Leerstofanalyse

LEERSTOFANALYSE '

W. JOCHEMS

LEERSTOFANALYSE

BIBLIOTHEEK TU Delft P 1627 4063

LEERSTOFANALYSE

PROEFSCHRIFT ter verkrijging van

de graad van doctor in de

technische wetenschappen

aan de Technische Hogeschool Delft,

op gezag van de rector magnificus,

voor een commissie aangewezen

door het college van dekanen

te verdedigen op

woensdag 24 september 1 980

te 16.00 uur door

WILHELMUS MARIA GERARDUS JOCHEMS

doctorandus in de psychologie

geboren te Heythuysen

PROF.DR. J. VASTENHOUW

PROF.DR. W A T . MEUWESE

copyright © 1980 by Wim Jochems

omslagontwerp: Wim Zaat

No part of this work may be reproduced or used in any form or by any means

-graphic, electronic, or mechanical, including photocopying, recording, taping,

or information storage and retrieval systems - without written permission of the

publisher.

In deze s t u d i e wordt v e r s l a g gedaan v a n een r e e k s v a n o n d e r z o e k i n g e n d i e i k van 1975 t o t 1980 heb u i t g e v o e r d . Een d e e l e r v a n b e t r e f t e m p i r i s c h o n d e r z o e k d a t i n nauwe samenwerking met l e r a r e n u i t h e t v o o r t g e z e t

o n d e r w i j s i s v e r r i c h t i n de g e b r u i k e l i j k e k l a s s e s i t u a t i e . D a a r n a a s t worden de r e s u l t a t e n v a n een l i t e r a t u u r o n d e r z o e k n a a r i n z i c h t e n o m t r e n t l e e r s t o f a n a l y s e b e s c h r e v e n .

B i j h e t u i t v o e r e n van h e t o n d e r z o e k hebben twee d i n g e n me b i j z o n d e r g e t r o f f e n . O p m e r k e l i j k was de g r o t e i n t e r e s s e v a n de b i j h e t o n d e r z o e k b e t r o k k e n l e r a r e n v o o r nieuwe i n z i c h t e n o m t r e n t l e r e n en o n d e r w i j z e n , e v e n a l s hun b e r e i d h e i d z i c h deze e i g e n t e maken en e r n a a r t e h a n d e l e n . T e l e u r s t e l l e n d was h e t d a a r e n t e g e n t e bemerken, d a t i n z i c h t e n d i e i n e e r s t e i n s t a n t i e v e e l b e l o v e n d l e k e n , b i j nadere b e s t u d e r i n g vaak v a n b i j z o n d e r w e i n i g b e l a n g b l e k e n v o o r de p r a k t i j k v a n h e t o n d e r w i j s . Wat d a t l a a t s t e b e t r e f t , d e r g e l i j k e b e v i n d i n g e n z i j n w e l i s w a a r w e i n i g bemoedigend, maar daarom nog n i e t w e i n i g r e l e v a n t .

Deze s t u d i e i s t o t s t a n d gekomen dank z i j de medewerking v a n v e l e n . B i j z o n d e r v e e l dank ben i k v e r s c h u l d i g d aan p r o f . d r . J . Vastenhouw d i e i n a l l e f a s e n v a n h e t o n d e r z o e k essentiële b i j d r a g e n aan deze s t u d i e h e e f t g e l e v e r d . V e e l dank ook aan mevrouw H. de l a Mar-Hekket d i e h e t t y p e w e r k h e e f t v e r z o r g d . Een b e l a n g r i j k e b i j d r a g e l e v e r d e n eveneens de w i s k u n d e l e r a r e n en hun l e e r l i n g e n v a n de scholengemeenschap Hugo G r o t i u s t e D e l f t d i e b i j h e t o n d e r z o e k o v e r h e t m a c h t s v e r h e f f e n b e t r o k k e n waren, en de s c h e i k u n d e l e r a r e n en hun l e e r l i n g e n v a n h e t S i n t S t a n i s l a s k o l l e g e t e D e l f t d i e h e t o n d e r z o e k o v e r de i o n e n t h e o r i e m o g e l i j k hebben gemaakt. S p e c i a l e v e r m e l d i n g v e r d i e n e n t e n s l o t t e

p r o f . d r . W.A.T. Meuwese, p r o f . d r . J.A.M. C a r p a y , p r o f . S . J . Doorman M.Sc. en d r . i r . G.S.A. van W e l i e d i e h e t m a n u s k r i p t v a n hun k r i t i e k hebben v o o r z i e n .

1 INLEIDING 1 1 Waarover g a a t deze s t u d i e ? 2 1 2 Wat i s de i n d e l i n g ? 5 DEEL 1: E m p i r i s c h o n d e r z o e k , i n t e r p r e t a t i e en p r o b l e e m s t e l l i n g e n 7 2 MACHTSVERHEFFEN I N DE BRUGKLAS 2 1 I n l e i d i n g 12 2 2 U i t g a n g spunten 13 2 3 Het o p s p o r e n en weergeven v a n de o p e r a t o r e n 15 2 4 De o n t w i k k e l i n g van h e t l e e r m a t e r i a a l 17 2.4.1 Oriëntatie 17 2.4.2 I n o e f e n e n 18 2.4.2.1 H e t herkennen v a n vormen 18 2.4.2.2 Het u i t v o e r e n v a n o p e r a t o r e n 19 2.4.2.3 Gemengde opgaven 20 2 5 E v a l u a t i e 20 3 DE IONENTHEORIE IN 3 VWO 3 1 I n l e i d i n g 24 3 2 U i t g a n g s p u n t e n 25

3 3 Het o p s p o r e n en weergeven van de l e e r s t o f i n h o u d 26

3.3.1 De e e r s t e p o g i n g 26

3.3.2 Het a a n v u l l e n van de o n t b r e k e n d e i n f o r m a t i e 27

3.3.3 Het b e s c h r i j v e n v a n onderwerpen 28

3.3.4 Het o r d e n e n van onderwerpen 30

3 4 De o n t w i k k e l i n g v a n h e t l e e r m a t e r i a a l 32

3 5 E v a l u a t i e 34

4 EEN INTERPRETATIE VAN HET ONDERZOEK

4 1 I n l e i d i n g 38

4 2 Het k a r a k t e r i s e r e n van h e t g e d r a g b i j h e t o p l o s s e n v a n problemen 39

4 3 Het b e s c h r i j v e n van k e n n i s 43

5 PROBLEEMSTELLINGEN 5. 1 I n l e i d i n g 50 5.2 Een meer g e b r u i k e l i j k e w e r k w i j z e 51 5.3 V r a g e n t e n a a n z i e n van de g e v o l g d e w e r k w i j z e 53 5.3.1 Het k a r a k t e r i s e r e n v a n h e t g e d r a g b i j h e t o p l o s s e n v a n p r o b l e m e n 53 5.3.2 Het b e s c h r i j v e n van k e n n i s 54 5.3.3 H e t s t u r e n v a n h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s 55 5.4 B i j d r a g e n v a n d e s k u n d i g e n 56 5.4.1 Welke d e s k u n d i g e n komen aan h e t woord? 56

5.4.2 Op w e l k e w i j z e komen z i j aan h e t woord? 57

DEEL 2: Onderzoek n a a r b i j d r a g e n v a n d e s k u n d i g e n 59 6 NEDERLANDSE DIDAKTICI 6.1 I n l e i d i n g 62 6.2 E n k e l e b e v i n d i n g e n 63 6.3 T o e l i c h t i n g 64 7 PIAGET 7.1 I n l e i d i n g 70 7.2 K a r a k t e r i s e r i n g van h e t p r o b l e e m o p l o s s e n 70 7.3 Het b e s c h r i j v e n van k e n n i s 73 7.4 Het s t u r e n v a n h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s 74 7.5 E v a l u a t i e 7 5 8 GAL'PERIN 8.1 I n l e i d i n g 78 8.2 K a r a k t e r i s e r i n g v a n h e t p r o b l e e m o p l o s s e n 79 8.3 Het b e s c h r i j v e n van k e n n i s 80 8.4 Het s t u r e n v a n h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s 81 8.5 E v a l u a t i e 85 9 LANDA 9.1 I n l e i d i n g 90 9.2 K a r a k t e r i s e r i n g v a n h e t p r o b l e e m o p l o s s e n 91 9.3 Het b e s c h r i j v e n van k e n n i s 97 9.4 H e t s t u r e n v a n h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s 98 9.5 E v a l u a t i e 99

10 2 K a r a k t e r i s e r i n g van h e t p r o b l e e m o p l o s s e n 103 10 3 Het b e s c h r i j v e n v a n k e n n i s 108 10 4 Het s t u r e n v a n h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s 110 10 5 E v a l u a t i e 110 11 SCANDURA 11 1 I n l e i d i n g 114 11 2 K a r a k t e r i s e r i n g v a n h e t p r o b l e e m o p l o s s e n 115 11 3 Het b e s c h r i j v e n v a n k e n n i s 121 11 4 Het s t u r e n v a n h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s 123 11 5 E v a l u a t i e 124 12 PASK 12 1 I n l e i d i n g 130 12 2 K a r a k t e r i s e r i n g v a n h e t p r o b l e e m o p l o s s e n 131 12 3 Het b e s c h r i j v e n van k e n n i s 138 12 4 Het s t u r e n van h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s 145 12 5 E v a l u a t i e 149

13 EEN KORTE SAMENVATTING VAN DEEL 2 155

DEEL 3: T e r u g n a a r de p r o b l e e m s t e l l i n g e n 159

14 HET KARAKTERISEREN VAN GEWENST GEDRAG

B I J HET OPLOSSEN VAN PROBLEMEN

14 1 I n l e i d i n g 162 14 2 De e e r s t e p r o b l e e m s t e l l i n g k o r t samengevat 163 14 3 Overwegingen v o o r a f 163 14 4 Een k o r t o v e r z i c h t van de b e v i n d i n g e n u i t d e e l 2 165 14 5 Een i l l u s t r a t i e 166 14 6 R e g e l s en p r o c e d u r e s 171 14 7 K o n k l u s i e s 176 14 8 I m p l i k a t i e s v o o r h e t b e s c h r i j v e n v a n k e n n i s 177

