MATEMATYKA. Anna Zalewska Grupy Permutacje Ciała Liczby zespolone MATEMATYKA. Anna Zalewska

(1)

MATEMATYKA

Anna Zalewska

A.Zalewska@mini.pw.edu.pl

06.10.2019

Anna Zalewska A.Zalewska@mini.pw.edu.pl MATEMATYKA

(2)

Definicja grupy

Trójka (G , ◦, e), gdzie:

G jest zbiorem niepustym

◦ : G × G → G

1. ∀a, b, c ∈ G (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c) (łączność)

2. ∀a ∈ G a ◦ e = e ◦ a = a (element neutralny)

3. ∀a ∈ G ∃b ∈ G a ◦ b = b ◦ a = e (element odwrotny)

(3)

Uwagi

element neutralny e może być tylko jeden element odwrotny a⁻¹

grupa (G , ◦, e) z przemiennym działaniem ◦ nazywa się grupa Abelową (przemienną)

H 6= ∅ jest podgrupą grupy G gdy:

1. ∀a, b ∈ H a ◦ b ∈ H

2. ∀a ∈ H a⁻¹∈ H

(4)

Przykłady

Czy działanie ◦ jest działaniem wewnętrznym w zbiorze G ?

G = Z, ◦ to odejmowanie X TAK

G = Z⁺, ◦ to odejmowanie 7 NIE

G - zbiór wielomianów stopnia 2 7 NIE

◦ to działanie dodawania

G - zbiór wielomianów stopnia co najwyżej 2 X TAK

◦ to działanie dodawania

G = Q, a ◦ b = a²+ 7b X TAK

G = Q, a ◦ b = 3a +√

b²+ 1 7 NIE

G = Zⁿ, ◦ = ⊕ X TAK

G = Zn, ◦ = X TAK

G = Z^∗n, ◦ = 7 (ogólnie) NIE

(5)

Przykłady grup

1 (Z, +, 0)

2 (Zn, ⊕, 0)

3 (Z^∗p, , 1) –Uwaga: p jest liczbą pierwszą

Dla Z^∗5:

⊕ 1 2 3 4

1 1 2 3 4

2 2 4 1 3

3 3 1 4 2

4 4 3 2 1

X Dla Z^∗4:

⊕ 1 2 3

1 1 2 3

2 2 0 2

3 3 2 1

7

4 (G , +, e), gdzie G to zbiór wielomianów stopnia co najwyżej 2 oraz e = wielomian zerowy

(6)

Przykłady

(G , +, e), gdzie G =

("

a b c d

#

: a, b, c, d ∈ R

)

"

a1 b1

c₁ d₁

# +

"

a2 b2

c₂ d₂

#

=

"

(a1+a2) (b1+b2) (c₁+c₂) (d₁+d₂)

#

macierz zerowa

"

0 0 0 0

#

jest elementem neutralnym element odwrotny do

"

a b c d

# to

"

−a −b

−c −d

#

(7)

Permutacje

Permutacje zbiorów n-elementowych a permutacje zbioru S_n = {1, . . . , n}

-wystarczą te ostatnie!

Przykład:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 π 3 8 7 9 1 2 5 6 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 π 3 8 7 9 1 2 5 6 4 π = (1,3,7,5) ◦ (2,8,6) ◦ (4,9)

-iloczyn rozłącznych cykli (prawdziwe dla każdej permutacji!)Anna Zalewska A.Zalewska@mini.pw.edu.pl MATEMATYKA

(8)

Permutacje

rozłączne cykle:

π = (1,3,7,5) ◦ (2,8,6) ◦ (4,9)

iloczyn transpozycji

(a₁, a₂, . . . , a_n) = (a₁, a_n) ◦ (a₁, a_n−1) ◦ . . . ◦ (a₁, a₂) przykład:

π = (1,5) ◦ (1,7) ◦ (1,3) ◦ (2,6) ◦ (2,8) ◦ (4,9)

permutacja (nie)parzysta - (nie)parzysta l. transpozycji znak permutacji - sign(π)

(9)

Mnożenie permutacji:

1 2 3 4 5 π₁ 2 3 5 4 1 1 2 3 4 5 π2 3 4 2 1 5 wynik:

1 2 3 4 5 π₁◦ π₂ 5 4 3 2 1

(10)

Permutacje

Permutacja odwrotna:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 π 3 8 7 9 1 2 5 6 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 π⁻¹ 5 6 1 9 7 8 3 2 4

(11)

Ciało - definicja

Zbiór K zawiera co najmniej 2 elementy.

