AnalyticHierarchyProcess (AHP) jest jedną z metod analizy
wielokryterialnej, pozwalającą na ocenę wariantów inwestycji. Pozwala uwzględnić różnorodne kryteria decydujące o realizacji celu. Podstawowym założeniem metody jest stwierdzenie, że cel jest możliwy do osiągnięcia poprzez zrealizowanie celów cząst-kowych, prowadzących do osiągnięcia celu głównego. Rozpa-trywane warianty rozwiązań spełniają w większym lub mniej-szym stopniu oczekiwania. Stopień spełnienia celu głównego przez wariant decyzyjny jest określony przez stopień spełnienia kryteriów głównych oraz odpowiednio pogrupowanych kryte-riów cząstkowych. Dekompozycja problemu ułatwia dokonanie oceny i to stanowi istotę metody AHP [3, 5, 6].
W metodzie do rozwiązania problemu prowadzą trzy etapy (kroki), połączone w zintegrowany i logiczny ciąg:
Przedstawienie struktury problemu i stworzenie modelu 1.
hierarchicznego (określenie kryteriów),
Ocena kryteriów poprzez zastosowanie 9-punktowej 2.
skali ocen porównań parami i budowa macierzy ocen A (analiza macierzy, wyznaczenie wektorów prioryte-tów),
Ocena i uporządkowanie wariantów poprzez wyznacza-3.
nie priorytetów (wag głównych) z uwzględnieniem ana-lizy wektorów priorytetów cząstkowych.
Dr inż. Elżbieta Szafranko
Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie, Wydział Nauk Technicznych
Ocena ekspertów w analizach prowadzonych metodą AHP
przy wyborze wariantów inwestycji
W przedstawionej strukturze hierarchicznej wyróżniamy: cel nadrzędny (poziom 1) polegający na zrealizowaniu –
zaplanowanego przedsięwzięcia (np.: budowa odcinka drogi łączącego 2 punkty w sieci komunikacyjnej), cele główne – opisujące główne kryteria związane z re-–
alizacją inwestycji a wymagane do spełnienia w każdym wariancie (np.: kryteria ekonomiczne, środowiskowe itp.),
cele cząstkowe są definiowane w węższym zakresie w ra-–
mach celu głównego, pozwalają uściślić wymagania oraz lepiej zrozumieć cel główny (np.: w ramach kryterium ekonomicznego koszt realizacji inwestycji, koszty wyku-pu gruntów pod budowę itp.),
warianty – alternatywne możliwości zrealizowania celu –
spełniające w większym lub mniejszym stopniu zdefinio-wane wcześniej cele.
Przy stosowaniu metody należy pamiętać, że konieczne jest ograniczenie do kilku liczby porównywanych na tym samym poziomie kryteriów oraz założenie ich porównywalności, co daje możliwość zbudowania spójnej macierzy porównań. Na-leży również uwzględnić pewne uproszczenia w modelowaniu analizowanego problemu oraz współpracę z ekspertami i prze-prowadzenie analiz materiałów źródłowych oraz badań ankieto-wych. To właśnie opinie ekspertów i ankiety stanowią podstawę oceny kryteriów, a to z kolei daje możliwość zbudowania wyj-ściowej macierzy preferencji.
W toku postępowania porównuje się parami wszystkie kry-teria na badanym poziomie, ustalając ich wzajemne relacje, de-cydując, które i w jakim stopniu są istotniejsze przy realizacji danego przedsięwzięcia. Oceny dokonuje się, stosując skalę ocen opracowaną przez prof. Saatiego, którą przedstawiono w postaci tabelarycznej (tabl. 1).
Tabl. 1. Skala ocen według Saatiego
Wartość Określenie
9 Przewaga jednego czynnika nad drugim jest absolutna i potwier-dzona w najwyższym stopniu 7 Jeden czynnik jest bardzo silnie przedkładany nad drugi i prakty-ka potwierdza tę przewagę 5 Silnie jest preferowany jeden czynnik nad drugi
3 Nieznacznie jest preferowany jeden czynnik nad drugi 1 Oba czynniki w jednakowym stopniu przyczyniają się do osią-gnięcia celu 2, 4, 6, 8 Wartości pośrednie, stosowane tylko w razie konieczności
Liczba par tworzących macierz i poddawanych analizie zale-ży od liczby zdefiniowanych kryteriów (tabl. 2).
