, tzn. takiej, ˙ze a

Zadania domowe 6-10

(termin: 15 kwietnia 2020) Zadanie 6.

Do nieosobliwej macierzy Hessenberga A = (a

) ∈ R

, tzn. takiej, ˙ze a

= 0 dla i ≥ j +2, zastosowano algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´ ownego w kolumnie otrzymuj ac rozk lad tr´

ojk atno-tr´

ojk atny P A = LU , gdzie P jest macierz

a permutacji, L =

(l

) macierz a tr´

ojk atn

a doln

a z jedynkami na przek

atnej i |l

| ≤ 1, a U = (u

) macierz a

tr´ ojk atn

a g´

orn a. Wyka˙z, ˙ze



1≤i,j≤n

max |u

|



≤ n



1≤i,j≤n

max |a

|

 .

Czy to oszacowanie mo˙zna poprawi´ c gdy dodatkowo A = A

? Zadanie 7.

Wyka˙z, ˙ze dla macierzy A = (a

) ∈ R

z dominuj ac

a wierszowo przek

atn

a, tzn. gdy

2 |a

| >

n

X

j=1

|a

|, 1 ≤ i ≤ n,

eliminacji Gaussa bez jest wykonalna bez przestawie´ n wierszy/kolumn. Co wi ecej, w wyniku

dostajemy rozk lad A = LU, gdzie

 max

1≤i,j≤n

|u

|



≤ 2

 max

1≤i,j≤n

|a

|

 .

Zadanie 8.

Zaproponuj algorytm rozwi azywania uk ladu r´

owna´ n liniowych A~ x = ~b z macierz a nieosobliw

a

A = (a

) ∈ R

tak a, ˙ze a

= 0 dla |i − j| ≥ 2, 1 ≤ i ≤ n − 1, 1 ≤ j ≤ n. (Zauwa˙z,

˙ze ostatni wiersz jest w og´ olno´sci pe lny.) Algorytm ma dzia la´ c w czasie liniowym w n i by´ c numerycznie poprawny.

Zadanie 9.

Stosuj ac odbicia Householdera H

= I − ~ u

~ u

/γ

sprowad´ z macierz

A =









0 −2

0 0

−5 1

0 2









do postaci tr´ ojk atnej g´

ornej R = H

H

A. Wska˙z wsp´ o lczynniki macierzy R oraz odpowied- nie wektory ~ u

i liczby γ

, i = 1, 2.

Nast epnie, korzystaj

ac z rozk ladu, znajd´

z min

~

x

k~b − A~ xk

dla ~b = [−4, 1, −3, 4]

. Jaki wektor realizuje powy˙zsze minimum?

2

Zadanie 10.

Przedyskutuj jednoznaczno´s´ c rozk ladu SVD danej macierzy A ∈ R

, A = U Σ V

,

gdzie U ∈ R

i V ∈ R

s a macierzami ortogonalnymi, a Σ ∈ R

macierz a diagonaln

a.