15 LEERSTOFANALYSE 15.1 I n l e i d i n g 182 15.2 De k e n n i s b e s c h r i j v i n g : a a n z e t t e n v o o r een d i s k u s s i e 183 15.2.1 R e g e l s en p r o c e d u r e s 184 15.2.2 B e s c h r i j v i n g s w i j ze 186 15.2.3 Analysemethode 190 15.3 B i j d r a g e n van de d e s k u n d i g e n 192 15.3.1 Een e e r s t e o v e r z i c h t 192 15.3.2 De k e n n i s b e s c h r i j v i n g van Pask nader bekeken 193

15.4 K o n k l u s i e s en i m p l i k a t i e s 198

16 LEERSTOFPRESENTATIE

16.1 I n l e i d i n g 204 16.2 Wat d i e n t h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s op t e l e v e r e n ? 205

16.3 De b e h a n d e l i n g van een onderwerp 208

16.3.1 Het i n f o r m e r e n 212 16.3.2 Het i n o e f e n e n 214 16.3.3 Een v o o r b e e l d b i j onderwerp 215 16.4 De v o l g o r d e v a n b e h a n d e l i n g 217 16.5 K o n k l u s i e s 219 17 SAMENVATTING 223 SUMMARY 233 LITERATUUR 243 PERSONENREGISTER 257 CURRICULUM VITAE 259

1.1 Waarover gaat deze studie? 2

1.1 W a a r o v e r g a a t d e z e s t u d i e ?

Een d o c e n t b e v i n d t z i c h vaak i n de p o s i t i e , d a t h i j n i e t a l l e e n a l s u i t v o e r d e r van o n d e r w i j s d i e n t op t e t r e d e n , maar ook a l s o n t w e r p e r van o n d e r w i j s . A l s o n t w e r p e r s t e l t h i j v a s t w e l k e l e e r s t o f o n d e r w e r p e n h i j de v o l g e n d e l e s o f l e s s e n z a l b e h a n d e l e n , wat de p r e c i e z e i n h o u d van d i e onderwerpen i s , i n w e l k e v o l g o r d e h i j ze aan de orde z a l s t e l -l e n , op we-lke w i j z e h i j ze z a -l p r e s e n t e r e n , w e -l k e v o o r b e e -l d e n , o e f e n i n g e n en v r a g e n h i j de l e e r l i n g e n z a l v o o r l e g g e n , e n z o v o o r t s . Zo'n ontwerp v o o r o n d e r w i j s , ook w e l een l e s ( s e n ) p l a n , een o n d e r w i j s l e e r p l a n o f een c u r r i c u l u m d e s i g n genoemd, kan u i t e r s t g e d e t a i l l e e r d b e s c h r e v e n z i j n , maar n o o d z a k e l i j k i s d a t n i e t . Een b e g i n n e n d d o c e n t l e g t h e t w e l l i c h t op p a p i e r v a s t ; iemand met v e e l e r v a r i n g h e e f t h e t " i n z i j n h o o f d " . De k w a l i t e i t van h e t g e b r u i k t e l e e r b o e k s p e e l t eveneens een r o l .

A l s u i t v o e r d e r i s h i j degene, d i e i n de k l a s de v o o r t g a n g van h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s en de gang van zaken s t u u r t en k o n t r o l e e r t . H i j v e r s c h a f t n i e t a l l e e n v a k i n h o u d e l i j k e i n f o r m a t i e maar t r e e d t ook r e g e l e n d op t e n a a n z i e n van h e t g e d r a g van de l e e r l i n g e n , z o w e l h e t l e e r g e d r a g a l s h e t s o c i a l e g e d r a g . I s h e t o n t w e r p goed d o o r d a c h t , dan z a l h i j n a a r v e r w a c h t i n g b i j de u i t v o e r i n g n i e t zo gauw op p r o b l e m e n s t u i t e n . A l s d a t t o c h g e b e u r t , z a l h i j a 1 ' i m p r o v i s t e een o p l o s s i n g moeten zoeken.

Deze s t u d i e g a a t i n op de v r a a g hoe h e t ontwerpen van o n d e r w i j s zou kunnen v e r l o p e n . De a a n l e i d i n g d a a r t o e i s t w e e l e d i g . E n e r z i j d s heb i k a l s b e t r o k k e n e b i j de o p l e i d i n g van a a n s t a a n d e l e r a r e n gemerkt d a t w i j a l s o n d e r w i j s k u n d i g e n geen goed a n t w o o r d kunnen geven op d i e v r a a g . E r i s nog geen systeem van " o n t w e r p r e g e l s " g e f o r m u l e e r d d a t , m i t s s t i p t g e v o l g d , een o n t w e r p van goede k w a l i t e i t g a r a n d e e r t . Meer dan wat vage a a n w i j z i n g e n kunnen op d i t o g e n b l i k n i e t gegeven worden. Ter i l l u s t r a t i e

*

een e n k e l v o o r b e e l d . Het i s o n t l e e n d aan h e t " S c i e n c e T e a c h e r E d u c a t i o n a l P r o j e c t " (STEP), een E n g e l s e p o g i n g t o t v e r b e t e r i n g

I n h o o f d s t u k 6 z a l b l i j k e n d a t d i t v o o r b e e l d e k s e m p l a r i s c h i s v o o r h e t n i v e a u van de p u b l i k a t i e s w a a r i n h e t d i d a k t i s c h h a n d e l e n van de l e r a a r aan de o r d e wordt g e s t e l d .

b e h a n d e l d worden. A l s s t r a t e g i e v o o r h e t ontwerpen v a n l e s s e n w o r d t h e t v o l g e n d e gegeven (Haysom & S u t t o n , 1974: CD3; v r i j v e r t a a l d ) .

"1 Bekijk het leerplan

Wat s t a a t e r i n h e t l e e r p l a n ? Het s c h r i j f t de f e i t e n v o o r d i e de l e e r l i n g d i e n t t e kennen, en v o o r v e e l l e r a r e n i n h e t v o o r t g e z e t o n d e r w i j s v o r m t h e t h e t f e i t e l i j k e s t a r t p u n t .

2 Bedenk mogelijke aktiviteiten

N o t e e r z o v e e l m o g e l i j k a k t i v i t e i t e n ( l e e r e r v a r i n g e n ) a l s j e k u n t , d i e v e r b a n d houden met h e t l e e r p l a n ! Kreëer nieuwe a k t i v i t e i t e n ( h i e r v o o r i s f a n t a s i e n o d i g ! ) . V e e l van de ideeën i n d i t s t a d i u m kunnen h e l p e n , e n k e l e e r v a n z u l l e n l a t e r verworpen worden.

3 Selekteer aktiviteiten

a. M o t i v a t i e

Z a l de a k t i v i t e i t de l e e r l i n g e n b e z i g houden? V o o r hoe l a n g ? S t e l v o o r e l k e a k t i v i t e i t de t i j d s d u u r v a s t gedurende welke z i j hun a a n d a c h t k a n v a s t h o u d e n .

b. D o e l s t e l l i n g e n

Welke andere d o e l s t e l l i n g e n kunnen met de a k t i v i t e i t e n b e r e i k t worden a f g e z i e n v a n h e t z i c h h e r i n n e r e n v a n f e i t e n ?

4 Breng een volgorde aan van aktiviteiten

Kun j e , waar n o d i g , a f w i s s e l i n g i n de a k t i v i t e i t e n aanbrengen? H o e v e e l t i j d v r a g e n ze e l k ? Welke mate v a n p l o o i b a a r h e i d l a t e n ze j e ?

5 Maak een plan voor terugkoppeling (feedback)

Hoe z u l j e t e weten kunnen komen o f j e o n d e r w i j s d o e l m a t i g i s geweest? Waar kan t e r u g k o p p e l i n g v e r k r e g e n worden? I s d a a r v o o r nog een a n d e r e a k t i v i t e i t v e r e i s t ? P r o e f w e r k ? H u i s w e r k ?

6 Kontroleer de doelstellingen

h e b t ? Hoe kun j e , met deze d o e l s t e l l i n g e n i n g e d a c h t e n , de a k t i v i t e i t e n v e r b e t e r e n ?

7 Kontroleer de motivatie

Kun j e een r e d e n bedenken waarom de l e e r l i n g e n i n t e r e s s e v o o r deze l e s zouden kunnen hebben? Met w e l k e woorden z u l j e de l e s i n l e i d e n ? Op w e l k e w i j z e z u l j e hun i n t e r e s s e opwekken en handhaven?

8 Overweeg vooraf veiligheidsrisiko's en organisatorische problemen

H e e f t j e p l a n b i j z o n d e r e g e v o l g e n v o o r e l k d e r b e i d e p u n t e n ? "

T o t z o v e r h e t STEP, d a t o v e r i g e n s een g r o t e h o e v e e l h e i d aan r e l e v a n t e i n f o r m a t i e b e v a t . I k heb met o p z e t de v o l l e d i g e s t r a t e g i e weergegeven, omdat z i j i n a l h a a r o n d e r d e l e n v a a g h e i d d e m o n s t r e e r t . Voor e l k van de a c h t p u n t e n i s v o l s t r e k t o n d u i d e l i j k wat e r p r e c i e s gedaan moet worden. De s t r a t e g i e b e v a t s l e c h t s g l o b a l e a a n w i j z i n g e n . Ze g e e f t geen n a u w k e u r i g g e f o r m u l e e r d e h a n d e l i n g s v o o r s c h r i f t e n en r i c h t l i j n e n , noch de b i j b e h o r e n d e normen en k r i t e r i a d i e s p e c i f i k a t i e s geven van de v o o r w a a r d e n waaronder en de mate w a a r i n een en ander d i e n t t e gebeuren. I n de t e r m i n o l o g i e van B r u n e r : z o w e l h e t v o o r s c h r i j v e n d e a l s h e t n o r m a t i e v e a s p e k t o n t b r e k e n ( B r u n e r , 1971: 37-38). Van een t h e o r i e v o o r h e t ontwerpen van o n d e r w i j s kan dan ook b e s l i s t n i e t g e s p r o k e n worden. S t e r k e r nog, a l d u s H i r s t , e r h e e r s t op d i t g e b i e d "een c h a o s , d i e gedomineerd wordt door d o c t r i n e s " ( H i r s t , 1975: 9 ) .