Tabl. 2. Ilość powiązań aij
Liczba kryteriów 1 2 3 4 5 6 7 n Liczba powiązań 0 1 3 6 10 15 21 ( 1)
2 n n −
Tworząc macierz porównań A, umieszcza się w niej wartości określone podczas oceny kryteriów [3, 7, 8]. Macierz ma pew-ne specyficzpew-ne cechy: przekątna składa się z wartości równych jeden, ponieważ zawiera porównanie każdego kryterium do sie-bie, aij = 1 dla i = j, elementy aij są odwrotnością elementów aji. Ze względów logicznych wszystkie aij >0.
Po określeniu preferencji aij możemy obliczyć elementy aji:
1 ji ij a a = (1)
Poniżej przedstawiono macierz zbudowaną dla 4 kryteriów.
11 12 13 14 21 22 23 24 12 31 32 33 34 13 23 41 42 43 44 14 24 34 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a a a a a a a a a A a a a a a a a a a a a a a = = = = = = = = = = = (2)
W tym przypadku dla liczby kryteriów = 4 liczba powiązań
n = 6.
W literaturze podaje się formuły obliczeń w kolejnych kro-kach prowadzących do obliczenia wartości wskaźnika priory-tetu. Są to:
Obliczenie wartości macierzy znormalizowanej:
1 ij ij n ij i a w a = =
∑
(3)Ustalenie wartości wektora priorytetów cząstkowych:
1 n j j ij j w w a = =
∑
(4) gdzie: 1 n ij i j w w n = =∑
i, j = 1,… n (5)W metodzie AHP najważniejszymi wielkościami, które obli-czamy z macierzy porównań są: lmax,C.I. oraz C.R.Wartość lmax
(maksymalna wartość własna macierzy) jest miarą zgodności porównań, która odzwierciedla proporcjonalność preferencji. Saaty udowodnił, że porównania parami są tym bardziej kon-sekwentne, im lmax jest bliższe n(liczba elementów w macierzy
= liczbie wierszy = liczbie kolumn). W przypadku całkowitej zgodności lmax = n. Na podstawie tej właściwości konstruuje się
współczynnik niezgodności (braku konsekwencji porównań)
C.I., który reprezentuje odchylenie od zgodności. Obliczamy go
z wzoru: max . . 1 n C I n l − = − (6)
oraz wyznaczamy maksymalną wartość własną macierzy:
max 1 1 n ij j i i a w w = l =
∑
(7)Kolejną wielkością mierzącą koherencję porównań parami jest współczynnik niezgodności C.R. (w literaturze angielskiej nazywa się go consistetsyratio). Jest on bardziej użyteczną mia-rą niż C.I. (wskaźnik niespójności), ponieważ C.I. jest trudny w interpretacji, a C.R. możemy wyrazić w procentach:
. . . . . . C I C R R I = × 100 (8)
gdzie C.R. powinno osiągnąć wartość < 10%.
Współczynnik ten określa, w jakim stopniu wzajemne porów-nania ważności charakterystyk są niezgodne (niekonsekwentne) [1]. Praktyczną zasadą AHP jest, aby wartość C.R. dla macierzy (3 × 3) była mniejsza lub równa 5%, (4 × 4) 8%, a dla większych macierzy wynosiła nie więcej niż 10% (C.R. ≤ 10) [7]. Uważamy wówczas, że współczynnik niezgodności jest akceptowany, a po-równania są konsekwentne (zgodne). W przeciwnym przypadku wszystkie lub niektóre porównania zaleca się powtórzyć w celu pozbycia się niezgodności porównań parami. W przypadku peł-nej zgodności porównań opinii lmax = n; C.I. = 0 i C.R. = 0.
