of slechts zeer weinig beinvloed door de diameterverhouding d/D. Dit in tegenstelling met wat veelal in de
Deze resultaten konden verklaard worden aan de hand van het stromingsgedrag. De lengte van het thermisch mloopgebied is aanzienlijk korter in vergelijkmg tot die bij rechte buizen en bleek nauw samen te hangen met een minimum aantal cirkulaties van de vloeistof langs de secundaire stroomlijnen.
Bij m e t te grote temperatuurverschillen in de buisstroming bleken de resul-taten voor de randvoorwaarde van een konstante buiswandtemperatuur weinig af te wijken van de resultaten verkregen bij de randvoorwaarden van een konstante warmtestroom per lengte-eenheid. De warmteoverdracht bleek echter bij grotere temperatuurverschillen aanzienlijk sterker beinvloed te worden door de grootte van verhouding <n>/n , dan bij rechte buisstroming het geval is.
Voor dit effekt van de temperatuurafhankelijkheid van de viskositeit op de warmteoverdracht bleek geen eenvoudige korrektiefaktor te kunnen worden ge-vonden .
Het effekt van vrije konvektie op de lokale warmteoverdracht bleek in over-2 eenstemming met de theorie samen te hangen met de waarde van de groep Gr/Dn . Bij de overall-warmteoverdrachtsmetingen werd daarentegen geen merkbaar effekt van de vrije konvektie gevonden voor kondities, waarbij volgens de the-orie dit wel het geval zou moeten zijn.
Het onderzoek aan de axiale dispersie is toegespitst op twee situaties' de verblijftijdsspreiding zonder moleculaire diffusie-effekten en axiale dis-persie in geval van een sterke moleculaire diffusie. Voor beide situaties zijn numerieke berekeningen getoetst aan experimentele resultaten.
Voor lage Deangetallen (Dn < 2.10 ) is de verblijftijdsspreiding onafhanke-lijk van Re en d/D, indien de buislengte voldoet aan de voorwaarde
2 D 2
L/d > 5.10 -r—7 . Voor Dn > 10 wordt de verblijftijdsspreiding duidelijk Ked ^
door de waarde van het Deangetal beinvloed.
Kriteria voor het merkbaar worden van het effekt van moleculaire diffusie op de verblijftijdsspreiding zijn theoretisch afgeleid en experimenteel bepaald. Theorie en experiment vertoonden een goede overeenkomst.
Analoog aan de warmteoverdracht bleek uit het onderzoek aan de axiale dis-persie m geval van sterke moleculaire diffusie, dat voor lage Deangetallen
2
de axiale dispersiecoefficient een funktie is van de groep Dn Sc. Voor 2 3
Dn Sc ^ 3.10 is de axiale dispersiecoefficient ongeveer I van die van de rechte buis. Uit het onderozek bleek dat voor gekromde buizen het axiale
2
dispersiemodel gehanteerd mage worden, m d i e n D x/a > 0.25. m
Als eindkonklusie van het onderzoek kan gesteld worden dat duidelijke rela-ties aangegeven zijn, zowel tussen warmteoverdracht en stroming als tussen All
axiale dispersie en stroming.
Hiermede was het mogelijk de waargenomen transportverschijnselen te verklaren en kunnen voorspellingen gedaan worden voor andere procesomstandigheden.
INHOUDSOPGAVE SUMMARY SAMENVATTING IX XI HOOFDSTUK I I. 1 1.2 1.3 HOOFDSTUK II II. 1 11.2 11.3 3.1 3.2 3.3 • - II.it HOOFDSTUK III III. 1 111.2 111.3 3.1 3.2 3.3 III.U III, it.1 It.2 5 5.1 • III.6 HOOFDSTUK IV IV. 1 IV. 2 5.1. 5.2 ALGEMENE INLEIDING 1 INLEIDING 1 DOELSTELLING 2 INDELING VAN DIT PROEFSCHRIFT 3
OVERZICHT STROMIHGSVERSCHIJNSELEN h INLEIDING h DE STROMINGSVERGELIJKINGEN 5 LITERATUUROVERZICHT 7 Analytische berekeningen 7 Numerieke berekeningen ll* Experimentele resultaten 15 SAMENVATTING EN CONCLUSIES 17 WARMTEOVERDRACHT 19 INLEIDING 19 OVERZICHT LITERATUUR 22 THEORETISCHE BEREKENINGEN 29 . Inleiding 29 Analytische benadering van de warmteoverdracht 30
in het thermisch inloopgebied
Numerieke berekeningen van de warmteoverdracht 32 voor lage Deangetallen
EXPERIMENTELE OPZET 1»1
Experimentele opstelling en meetprocedure h^
Effekten ten gevolge van niet-isotherme stroming h^
EXPERIMENTELE RESULTATEN 50 Lokale warmteoverdrachtsmetingen bij konstante 50
over de buisomtrek gemiddelde warmtestroomdicht-heid
Warmteoverdracht in het thermisch inloopgebied 50 Warmteoverdracht in het thermisch ingestelde 55 gebied
Effekt van de vrije konvektie 58 Overall-warmteoverdracht bij konstante buiswand- 61
temperatuur
SAMENVATTING EN KONKLUSIES 67
AXIALE DISPERSIE 70 INLEIDING 70 VERBLIJFTIJDSSPREIDING TEN GEVOLGE VAN DE 71
SNELHEIDSVERDELING
2.1 T h e o r e t i s c h e b e r e k e n i n g e n aan de v e r b l i j f t i j d s - 71 spreiding
2.2 Theoretische beschouwing diffusiekriteria 75
2.3 Experimentele opzet en opstelling 78
2.U Experimentele resultaten 80 IV.3 AXIALE DISPERSIE IN GEVAL VAN STERKE MOLECULAIRE 87
DIFFUSIE
3.1 T h e o r e t i s c h e b e r e k e n i n g van de axiale d i s p e r s i e - 87 coefficient
3.2 Numerieke methode en resultaten 90 3.3 Experimentele opzet en opstelling 93
3.U Experimentele resultaten 95 IV.U SAMENVATTING EN KONKLUSIES 99
APPENDICES
Appendix 1 Analytische berekening van de warmteover-dracht in het thermisch inloopgebied Appendix 2 Stofeigenschappen
Appendix 3 Meetfouten bij lokale warmteoverdracht-meting ten gevolge van temperatuurgradienten
in de buiswand
Appendix h Berekening van de verblijftijdsspreiding Appendix 5 Afleiding diffusiekriteria voor Dn < 17
LITERATUUR 101 lOl* 106 109 III4 118 L U S T VAM GEBRUIKTE S Y M B O L E N 121 XV
I ALGEMENE INLEIDING
1.1 INLEIDING
Laminaire buisstroming is een konditie, waaronder op vele plaatsen in de pro-cesindustrie, analytische chemie en medische techniek, warmte- en stofover-drachtsprocessen plaatsvinden. Een dergelijke stroming is vooral te verwachten in geval van zeer viskeuze vloeistoffen en bij stroming in kapillaire kanalen. Hierbij kan bijvoorbeeld gedacht worden aan polymeerverwerking, sterilisatie-processen, chromatografie, haemodialyse etc.
Bij deze processen zal dikwijls zoveel mogelijk gestreefd worden naar :
- een hoge warmte-/stofoverdrachtscoefficient aan de buiswand.
- een goede radiale temperatuur-/concentratievereffening.
- een minimale axiale dispersie.
Bij turbulente stroming heeft de turbulente menging in dit opzicht een zeer gunstig effekt. In vele praktische gevallen kan echter geen turbulen-te stroming gerealiseerd worden. Laminaire stroming in rechturbulen-te buizen is veel minder gunstig. In ,sommige gevallen kan verbetering verkregen worden door het mengen van de stroming, zoals in zogenaamde 'static mixers' gebeurt. Daarbij treedt echter een aanzienlijke verhoging van de stromingsweerstand op.
In vergelijking met de laminaire stroming in rechte buizen blijkt la-naire stroming in schroefvormig gekromde buizen aanmerkelijk betere resultaten te geven. De oorzaak van deze verbetering, zowel ten aanzien van de warmte/ stofoverdracht als ook ten eianzien van de axiale dispersie, is het optreden van secundaire stromingen loodrecht op de axiale stromingsrichting. Het transport in radiale richting zal daardoor niet alleen door diffusie maar ook door kon-vektie plaatsvinden, hetgeen tot een betere radiale temperatuur/concentratie-vereffening en warmte/stofoverdracht leidt. Doordat de secundaire stroming een middelend effekt heeft op de axiale snelheden is ook de spreiding in de ver-blijftijden ten gevolge van verschillen in axiale snelheid, geringer. Hier tegen over staat een toeneming van de stromingsweerstand, die echter in de meeste gevallen verwaarloosbaar klein is.
De laatste tien jaar is met betrekking tot de warmteoverdracht in schroef-vormig gekromde buizen of helices veel onderzoek verricht.
Toch IS het nog erg moeilijk hieruit over een breed gebied geldende relaties aan te geven.