I. Zadane są odwzorowania

K × K → K (a, b) 7→ a + b (działanie dodawania) K × K → K (a, b) 7→ a · b (działanie mnożenia)

II. Wyróżnione są dwa elementy K :

element zerowy (oznaczamy przez 0)

element jedynkowy (oznaczamy przez 1)

III. spełnione są następujące warunki:

(12)

Ciało - definicja

1. łączność dodawania

2. przemienność dodawania

3. element zerowy jest elementem neutralnym dodawania

4. istnienie elementu odwrotnego w dodawaniu

5. łączność mnożenia

6. przemienność mnożenia

7. element jedynkowy jest elementem neutralnym mnożenia

8. istnienie elementu odwrotnego w mnożeniu

(dla wszystkich elementów poza elementem zerowym!)

9. rozdzielność mnożenia względem dodawania

(13)

Ciało - przykłady

R ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia {a + b√

2 : a, b ∈ Q} ze zwykłymi działaniami dodawania i mnożenia

Zp z działaniami ⊕, –Uwaga: p jest liczbą pierwszą

(14)

Ciało - przykłady

Przykład: w Z7 z działaniami ⊕, znajdź element odwrotny3 w dodawaniu element odwrotny5 w mnożeniu

⊕ 0 1 2 3 4 5 6

0 0 1 2 3 4 5 6

1 1 2 3 4 5 6 0

2 2 3 4 5 6 0 1

3 3 4 5 6 0 1 2

4 4 5 6 0 1 2 3

5 5 6 0 1 2 3 4

6 6 0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6

2 0 2 4 6 1 3 5

3 0 3 6 2 5 1 4

4 0 4 1 5 2 6 3

5 0 5 3 1 6 4 2

6 0 6 5 4 3 2 1

(15)

Liczby zespolone C

Działania dodawania i mnożenia:

(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d ) element neutralny dodawania (0, 0)

(a, b) · (c, d ) = (ac − bd , ad + bc) element neutralny mnożenia (1, 0)

Zbiór C z powyższymi działaniami jest ciałem!

(16)

Definicje i oznaczenia

Dla liczby zespolonej z = (a, b) = a + bi :

i = (0, 1) (Uwaga: i² = −1)

Re(z) = a – część rzeczywista z Im(z) = b – część urojona z

|z| =√

a²+ b² – moduł z

¯

z = (a − bi ) – liczba sprzężona do z

(17)

Interpretacja geometryczna

(18)

Postać trygonometryczna

z = |z|(cos θ + i sin θ)

θ nazywamy argumentem z a jeśli z = 0?

Uwaga: mnożenie liczb zespolonych a zachowanie argumentu:

z₁· z₂ = |z₁| · |z₂|

cos(θ₁+ θ₂) + i sin(θ₁+ θ₂)

(19)

Mnożenie liczb zespolonych - przykład

1 3 x

3

1 y

1 + ä 3

3 + ä

Π 3

Π 6

(20)

Mnożenie liczb zespolonych - przykład

1 3 x

3

1 y

1 + ä 3

3 + ä

Π 3

Π 6 Èz1È=2

Èz2È=2

(21)

Mnożenie liczb zespolonych - przykład

1 3 x

3

1 4 y

1 + ä 3

3 + ä 4 ä

Π 3

Π 6

(22)

Potęga stopnia n

Wzór de Moivre’a:

|z|(cos θ + i sin θ)

n

= |z|ⁿ

cos(nθ) + i sin(nθ)

(23)

Pierwiastek stopnia n

Dla z 6= 0 pierwiastkami są:

qn

|z| cosθ + 2πk

n + i sinθ + 2πk n

!

gdzie k = 0, 1, . . . , n−1

(24)

Pierwiastki stopnia n z 1

(25)

Zasadnicze Twierdzenie Algebry

Każdy wielomian stopnia > 0, o współczynnikach z C daje się rozłożyć nad C na czynniki stopnia 1.

(26)

Przykład

Nad R:

x⁴− 6x³+ 9x²− 24x + 20 =x²+ 4(x − 1)(x − 5) Nad C:

x⁴− 6x³+ 9x²− 24x + 20 =(x − 2i )(x + 2i )(x − 1)(x − 5)