Warto podkreślić, że opisana dopuszczalna granica błędu w opiniach nie powinna przekraczać 10%. Jej przekroczenie nie jest dopuszczalne, podobnie jak niekorzystna jest 100% konsekwencja w porównaniach (C.R. = 0). W celu oszacowania współczynnika niezgodności (C.R.) należy wyznaczyć R.I., czy-li losowy indeks niezgodności, obczy-liczony z losowo generowanej macierzy o wymiarach n. Wartości R.I. (wygenerowane z kilku tysięcy macierzy) przedstawiono w tabl. 3.
Tabl. 3. Wartości wskaźnika R.I.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
R.I. 0,00 0,00 0,58 0,90 1,12 1,24 1,32 1,41 1,45 1,49
OPINIE EKSPERTÓW
W BUDOWANIU MACIERZY PREFERENCJI Punktem wyjścia analizy prowadzonej metodą AHP jest macierz porównań. Ocena ważności kryteriów i przewagi jed-nych nad drugimi wymaga udziału ekspertów. Ich udział oraz potrzeba zasięgnięcia opinii szeregu osób wynikają z odmien-nego postrzegania rzeczywistości i procesów w niej
zachodzą-cych. Ich opinie są z reguły różne, a stanowiska budowane są na podstawie różnych priorytetów, systemów wartości, opartych na różnej wiedzy, wykształceniu i doświadczeniu. W metodzie AHP osoba wyrażająca opinie (przy użyciu fundamentalnej ska-li porównań AHP) odpowiada na dwa rodzaje pytań, dotyczą-ce siły przewagi porównywanych elementów: 1) w odniesieniu do danego kryterium, który z podanych dwóch elementów jest bardziej dominujący (ma większą przewagę); 2) który z po-danych dwóch podkryteriów w większym stopniu wpływa na trzeci element, kryterium główne [8]. Oprócz porównań para-mi istnieje możliwość wykorzystania w schemacie decyzyjnym AHP rzeczywistych (realnych) danych liczbowych oraz danych statystycznych odzwierciedlających nasz problem lub pewną jego część (np.: wartości określające koszty, osiągane parametry techniczne inwestycji itp.).
Do rozważań przyjęto założenia i projekt przygotowany do realizacji inwestycji drogowej. Na podstawie analiz projektów realizowanych w regionie o wysokich walorach przyrodniczych oraz opinii ekspertów określono, że najczęściej są brane pod uwagę przy opracowaniu tego rodzaju projektów cztery grupy kryteriów. W każdej grupie wyszczególniono najczęściej powta-rzające się podkryteria (kryteria cząstkowe) [10].
Analizie poddano 3 warianty projektu. W rozpatrywanym projekcie zastosowano następujące kryteria i podkryteria:
A – Transportowe i komunikacyjne:
A1 – praca przewozowa (liczba pojazdów x kilometry na dobę),
A2 – koszty wynikające z czasu przewozów uwzględ-niające koszty czasu traconego w wyniku stania w korkach lub wydłużenia trasy,
A3 – długość drogi w km,
A4 – koszty wynikające z eksploatacji pojazdów (kosz-ty napraw, spalanie ).
B – Ekonomiczne:
B1 – koszt budowy drogi, B2 – koszt wykupu terenu, B3 – koszty odszkodowań. C – Środowiskowe:
C1 – naruszenie obszarów chronionych,
C2 – długość przebiegu tras przez obszary leśne, C3 – liczba drzew do wycięcia,
C4 – przecięcie szlaków wędrówek zwierząt, C5 – przecięcie cieków wodnych.
D – Społeczno-planistyczne:
D1 – liczba budynków do wyburzenia, D2 – liczba budynków w odległości 0 ÷ 50 m, D3 – liczba budynków w odległości 50 ÷ 100 m, D4 – powierzchnia gruntów do wywłaszczenia, D5 – kolizje z planowanym zagospodarowaniem
prze-strzennym.