De voornaamste reden is, dat de strommgsvergelijkingen en de energieverge-lijking zich slechts m een zeer beperkt gebied lenen voor analytische oplos-s m g e n m dit geval. Dit heeft ertoe geleid, dat een aantal benaderende warm-teoverdrachtsrelaties is verkregen uit numerieke berekeningen en experimenten. Daarbij is het geldigheidsgebied van deze relaties vaak zeer beperkt en be-staan er duidelijke onderlinge verschillen m numerieke waarden van de warmte-overdrachtscoefficienten.
Dit maakt het wenselijk om een duidelijk inzicht te krijgen in de warmte-transportverschijnselen in gekromde buizen. Het is daarbij m e t voldoende om over een groot gebied van variabelen experimenten uit te voeren, maar tevens zal getracht moeten worden steeds een inzichtelijk verband te leggen met het hydrodynamisch gedrag.
Ten aanzien van axiale dispersie in schroefvormig gekromde buizen is nog weinig bekend, ofschoon ook m dit opzicht de stroming in gekromde buizen een zeer gunstig gedrag vertoont. Met name is het mimmaliseren van axiale disper-sie bij die processen van belang, waarbij door bijvoorbeeld oververhittmg, als gevolg van te lange verblijftijden, afbraak van produkt optreedt. Hierbij kan men denken aan sterilisatieprocessen voor de voedingsmiddelen en aan de polymeerverwerking. Daarnaast is het bijvoorbeeld m scheidmgskolommen bi i
de chromatografle van groot belang om een m m i m a l e axiale dispersie te hebben, in verband met het scheidingsvermogen van deze kolommen.
1.2 DOELSTELLING
De doelstelling van dit onderzoek was een studie te maken van
a. De warmteoverdracht bij laminaire vloeistofstroming in gekromde buizen over een breed gebied van variabelen.
b. De axiale dispersie bij deze stroming, zowel ingeval van alleen konvektief transport, als ook ingeval van sterke radiale diffusie.
De opzet was, om uitgaande van de reeds aanwezige kennis ten aanzien van de hydrodynamika, door middel van experimenten en aanvullende numerieke bereke-ningen een duidelijk beeld van de transportverschijnselen te krijgen en het verband aan te geven met het stromingsgedrag.
1.3 INIELING VAN DIT PROEFSCHRIFT
Allereerst zal in hoofdstuk II de laminaire stroming in schroefvormig gekromde buizen, in het vervolg helices genoemd, worden behandeld.
Met de uit de literatuur bekende gegevens zal het stromingsgedrag gedetailleerd worden geanalyseerd.
Hoofdstuk III is aan de studie van de warmteoverdracht gewijd. Hierin zullen de theoretische en experimentele resultaten worden behandeld voor de warmteoverdracht; hoofdzakelijk bij de randvoorwaarde van een konstante over de buisomtrek gemiddelde warmtestroomdichtheid. Daarbij zal zowel de warmteover-dracht in het thermisch ingestelde- als in het thermisch inloopgebied worden behandeld. Tevens wordt enige aandacht gegeven aan de warmteoverdracht bij een konstante buiswandtemperatuur.
Tenslotte is aan de optredende effekten van dichtheidsverschillen en viskosi-teitsverschillen, ten gevolge van de temperatuurverdeling, op de warmteover-dracht in dit hoofdstuk, zij het beperkt, aandacht besteed.
In hoofdstuk IV zal de axiale dispersie of verblijftijdsspreiding worden behandeld. Dit hoofdstuk valt uiteen in twee delen. In het eerste deel
zal de verblijftijdsspreiding zonder moleculaire diffusieeffekten worden be-handeld. Het tweede deel zal gewijd zijn aan de axiale dispersie in geval van sterke radiale diffusie.
HOOFDSTUK II OVERZICHT STROMINGSVERSCHIJNSELEN
II.1 INLEIDING
Bij laminaire stroming in helices is er naast de axiale stroming een zoge-naamde secundaire stroming, dwars op de axiale richting. Deze secundaire stroming is het gevolg van de optredende centrifugale krachten, die veroor-zaakt worden door de buiskromming en de axiale snelheidsverdeling.
De centrifugale krachten, die in het hart van de buis maximaal zijn, ver-oorzaken een drukgradient over de buisdoorsnede. Langs de buiswand zal, omdat daar de traagheidskrachten minimaal zijn, onder invloed van deze drukgradient een stroming ontstaan van de buitenkant van de helix naar binnen toe (fig. II.l). In het hart van de buis ontstaat een terugstroming. De stroming in helices kan worden gekarakteriseerd door het Reynoldsgetal
(Re = <w>d/v) te samen met de verhouding van de buisdiameter en de
krom-2
mingsdiameter van de helix (d/D). Het Deangetal (Dn = Re(d/D)^), dat een combinatie van beide is, wordt veelal als enige dimensieloze groep gebruikt om het stromingsgedrag te beschrijven, Hoewel dit pricipieel niet juist is, is dit voor de praktijk een meestal voldoende goede benadering. Het
Dean-getal, waarin de verhouding van het kwadraat van de axiale snelheid en de kronmingsdiameter van de helix voorkomt, representeert in feite de centrifugale kracht, die de verstoring in het snelheidsprofiel veroorzaakt. Bij toenemende waarden van het Dean-getal zal het effekt van de buiskrom-ming op de strobuiskrom-ming groter worden. Het parabolische snelheidsprofiel van de axiale stroming zal meer en meer veranderen. De secundaire stroming zal zich sterker ontwikkelen en de friktiefaktor zal toenemen in verhouding tot die voor de rechte buis.
as van helix
Fig.II.1 Secundaire stroming in een helix.
Zeer globaal kunnen ten aanzien van het gedrag van de laminaire stroming in helices drie situaties worden onderscheiden.
Allereerst het geval, waarbij de optredende centrifugale krachten nog zo gering zijn, dat zij kunnen worden gekompenseerd door de wrijvingskrachten ten gevolge van de secundaire stroming. In dit geval zijn de traagheids-krachten als gevolg van de secundaire stroming verwaarloosbaar klein. Het axiale snelheidsprofiel wijkt nog nauwelijks af van het parabolische pro-fiel. De secundaire snelheden nemen in dit gebied evenredig toe met het kwadraat van de axiale snelheid. Bij eerste benadering kan gesteld worden dat deze situatie zich voordoet voor Dn <20.
Als tweede geval een overgangssituatie, waarbij zowel de traagheidskrach-ten als de wrijvingskrachtraagheidskrach-ten traagheidskrach-ten gevolge van de secundaire stroming, het gedrag van de stroming in min of meer gelijke mate bepalen. In dit gebied neemt de secundaire snelheid bij benadering evenredig toe met de axiale snelheid. Het axiale snelheidsprofiel begint nu duidelijk af te wijken van het parabolische profiel.
Als derde geval de situatie, waarbij de wrijvingskrachten alleen nog in een relatief dunne grenslaag,aan de buiswand een rol van betekenis spelen. Terwijl in het gebied buiten deze grenslaag voornamelijk de traagheids-krachten de stroming bepalen. Dit gebeurt voor hoge waarden van het Dean-getal, bij benadering Dn >100.
In dit hoofdstuk zullen in par. II.2 de stromingsvergelijkingen besproken worden. In par. II. 3 zaJ. een overzicht van de literatuur worden gegeven. Tenslotte zal in par. II,U worden aangegeven welk stromingsmodel zal wor-den gehanteerd in de volgende hoofdstukken aangaande warmteoverdracht en axiale dispersie.
II.2 DE STROMINGSVERGELIJKINGEN
Voor een stationaire, inkompressibele, isoviskeuse, newtonse stroming in een helix gelden de volgende vergelijkingen.
De Navier-Stokes vergelijkingen voor de drie richtingskomponenten zijn (fig. II.2) :
3u ^ V au " 3 r r 'd<t> 2 2 . V w smji r R+rsin* 3_,P, ,,3 ^ cos 3 r ^ p ^ " ^ >3(fi R+rsin(|) 3r r r . -)( 1^ + ^ 3u ( I I . 1 ) , 3v ^ V 3 v u v '3(1) "^ r 2 W COSJ) R+rsin*
-L-(P) .
r3((> ^ p ' , 3 s i n ()) V ,_3v V 3u ' 3 r R+rsinij) 3r r " r3((i ( I I . 2 ) 3w , V u -— + — 3r r 3w uwsin(li+ vwcos[t_ R + r s i n 4 R+rsin(t> ' 3ijj p ^ ^ ^ 3r r ^ ^ S r _L i—zJ- 3^ wcos r"3i))^r" 3(t) '*' R+rsimli ^ )} '3r : i i . 3 ) . B-rsinij) De kontinuiteitsvergelijking luidt 3u , u , usin(j) _1_ 3r r R+rsinij> r 3v vcos 4> 3(t> R+rsin4 = 0 (Il.it).Hierin zijn u, v en w de snelheidscomponenten in respektievelijk de radiale (r), tangentiale (if>) en axiale (i|i)richting.