H i e r t e g e n o v e r s t a a n e r v a r i n g e n , d i e i k heb opgedaan b i j e m p i r i s c h onderzoek n a a r h e t o n t w i k k e l e n van o n d e r w i j s i n samenwerking met l e r a r e n i n h e t v o o r t g e z e t o n d e r w i j s . Het i s d a a r b i j m o g e l i j k g e b l e k e n om op min o f meer s y s t e m a t i s c h e w i j z e o n d e r w i j s t e ontwerpen v o o r r e e k s e n van op e l k a a r a a n s l u i t e n d e l e s s e n aan de hand van a n a l y s e s van de b e t r e f f e n d e l e e r s t o f g e b i e d e n . Door m i d d e l van een l e e r s t o f a n a l y s e werd een n a u w k e u r i g e , geordende en samenhangende b e s c h r i j v i n g gegeven van a l l e door de b e t r o k k e n l e r a r e n n o o d z a k e l i j k g e a c h t e o n d e r d e l e n van een b e p a a l d l e e r s t o f g e b i e d . Aan de hand e r v a n i s v e r v o l g e n s l e e r m a t e r i a a l s a m e n g e s t e l d , d a t i n de k l a s werd b e p r o e f d . M i j n i n d r u k i s , d a t t e n m i n s t e v o o r een d e e l van h e t ontwerpen een d e u g d e l i j k systeem van " o n t w e r p r e g e l s " g e f o r m u l e e r d kan worden.

Deze s t u d i e h e e f t t o t d o e l e e n aanzet t e geven t o t de f o r m u l e r i n g v a n z o1n systeem, g e b a s e e r d op h e t a n a l y s e r e n v a n l e e r s t o f . De l e z e r d i e n t

z i c h t e r e a l i s e r e n , d a t h i j nog geen u i t g e w e r k t s y s t e e m z a l v i n d e n , d a t hem e e n antwoord g e e f t op de v r a a g : "hoe moet i k m i j n l e s s e n v o o r morgen p r e p a r e n " . L a t e r z a l de v r a a g b e s p r o k e n worden i n h o e v e r r e l e r a r e n b e h a l v e a l s u i t v o e r d e r s ook a l s o n t w e r p e r s v a n o n d e r w i j s kunnen o p t r e d e n

( z i e ook C a r p a y , 1975: 43 en 4 4 ) .

Wat deze s t u d i e p r e t e n d e e r t i s een op r a t i o n e l e o v e r w e g i n g e n g e b a s e e r d e a c h t e r g r o n d t e geven v o o r h e t ontwerpen v a n o n d e r w i j s . De k e r n e r v a n i s de l e e r s t o f a n a l y s e : h e t p r e c i s e r e n en ordenen van de i n h o u d v a n een o f ander l e e r s t o f g e b i e d . De n o o d z a k e l i j k e o n d e r s t e u n i n g e r v o o r z a l n i e t a l l e e n o n t l e e n d worden aan h e t e m p i r i s c h o n d e r z o e k d a t i k i n h e t v o o r t g e z e t o n d e r w i j s heb u i t g e v o e r d , maar j u i s t en v o o r a l ook aan de i n z i c h t e n en b e v i n d i n g e n van bekende d e s k u n d i g e n . Tevens w o r d t g e t r a c h t e n k e l e v a n de d o c t r i n e s t e d o o r b r e k e n , d i e m i j n s i n z i e n s e e n h e l d e r e k i j k op d i t t e r r e i n v e r t r o e b e l e n .

T o t s l o t moeten de v o l g e n d e twee b e p e r k i n g e n worden a a n g e b r a c h t . • Omdat de l e e r s t o f a n a l y s e c e n t r a a l s t a a t z u l l e n b e p a a l d e a s p e k t e n v a n

het o n d e r w i j s b u i t e n beschouwing b l i j v e n , waaronder b i j v o o r b e e l d s o c i a a l p s y c h o l o g i s c h e en p e d a g o g i s c h e . Het i m p l i c e e r t e c h t e r a l l e r -m i n s t , d a t i k deze a s p e k t e n v o o r h e t ontwerpen en u i t v o e r e n v a n o n d e r w i j s v a n o n d e r g e s c h i k t b e l a n g a c h t .

• B o v e n d i e n z a l i k me b e p e r k e n t o t l e e r s t o f g e b i e d e n d i e g e r e k e n d worden t o t de vakken w i s k u n d e , n a t u u r k u n d e , s c h e i k u n d e en b i o l o g i e i n h e t VWO, HAVO en MAVO • D i t h a n g t h o o f d z a k e l i j k samen met de a a r d v a n deze l e e r s t o f . De v i e r worden v e r d e r a a n g e d u i d a l s bèta-vakken. H e t s l u i t o v e r i g e n s n i e t u i t , d a t de r e s u l t a t e n v a n deze s t u d i e ook v o o r andere v a k k e n zouden kunnen g e l d e n .

1.2 Wat i s de i n d e l i n g ?

Deze s t u d i e b e s t a a t u i t d r i e d e l e n . Het e e r s t e , d a t de h o o f d s t u k k e n 2

Om een i n d r u k v a n de omvang t e geven h e t v o l g e n d e . De c i r c a 10.000 l e r a r e n w i s k u n d e , n a t u u r k u n d e , s c h e i k u n d e en b i o l o g i e i n VWO, HAVO en MAVO v e r z o r g e n tezamen j a a r l i j k s zo'n 6 a 7 m i l j o e n l e s u r e n

t o t en met 5 omvat, s t e l t h e t z o j u i s t genoemde e m p i r i s c h e o n d e r z o e k aan de o r d e , d a t i k i n h e t v o o r t g e z e t o n d e r w i j s heb u i t g e v o e r d . I n h o o f d s t u k 2 w o r d t b e s c h r e v e n hoe v o o r h e t m a c h t s v e r h e f f e n , een onderwerp u i t de wiskunde v o o r de b r u g k l a s , l e e r m a t e r i a a l i s s a m e n g e s t e l d i n de vorm van een v e r z a m e l i n g opgaven. V e r v o l g e n s wordt i n h e t derde h o o f d s t u k weergegeven hoe v o o r de i o n e n t h e o r i e , een onderwerp u i t de s c h e i k u n d e v o o r de derde k l a s van h e t VWO, een l e e r l i n g e n t e k s t met b i j b e h o r e n d e opgaven i s o p g e s t e l d . De w e r k w i j z e d i e b i j de twee o n d e r z o e k i n g e n i s g e v o l g d , komt i n h o o f d s t u k 4 nader t e r s p r a k e . E r worden d r i e f a s e n o n d e r s c h e i d e n : h e t k a r a k t e r i s e r e n van h e t van l e e r l i n g e n gewenste g e d r a g b i j h e t o p l o s s e n van p r o b l e m e n , h e t b e s c h r i j v e n van de d a a r v o o r b e n o d i g d e k e n n i s en h e t s t u r e n van h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s . Ze roepen a l l e d r i e v e e l v r a g e n op, d i e i n h e t v i j f d e h o o f d s t u k g e f o r m u l e e r d worden.

In h e t tweede d e e l v a n de s t u d i e wordt g e t r a c h t een antwoord op de v r a g e n t e v e r k r i j g e n door o n d e r z o e k van g e s c h r i f t e n van een a a n t a l d e s k u n d i g e n . In h o o f d s t u k 6 z u l l e n p u b l i k a t i e s van N e d e r l a n d s e ( v a k - ) d i d a k t i c i bekeken worden. De h o o f d s t u k k e n 7 t o t en met 12 z i j n g e w i j d aan b u i t e n l a n d s e des-k u n d i g e n . A c h t e r e e n v o l g e n s z u l l e n de b i j d r a g e n van P i a g e t , G a l ' p e r i n , . Landa, N e w e l l en Simon, S c a n d u r a en t e n s l o t t e van Pask aan de o r d e g e s t e l d worden. I k b e p e r k me d a a r b i j u i t e r a a r d t o t hun o p v a t t i n g e n en b e v i n d i n g e n v o o r z o v e r i k ze r e l e v a n t a c h t v o o r de d r i e f a s e n , d i e i n d e e l 1 b e s c h r e v e n z i j n . Een k o r t e s a m e n v a t t i n g van d e e l 2 i s i n h o o f d s t u k 13 t e v i n d e n . In d e e l 3 w o r d t nagegaan, welk l i c h t de b e v i n d i n g e n op de d r i e o n d e r -s c h e i d e n f a -s e n werpen. H o o f d -s t u k 14 b e t r e f t h e t k a r a k t e r i -s e r e n van h e t gewenste g e d r a g b i j h e t o p l o s s e n van p r o b l e m e n . H o o f d s t u k 15 g a a t i n op h e t a n a l y s e r e n van l e e r s t o f en i n h o o f d s t u k 16 komt de p r e s e n t a t i e van de l e e r s t o f aan de o r d e . Het g e h e e l w o r d t t e n s l o t t e i n h o o f d s t u k 17 a f g e s l o t e n met een s a m e n v a t t i n g . De l e z e r , d i e v o o r a l s n o g w e i n i g geïnteresseerd i s i n de o p i n i e s van de g e r a a d p l e e g d e d e s k u n d i g e n , wordt aangeraden d e e l 2 v o l l e d i g o v e r t e s l a a n o f z i c h t e b e p e r k e n t o t h o o f d s t u k 13. Na l e z i n g van d e e l 3 kan h i j a l s n o g b e z i e n w e l k e h o o f d s t u k k e n u i t d e e l 2 v o o r hem o f h a a r w e l l i c h t i n t e r e s s a n t z i j n .

DEEL 1: E m p i r i s c h o n d e r z o e k , i n t e r p r e t a t i e en p r o b l e e m s t e l l i n g e n

I n h e t e e r s t e d e e l w o r d t h e t e m p i r i s c h o n d e r z o e k , d a t i k i n nauwe samenwerking met l e r a r e n i n h e t v o o r t g e z e t o n d e r w i j s heb u i t g e v o e r d , a l s u i t g a n g s p u n t v o o r deze s t u d i e genomen. E e r s t z a l i n de h o o f d s t u k k e n 2 en 3 b e s c h r e v e n worden hoe twee o n d e r z o e k i n g e n werden u i t g e v o e r d . V e r -v o l g e n s komen i n de h o o f d s t u k k e n 4 en 5 een a a n t a l k a n t t e k e n i n g e n aan de o r d e , d i e gemaakt kunnen worden b i j de g e v o l g d e w e r k w i j z e en b i j de aan d i e w e r k w i j z e t e n g r o n d s l a g l i g g e n d e v e r o n d e r s t e l l i n g e n .