W celu zasięgnięcia opinii ekspertów przygotowywano an-kiety w postaci tabelarycznej. W literaturze dotyczącej tematu oraz w badaniach prowadzonych tą metodą proponuje się kilka przykładów [2, 3, 4]. Na ich podstawie, w rozpatrywanym przy-padku opracowano dwa wzory ankiet (tabl. 4 i 5).
BADANIA ANKIETOWE, ANALIZA WYNIKÓW ANKIET Sposób udzielania odpowiedzi
Respondent ma odpowiedzieć na serię pytań w rodzaju: któ-ry z elementów (kktó-ryteriów) jest dla Pani/Pana ważniejszy w od-niesieniu do wyżej wymienionego problemu (kryterium głów-nego)oraz o ile jest ważniejszy od podkryteriów znajdujących się na tym samym poziomie w strukturze procesu decyzyjnego w podanej skali: od absolutnej przewagi (9 pkt.) do równowagi (równoważność obydwu porównywalnych elementów – obydwa mają takie samo znaczenie – 1 pkt. w skali). Liczba porównań parami jest równa: L = n(n– 1)/2, gdzie n– liczba porówny-wanych elementów.
Analiza wyników badań ankietowych
W ankiecie (tabl. 6) przedstawiono wypadkowe wyników ankiet przeprowadzonych wśród wybranej grupy ekspertów. Wyniki skrajne odrzucono. Oceny zawarte w tej ankiecie to tzw. oceny lingwistyczne, które za pomocą skali ocen przestawio-nych w tabl. 1 przetransponowano na formę matematyczną.
Tabl. 6. Zestawienie przedstawiające wypadkowe wyniki oceny ważności kryteriów
Nazwa kryterium
Ocena ważności kryterium Bardzo
mała/brak Mała Średnia Duża Bardzo duża
A1 ×
A2 ×
A3 ×
A4 ×
Poniżej przedstawiono macierz porównań zbudowaną na podstawie tej ankiety.
1 1/ 5 1/ 5 1/ 3 5 1 1 3 5 1 1 3 3 1/ 3 1/ 3 1 A = (9) Ocena ważności kryteriów w ankiecie przedstawiono w tabl. 7.
Tabl. 4. Arkusz oceny wpływu podkryteriów na stopień realizacji kryte-rium głównego oraz do porównania parami podkryteriów na przykładzie
kryteriów grupy C (opracowanie własne)
1 część ankiety Kryterium
główne
Stopień ważności Kryteria cząstkowe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A Al A2 A3 A4 E B1 B2 B3 C Cl C2 C3 C4 C5 D Dl D2 D3 D4 D5 2 część ankiety
Ocena kryteriów cząstkowych parami na przykładzie kryteriów grupy środowiskowej Kryterium
cząstkowe gr C
Porównanie w 9 pkt. skali Kryteria cząstkowe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Cl C2 C3 C4 C5 C2 C3 C4 C5 C 3 C4 C5 C4 C5
Tabl. 5. Arkusz oceny ważności podkryteriów w grupie kryterium głównego na przykładzie kryteriów grupy A (opracowanie własne)
Nazwa kryterium
Ocena ważności kryteriów Bardzo
mała/brak Mała Średnia Duża Bardzo duża Al – praca przewozowa
A2 – koszty wynikające z czasu przewozów A3 – długość drogi w km
Poniżej przedstawiono macierz porównań zbudowaną na podstawie drugiej ankiety.
1 3 3 5 5 1/ 3 1 1 3 3 1/ 3 1 1 3 3 1/ 5 1/ 3 1/ 3 1 1 1/ 5 1/ 3 1/ 3 1 1 C = (10)
Druga tabela (tabl. 7), poprzez to, że jest bardziej rozbudo-wana, daje dokładniejsze rozeznanie i pozwala sprawdzić konse-kwencję w postępowaniu ekspertów. Podobnie jak w pierwszej ankiecie, wyniki odbiegające od opinii większości odrzucono, a resztę uśredniono i przedstawiono w tabeli zbiorczej.