Aannemende dat R >>r kunnen een aantal termen worden verwaarloosd. De verg. II. 1 tot en met II, It kunnen dan worden vereenvoudigd:
Fig. II.2 Coordinatensysteem .
2 2 . 3u v; _3u V _ w sin<|) " 3r r" 3()) ~ r ~ R 2 3v V _3v uv w COS4 *^3r'^r'3(()'^ r ~ R 1.(1) _ v — 3 {iZ + Z _ i i L 3r p' r3(() 3r r r3(j) J ,P> i_(il + V _ 3u > r3(}. p' *^ 3r^3r r r3(t)'^ (II.5), (II.6), 3w V ^
3r r r3*
Het analytisch oplossen van dit stelsel vergelijkingen met in acht neming van de randvoorwaarden dat u, v en w nul zijn aan de buiswand, stuit op onoverkomelijke problemen. Dit heeft enerzijds geleid tot benaderende op-lossingen voor die gevallen, waarbij meerdere termen uit de vergelijkingen verwaarloosd mogen worden. Anderszijds tot oplossingen, verkregen met be-hulp van storingsrekening, alleen voor die gevallen, waarbij de afwijkingen met de rechte buisstroming nog gering zijn. Vanwege de beperktheid van de analytische oplossingen zal met name voor het overgangsgebied 20'^Dn<100 alleen met numerieke technieken een oplossing kunnen worden verkregen.
Volledigheidshalve moet bij de vergelijkingen II.1 t/m II.8 worden opge-merkt dat deze vergelijkingen in feite zijn afgeleid voor een cirkelvormig gekromde buis in een plat vlak, zodat de spoed van de schroefvormige helix is verwaarloosd. Truesdell en Adler (I970) geven aan dat, wanneer de spoed van dezelfde grootte orde is als de buisdiameter, de fout ten gevol-ge van deze benadering echter verwaarloosbaar klein is, indien de ver-houding r/R <<1 is.
II.3 LITERATUUROVERZICHT
II.3.1. Analytische berekeningen
De eerste publikaties aangaande de theoretische berekening van de snelheids-verdeling in helices zijn van Dean (1927,1928). In zijn eerste beschouwing neemt Dean (1927), naast de in par. II.2 beschreven vereenvoudigingen, aan dat de invloed van de buiskromming zo gering is, dat de traagheids-termen van de secundaire stromingskomponenten verwaarloosd mogen worden. Daarnaast neemt hij aan, dat de verstoring van de axiale snelheidsverdeling zo gering is, dat voor de berekening van de secundaire snelheidskomponenten uitgegaan mag worden van een parabolisch axiaal snelheidsprofiel. Dit stelt hem in staat een exacte oplossing van het vereenvoudigde stelsel vergelij-kingen te geven. Voor de snelheidsverdeling vond Dean (1927) op deze manier
_ u _ - S S - a ^ . . - . r, / . . / . N 2 I 2 M. , _ _ , _ \ 2 , 2<w> 288 R s i n * {1 - ( r / a ) ' = ^ [h - ( r / a ) " " } ( I I . 9 ) , 2<w> 288 R ^•'^ a COS* {1 - ( r / a ) ^ ] {It - 2 3 ( r / a ) ^ + 7 ( r / a ) S ( I I . I O ) , !^ I I \'^\ / I Brsintj) Re r s i n * f , „ 01 / / >2 , , v^t / , N6 = {1 - ( r / a ) ) {1 - — r — ^ + . ,V-„'r,p^ 1 9 - 2 1 ( r / a ) + 9 ( r / a ) - ( r / a ) 2<w> \ / > J I )^p II52OR (11.11),
waarin a de straal van de buis is en R de kromtestraal van de helix. Als gevolg van de toegepaste vereenvoudigingen wordt met deze snelheidsverde-ling een friktiecoefficient gevonden die gelijk is aan die van de rechte buis.
In een tweede beschouwing gaat Dean (1928) uit van een snelheidsverdeling in de vorm van een machtreeks van de gedaante :
2 It
w = w + w Dn + w Dn + ... (II.12),
2 U
$ = 4 Dn + $ Dn + ... (ll. 13),
hierin is $ een stroomfunktie, die voldoet aan :
ru 3$ V 30 /T-r ,1 \ — = - ^ r : e n - = ~- (II.lit ,
V 341 V 3r
w , w , 0 , ... zijn funkties van r en *.
2
De reeksontwikkeling naar raachten van Dn komt voort uit de overwegmg dat voor situaties, waarbij het effekt van de buiskromming nog gering is, de enige x)arameter in de dimensieloos gemaakte
stromingsvergelijk-' . . . 2 m g vrijwel gelijk is aan Dn .
2
De eerste storingsterm $ Dn leidt tot exact dezelfde relaties voor de secundaire stroming als verg. II.S en 11.10. De eerste benadering van
de axiale snelheid :
2
w = w + w Dn (11.15) ,
geeft een verwaarloosbaar verschil te zien met verg. 11.11. Door bereke-1+
ning van de tweede storingsterm w„Dn was Dean (1928) nu wel in staat de invloed van de buiskromming op de friktiecoefficient in eerste
benader-2
ing als funktie van Dn te berekenen :
2
f/f^ = 1 + 0.03058 (|2^)2 (11.16).
Hierin is f de friktiecoefficient voor de rechte buis. o
Als geldigheidsgebied geeft Dean ( 1928) voor deze relatie :
2
|2g. < 1, ofwel Dn <17.
B i j deze beschouwing geeft Dean (I928) tevens aan dat n i e t de dimensieloze 2
groep Re(d/D) karakteristiek is voor de stroming, maar de dimensieloze groep :
Dn'=^(£)(^)=
(^^-l^)-3*p ^ V
In tegenstelling tot het Deangetal is deze groep niet gebaseerd op de gemiddelde axiale snelheid, maar op de axiale drukgradient, Voor lage waarden van het Deangetal geldt :
" R i f P^ - 2 (11.18),
zodat Dn' = U Dn.
(1952) geeft een uitgebreidere analyse met betrekking tot gekrom-de kanalen. Zowel voor kanalen met elliptische doorsnegekrom-de als met recht-hoekige doorsnede geeft hij oplossingen in de vorm van machtreeksen naar machten van d/D. Voor buizen met ronde doorsneden vindt hij dezelfde
sultaten als Dean (1927). Uit zijn resultaten kan afgeleid worden, dat de veranderingen van het snelheidsprofiel bij niet te sterke afwijkingen van de ronde doorsnede verwaarloosbaar zijn ten opzichte van het profiel in buizen met een ronde doorsnede.
Topakoglu (1967) geeft een analytische oplossing van de stromingsvergelijk-ingen met behulp van storingsrekening, in de vorm van machtreeksen naar machten van d/D. In tegenstelling tot Dean (I927, 1928) en Cuming (1952) verwaarloost Topakoglu (1967) geen termen in de Navier-Stokes vergelijk-ingen. Voor de friktiecoefficient wordt dan ook een relatie gevonden die enigszins afwijkt van verg. II.I6 :
2 2
f/f^ = 1 + 0.03058 (||g)^ + 0.1835 (||a)(f)-0.0283 (d/D)^ (11.19).
In fig. II.3 staan de verschillende relaties voor de friktiecoefficient uitgezet.
De meest ver doorgevoerde machtreeksqplossing wordt gegeven door Larrain en Bonilla (1970). Zij geven een oplossing, waarvan de snelheden voorge-steld worden als machtreeksen van de gedaante :
2
I (d/D)*" i:(||g)^ Ecos(m<)>) Ilr" (II.20)
De vergelijkingen II.9 t/m 11.11 van Dean (1927) worden terug gevonden in de eerste termen van de reeksen voor de snelheidskomponenten. De re-latie voor de friktiecoef ficient is voorwat de eerste termen betreft gelijk aan het resultaat van Topakoglu (I967). Terwijl voor het limietgeval d/D -t- 0 het resultaat van Dean (1928) wordt terug gevonden. Ook voor deze ver doorgevoerde reeksontwikkeling is het geldigheidsgebied beperkt tot Dn <17. Dit wordt veroorzaakt door het feit, dat de coefficienten behorende bij de termen (Dn/288) van dezelfde grootte orde blijven, zodat konvergentie alleen optreedt voor (Dn/288) <1.
Voor waarden van het Deangetal varierend van 16 tot ongeveer 9O geven
Mc Conalogue en Srivastava (1968) oplossingen voor de stromingsvergelijkingen. Zij gebruiken niet het Deangetal als karakteristieke dimensieloze groep, maar de dimensieloze groep Dn' welke Dean (I928) zelf ook al aangaf.
3ij hun berekeningen gaan Mc Conalogue en Srivastava (I968) uit van een beschrijving van de snelheidsverdeling
door middel van Fourierreeksen. De coefficienten voor de Fouriertermen worden via een numerieke procedure berekend. Hun resultaten worden echter in een minder toegankelijke vorm ge-geven.