Het e e r s t e onderzoek b e t r e f t h e t m a c h t s v e r h e f f e n , een onderwerp u i t de wiskunde v o o r de b r u g k l a s . Het tweede g a a t o v e r de i o n e n t h e o r i e , d i e i n h e t s c h e i k u n d e - o n d e r w i j s v o o r de derde k l a s v a n h e t VWO b e h a n d e l d w o r d t . I n nauw o v e r l e g en samenwerking met e n k e l e e r v a r e n w i s k u n d e en s c h e i k u n d e -d o c e n t e n i s v o o r b e i -d e on-derwerpen nieuw l e e r m a t e r i a a l s a m e n g e s t e l -d , -d a t v e r v o l g e n s d o o r deze l e r a r e n i n hun k l a s s e n i s b e p r o e f d .

De b e s c h r i j v i n g van de b e i d e o n d e r z o e k i n g e n i n de h o o f d s t u k k e n 2 en 3 v o l g t e e n z e l f d e p a t r o o n . E e r s t wordt i n een i n l e i d i n g beargumenteerd, waarom h e t onderwerp gekozen i s . V e r v o l g e n s wordt de g e v o l g d e w e r k w i j z e b i j h e t s a m e n s t e l l e n v a n h e t l e e r m a t e r i a a l weergegeven. Ze b e s t a a t u i t d r i e f a s e n , d i e i n d r i e opeenvolgende p a r a g r a f e n b e s c h r e v e n worden. De e e r s t e f a s e h e e f t b e t r e k k i n g op de g e h a n t e e r d e u i t g a n g s p u n t e n . H i e r i n wordt i n g e g a a n op de v r a a g hoe de l e e r l i n g e n w i s k u n d e - ( c . q . s c h e i k u n d e - ) k e n n i s d i e n e n t e h a n t e r e n b i j h e t o p l o s s e n van problemen. V e r v o l g e n s w o r d t a l s tweede f a s e h e t a n a l y s e r e n v a n de l e e r s t o f b e s c h r e v e n . De a n a l y s e l e i d t t o t een n a u w k e u r i g e a f b a k e n i n g van de beoogde l e e r s t o f . De derde f a s e t e n s l o t t e b e t r e f t de o n t w i k k e l i n g van h e t l e e r m a t e r i a a l , u i t g a a n d e v a n de r e s u l t a t e n v a n de l e e r s t o f a n a l y s e , w a a r b i j mede g e b r u i k gemaakt wordt van b e p a a l d e l e e r p r i n c i p e s . B e i d e h o o f d s t u k k e n worden a f g e s l o t e n met een k o r t e b e s p r e k i n g v a n e n k e l e b e v i n d i n g e n , d i e met h e t l e e r m a t e r i a a l i n de k l a s z i j n v e r k r e g e n .

In h e t v i e r d e h o o f d s t u k worden de d r i e f a s e n v a n de w e r k w i j z e nader bekeken, w a a r b i j v o o r b i j gegaan wordt aan de i n h o u d e l i j k e v e r s c h i l l e n

t u s s e n de l e e r s t o f g e b i e d e n . De f a s e n b l i j k e n t e b e r u s t e n op e n k e l e v e r o n d e r s t e l l i n g e n d i e nauw met e l k a a r samenhangen. Wat h e t k a r a k t e r i -s e r e n van h e t gewen-ste g e d r a g b i j h e t o p l o -s -s e n van p r o b l e m e n b e t r e f t

(de e e r s t e f a s e ) , wordt aangenomen d a t d i t b e s c h r e v e n kan worden i n termen van h a n d e l i n g s s t r u k t u r e n , opgebouwd u i t d e e l h a n d e l i n g e n . Tevens ga i k e r v a n u i t , d a t p e r d e e l h a n d e l i n g een " l e e r i n h o u d " v a s t g e l e g d kan worden. Een weergave van een l e e r i n h o u d noem i k een o p e r a t o r .

Aan de tweede f a s e , h e t b e s c h r i j v e n van k e n n i s , l i g g e n d r i e v e r o n d e r -s t e l l i n g e n t e n g r o n d -s l a g . Ten e e r -s t e : een l e e r -s t o f g e b i e d kan v a -s t g e l e g d worden met b e h u l p van een v e r z a m e l i n g o p e r a t o r e n , d i e de vorm hebben van b e w e r i n g e n . Ten tweede: t u s s e n o p e r a t o r e n kunnen r e l a t i e s b e s c h r e v e n worden. Ten d e r d e : een v e r z a m e l i n g o p e r a t o r e n met hun o n d e r l i n g e r e l a t i e s kan o p g e v a t worden a l s een s t r u k t u u r , d i e op een geordende w i j z e i n de vorm van een n e t w e r k i s weer t e geven. I n d i t n e t w e r k r e p r e s e n t e r e n de knopen de o p e r a t o r e n en de v e r b i n d i n g e n t u s s e n de knopen de r e l a t i e s t u s s e n de o p e r a t o r e n .

De derde f a s e , d i e h e t s t u r e n van h e t o n d e r w i j s l e e r p r o c e s b e t r e f t , b e r u s t op de v e r o n d e r s t e l l i n g , d a t aan de hand van de n a u w k e u r i g b e s c h r e v e n l e e r s t o f op s y s t e m a t i s c h e w i j z e l e e r m a t e r i a a l s a m e n g e s t e l d kan worden d o o r g e b r u i k t e maken van l e e r p r i n c i p e s . N a t u u r l i j k z a l h i e r b i j met d i v e r s e o v e r w e g i n g e n van p r a k t i s c h e a a r d r e k e n i n g gehouden moeten worden.

Z o a l s i n de tweede p a r a g r a a f van h o o f d s t u k 5 z a l b l i j k e n , i s de g e v o l g d e w e r k w i j z e v o o r h e t o n t w i k k e l e n van l e e r m a t e r i a a l z e k e r n i e t de e n i g m o g e l i j k e . Omdat h e t n i e t de b e d o e l i n g van deze s t u d i e i s v e r s c h i l l e n d e methodes met e l k a a r t e v e r g e l i j k e n , b e p e r k i k me t o t h e t b e s p r e k e n van een e n k e l a l t e r n a t i e f , d a t men i n de l i t e r a t u u r vaak genoemd v i n d t .

I n p a r a g r a a f 3 van h e t v i j f d e h o o f d s t u k wordt v o o r e l k van de d r i e f a s e n een a a n t a l v r a g e n g e f o r m u l e e r d . Ze hebben n i e t a l l e e n b e t r e k k i n g op de gemaakte v e r o n d e r s t e l l i n g e n , maar ook op de p r a k t i s c h e u i t w e r -k i n g e r v a n i n de vorm van v o o r s c h r i f t e n en p r o c e d u r e s . I n h e t tweede d e e l van deze s t u d i e z a l g e t r a c h t worden een antwoord op de v r a g e n t e v e r k r i j g e n d o o r de b i j d r a g e n van bekende d e s k u n d i g e n t e o n d e r z o e k e n . Welke d e s k u n d i g e n d i t z i j n en op w e l k e w i j z e h e t o n d e r z o e k p l a a t s v i n d t ,

2.1 I n l e i d i n g 12 2.2 Uitgangspunten 13 2.3 Het opsporen en weergeven van de operatoren 15

2.4 De ontwikkeling van het l e e r m a t e r i a a l 17

2.4.1 Oriëntatie 17 2.4.2 Inoefenen 18

2.4.2.1 Het herkennen van vormen 18 2.4.2.2 Het u i t v o e r e n van operatoren 19

2.4.2.3 Gemengde opgaven 20

2.1 I n l e i d i n g

I n samenwerking met de w i s k u n d e d o c e n t e n v o o r de b r u g k l a s s e n v a n de scholengemeenschap Hugo G r o t i u s t e D e l f t i s i n h e t s c h o o l j a a r 1975-1976 h e t onderwerp m a c h t s v e r h e f f e n onder de l o e p genomen. E r waren twee redenen om j u i s t d i t o n d e r d e e l aan t e p a k k e n . Op de e e r s t e p l a a t s was e r de b e v i n d i n g v a n de l e r a r e n , d a t l e e r l i n g e n i n de hogere k l a s s e n t e l k e n s weer p r o b l e m e n met h e t m a c h t s v e r h e f f e n hadden. W e l i s w a a r gaven de p r o e f w e r k e n d i e o n m i d d e l l i j k na de b e h a n d e l i n g e r v a n i n de b r u g k l a s waren afgenomen, o v e r h e t algemeen t a m e l i j k b e v r e d i g e n d e r e s u l t a t e n t e z i e n , t o c h b l e e k h e t i n de hogere k l a s s e n s t e e d s weer n o d i g d i t onderwerp v r i j w e l h e l e m a a l opnieuw t e b e h a n d e l e n . K e n n e l i j k i s de m e e r d e r h e i d van de l e e r l i n g e n de r e g e l s van h e t m a c h t s v e r h e f f en na 2 a. 3 j a a r v e r g e t e n .

De tweede r e d e n om h e t aan t e pakken was g e l e g e n i n de n o g a l merkwaardige r e s u l t a t e n , d i e b i j een e e r d e r o n d e r z o e k n a a r h e t m a c h t s v e r h e f f e n waren v e r k r e g e n (Vastenhouw & Jochems, 1975). D a a r u i t moest g e k o n k l u d e e r d worden, d a t a l l e r l e i v o r m g e v i n g s a s p e k t e n een i n t e r f e r e r e n d e r o l hebben g e s p e e l d b i j h e t h a n t e r e n v a n de r e g e l s van h e t m a c h t s v e r h e f f e n . Z i e b i j v o o r b e e l d de gegevens i n f i g u u r 1.

nr. opgave percentage juiste antwoorden

1 (-3,3 = 59

2 ( - 3 e )3 = 72

3 52 .53

= 45

4 b6 = b3 = 82

5 De derde macht van 2a i s ? 32

6 A l s a = 2

- 3 , hoe g r o o t i s dan 2a ? 27

7 2

(-3) • (-3 )4 = 62

Figuur 1. Enkele opgaven uit een proefwerk, afgenomen na de gebruikelijke behandeling van het machtsverheffen in de brugklas, met daarbij vermeld het percentage leerlingen dat de betreffende opgave korrekt oploste (n=276).

minder l e e r l i n g e n k o r r e k t o p g e l o s t . V e r g e l i j k v e r d e r de p e r c e n t a g e s v o o r de opgaven 3, 4 en 7 en v o o r 1, 2 en 6. De r e g e l s van h e t machts-v e r h e f f e n d i e machts-voor h e t o p l o s s e n machts-van d e r g e l i j k e opgamachts-ven n o d i g z i j n , werden n i e t konsekwent t o e g e p a s t . Het o n d e r z o e k l e i d d e t o t de k o n k l u s i e , d a t de l e e r l i n g e n t e n d e l e i e t s a n d e r s g e l e e r d hebben dan de b e d o e l i n g was van h e t o n d e r w i j s.