PODSUMOWANIE
W analizach prowadzonych metodą AHP niezwykle ważne jest umiejętne zebranie opinii ekspertów. Ankiety przedstawione w artykule pokazują z jednej strony podejście oparte na lingwi-stycznej ocenie bezpośredniej określonych wcześniej kryteriów, a w drugim przypadku pozwalają ekspertom zastanowić się, po-równując je parami, które tak naprawdę jest istotniejsze. W wie-lu przypadkach ankietę należało powtórzyć, ponieważ wypeł-nianie kolejnych kolumn w ankietach wywoływało refleksje ekspertów i po powrocie do wcześniejszych punktów zmieniali oni swoje opinie. Znaczący wpływ na jakość wyników ma licz-ba zmiennych lingwistycznych (opisanych w kryteriach). Ana-lizując dokładność danych uzyskiwanych od ekspertów, moż-na zauważyć, że rozbieżności w opiniach zmniejszają się wraz z liczbą tych wartości. Jednakże, ze względu na percepcję bada-nych liczba ta nie powinna być większa niż 9.
Pokazane przykłady są fragmentem szerszych badań i nie obrazują całości zagadnienia, jednak dają możliwość pokazania, jak opisane wcześniej kryteria można przedstawić w formie ma-cierzy, a to jest pierwszy krok do zastosowania metody opisanej na początku artykułu.
LITERATURA
Adamus W. (red. nauk.): The Analytic Hierarchy Process. Application 1.
in Solving Multiple Criteria Decision Problems. Jagiellonian University Publi-cations, Krakow, Poland 2004.
Brandowski A., Frąckowiak W., Mielewczyk A.: Subjective reliability 2.
estimation of the seagoing ship systems. Proceedings of ESREL07 Conference, Stavanger 2007.
Dytczak M.: Wybrane metody rozwiązywania wielokryterialnych pro-3.
blemów decyzyjnych w budowanictwie. Politechnika Opolska, Opole 2010. Modarres M., Kaminskiy M., Krivtsov.: Reliability Engineering and 4.
Risk Analysis. Marcel Dek-ker Inc., New York, Basel 1999.
Saaty R. W.: Decision Making in Complex Environments: The Ana-5.
lytic Network Process (ANP) for Dependence and Feedback; a manual for the ANP Software Super Decisions, Creative Decisions Foundation, Pittsburgh, PA 2002.
Saaty T. L.: Decision Making for Leaders. The Analytic Hierarchy Pro-6.
cess for Decisions in a Complex World, RWS Publications, Pittsburgh PA 2001. Saaty T. L.: Decision Making with Dependence and Feedback. The 7.
Analytic Network Process, RWS Publications, Pittsburgh PA 2001.
Saaty T. L.: The Analytic Hierarchy Process, McGraw-Hill, New York 8.
et al. 1980.
Saaty T. L., Ozdemir M.: Why the magic number seven plus or minus 9.
two, Mathematical and Computer Modelling, 2003, Vol. 38, 233-244.
Szafranko E.: Zastosowanie analizy hierarchicznej w ocenie wariantów 10.
planowanej inwestycji. Archiwum Instytutu Inżynierii Lądowej, WPP, Poznań 2012.
Tabl. 7. Przykład oceny kryteriów głównych oraz podkryteriów grupy C
1 część ankiety
Kryteria Stopień ważności Podkryteria 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A × A1 × A2 × A3 × A4 B × B1 × B2 × B3 C × C1 × C2 × C3 × C4 × C5 D × D1 × D2 × D3 × D4 × D5 2 część ankiety
Ocena kryteriów cząstkowych parami na przykładzie kryteriów grupy środowiskowej Kryterium
cząstkowe gr C
Porównanie w 9 pkt. skali Kryteria cząstkowe 9 7 5 3 1 3 5 7 9 C1 × C2 × C3 × C4 × C5 C2 × C3 × C4 × C5 C3 × C4 × C5 C4 × C5