V I
f I I Dffan v»rg I I I 6 / / / Topakoglu wrg D 19 n 19 d/D—0 n i 9 d/D=1/20 n 19 d/D=1/tlFig. II.3 Friktiecoefficient bij lage Deanwaarden.
De benaderingsmethode om voor hoge waarden van het Deangetal tot een op-lossing te komen wordt gekenmerkt door het grenslaagmodel, dat hierbij gebruikt wordt. Er wordt bij dit model onder-scheid gemaakt in twee gebieden in de buisdoorsnede. Allereerst een grenslaag langs de buiswand. Hier zijn de wrijvingskrachten nog van invloed op de stroming. Als tweede het midden-gebied dat omgeven wordt door deze grenslaag, waar alleen de traagheids-krachten van invloed zijn op de stroming (fig. II.lt). Er vanuit gaande, dat de secundaire snelheden veel kleiner zijn dan de axiale snelheden, kunnen voor het middengebied de verg. II.5 t/m II.7 verder vereenvoudigd worden tot : w s i n ((> 3
3r(7'
: i i . 2 i ) , 2 , w cosd_L.(P)
r3(f. p' (11.22), dW V _dW 3r r %^- ^ (^ I
R3i|i > ^ :il.23) 11w = w b + b . r s i n <p
g r e n s l a a g
<p—TVz
LJ4>=n/2
grenslaag
axiaal snelheidsprofiel
secundaire stroomlijnen
Fig. II.U Het grenslaagmodel.
Uit deze vergelijkingen volgt, dat de secundaire stroming zich als een uniforme stroming beweegt evenwijdig aan de symmetrie-as (fi = +Tr/2, terwijl de axiale stroming een lineaire funktie is van rsinij) in het middengebied (fig. II.lt).
In de grenslaag kunnen de Navier-Stokes vergelijkingen vereenvoudigd worden tot : 2 2 . v^ w sinji =_ 3/Ps a " R 3r^p 3v V _3v w cos4 '^ 3r a" 3* ~ R 3 ,P> ^ 3^v (I1.2lt), (11.25) , 3w V _3w " 3r a" 3(ji [11.26),
De kontinuiteitsvergelijking kan in de grenslaag vereenvoudigd worden tot :
3u _^ 3v
3r a-),), [11.27).
Met behulp van de methode van Pohlhausen (1921) kunnen de vergelijkingen na integratie worden opgelost, Zowel Adler (l93lt), Barua (1963), Mori en Nakayama (I965) en Ito (1969) hebben op deze wijze de stromingsverge-lijkingen opgelost, Het enige verschil tussen deze vier analyses is, dat aan de randen van de grenslaag verschillende randvoorwaarden worden gekozen,
Hierdoor worden verschillende benaderingsfunkties voor de snelheidskom-ponenten gevonden. Ter vergelijking zijn in fig. II.5 de vier theoreti-sche relaties voor de friktiecoefficient weergegeven :
Adler (l93lt) : f/f = 0.1061tDn^ (11.28)
Barua (I963) : f / f = 0.09l85Dn^ (1 + 5,5lt5Dn~^+ 15.1tODn~''f 25.28Dn-3''2
+ 21.9Dn^] ( 1 1 . 2 9 ) ,
1 2 .
Mori en Nakayama (I965) : f/f = 0. 108Dn^ (1 + 3.2ltltDn~^+ 5.980Dn"' - 0.975Dn~^''^) (11.30),
Ito (1969) : f/f„ = 0.1033Dn^ (I + 3.9lt5Dn"^+ 7.782Dn"''+ 9.097Dn '^^'^ (11.31), + 5,608Dn~ )
3
-Uit de resultaten (fig, II.5) blijkt, dat de berekening van Adler (l93lt) de meest grove benadering is, die alleen voor zeer hoge Deangetallen in
redelijke overeenstemming is met de overigen, Dit is het gevolg van het feit, dat Adler (1931*) de meest een-voudige aannamen voor de snelheids-verdeling in de grenslaag maakt,
Mori en Nakayama (1965) geven zelf niet verg, 11,30 als resultaat van hun berekeningen, maar een vereen-voudigde relatie :
-_
-1 Adler verg II 2fl Boruo verg H 29 Mori % Nakoyomo I t o verg II 31
',
/ ;
vcfg n 30 / / / ////-y /
H
^ X "
--^
^'-^'^ y^'-.-.. ...^ ,
/
/
1 1 —1 t i l lFig, II.5 Friktiecoefficient bij hoge waarden van het Dean-getal, volgens het grens-laagmodel.
f/f = 0,108Dn^(l + 3.253Dn^)" (11.32),
Deze relatie geeft een duidelijk slechter resultaat voor minder hoge
waarden van het Deangetal dan verg. 11.30, welke direkt uit de door hen berekende snelheidsverdeling kan worden afgeleid,
II.3.2, Numerieke berekeningen
Truesdell en Adler (1970) geven als eersten numerieke oplossingen voor de snelheidsverdeling voor Deangetallen tot aan 200. Zij lessen de Na-vier-Stokes vergelijkingen op uitgaande van de instationaire
vergelijk-ingen. De tijdsafhajikelijke termen worden gebruikt om het iteratieve relaxatieproces te begeleiden. Voor Dn >200 blijkt hun oplossingsprocedure instabiel te worden,
Na hen hebben Austin (1971), 'Vkiyama en Cheng(l97l), Patankar en Spalding (1972) en Tarbell en Samuels (1973) snelheidsverdelingen numeriek berekend, De meest uitgebreide studie is die van Austin en Seader (1971, 1973), die resultaten geven voor 1< Dn <1000, Uit deze resultaten komt naar voren, dat de verhouding van de friktiecoefficienten van de helix en de rechte buis f/f in eerste benadering een funktie is van Dn, In fig, 11,6 zijn enige resultaten van Austin en Seader (1973) weergegeven. Uit deze figuur blijkt dat naast het Deangetal ook de verhouding d/D nog van in-vloed IS, hetgeen echter ge-zien kan worden als een 2^ orde effekt. De resultaten uit de grenslaag theorie blijken goed aan te sluiten bij deze berekeningen,
icf 1 0 ^ 1 0 ^
^ D n
Fig, 11,6 De friktiecoefficient volgens Austin en Seader (1973). o.
Mori & Nakayama verg 1130/^
_ _ d/D =1/5 —I //
_ d/D=1/9 Austin&Seadetj _ _ d/D=1/100-'
II.3.3 Experimentele resultaten
Een belangrijk punt bij de beschouwing over laminaire stroming in helices is allereerst het omslagpunt laminair-turbulent.
Uit de metingen van White (1929), Taylor (1929), Adler (l93lt) en Ito (1959) is door Ito (1959) voor de omslag laminair-turbulent de volgende empirische relatie gevonden :
«^kritisch = 2-^°'(^/^)°-'' ("-35).
Mede op basis van eigen experimenten geven Srinivasan e.a. (1968) :
2
Re, .^. , = 2100(1 + 12(d/D)^) (11.36). kritisch
In het algemeen ligt de omslag laminair-tubulent bij aanzienlijk hogere Re-getallen als bij de rechte buis, tengevolge van de stabiliserende invloed van de secundaire stroming.
Friktiecoefficienten werden door White (1929) als eerste uitgebreid expe-rimenteel bepaald voor 1<Dn<1000. Bij zijn experimenten heeft hij onderzoek gedaan aan drie helices met d/D-verhoudingen van respektievelijk 1/15,
1/50 en 1/2050. Hij vond dat de verhouding f/f als funktie van het Dean-getal goed kon worden weergegeven door de empirische relatie :
f/f = {1
o 1 - (l1.6/Dn)°-'*5]^/°-'*^} -'
} voor Dn >_! 1 .6 (11.33).
Hasson (1955) toont aan dat de experimentele resultaten van White (1929) zeer goed aansluiten bij de eenvoudige relatie :
2 _ 2
f/f = 0.0969Dn'^ (1 + 5.75Dn^) voor Dn >30 (II.3lt).
De experimentele resultaten van White (1929) worden bevestigd door die van Adler (l93lt) en Ito (1969).
Mencik (I962) heeft voor 6.It <_ Dn _< i9.lt experimenteel friktiecoefficienten bepaald voor een helix met een d/D verhouding van 1/lt6. In fig. II.7 staan
de resultaten van White (1929) en Mencik (I962) weergegeven.Uit deze figuur blijkt dat voor lage Deangetallen de analytische benadering van Dean (I927) en voor hoge Dn-getallen,die van Mori en Nakayama (I965) goed aansluiten bij de experimentele resultaten.
10 r \-' Mil l
P
"M 0 Mencik - , I experimenteel r White verg S 33 -1 r Dean verg n 15 y^ 1 Mori & Nakoyoma vergI130"^ —'^'
L //
1
oV
I
•/
» / . / /1 , , ,, ."/.l
,,,! 1 1— ^ heorelisch •n-nA
A
J
A
-\ \ \ \ 10 Dn 10Fig. 11,7 Friktiecoefficient als funktie van het Deangetal.