Wat i s dan w e l de b e d o e l i n g ? Of met andere woorden: hoe d i e n e n l e e r l i n g e n opgaven met b e t r e k k i n g t o t h e t m a c h t s v e r h e f f e n op t e l o s s e n ? En aan-nemende d a t z o i e t s i s v a s t t e s t e l l e n , hoe z a l h e t dan onderwezen moeten worden? Naar a a n l e i d i n g van deze v r a g e n i s i n nauwe samenwerking met d e z e l f d e w i s k u n d e l e r a r e n h e t o n d e r w i j s o v e r h e t m a c h t s v e r h e f f e n v o l l e d i g h e r z i e n en v e r v o l g e n s i n de b r u g k l a s s e n b e p r o e f d . I n d i t h o o f d s t u k z a l i k i n h e t k o r t b e s c h r i j v e n hoe h e t h e r z i e n e o n d e r w i j s t o t s t a n d i s gekomen. Een b e s p r e k i n g van o p z e t en i n r i c h t i n g van h e t onderzoek i s t e v i n d e n i n een r a p p o r t (Jochems & Vastenhouw, 1976a) o f i n de v e r k o r t e v e r s i e e r v a n (Jochems & Vastenhouw, 1976b).

2.2 U i t g a n g s p u n t e n

Hoe d i e n t h e t o p l o s s e n van de b e d o e l d e opgaven t e v e r l o p e n ? I k z a l d i t aan de hand van een e e n v o u d i g v o o r b e e l d t o e l i c h t e n . I n h e t p r o e f w e r k komt de v o l g e n d e opgave v o o r .

2 5 3 H e r l e i d : (a ) -a .

Een j u i s t e b e a n t w o o r d i n g van d i t p r o b l e e m zou a l s v o l g t t o t s t a n d kunnen komen.

2 5 • Na beschouwing van de opgave wordt b e s l o t e n h e t o n d e r d e e l (a )

van de gegeven vorm t e v e r e e n v o u d i g e n .

• De v e r e e n v o u d i g i n g w o r d t u i t g e v o e r d v o l g e n s de v o o r deze vorm b e s t a a n d e r e g e l : ( a ^ ) ^ = a ^ en l e v e r t a1^ op.

• De opgave i s nu omgevormd t o t a ^ - a3. Beschouwing e r v a n l e v e r t op

d a t deze vorm v i a de r e g e l : a^-a^ = a ^+ t^ v e r e e n v o u d i g d kan worden.

Het l e v e r t h e t a n t w o o r d a o p .

Deze m a n i e r van v o o r s t e l l e n van h e t o p l o s s i n g s p r o c e s i s o n t l e e n d aan de Amerikanen N e w e l l en Simon (1972). E n i g s z i n s v e r e e n v o u d i g d i s z i j a l s v o l g t t e b e s c h r i j v e n . I n de e e r s t e p l a a t s i s de opgave s t a p s g e w i j z e van de gegeven n a a r de gewenste vorm g e b r a c h t . I n h e t v o o r b e e l d :

, ^ 5 3 10 3 13 „. . ... . . . ,

(a ) -a = a - a = a . V i a twee p r o b l e e m t r a n s f o r m a t i e s i s u i t de u i t g a n g s t o e s t a n d (het gegeven probleem) een b e p a a l d e e i n d t o e s t a n d

(de gewenste o p l o s s i n g ) v e r k r e g e n . I n de tweede p l a a t s worden deze t r a n s f o r m a t i e s b e w e r k s t e l l i g d d o o r h e t t o e p a s s e n van r e g e l s . N e w e l l en Simon s p r e k e n van " o p e r a t o r s " ( o p e r a t o r e n ) , d i e s p e c i f i e k z i j n v o o r de t o e s t a n d , w a a r i n h e t p r o b l e e m z i c h b e v i n d t . Zo i s e r een o p e r a t o r waardoor ( a ^ ) ^ g e t r a n s f o r m e e r d wordt t o t a ^ en een andere

10 3 13

o p e r a t o r v o o r de t r a n s f o r m a t i e van a -a t o t a . I n de derde p l a a t s w o r d t e r een a n a l y s e p r o c e s v e r o n d e r s t e l d , op grond waarvan b e p a a l d w o r d t w e l k e o p e r a t o r op w e l k e vorm o f v o r m d e l e n t o e g e p a s t moet worden. Het p r o c e s van a n a l y s e l e i d t e r b i j v o o r b e e l d t o e , d a t i n h e t gegeven

2 5

p r o b l e e m de d e e l v o r m (a ) geïsoleerd w o r d t a l s b e s t e punt om de opgave aan t e pakken. De a n a l y s e h o u d t ook i n , d a t deze d e e l v o r m g e z i e n w o r d t a l s een e k s e m p l a a r van de v e r z a m e l i n g vormen van h e t t y p e (x"1) • Het

h e r k e n n e n van de b i j de vorm horende v e r z a m e l i n g v e r e i s t a b s t r a h e r e n van de s p e c i f i e k e vorm. A l s bekend i s welke o p e r a t o r b i j de v e r z a m e l i n g

( xm)n b e h o o r t , kan deze op de s p e c i f i e k e d e e l v o r m ( a ^ ) ^ worden u i t g e v o e r d .

W i l h e t o p l o s s i n g s p r o c e s v l o t v e r l o p e n , dan z u l l e n de o p e r a t o r e n i n k l u s i e f de kenmerken van de vormen, waarop ze t o e g e p a s t mogen worden, i n h e t geheugen b e s c h i k b a a r moeten z i j n . Met andere woorden: de l e e r l i n g z a l e l k van de r e g e l s met de b i j b e h o r e n d e vormkenmerken u i t z i j n h o o f d moeten kennen, z o d a t h i j z e , i n d i e n n o d i g , kan oproepen en t o e p a s s e n . Op g r o n d van e m p i r i s c h o n d e r z o e k ( z i e b i j v o o r b e e l d Greeno, 1972) i s a a n n e m e l i j k geworden, d a t i n f o r m a t i e h e c h t e r i n h e t geheugen v e r a n k e r d i s n a a r mate e r een g r o t e r e v e r b o n d e n h e i d i s . Dat kan op twee m a n i e r e n . I n t e r n , n a m e l i j k h e t o n d e r l i n g e v e r b a n d b i n n e n de v o o r de l e e r l i n g nieuwe i n f o r m a t i e . Wordt b i j v o o r b e e l d b i j h e t l e r e n van nieuwe o p e r a t o r e n s y s t e m a t i s c h en d u i d e l i j k weergegeven, hoe ze o n d e r l i n g samenhangen, dan z a l de i n t e r n e v e r b o n d e n h e i d g r o o t z i j n . E k s t e r n , n a m e l i j k h e t v e r b a n d t u s s e n de nieuwe en de r e e d s aanwezige i n f o r m a t i e .

Samengevat kunnen de u i t g a n g s p u n t e n a l s v o l g t b e s c h r e v e n worden. Het o p l o s s i n g s p r o c e s wordt o p g e v a t a l s h e t s t a p s g e w i j z e t r a n s f o r m e r e n van een p r o b l e e m d o o r h e t t o e p a s s e n van g e s c h i k t e r e g e l s o f o p e r a t o r e n . B o v e n d i e n w o r d t aangenomen d a t h e t w e n s e l i j k i s z o w e l de o n d e r l i n g e samenhang t u s s e n de o p e r a t o r e n ( i n k l u s i e f de b i j b e h o r e n d e vormkenmerken) a l s hun v e r b a n d met andere r e g e l s u i t de a l g e b r a t e b e n a d r u k k e n .

2.3 H e t o p s p o r e n en w e e r g e v e n v a n de o p e r a t o r e n

Nu i s v a s t g e l e g d welke r o l o p e r a t o r e n i n h e t o p l o s s i n g s p r o c e s s p e l e n , i s h e t van b e l a n g t e weten om welke h e t i n h e t h o o f d s t u k m a c h t s v e r h e f f e n p r e c i e s g a a t . A f g e z i e n van de i n l e i d e n d e p a r a g r a a f o v e r p r i e m g e t a l l e n , l e v e r t e e n a n a l y s e aan de hand v a n h e t l e e r b o e k h e t v o l g e n d e op

(De B r u i n , e t a l . , 1971: 41-48).

• I n p a r a g r a a f 2, "Machten", worden een a a n t a l b e w e r i n g e n gedaan, d i e a l l e een o f ander a s p e k t v a n h e t b e g r i p macht b e s c h r i j v e n . E n k e l e v o o r b e e l d e n : 32 k a n ontbonden worden i n 2-2-2-2-2 ; 2-2*2*2*2 kan worden g e n o t e e r d a l s 2 ; 2~* wordt u i t g e s p r o k e n a l s t w e e t o t d e v i j f d e m a c h t , -i n 25 h e e t 2 h e t g r o n d t a l en 5 de e k s p o n e n t . De l i j s t v a n b e w e r i n g e n o m t r e n t h e t b e g r i p macht l a a t z i e n d a t e r v i j f a s p e k t e n van b e l a n g z i j n en d a t de beweringen r e l a t i e s t u s s e n deze a s p e k t e n l e g g e n . I n f i g u u r 2 i s d i t s c h e m a t i s c h weergegeven. De

a s p e k t e n z i j n getalswaarde, betekenis, notatie, onderdelen en uitspraak van een macht genoemd. I n termen van N e w e l l en Simon s t a a n de v i j f h o k j e s i n h e t schema v o o r p r o b l e e m t o e s t a n d e n en de v e r b i n d e n d e l i j n -s t u k k e n v o o r o p e r a t o r e n . G e t a l s w a a r d e B e t e k e n i s 32 2-2*2*2*2 N o t a t i e twee t o t de v i j f d e U i t s p r a a k O n d e r d e l e n g r o n d t a l 2 eksponent 5

Figuur 2. Een representatie van het begrip macht, waarin op schematische wijze algemene beweringen zijn onder-gebracht .

