Klas´owka 1 z Algorytm´ow i Struktur Danych 1. Zaprojektuj algorytm, kt´ory sortuje w czasie O(n log(k = 1)) ka˙zdy ci ,

Klas´owka 1 z Algorytm´ow i Struktur Danych

1. Zaprojektuj algorytm, kt´ory sortuje w czasie O(n log(k = 1)) ka˙zdy ciag_, liczbowy d lugo´sci n zawierajacy k r´_, o´nych warto´sci, 1 ≤ k ≤ n.

2. (3 pkt) Ile permutacji wej´sciowych zbioru {1, 2, 3, 4, 5} daje po pierwszej fazie HeapSortu ciag 5, 3, 4, 1, 2? Odpowied´_, z uzasadni´c.

3. (5+4 pkt) Udowodnij, ˙ze scalenie w jeden ciag uporz_, adkowany k uporz_, adkowanych_, rosnaco ci_, ag´_, ow d lugo´sci n wymaga co najmniej Ω(nk log k) por´owna´n. Za- projektuj efektywny algorytm scalania takich ciag´_, ow.

4. (8 pkt) Dane sa dwa roz l_, aczne zbiory punkt´_, ow na p laszczy´znie G = {(x^G₁, y₁^G), (x^G₂, y^G₂), . . . , (x^G_n, y^G_n)}

i

D = {(x^D₁, y₁^D), (x^D₂, y₂^D), . . . , (x^D_n, y^D_n)}

takie, ˙ze dla ka˙zdej pary indeks´ow i, j, 1 ≤ i, j ≤ n, y^D_i < y_j^G. Zaprojektuj efektywny algorytm, kt´ory znajdzie odleg lo´s´c miedzy zbiorami G i D w_, metryce miejskiej. Zanalizuj z lo˙zono´s´c swojego algorytmu.

Dla punkt´ow p = (a, b) i q = (c, d) ich odleg lo´s´c w metryce miejskiej definiuje sie jako d(p, q) = |a − c| + |b − d|. Odleg lo´_, s´c miedzy zbiorami A_, i B to d(A, B) = min({d(p, q) : p ∈ A, q ∈ B}).

Uwaga: W miare mo˙zliwo´_, sci algorytmy nale˙zy opisywa´c s lowami, ale na tyle precyzyjnie, ˙zeby mo˙zna by lo zanalizowa´c ich z lo˙zono´s´c.

Zadania oddajemy na pojedynczych kartkach.