Uit stroomlijn experimenten van Bot (1970), Wittebrood (1973) en Tijssen
, , . ud (1973) blijkt dat de dimensieloze secundaire snelheid — m het hart van
de buis een funktie van Dn is, Uit fig, 11,8 blijkt dat de ontwikkeling van de secundaire stroming min of meer analoog verloopt als f/f -1 als funktie van Dn, Ook hier blijkt dat de analytische benadering van Dean (1927) en die van Mori en Nakayama (I965) goed aan te sluiten bij de experimentele resultaten.
10
-_
;
:
_
I.
~
-
-*
•"
_
;
•-&
a, /
1 1 1 M l | 1 1 1 1 1 M l j T i l l Bot d/0 =1/19 d/D =VL8 -1 - exp Tijssen, & Wittebrood -" — Dean -,- theor ^ ^ Mori & Nakayama -" ^ i ^
^•^ry'^
^ /
a / o / D / a // /
/ /
/I
/ =
/
/ ° 1 • • • . I n i •.
:
—
• • • • •_
:
-• •
Fig. II.8 De ontwikkeling van de secundaire stroming
II.lt SAMENVATTING EN CONCLUSIES
Het stromingsgedrag kan voor niet te extreme geometrieen van de helix (d/D <1/10) bij goede benadering beschreven worden door middel van een
2
dimensieloze groep:Dn= Re (d/D)^. Drie gebieden kunnen worden onderscheiden.
a. Dn<17
In dit gebied zijn de traagheidskrachten ten gevolge van de secundaire stroming te verwaarlozen. Het axiale profiel mag nog als parabolisch worden beschouwd. De dimensieloze secundaire snelheden ud/v er vd/v
2
zijn evenredig met Dn . De snelheidsverdeling volgens Dean (I927), verg. II.9 t/m 11.11 geven voor dit gebied een goede benadering van het
mingsgedrag. Hetgeen uit de overeenkomst met de experimentele resul-taten van Bot (1970), Wittebrood (1973) en Tijssen (1973) en die van Mencik (I962) blijkt (fig. II.7 en II.8).
b. 17<Dn<100
In dit gebied zijn de wrijvingskrachten en de traagheidskrachten geen van beiden verwaarloosbaar klein. Bij benadering zijn de dimensieloze secundaire snelheden evenredig met Dn. In dit gebied kunnen alleen theoretische resultaten verkregen worden door middel van numerieke berekening.
De resultaten van de berekeningen van onder meer Austin (1971), Truesdell en Adler (1970) zijn in goede overeenstemming met de experi-mentele resultaten van White(19291.
c. Dn>100
In dit gebied zijn alleen in een dunne laag langs de buiswand de wrij-vingskrachten nog van belang op de snelheidsverdeling. In het hart van de buis zijn de traagheidskrachten overheersend. De dimensieloze
secun-, 1
daire snelheid — in het hart van de buis is evenredig met Dn^, De V
theoretische resultaten van Mori en Nakayama (1965) blijken in dit gebied goed aan te sluiten bij de experimentele resultaten van White
(1929), Adler (I93lt) en Ito (I969)(fig. II.7) en die van Wittebrood (1973) en Tijssen (I973)(fig. II.8).
In de volgende hoofdstukken zal bij de theoretische berekeningen aangaande warmteoverdracht en axiale dispersie en bij de analyse van de experimentele resultaten uitgegaan worden van de snelheidsverde-lingen volgens Dean (1927) en Mori en Nakayama (I965) indien Dn<17 respektievelijk Dn>100. Voor het tussengebied 17<Dn<100 zal voorname-lijk het experimenteel bepaalde gedrag als leidraad dienen.
HOOFDSTUK III WARMTEOVERDRACHT
III.1 INLEIDING
In vergelijking met de warmteoverdracht naar laminaire stroming in rechte buizen, laat de warmteoverdracht in helices zich minder eenvoudig beschrijven. Voor la-minaire, isoviskeuze, newtonse stroming in rechte buizen kan de warmteoverdracht analytisch worden berekend. De energievergelijking :
3T ,3^T 1 3T , w — = a ( —- + . T
-3z . 2 r 3r 3r
; i i i . i ) .
waarin ade warmtevereffeningscoefficient en z de axiale coordinaat is, leidt voor dat geval tot een eigenwaardenprobleem, dat voor het eerst door Graetz (I883), voor de randvoorwaarde T = konstant, is opgelost.
Voor rechte buizen blijkt het Nusseltgetal
hd/X
^3r w
Nu (Tw - < T>) (III.2).
waarin h de lokale warmteoverdrachtscoefficient, <T> de stroomgemiddelde vloei-stoftemperatuur en X de warmtegeleidingscoefficient is, een funktie te zijn van het Graetzgetal :
Gz RePr <w>d (III.3)
Voor korte buislengten, Gz >10 , kan de warmteoverdracht bij goede benadering be-schreven worden met de oplossing volgens Leveque (1928), door het axiale snelheidsprofiel dichtbij de buiswand als lineair te beschouwen. In fig. III.1 is het lokale Nusseltgetal weergegeven als funktie van het Graetzgetal voor de randvoorwaarden T w konstant en ((1 konstant. 210' irf-Nu. 436 366 (jlyy, = konsfant Tw = konstant «' •Gz 210 F i g . I I I . 1 W a r m t e o v e r d r a c h t b i j l a m i n a i r e s t r o m i n g i n e e n r e c h t e b u i s , 19
Voor de warmteoverdracht bij laminaire stroming in helices zal het lokale Nusseltgetal een funktie zijn van het Reynoldsgetal, het Prandtlgetal (pr = v/a) , de verhouding van de buisdiameter en de krommingsdiameter (d/D), de dimensieloze buislengte z/d en van de plaats op de buisomtrek. Wat dit laatste betreft, de cirkelsymmetrie wordt door de secundaire stroming verstoord. Hierdoor zal de lokale warmteoverdracht langs de buisomtrek varieren. Aan de buitenkant van de helix, waar de secundaire stroming naar de buiswand toe gericht is, zal de warm-teoverdracht hoger zijn dan aan de binnenkant, waar de stroming van de buiswand af is.
Naast de verstoring van de cirkelsymmetrie treedt er in axiale richting een tweede effekt op^iat zich bij de rechte buis niet voordoet. Aan het begin van de buis, waar de thermische indringing nog zeer gering is, zal de vloeistof, die vanuit het hart van de buis naar de buiswand stroomt een zekere tijd, dat wil zeggen over een zeker buislengte, nog de begintemperatuur hebben. Dit houdt in dat de buiswand ter plaatse aan gestroomd wordt door vloeistof met een kon-stante temperatuur. Dit verandert pas na die lengte, waarbij verwarmde vloei-stof de buisdoorsnede is overgestoken (fig. III.2). Bij iedere cirkulatie her-haalt zich dit proces. Dit heeft tot gevolg, dat in het thermische inloopgebied de lokale warmteoverdrachtscoefficient min of meer "trapsgewijs" zal verlopen in axiale richting. Met toenemende buislengte zal dit effekt ten gevolge van voortgaande radiale warmteindringing geleidelijk afnemen (fig. III.3).
^ » - doorsneden bij toenemende cxiole ofstand
V/////A gebied waar T >To [begintemperatuur]
Fig. III.2 Effekt van de secundaire stroming op de warmteindringing in het thermisch inloopgebied.
Fig. III.3 Schematisch verloop van de warmteoverdracht in het thermisch inloopge-bied.
Zoals ook bij de rechte buis kan er onder-scheid gemaakt worden tussen een thermisch inloopgebied, waar de warmteoverdrachts-coefficient afhankelijk is van de axiale afstand, en een thermisch ingesteld gebied, waar de warmteoverdracht niet meer veran-dert bij toenemende buislengte. In dit thermisch ingestelde gebied zal het Nusseltgetal echter nog steeds een funk-tie zijn van Re, Pr, d/D en (|> (de plaats op de buisomtrek).
Voor het geval, dat het warmteoverdrachtsproces stationair is, de viskeuze dissi patie verwaarloosbaar klein is, en de stofeigenschappen konstant verondersteld worden, is de energievergelijking voor de helix (fig. III.lt) :
,2„ 2
3 T
3T ^ _3T ^ w 3T ^ ,£X + 111+ sin(t> _3T _^
3r ^ r3(j) R+sin(}> 3i|) " ^ , „ 2 "^ r 3r R+rsincj) 3r „ 2 ^ ^ 2 3 r
3T 3 T 2
R + r s i n * r3(ti ,„_^ . .2 . , S ^ (R+rsiniji) 3ifi
(III.U).
Ervan uitgaande, dat R>>r kan de vergelijking vereenvoudigd worden tot
3T 3T 3T ,3^T 1 3T ^ 3^T u — + v + w •;:— = a I—— + + —X 3r r3(|> 3z \ 2 r 3r 2 _ 2 ^ 3r r 3(() (III.5), waarin z = Ri().
Fig. III.It Coordinatensysteem.