• I n de p a r a g r a f e n 3 t o t en met 6 v a n h e t l e e r b o e k komen de v o l g e n d e v i e r b e w e r k i n g e n aan de o r d e :

aP- aq = aP + q; aP- bP = ( a b )P; aP: aq = p-q a v o o r p > q ( aP)q = aP q; o n d e r de v o l g e n d e b e p e r k i n g e n : p e z , q e Z , a e Z , b e Z e n a * o, b * o.

A n a l y s e van een a a n t a l opgaven l a a t z i e n , d a t deze b e w e r k i n g e n met b e h u l p van de e e r d e r genoemde b e w e r i n g e n a f g e l e i d kunnen worden. B i j v o o r b e e l d opgave 19.a (De B r u i n , e t a l . , 1971: 43).

3 5 3 5 Wat b e t e k e n t a ? Wat b e t e k e n t a ? Wat b e t e k e n t dus a -a ?

Ook de andere d r i e b e w e r k i n g e n worden op summiere w i j z e a f g e l e i d , w a a r b i j t e l k e n s van de e e r d e r g e p r e s e n t e e r d e g e b r u i k gemaakt w o r d t . Z o a l s h e t v o l g e n d e v o o r b e e l d l a a t z i e n , kunnen a l l e v i e r b e w e r k i n g e n s a m e n g e s t e l d worden met b e h u l p van de o p e r a t o r e n , d i e i n h e t schema van f i g u u r 2 z i j n weergegeven en ( e v e n t u e e l ) de a s s o c i a t i v i t e i t s -r e g e l :

3 3 3 a • b = a - a * a,b - b-b = a- b - a- b - a - b = ( a b ) .

Door op v e r g e l i j k b a r e w i j z e termen u i t t e s c h r i j v e n en t e ordenen worden u i t r e e d s behandelde o p e r a t o r e n nieuwe s a m e n g e s t e l d , d i e k o m p l e k s e r van a a r d z i j n . Ook h i e r i s de b e n a d e r i n g v o l g e n s N e w e l l en Simon t e h e r k e n n e n .

O v e r e e n k o m s t i g deze w e r k w i j z e worden de bovengenoemde v i e r b e w e r k i n g e n o p g e v a t a l s o p e r a t o r e n d i e z i j n opgebouwd u i t a n d e r e . T e r o n d e r s c h e i d i n g v a n de e e r d e r genoemde e e n v o u d i g e o p e r a t o r e n , d i e i n f i g u u r 2 z i j n weergegeven, z a l i k ze s a m e n g e s t e l d e o p e r a t o r e n noemen. E r i s nog een v i j f d e opgenomen, n a m e l i j k :

aP: bP = ( a : b )P, waarvoor t e v e n s g e l d t a > b.

Deze v i j f z i j n eveneens samengebracht i n een schema, w a a r i n h o k j e s ( t o e s t a n d e n ) verbonden z i j n door l i j n s t u k k e n ( o p e r a t o r e n ) .

Samenvattend: de a n a l y s e van de l e e r s t o f v o o r h e t m a c h t s v e r h e f f e n h e e f t een a a n t a l o p e r a t o r e n o p g e l e v e r d , e e n v o u d i g e en s a m e n g e s t e l d e , d i e i n twee a f z o n d e r l i j k e schema's z i j n o n d e r g e b r a c h t . De s a m e n g e s t e l d e o p e r a t o r e n worden beschouwd a l s z i j n d e opgebouwd met b e h u l p van de genoemde eenvoudige o p e r a t o r e n ( i n k l u s i e f de a s s o c i a t i v i t e i t s r e g e l ) .

Daarmee i s v a s t g e l e g d om welke o p e r a t o r e n h e t g a a t en hoe ze o n d e r -l i n g samenhangen.

2.4 De o n t w i k k e l i n g v a n h e t l e e r m a t e r i a a l

De v o l g e n d e v r a a g i s hoe l e e r l i n g e n z o d a n i g onderwezen kunnen worden, d a t z i j de o p e r a t o r e n op de b e d o e l d e w i j z e z u l l e n h a n t e r e n . U i t g a a n d e van de o v e r w e g i n g e n , d i e i n de v o r i g e twee p a r a g r a f e n z i j n b e s p r o k e n , i s een o p g a v e n v e r z a m e l i n g s a m e n g e s t e l d . I n deze p a r a g r a a f z a l i k i n g r o t e l i j n e n b e s c h r i j v e n hoe h e t o e f e n m a t e r i a a l o n t w i k k e l d werd v o o r h e t e e r s t e g e d e e l t e , de eenvoudige o p e r a t o r e n , d i e i n f i g u u r 2 z i j n weergegeven. T e r w i l l e van de d u i d e l i j k h e i d z a l i k t e v e n s aangeven hoe de opgaven i n h e t o n d e r w i j s geïntroduceerd werden.

B i j h e t s a m e n s t e l l e n van de o p g a v e n v e r z a m e l i n g i s g e b r u i k gemaakt van de o p v a t t i n g e n van G a l ' p e r i n , een Rus, d i e een algemene p r o c e d u r e v o o r h e t v e r w e r v e n van b e p a a l d e v a a r d i g h e d e n h e e f t b e s c h r e v e n ( z i e b i j v o o r -b e e l d Van P a r r e r e n & Carpay, 1972: 29-86). Z i j n o p v a t t i n g e n z u l l e n i n h o o f d s t u k 8 u i t v o e r i g aan de o r d e komen, z o d a t i k me nu beperk t o t een summiere a a n d u i d i n g .

2.4.1 Oriëntatie

A l v o r e n s een v a a r d i g h e i d i n g e o e f e n d w o r d t , d i e n t n a a r de mening van G a l ' p e r i n een oriëntatie p l a a t s t e v i n d e n , w a a r b i j de l e e r l i n g e n bekend worden gemaakt met de a s p e k t e n d i e r e l e v a n t z i j n v o o r d i e v a a r d i g h e i d . Teneinde de l e e r l i n g e n o m t r e n t h e t b e g r i p macht t e oriënteren, b e g i n t de l e r a a r h e t o n d e r w i j s o v e r h e t m a c h t s v e r h e f f e n met een o n d e r w i j s l e e r -g e s p r e k . H i j b e h a n d e l t v i a h e t o n t b i n d e n van -g e t a l l e n i n -g e l i j k e f a k t o r e n een a a n t a l v o o r b e e l d e n , w a a r i n s t e e d s a l l e v i j f de a s p e k t e n van h e t b e g r i p macht a a n w e z i g z i j n en genoemd kunnen worden. V e r v o l g e n s l a a t h i j z i e n hoe de v o o r b e e l d e n i n de h o k j e s s t r u k t u u r van f i g u u r 3 o n d e r -g e b r a c h t kunnen worden. Daarna worden de h o k j e s benoemd z o a l s i s aangegeven. B o v e n d i e n wordt v a s t g e s t e l d d a t een vorm pas i n een h o k j e g e n o t e e r d mag worden wanneer h e t de b i j d a t h o k j e behorende kenmerken h e e f t .

g e t a l b e t e k e n i s n o t a t i e o n d e r d e l e n

u i t s p r a a k

Figuur 3. De schematische weergave van de vier eenvoudige operatoren rond het begrip macht zoals dat tijdens de oriëntatie

wordt ontwikkeld.

2.4.2 I n o e f e n e n

B i j h e t i n o e f e n e n van de eenvoudige o p e r a t o r e n w o r d t g e b r u i k gemaakt van de s c h e m a t i s c h e r e p r e s e n t a t i e van h e t b e g r i p macht d i e i n f i g u u r 3 i s gegeven. Het g e b r u i k van een d e r g e l i j k e " l e e r - k a a r t " i s g e b a s e e r d op d r i e o v e r w e g i n g e n . Ten e e r s t e : met b e h u l p van h e t schema i s h e t m o g e l i j k de l e e r l i n g opgaven s t a p s g e w i j z e t e l a t e n o p l o s s e n o v e r e e n -k o m s t i g de o p v a t t i n g van N e w e l l en Simon. Ten tweede g e e f t h e t schema, z i j h e t op p r i m i t i e v e w i j z e , de o p e r a t o r e n i n o n d e r l i n g e samenhang weer, z o d a t de i n t e r n e v e r b o n d e n h e i d z o a l s b e d o e l d d o o r Greeno n a a r v o r e n komt. Ten d e r d e v e r s c h a f t h e t schema de l e e r l i n g b i j h e t l e r e n h a n t e r e n van de o p e r a t o r e n v i s u e l e o n d e r s t e u n i n g , h e t g e e n G a l ' p e r i n met de term " m a t e r i a l i s a t i e " zou a a n d u i d e n .

Aan h e t h a n t e r e n van o p e r a t o r e n t i j d e n s h e t i n o e f e n e n , maar ook i n h e t algemeen, worden twee o n d e r d e l e n o n d e r s c h e i d e n . E e r s t v i n d t e r een a n a l y s e van h e t gegevene en e v e n t u e e l h e t gevraagde p l a a t s , h e t g e e n t o t de keuze van een g e s c h i k t e o p e r a t o r moet l e i d e n . V e r v o l g e n s wordt de gekozen o p e r a t o r u i t g e v o e r d . Hoe h e t i n o e f e n e n v e r l o o p t z a l i n de v o l g e n d e p a r a g r a f e n besproken worden.

2.4.2.1 Het h e r k e n n e n v a n vormen

E r i s s p r a k e van een g e s c h i k t e o p e r a t o r a l s h i j t o e g e p a s t kan worden op de gegeven vorm o f een d e e l e r v a n en a l s h i j i n de r i c h t i n g van o f t o t de gewenste vorm l e i d t . Op g r o n d van de aan- o f a f w e z i g h e i d van b e p a a l d e kenmerken moet worden v a s t g e s t e l d t o t w e l k e twee v e r z a m e l i n g e n d i e vormen b e h o r e n . Met andere woorden: de keuze van de o p e r a t o r i s a f h a n k e -l i j k van de kenmerken van de ( d e e -l - ) v o r m e n .

