Zadania domowe
(termin: 7 grudnia 2016)
Ka˙zde zadanie warte jest 2 punkty.
Zadanie 5.
Je´sli dla macierzy nieosobliwej A ∈ Rn,n i wektora ~b ∈ Rn zachodzi (1) (A + E)~x = ~b, gdzie kEk2 ≤ K ν kAk2, to dla residuum ~r = ~b − A~x mamy
(2) k~rk2 ≤ K ν kAk2k~xk2.
Wyka˙z, ˙ze prawdziwe jest te˙z twierdzenie odwrotne: je´sli spe lniony jest warunek (2) to istnieje macierz E taka, ˙ze kEk2 ≤ KνkAk2 oraz spe lniona jest nier´owno´s´c (1). (Jest to kryterium residualne numerycznej poprawno´sci.)
Zadanie 6.
Do nieosobliwej macierzy tr´ojdiagonalnej A = (ai,j) ∈ Rn,n, tzn. takiej, ˙ze dla |i − j| ≥ 2 jest ai,j = 0, zastosowano algorytm eliminacji Gaussa z wyborem elementu g l´ownego w kolumnie otrzymujac rozk lad tr´, ojkatno-tr´, ojkatny P A = L R, gdzie P jest macierz, a permutacji, L =, (li,j) macierza tr´, ojkatn, a doln, a z jedynkami na przek, atnej i |l, i,j| ≤ 1, a R = (ri,j) macierza, tr´ojkatn, a g´, orna. Wyka˙z, ˙ze,
1≤i,j≤nmax |ri,j| ≤ 2 max
1≤i,j≤n|ai,j|.
Zadanie 7.
Macierz
A =
2 6 −4
6 17 −17
−4 −17 −20
jest nieosobliwa i symetryczna, ale nie jest dodatnio okre´slona. Znajd´z, je´sli istnieja, macierz, tr´ojkatn, a doln, a L z jedynkami na g l´, ownej przekatnej oraz macierz diagonaln, a D takie, ˙ze, A = LDLT. Czy taki rozk lad istnieje dla dowolnej nieosobliwej i symetrycznej macierzy A?
Zadanie 8.
Stosujac odbicia Householdera H, i = I − ~ui~uTi /γi sprowad´z macierz
A =
0 −2
0 0
−5 1
0 2
do postaci tr´ojkatnej g´, ornej R = H2H1A. Wska˙z wsp´o lczynniki macierzy R oraz odpowied- nie wektory ~ui i liczby γi, i = 1, 2. Nastepnie, korzystaj, ac z rozk ladu, znajd´, z
min
~
x k~b − A~xk2
dla ~b = [−4, 1, −3, 4]T. Jaki wektor realizuje powy˙zsze minimum?