Deze vergelijking laat zich, tesamen met de stromingsvergelijkingen niet ana-lytisch oplossen. Alleen met behulp van storingsrekening is voor die gevallen, die nauwelijks verschillen van de warmteoverdracht bij rechte buizen, een op-lossing te verkrijgen. De uit de literatuur bekende resultaten zijn dan ook verkregen via numerieke berekening en experimenteel onderzoek.
In par. III.2 wordt een overzicht gegeven van resultaten bekend uit de literatuur. In par. III.3 zullen de analytische en numerieke berekeningen van het onderzoek besproken worden. In par. III.li en III. 5 zal het experimenteel gedeelte van het onderzoek, de opzet van de experimenten en de resultaten, worden behandeld. In par. III.6 zullen al deze resultaten worden samengevat en de eindconclusies, welke uit dit onderzoek aan de warmteoverdracht naar voren zijn gekomen, worden gegeven.
III.2 OVERZICHT LITERATUUR
Vrijwel alle onderzoek met betrekking tot warmteoverdracht in helices dateert van na 1950. Met name in de eerste periode zijn empirische relaties voor de overall-warmteoverdracht ontwikkeld. Sinds 1970 is het accent verschoven naar een meer gedetailleerde beschrijving van de lokale warmteoverdracht, waarbij meer en meer gebruik is gemaakt van numerieke methcden.
Micheeff(1952) geeft als relatie voor de overall-warmteoverdracht :
<Nu. ^ = 0.021 <Re>°-8 <Vr>°-l^ ( ^ ^ ^ )°-'5 (,j,,g)
rek rek rek Pr \ ' > w
hierin zijn alle grootheden betrokken op de rekenkundig gemiddelde vloeistof-temperatuur.
Fastowskii(1957) vindt experimentele resultaten voor met water verwarmde helices, die goed aansluiten bij verg. 111,6 over een geldigheidsgebied van :
2 It 10 < <Re> , <10 rek 7 <<Pr> , <360 rek 1/60 <d/D <l/20 22
? i a <z/d <iitio.
Shchukin (I969) correleert deze data op een andere manier :
<Nu> , = 0,0575<Re>°-33 <Dn>°-;^Pr>°-^3 ( - — ^ f'^^ (^"--f)-rek (^"--f)-rek (^"--f)-rek (^"--f)-rek Pr
w
Seban en McLaughlin (I963) hebben lokale warmteoverdracht bestudeerd, Zij hebben onderzoek gedaan aan twee elektrisch verwarmde helices, met een diameterverhouding d/D van respektievelijk 1/17 en 1/105. Zij vonden voor :
12<Re <5600
100<Pr^ <65C
dat in het thermisch ingestelde gebied voor de over de buisomtrek gemiddelde Nusseltwaarde geldt :
Iir= 0.13 (| Re J)^''3pi.^^''3 (ill.8),
waarin Re en Pr„ betrokken zijn op de lokale filmtemperatuur (= (T + <T>)/2)
I I w
en f de Weisbach-friktiecoefficient is. De vorm van de relatie is gekozen in analogie met de oplossing van de aangestroomde vlakke plaat.
Kubair en Kuloor (1966) geven overall-warmteoverdrachtscoefficienten voor het gebied : 80<Re <6C00 Fek 20<Pr tlOO rek 0.037 <d/D <0.097 375 <z/d <710
Voor met condenserende stoom vervarmde helices vonden zi.i ;
<Nu> , = (1.98+ 1.8d/D)(ir/lt Re> <Pr> d/z)°'''' (III.9)
rek rek rek *
Deze relatie blijkt reeds voor een groot gedeelte van het opgegeven geldigheids-gebied niet korrekt, daar de voorspelde Nu-waarden daar zelfs groter zijn dan
de assymptotische relatie :
<Nu> , = ]<Re> <Pr> , d/z (III.10), rek rek rek ^ ' >
welke volgens de warmtebalans niet overschreden kan worden. Afgaande op hun figuren kan gesteld worden dat hun resultaten voldoen aan de relatie :
<Nu> , = 0.63 (1.98 + 1.8 d/D)(TT/lt <Re> , <Pr> d/z)'^'"'' (III.li). rek rek rek
Schmidt (1967) geeft resultaten voor de overall-warmteoverdracht, voor met verzadigde stoom verwarmde helices, in de vorm van een relatie voor de
logarit-misch gemiddelde Nu-waarde :
<Nu> = 3.65 + 0.08(1 . 0.8(d/D)°-9)<Re>°-5 * 0.2903(d/D)°-^9lt /j
log 11 11
I
(III.12).
Hierin zijn <Re>-i ^ en <Pr> betrokken op de logaritmisch gemiddelde filmtempe-ratuur.
Van Breugel (1971) heeft experimenteel voor een met kondenserende stoom verwarmde helix de relatie :
<I^"^ek = 0-l6(*^>rek^^'"^ek^^''^^'^/^^^^^ ( H I . 13),
gevonden voor het gebied :
85 < <Re> <2500 rek 185< <Pr> <1500 rek 10li0<z/d<6500 d/D = 0.0385
Dravid (I97l) heeft experimenteel de lokale warmteoverdracht onderzocht. Hij heeft experimenten gedaan met een elektrisch verwarmde helix met een dia-meterverhouding d/D van 0.05lt. Voor waarden van het Dn van 50 tot 2000 en van Pr van 5 tot 175 vindt hij voor de over de buisomtrekgemiddelde warmteoverdracht in het thermisch ingestelde gebied :
Nu = (0.76 + 0.65Dn^)Pr°*^'''^ ( l I L l U ) .
Anal^,'tische berekeningen voor de warmteoverdracht zijn opgezet door Topakoglu en Ozisik (I968) en door Mori en Nakayama (1965,1967). Topakoglu en Ozisik (I968) hebben getracht om uitgaande van de snelheidsverdeling van Topakoglu (1967), voor Dn<17, een oplossing van de energievergelijking te vinden. Voor zeer kleine verschillen met de rechte buis is hun oplossing een goede benadering.
Mori en Nakayama (1965,1967) hebben getracht de energievergelijking op te lossen met behulp van de snelheidsverdeling verkregen met het grenslaagmodel. Ook voor de temperatuurverdeling gaan zij uit van een grenslaagbenadering. Het lukt hen echter niet op korrekte wijze de thermische grenslaagdikte te voorspel-len. Hierdoor wordt met name voor de Pr-afhankelijkheid van het Nusseltgetal een foutief resultaat gevonden.
Akivama en Cheng (1971, 1972, 197lt) hebben zowel voor konstante buiswand-temperatuur als voor een over de buisomtrek gemiddelde konstante warmtestroom-dichtheid numerieke berekeningen uitgevoerd. Als resultaat geven zij voor het
2 . . .
gehele gebied Pr _>1 , de groep Dn Prals enige dimensieloze groep, die de warm-teoverdracht in het thermisch ingestelde gebied bepaalt. Voor T = konstant geven zij als resultaat :
5iu/3.66 = 0.27Q(l + 1.1t8Q"^ + 23.2Q~^ - 1 2 0 Q " 3 + 212Q" ) (III.I5),
2 -waarin Q = (Dn P r ) " .
tt
Voor ()) = konstant geven zij : w
Hll/lt.36 = 0.181Q(1 - 0.839Q~^ + 35.1tQ~^ - 2 0 7 Q " ^ + lt19Q~ ) ( I I I . 1 6 ) .
Voor beide relaties is het geldigheidsgebied :
Q _> 3.5 en Pr _> 1.
Kalb en Seader (1972, 197lt) geven numeriek bekende en experimenteel ge-vonden waarden voor de twee randvoorwaarden T = konstant en 4" = konstant.
w ^w
-Voor 0.7 < Pr _< 5 geven zij als resultaten voor het thermischiagestelde gebied:
i}^ = 0.836Dn°"^Pr '^ voor Dn _> 80 (III.17),
25
voor T = konstant en w
Nu = 0.913Dn° ''' Pr°'^ voor 80j<Dn^1200 (III.I8),
voor (f, = konstant. w
Tarbell en Samuels (1973) geven numerieke resultaten voor T = konstant w
voor 0.1 _< Pr _< 10. Hun resultaten blijken redelijk aan te sluiten bij die van Kalb en Seader (1972).
Singh en Bell (I97lt) hebben experimenteel onderzoek gedaan naar de warmte-overdracht, waarbij tevens het effekt van de vrije konvektie op de warmteover-dracht is onderzocht. Zij geven resultaten voor 4," = konstant voor twee
w
helices met een d/D verhouding van respektievelijk 0.02lt en 0.0lt9. Als relatie voor het thermisch ingestelde gebied geven zij :
i h r = {0.22lt . 1.369 (d/D) } (Re°-5019^"-3l8d/Dj ^^ ^ ^_g^,_ ^-0.00966Gr/Dn2) j
( I I I . 1 9 ) , P r l / 3 ( < . > / n )°-^^
waarin Gr het Grashofgetal i s , g e d e f i n i e e r d a l s :
Gr = g6 (T - <T>) d^/v^ ( I I I . 2 0 ) , w
waarin g de versnelling van de zwaartekracht is en B de volumieke uitzettings-coefficient.