In de v o l g e n d e opgaven wordt h e t l e r e n van kenmerken van een vorm i n g e o e f e n d . De l e e r l i n g d i e n t aan de hand van de kenmerken d i e t i j d e n s h e t k l a s s e g e s p r e k g e n o t e e r d z i j n , t e b e p a l e n t o t welke v e r z a m e l i n g een s p e c i f i e k e vorm b e h o o r t . H i j g e e f t d i t aan door i n h e t schema h e t b i j b e -horende h o k j e aan t e k r u i s e n . A l s v o o r b e e l d een van de opgaven:

Als gevraagd wordt "Wat betekent de zesde macht van drie?", dan moet daar iets uitkomen, wat in hokje

thuis hoort, omdat de uitkomst als kenmerk moet hebben

In de l e s i s b e h a n d e l d , d a t een macht " b e t e k e n t " een produkt van gelijke

faktoren. E r moet dus i e t s uitkomen wat i n h e t tweede h o k j e van l i n k s

t h u i s h o o r t ( z i e f i g u u r 3 ) . De l e e r l i n g n o t e e r t h e t kenmerk en k r u i s t h e t b i j b e h o r e n d e h o k j e i n h e t schema aan.

2 . 4 . 2 . 2 Het u i t v o e r e n v a n o p e r a t o r e n

Het i n o e f e n e n van h e t t r a n s f o r m e r e n v e r l o o p t i n d r i e f a s e n o v e r e e n k o m s t i g de o p v a t t i n g v a n G a l ' p e r i n .

a. A a n v a n k e l i j k wordt g e b r u i k gemaakt van h e t schema van f i g u u r 3. De o p d r a c h t aan de l e e r l i n g i s de v i e r l e g e h o k j e s z o d a n i g i n t e v u l l e n , d a t z i j " k l o p p e n " met de gegeven vorm i n h e t v i j f d e h o k j e . B i j v o o r b e e l d :

Vul de lege hokjes aan:

v i e r t o t de derde macht

(Het gevraagde i s van l i n k s n a a r r e c h t s r e s p e k t i e v e l i j k 64, 4-4-4 , 4^, g r o n d t a l 4 en e k s p o n e n t 3.)

Het u i t v o e r e n van de o p e r a t o r e n wordt e e r s t i n g e o e f e n d met b e h u l p van vormen, d i e g e h e e l u i t c i j f e r s b e s t a a n . Daarna komen vormen aan de o r d e , w a a r i n h e t g r o n d t a l door een l e t t e r w o r d t v o o r g e s t e l d . T e n s l o t t e worden opgaven gemaakt, w a a r i n z o w e l g r o n d t a l a l s e k s p o n e n t l e t t e r s z i j n . I n de l a a t s t e twee g e v a l l e n kan s l e c h t s een g e d e e l t e van h e t schema i n g e v u l d worden. A l l e w i j z i g i n g e n i n de a a r d van de opgaven worden t e l k e n s door m i d d e l van een o n d e r w i j s l e e r g e s p r e k

i n g e l e i d . De d o c e n t d o e t d a t s t e e d s met b e h u l p v a n v o o r b e e l d e n . b. I n de tweede f a s e d i e n t de l e e r l i n g o p e r a t o r e n u i t t e v o e r e n zonder

de s t e u n van h e t schema. A l l e t u s s e n s t a p p e n b i j h e t b e r e i k e n van de o p l o s s i n g worden g e n o t e e r d , o p d a t i n g e v a l van een o n j u i s t e o p l o s s i n g d u i d e l i j k i s welke o p e r a t o r n i e t k o r r e k t i s t o e g e p a s t . B i j v o o r -b e e l d :

Noem eksponent en grondtal

125 = = = (Behalve de uitkomst, grondtal 5 en eksponent 3, noteert de leerling als tussenstappen respektievelijk 5x5x5 en 5^).

c. T e n s l o t t e worden opgaven g e p r e s e n t e e r d , d i e de l e e r l i n g d i e n t op t e l o s s e n zonder de t u s s e n s t a p p e n u i t t e s c h r i j v e n . I n f e i t e h o u d t d i t i n d a t de opgaven u i t h e t h o o f d o p g e l o s t worden. 2.4.2.3 Gemengde o p g a v e n De l a a t s t e s t a p b i j h e t v e r w e r v e n van de e e n v o u d i g e o p e r a t o r e n i s e r o p g e r i c h t ze t e k o p p e l e n aan e e r d e r g e l e e r d e o p e r a t o r e n met b e t r e k k i n g t o t h e t o p t e l l e n , a f t r e k k e n , v e r m e n i g v u l d i g e n en d e l e n . Het v e r w i j s t n a a r wat e e r d e r e k s t e r n e v e r b o n d e n h e i d i s genoemd. De l e e r l i n g k r i j g t een a a n t a l opgaven v o o r g e l e g d , w a a r b i j h i j v o o r h e t b e r e i k e n van de j u i s t e o p l o s s i n g t e l k e n s z o w e l één o f meerdere van de nieuwe o p e r a t o r e n a l s o o k oude moet t o e p a s s e n . B i j v o o r b e e l d : B e r e k e n : - 256 : - 25. Het o n d e r w i j s o v e r de s a m e n g e s t e l d e o p e r a t o r e n , d i e u i t de e e n v o u d i g e worden opgebouwd, v e r l o o p t i n g r o t e l i j n e n v o l g e n s d e z e l f d e o p z e t . De aan de o p z e t t e n g r o n d s l a g l i g g e n d e u i t g a n g s p u n t e n z i j n u i t v o e r i g b e s p r o k e n met de w i s k u n d e d o c e n t e n , d i e h e t m a c h t s v e r h e f f e n i n de b r u g k l a s behandelden. Ook de e r o p g e b a s e e r d e o p g a v e n v e r z a m e l i n g i s i n nauwe

samenwerking met hen o p g e s t e l d . Zo werd vermeden, d a t e r t e n a a n z i e n van p u n t e n , d i e v o o r de u i t v o e r i n g van h e t o n d e r w i j s b e l a n g r i j k z i j n , t u s s e n l e r a a r en o n d e r z o e k e r g r o t e m e n i n g s v e r s c h i l l e n zouden b e s t a a n .

2 . 5 E v a l u a t i e

I n de p e r i o d e j a n u a r i - f e b r u a r i 1976 i s i n 10 l e s u r e n v o o r c i r c a 280 b r u g k l a s l e e r l i n g e n h e t m a c h t s v e r h e f f e n v o l g e n s de nieuwe o p z e t b e h a n d e l d . Het o n d e r w i j s , d a t door de w i s k u n d e l e r a r e n v e r z o r g d w e r d , i s onder de

g e b r u i k e l i j k e omstandigheden k l a s s i k a a l gegeven. A l l e l e e r l i n g e n z i j n , o n g e a c h t hun k a p a c i t e i t e n , op d e z e l f d e w i j z e onderwezen. Met i n d i v i d u e l e v e r s c h i l l e n i s b i j h e t o p s t e l l e n van h e t l e s m a t e r i a a l dan ook n i e t op s y s t e m a t i s c h e w i j z e r e k e n i n g gehouden.

Na de t i e n d e l e s i s aan de b r u g k l a s s e r s h e t z e l f d e p r o e f w e r k o v e r h e t m a c h t s v e r h e f f e n v o o r g e l e g d , d a t ook i n h e t v o o r a f g a a n d e j a a r , eveneens na t i e n l e s s e n o v e r d i t onderwerp, d o o r de t o e n m a l i g e b r u g k l a s l e e r l i n g e n i s gemaakt. Het p r o e f w e r k b e v a t t e 27 opgaven. I e d e r e j u i s t beantwoorde opgave l e v e r d e één p u n t op. E n k e l e gegevens z i j n i n f i g u u r 4 t e v i n d e n .

2975 197 6

a a n t a l l e e r l i n g e n 276 278

g e m i d d e l d e s c o r e 15,98 18,33

s t a n d a a r d a f w i j k i n g 5,21 4,11

d e e l van de l e e r l i n g e n met een

s c o r e < 16 53% 28%

Figuur 4. Enkele gegevens met betrekking tot het afgenomen proefwerk over het machtsverheffen voor de leerlingen, die het gebruikelijke onderwijs hebben gevolgd (1975) en voor degenen, die het her-ziene onderwijs hebben gekregen (1976).

De p r o e f w e r k r e s u l t a t e n l a t e n z i e n , d a t de g e m i d d e l d e p r e s t a t i e van de l e e r l i n g e n d i e met h e t h e r z i e n e l e s m a t e r i a a l z i j n onderwezen, s i g n i f i k a n t b e t e r i s dan d i e van de l e e r l i n g e n d i e h e t g e b r u i k e l i j k e o n d e r w i j s hebben g e v o l g d . De s t a n d a a r d a f w i j k i n g i s b e d u i d e n d afgenomen , h e t g e e n b e t e k e n t , d a t h e t o n d e r l i n g e v e r s c h i l i n p r e s t a t i e s v e r m i n d e r d i s . V o o r a l h e t a a n t a l l e e r l i n g e n met l a g e s c o r e s i s i n 1976 a a n z i e n l i j k k l e i n e r . T e r w i j l i n 1975 nog 53% van de b r u g k l a s s e r s een s c o r e van 16 o f minder b e h a a l d e , i s d a t i n 1976 nog maar 28%, h e t p e r c e n t a g e d a t h e t j a a r e r v o o r 12 o f minder s c o o r d e . Het a a n t a l l e e r l i n g e n met een hoge s c o r e , 22 o f meer, i s e c h t e r n a u w e l i j k s v e r a n d e r d . Deze gegevens o n d e r s t e u n e n h e t vermoeden,

d a t h e t h e r z i e n e o n d e r w i j s v o o r a l d i e l e e r l i n g e n h e e f t g e h o l p e n , d i e a n d e r s g r o t e m o e i t e met de l e e r s t o f gehad zouden hebben.

De l e r a r e n maken u i t de r e a k t i e s van de l e e r l i n g e n op, d a t de w i j z e waarop de l e e r s t o f i n h e t h e r z i e n e o n d e r w i j s w o r d t aangeboden, hen b i j z o n d e r a a n s p r e e k t . De z e l f w e r k z a a m h e i d van de l e e r l i n g e n w o r d t b e v o r d e r d en de m i n d e r begaafden b l i j v e n l a n g e r meedoen.

Ondanks de z o r g v u l d i g e en s y s t e m a t i s c h e opbouw van de o p g a v e n v e r z a m e l i n g , werden e n k e l e t e k o r t e n g e s i g n a l e e r d .