De diversiteit in vorm van de verschillende relaties en de daarmee samen-hangende verschillen in numerieke waarden voor de warmteoverdrachtscoefficienten, zullen het vaak moeilijk maken een goede waarde voor de warmteoverdracht te vinden. In fig. III.5 zijn voor een d/D en een Pr-waarde enige relaties weerge-geven. Aangezien deze relaties alle afgeleid zijn voor het thermisch ingestelde gebied ingeval <()" = konstant zijn ze direkt vergelijkbaar. Voor verg. III.I9 . . •^ <n> . . IS in deze figuur Gr = 0 en — ^ = 1 gekozen- De oorzaak van de verschillen is
V
met name gelegen in het feit, dat de verschillende onderzoekers in hun relaties ook buiten het gebied, waarbinnen zij de procesvariabelen in hun experimenten gevarieerd hebben, nog als geldig beschouwen. Dravid (1971) extrapoleert zijn resultaten voor andere waarden van d/D door in zijn relatie in plaats van Re het Dn-getal te gebruiken, terwijl er slechts voor een d/D-waarde metingen zijn verricht.
Kubair en Kuloor (I966) baseren de door hen aangegeven z/d afhankelijkheid door uit te gaan van een Nusselt-Graetz verband, in hun experimenten varieren zij z/d zelf niet. Cheng en Akiyama( 1971, 1972, 197lt) nemen zonder meer aan dat de door hen gevonden karateristieke paramater Q voor het gehele gebied van de laminaire convektieve warmteoverdracht de enige grootheid is die de warmteover-dracht bepaalt, terwijl dit geheel niet door berekeningen of experimenten is getoetst.
I I I I I I I I 1 1 1 I I I I 11 I 1 1 I I I I L
Nu
1 Bell & Singh verg ni19 IGr/Dr1^=01 2 Cheng S Akiyomo verg ID 16
3 Seban S Mc Laughlin verg HIS U Oravid verg 11 U
Nu rechte buis
• • • • '
Fig. III. 5 Vergelijking warmteoverdrachtsrelaties voor het thermisch ingestelde gebied.
De verschillen in vorm van de gegeven relaties komen voort uit het feit dat de verschillende onderzoekers andere uitgangspunten voor hun correlaties kiezen. De meesten hebben getracht hun resultaten in een vorm te gieten, die aansluit bij bestaande relaties voor rechte buizen. Micheeff (1952) en Fastowskii
(1957) geven een relatie, die nauw verwand is aan die voor turbulente konvektieve warmteoverdracht in rechte buizen, onafhsinkelijk van de buislengte. In
tegen-stelling tot de twee voorgaande auteurs, geven van Breugel (1971) en Kubair en Kuloor (1966) een warmteoverdrachtsrelatie, waarin wel een z/d-afhankelijkheid
is verwerkt. Daarnaast dient opgemerkt te worden dat relaties gebaseerd op re-kenkundig gemiddelde temperaturen anders van vorm zullen zijn dan relaties be-trokken op logaritmisch gemiddelde temperaturen. Ter illustratie is in fig. III.6 het verloo-D van % u > en <Nu> , als funktie van het Gz-getal
weerge-log rek
geven voor de rechte buis. Hierdoor kunnen gedeeltelijk de verschillen in de relaties tussen bijvoorbeeld Schmidt (1967) enerzijds en Kubair en Kuloor (1966) en Van Breugel (1971) anderzijds, worden verklaard,
.»2
Nu
l U irf10°
in"
1 1 " ^ N ^ ' r . k a _ « i . ' ' ^.
/
^
h/ ^ 1 1 1^
^
^
1 10" 10"10'
•n/^Gz 10' 10^Fig. 111,6 Verlooxi van <Hu>, en <Nu> , voor de rechte buis bij konstante ^ - log rek
buiswandtemperatuur,
Voor de warmteoverdracht in het thermisch ingestelde gebied geven Seban en Mc Laughlin (1963) en Singh en Bell (197^) een relatie van de gedaante :
1 /3
Nu,Pr '^ = f(Re,d/D) (III.21),
terwijl ondermeer Dravid (I97l) en Kalb en Seader (1972, 197't) een veel geringe-re Pr-afhankelijkheid vinden. Zowel Dravid, Kalb en Seader als Cheng en Akiyama (1971, 1972, 197lt) geven hun resultaten in de vorm :
Nu f(Dn, Pr) [III.22)
Zij gaan er daarbij vanuit dat de invloed van de diameterverhouding d/D en het Reynoldsgetal te samen weergegeven kunnen worden door middel van het Deangetal, Deze veronderstelling geldt echter geenszins voor het gehele gebied van de laminaire konvektieve warmteoverdracht, maar is beperkt tot het gebied van lage Dn-waarden,
In zijn algemeenheid geldt ten aanzien van de numerieke oplossingen, dat ten gevolge van het optreden van numerieke instabiliteit, deze in een beperkt gebied tot goede resultaten leiden. Voor P r » 1 blijkt de warmteoverdracht alleen voor gevallen waarbij deze niet hoger is dan 2 tot 2.5 keer de warmteoverdracht in de rechte buis, met een niet extreem hoog aantal roosterpunten te kunnen worden berekend.
Ten aanzien van het effekt van de randvoorwaarde op de warmteoverdracht, zijn nog geen duidelijke experimentele resultaten voorhanden. De numerieke resul-taten van Akiyama en Cheng (1971, 1972, 197't) en van Kalb en Seader (1972, 197lt) duiden er op dat de warmteoverdrachtscoefficient bij T = konstant iets hoger
w
zou zijn dan bij de randvoorwaarde (^" = konstant. Dit is precies tegenovergesteld w
aan de warmteoverdracht in de rechte buis.
Tenslotte kan worden opgemerkt, dat tot nu toe weinig aandacht is besteed aan de warmteoverdracht in het thermisch inloopgebied. Hoewel algemeen wordt aangenomen dat de thermische inlooplengte korter is dan bij de rechte buis, zijn er geen kwantitatieve gegevens over bekend. Zoals echter in de inleiding al is aangegeven zal de warmteoverdracht zich in dit gebied moeilijk laten be-schrijven, juist vanwege het "traps gewijze" verloop van de warmteoverdrachts-coefficient in ajciale richting.
III.3 THEORETISCHE BEREKENINGEN
III.3.1. Inleiding
Het oplossen van de energievergelijking (verg. III.5) zal in zijn algemeenheid slechts mogelijk zijn met behulp van numerieke procedures. Echter analoog met de toepassing van de oplossing volgens Leveque (1928) voor het thermisch inloop-gebied van de rechte buis, kan ook voor de warmteoverdracht in een helix een analytische berekening worden opgezet. Dravid (1971) heeft dit gedaan uitgaande van de snelheidsverdeling volgens Mori en Nakayama (I965) waarbij hij echter het effekt van de secundaire stroming heeft verwaarloosd.
In par. III.3.2. zal zowel voor de snelheidsverdeling volgens Dean (1927) als voor die volgens Mori en Nakayama (I965) met behulp van de integraalmethode de warmteoverdracht in het begin van het thermisch inloopgebied worden berekend. Hierbij zal ook het effekt van de secundaire stroming in de berekening worden mee genomen.
Naast deze analytische berekeningen zijn ook op beperkte schaal numerieke bere-keningen opgezet, gebaseerd op de snelheidsverdeling volgens Dean (1927). In par. III.3.3 wordt de energievergelijking voor dat geval nader geanalyseerd en worden verder de numerieke procedure en de resultaten besproken.
III.3.2. Analytische benadering van de warmteoverdracht in het thermisch inloopgebied.
Dichtbij de buiswand kan in geval van nog zeer geringe thermische indringing ('5rp<<a), met behulp van de grenslaagbenadering de energievergelijking (verg. III.5) vereenvoudigd worden. Door mede gebruik te maken van de aanname , dat voor geringe thermische indringing geldt dat het temperatuurverschil over de thermische grenslaagdikte (AT ) , groot is ten opzichte van het temperatuurverschil over de buisomtrek (AT ) , kan de volgende afschatting worden gemaakt :
9 2 AT AT 3r S^ ^"^^ T 2 2 AT
~ » V S = 0 (-4 ) (I11.2lt).
3r r 3()) aDe vereenvoudigde vergelijking wordt dan :
3r
Na invoering van de dimensieloze grootheden :
T - <T> . . + ua + wa 3 = "^ :r~ , w a a r m <T> de bulktemperatuur is, u = — , w = — ,
T - <T> V V
E;= z/a en n = 1 - r/a, waarin a de straal van de buis is.
gaat verg. III. 26 over in :
3ri
De dimensieloze snelheden u en w kunnen dicht bij de buiswand benaderd worden door eenvoudige funkties :
(-r—)n = A n
dn (III.28),
(III. 29).