• Een g e d e e l t e van de l e e r l i n g e n ( c i r c a 12%) h e e f t p r o b l e m e n met h e t o p s p o r e n van h e t g r o n d t a l a l s een macht i n een samengestelde vorm v e r s c h o l e n i s . V e r g e l i j k b i j v o o r b e e l d :

3 3 2b * 2b-2b-2b = (2b) en

2 63 = 26-26-26 = ( 2 6 )3.

D i t t e k o r t w i j s t op een leemte i n de a n a l y s e . Het herkennen van machten i n samengestelde vormen i s n i e t a l s een a f z o n d e r l i j k e v a a r d i g h e i d onderkend.

• Hoewel u i t v o e r i g e aandacht i s b e s t e e d aan h e t opbouwen van de samen-g e s t e l d e o p e r a t o r e n u i t de eenvoudisamen-ge ( z i e h e t v o o r b e e l d op p a samen-g i n a 1 6 ) , h e e f t een g e d e e l t e van de l e e r l i n g e n problemen met de overgang van h e t e e r s t e n a a r h e t tweede schema, w a a r i n de eenvoudige r e s p e k t i e v e l i j k de s a m e n g e s t e l d e o p e r a t o r e n z i j n o n d e r g e b r a c h t . W e l l i c h t i s h e t wense-l i j k e r één schema t e h a n t e r e n , w a a r i n b e i d e s o o r t e n o p e r a t o r e n tezamen z i j n o n d e r g e b r a c h t .

• De o p g a v e n v e r z a m e l i n g v o o r de samengestelde o p e r a t o r e n b e v a t t e w e i n i g sommen, w a a r b i j z i j i n de omgekeerde r i c h t i n g u i t g e v o e r d moeten worden. Het i n o e f e n e n van a^-b^ •* (ab)*5 h e e f t k e n n e l i j k n i e t a u t o m a t i s c h t o t

3.1 I n l e i d i n g 2 4 3.2 Uitgangspunten 2 5 3.3 Het opsporen en weergeven van de l e e r s t o f i n h o u d 2 6 3.3.1 De eerste poging 2 6

3.3.2 Het aanvullen van de ontbrekende i n f o r m a t i e 27 3.3.3 Het b e s c h r i j v e n van onderwerpen 2 8

3.3.4 Het ordenen van onderwerpen 3 o

3.4 De ontwikkeling van het l e e r m a t e r i a a l 32 3.5 E v a l u a t i e 3 4

3.1 I n l e i d i n g

I n h e t s c h o o l j a a r 1976-1977 i s i n samenwerking met de s c h e i k u n d e l e r a r e n van h e t S t S t a n i s l a s k o l l e g e i n D e l f t h e t onderwerp i o n e n t h e o r i e , l e e r s t o f voor de derde k l a s v a n h e t VWO, onder handen genomen. Deze d o c e n t e n v e r -t e l d e n , d a -t de b e h a n d e l i n g e r v a n s -t e e d s weer problemen o p l e v e r d e . D i -t ondanks h e t f e i t , d a t h e t v i e r e r v a r e n l e r a r e n b e t r o f d i e r e e d s e n k e l e j a r e n v a n een b e p r o e f d l e e r b o e k g e b r u i k maakten ( S c h u y l e t a l . , 1974 en 1975), en ondanks h e t b e t r e k k e l i j k g r o t e a a n t a l l e s u r e n d a t z i j e r i n de derde k l a s v a n h e t VWO aan konden b e s t e d e n ( c i r c a 20 l e s u r e n , 3 p e r week).

Naar de mening van de l e r a r e n waren de problemen g e d e e l t e l i j k t e w i j t e n aan de m o e i l i j k h e i d s g r a a d van de l e e r s t o f . Het onderwerp i s b e t r e k k e l i j k k o m p l e k s , waardoor h e t n i e t e e n v o u d i g i s d i t op een o v e r z i c h t e l i j k e w i j z e t e b e h a n d e l e n . B o v e n d i e n waren de l e r a r e n n i e t g e h e e l t e v r e d e n o v e r h e t

*

b e t r e f f e n d e h o o f d s t u k van h e t l e e r b o e k .

Naar a a n l e i d i n g h i e r v a n kwam de v r a a g n a a r v o r e n o f h e t n i e t m o g e l i j k zou z i j n de i o n e n t h e o r i e op een meer o v e r z i c h t e l i j k e en g e s t r u k t u r e e r d e w i j z e t e b e h a n d e l e n . Voor de o n d e r z o e k e r s p e e l d e de o v e r w e g i n g mee, d a t h e t onderwerp e e n m o g e l i j k h e i d bood om na t e gaan i n h o e v e r r e de i n z i c h t e n d i e b i j h e t o n d e r w i j s o v e r h e t m a c h t s v e r h e f f e n waren t o e g e p a s t , ook i n h e t s c h e i k u n d e - o n d e r w i j s g e b r u i k t zouden kunnen worden. De v e r w a c h t i n g was, d a t h e t afbakenen v a n de l e e r s t o f en h e t weergeven v a n de samenhang v o o r een onderwerp u i t de s c h e i k u n d e a a n m e r k e l i j k g e k o m p l i c e e r d e r zouden z i j n dan i n h e t g e v a l v a n h e t m a c h t s v e r h e f f e n .

I n nauwe samenwerking met de s c h e i k u n d e l e r a r e n i s de l e e r s t o f v o o r de i o n e n t h e o r i e g e a n a l y s e e r d . Aan de hand van de a n a l y s e i s een l e e r l i n g e n -t e k s -t o p g e s -t e l d d i e i n d e r d e - k l a s s e n v a n h e -t VWO b e p r o e f d i s . I n d i -t h o o f d s t u k wordt i n h e t k o r t b e s c h r e v e n hoe de a n a l y s e i s u i t g e v o e r d , hoe d a a r u i t een t e k s t i s voortgekomen en welke de l e e r r e s u l t a t e n waren. Een u i t v o e r i g e r b e s c h r i j v i n g v a n de g e v o l g d e w e r k w i j z e i s t e v i n d e n i n h e t o n d e r z o e k s r a p p o r t (Jochems, 1977).

U i t een m o n d e l i n g e m e d e d e l i n g van één v a n de a u t e u r s v a n d i t l e e r b o e k b l e e k , d a t z i j ondanks h e r s c h r i j v i n g e n v a n h e t b e t r e f f e n d e h o o f d s t u k e r z e l f ook nog n i e t e r g t e v r e d e n o v e r waren.

3 . 2 U i t g a n g s p u n t e n

V o o r a f g a a n d e aan de a n a l y s e v a n de l e e r s t o f i s met de d o c e n t e n b e s p r o k e n wat met h e t o n d e r w i j s o v e r de i o n e n t h e o r i e beoogd w o r d t . De r e d e n om hiermee t e b e g i n n e n was, d a t men a l s d o c e n t v e r s c h i l l e n d e a k s e n t e n k a n l e g g e n wat b e t r e f t de a a r d van h e t gewenste r e s u l t a a t . Het vermoeden b e s t o n d , d a t d i t v a n i n v l o e d z o u kunnen z i j n op de a n a l y s e van de l e e r s t o f . B o v e n d i e n l e e k h e t v o o r een goede v o o r t g a n g van h e t onderzoek n o o d z a k e l i j k , d a t l e r a r e n en o n d e r z o e k e r op d i t p u n t o v e r e e n -stemden .

U i t de d i s k u s s i e kwam n a a r v o r e n , d a t de l e e r l i n g e n een a a n t a l n a d e r t e o m s c h r i j v e n s c h e i k u n d i g e p r o c e s s e n en v e r s c h i j n s e l e n op h e t g e b i e d van de i o n e n t h e o r i e zouden moeten kunnen v e r k l a r e n . H e t geven v a n zo'n v e r k l a r i n g v e r e i s t b e k e n d h e i d met een r e e k s b e g r i p p e n d i e b o v e n d i e n z o d a n i g g e b r u i k t worden d a t e r een l o g i s c h e samenhang o n t s t a a t . Een v o o r b e e l d t e r t o e l i c h t i n g . Aan een l e e r l i n g wordt de v o l g e n d e v r a a g v o o r g e l e g d :

Welke k l e u r z a l een blauw l a k m o e s p a p i e r t j e aannemen i n een o p l o s s i n g v a n CaO i n w a t e r ?

Het antwoord op de v r a a g z o u e r ongeveer a l s v o l g t u i t moeten z i e n : • CaO i s een i n water o p l o s b a r e e l e k t r o v a l e n t e v e r b i n d i n g , waarvan h e t

2+ 2- . r o o s t e r i s opgebouwd u i t Ca - en 0 - i o n e n ; • w a t e r m o l e k u l e n r e a g e r e n met de z u u r s t o f i o n e n v o l g e n s de r e a k t i e - 2-v e r g e l i j k i n g H„0 + 0 20H ; 2+ • de o p l o s s i n g b e v a t v e r h o u d i n g s g e w i j s v e e l Ca - en OH - i o n e n en + a1 ag

z e e r w e i n i g H^O - i o n e n , dus h e t l a k m o e s p a p i e r t j e b l i j f t blauw. De nadruk wordt dus g e l e g d op het gebruik van kennis in een redenering d i e a l s v e r k l a r i n g kan d i e n e n v o o r een b e p a a l d s c h e i k u n d i g v e r s c h i j n s e l . Met andere woorden: h e t g a a t erom d a t de l e e r l i n g een argumentatie l e v e r t , d i e g e b a s e e r d i s op k e n n i s van de i o n e n t h e o r i e .

Naar we op d a t moment aannamen, z o u deze o p s t e l l i n g de v o l g e n d e twee k o n s e k w e n t i e s hebben.

• Welke k e n n i s aan de l e e r l i n g e n onderwezen z a l worden i s a f h a n k e l i j k van de p r o c e s s e n en v e r s c h i j n s e l e n , d i e we onder h e t h o o f d i o n e n t h e o r i e i n 3 VWO w i l l e n b e h a n d e l e n . Wordt k e n n i s o p g e v a t a l s h e t b e s c h i k b a a r hebben van b e g r i p p e n ( b i j v o o r b e e l d : een e l e k t r o v a l e n t e v e r b i n d i n g i s opgebouwd u i t i o n e n ... r o o s t e r ... e t c ) , i n k l u s i e f een a a n t a l v o o r