In deze uitdrukkingen zijn A en B bekende funkties van <i> . Uitgaande van een poly-noom benadering kan nu met behulp van de integraalmethode verg. III.27 worden opgelost. De verdere uitwerking is opgenomen in appendix 1. Zowel voor de rand-voorwaarde T = konstant als ij)" = konstant zijn de berekeningen uitgevoerd ge-bruik makend van de snelheidsverdeling volgens Dean (1927) en Mori en Nakayama (1961t). De resultaten zijn weergegeven in tabel III.7.
Opgemerkt dient te worden, dat door verwaarlozing van de tangentiele snel-+.
heidskomponent v in verg. III.27, voorbij gegaan wordt aan het feit, dat de stroomlijnen in de buis schroefvormig zijn. Hierdoor zijn n en <j) aan elkaar ge-koppeld, hetgeen bij deze benadering niet meer het geval is. Alleen voor de plaatsen waar v = 0 , dus <f>= IT/2 en (t)= - TT/2, is de oplossing in dit opzicht korrekt. Hoe groot de afwijkingen zijn, die hierdoor worden geintroduceerd is a priori niet te zeggen. In par. III.3 en III.5 zullen deze resultaten aan de hand van de numerieke en experimentele resultaten worden getoetst.
tabel III.7 Dn<17 T = konstant w 41" = konstant Nu = 0 . 5 3 { ( D n 2 p r s i n < ^ ) / ( 1 - e x p ( - S | p n t ) ) j l / 3 Nu = 0 . 5 3 { ( D n 2 p r s i n < l , ) / ( 1 - e x p ( - S ^ | | i i l i ) ) } 1 / 3 Dn>100 T = k o n s t a n t w t " = k o n s t a n t Nu: H ( D n 3 / ^ P r . i n , ) / ( l - e x p ( - ^ f l t ^ ; - y ^ ) ] > V 3 N u = a D n 3 / 2 p r s i n , ) / (1 - e x p ( - ^ V | M ! 4 ^ ^ ^ ) ] ) ^ / 3 87 sincj) 2 D)^sin(ti 1" + 0 . 8 7 sini}>
Ten aanzien van de over de buisomtrek gemiddelde Nu-waarden volgt uit de resultaten dat voor het gebied van de "Deanse-stroming" voor Dn<17, er geen verschil is met de warmteoverdracht in de rechte buis. Voor het gebied van hoge Dn-waarden wordt met de snelheidsverdeling van Mori en Nakayama (I965) gevonden, dat de verhouding tussen de Nu-waarden voor de helix en die voor de
rechte buis voldoet aan :
Nu/Nu = 0.1t7Dn''' (ill. 30).
Dit resultaat komt overeen met dat van Dravid (1971), die bij zijn berekening voor de over de omtrekgemiddelde Husseltwaarde uitging van de over de omtrek
3w
gemiddelde axiale snelheidsgradient — . Hij verwaarloosde daarbij de konvek-tieve bijdrage van de secundaire stroming, die in bovenstaande berekening wel is meegerekend, waardoor het mogelijk was lokale warmteoverdrachtscoefficienten te berekenen.
De buislengte, waarover de relaties geldig zijn, wordt bepaald door het gegeven, dat de thermische indringing niet te groot mag worden, in verband met de aannamen voor u en w . Daarnaast geldt de oplossing alleen voor de eerste cirkulatie van de vloeistof langs de secundaire stroomlijnen. Deze kriteria zijn ook in appendix 1 uitgewerkt. Bij benadering kan worden gesteld, dat de oplossing voor lage Dn-waarden geldig is voor :
z/d<10(Re^)~'' (III.31).
Voor hoge Dn-waarden : 1
z/d<(D/d)^ (III.32).
III.3.3. Numerieke berekeningen van de warmteoverdracht voor lage Deangetallen.
Uitgaande van de snelheidsverdeling volgens Dean (1927) zijn numerieke bereke-ningen voor de warmteoverdracht uitgevoerd. Dit is gedaan voor zowel een kon-stante buiswandtemperatuur als een konkon-stante over de buisomtrek gemiddelde warm-testroomdichtheid. Allereerst zal nu de energievergelijking zelf nader beschouwd worden, waarna de numerieke procedure en de resultaten behandeld zullen worden.
Volgens verg. II.9 t/m 11.11 kan de snelheidsverdeling (Dn<17) geschreven worden in de vorm :
^ = R e | F ( c , * ) (III.33),
- = R e | . G (c,*) (I11.3lt)^ 2<w
^ = {1 + H(c,*)} . (1 - ?^) '^(l - C^) (III.35),
waarin ?= r/a.
Invullen van deze relaties in de energievergelijking III.5 geeft :
Dn^Pr {F(C.*) f . G ( C , * ) ^ | ; ^ } . RePr( 1 . K^) f^ = l l . - ^ . _ A , (xxi.36), 3<|
35 ^ ^ ^ ^ ' ^ ' C S * . ^ ^"^^^^' - ^ ' 3 5 - 3 , 2 535 V - 2
waari n C = z/a.
Uit verg. III.36 volgt, dat het temperatuurprofiel wordt bepaald door de twee 2
dimensieloze groepen Dn Pr en RePr. Zoals bij de rechte buis zal de lokale warm-teoverdrachtcoefficient een funktie zijn van RePr/5 (= Gz/2), maar nu ook van
2 . . .
de groep Dn Pr en van de tangentiele coordinaat ((>. De over de buisomtrek
gemid-. • 2
delde Nu-waarde zal een funktie zijn van het Graetzgetal en de groep Dn Pr. Voor lange buislengten, wanneer het temperatuurprofiel is ingesteld, zal de over
2 de omtrek gemiddelde warmteoverdracht alleen nog een funktie zijn van Dn Pr. Uit het feit dat verg. III.33 t/m III.35 alleen maar gelden voor Dn<17 volgt, dat
2
slechts voor dat gebied de dimensieloze groep Dn Pr karateristiek voor de warm-teoverdracht is.
Verg. III.36 is opgelost voor twee situaties :
a. Het thermisch ingestelde gebied in geval van een lineair toenemende buiswand temperatuur.
Deze randvoorwaarde houdt in dat de over de buisomtrek gemiddelde warmtestroom-dichtheid konstant is en dat de buiswandtemperatuur in tangetiele richting konstant is. Indien het temperatuurprofiel ingesteld is zal voor ieder punt in de buisdoorsnede de toename van de temperatuur in axiale richting (3T/3z) hetzelfde zijn. Na invoering van de dimensieloze temperatuur :
e = T/(RePr|^ ) (III.37)
35 >
kan verg. III.36 geschreven worden als :
Dn^Pr {F(C,*) ^ + G( ? ,<f) ^ ^ } + ( 1 - 5^) = H + f " + " ^ - ^ (ill.38). 8^ ^ 3 * 3^2 C35 ^2g^2
Uit deze vergelijking is 0 als funktie van 5 en (|> voor iedere gegeven waarde 2
van Dn Pr te berekenen. De lokale Nu-waarden worden gevonden uit de relatie :
^"^
= 3l I'V '°^ (III.39).
C= 1
Voor de over de buisdoorsnede gemiddelde Nu-waarden geldt :
N^ = UO^ - < 0 > ) " ' ' ( l l l . l t O ) .
1 T p
<0> = / / (1 - 5 ) 50d<t>d5 ( I l l . l i l ) . 0 TT
-r
Bij de oplossing van verg, 111,38 is gebruik gemaakt van een netwerk van roos-terpunten, gebaseerd op cilindercoordinaten (fig. III.8). Bij de discretisatie van verg. III.38 is gebruik gemaakt van centrale differenties :
30 m, n+1 m, n-1 , , >
-_ = — , ^ZT"^ (111.^2),
0 - 0 30 _ m+1,n m-1,n , , , J^ ^ A * (Ill.lt3),jfg.^m, n.1 -2^,n"%, n-1 ^^^^^^^^^
.2 0 _^. -20 + 0 ,3_2 = J!ll^n
^ ^^1^
(Ill.lt5).
^* (A*)Aan de rand 5= 1 g e l d t dat 0 k o n s t a n t i s , dat w i l zeggen onafhankelijk van (j), a l s randvoorwaarde i s g e b r u i k t :
° m , N = ^ ( I I I . ^ 6 ) . Aan de rand if = +^ii/2 geldt de synmetrie
voorwaarde : / / / \ \ ; / \ \ \m:1 m = M-1 ° - 1 ' n ° 1 n ^ ° ° ^ * "'^''2 ( I l l . l t 7 ) , m - M 1 1 1 I r-^M^'^ \ \ 1 1 1 n^o n= 0 1 2 fHN Oj^^^^^ = 0 ^ _ ^ ^ ^ v o o r ,!> = - T r / 2 ( l I I . l t 8 ) . F i g . I I I . 8 Netwerk van r o o s t e r p u n t e n . 3lt
!["Epigrafia giuridica greca e romana", G. I. Luzzatto, Milano 1942 : [recenzja]](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAP///wAAACH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAICRAEAOw==)