Wyka˙z, ˙ze W jest warstwa, tzn

GAL (I INF) Zadania domowe 6

termin: 5.01.2010

Uwaga: Ka˙zde zadanie warte jest tyle samo punkt´ow

1. W przestrzeni P_|R³ rozwa˙zamy podzbi´or

W = {p ∈ P_|R³ : p(1) + p^′(0) = 1}.

Wyka˙z, ˙ze W jest warstwa, tzn. W = W (p_֒ 0,Y), dla pewnych p0∈ P_|R³ oraz podprzestrzeni Y ⊂ P_|R³ . Znajd´z p0i baze Y._֒

2. Niech Y bedzie podprzestrzeni_֒ a P_{֒ |R}⁵ zdefiniowana jako_֒

Y = {p ∈ P⁵: p(0) + p(1) + p(2) = 0, p(0) + p^′(0) + p^′′(0) = 0}.

Znajd´z wymiar i baze Y oraz przestrzeni warstw modulo Y._֒ 3. Dla X = P_|R⁴ funkcjona l f ∈ X^∗zdefiniowany jest jako

f(p) = p^′(0) + p⁽³⁾(1), p∈ X .

Znajd´z wsp´o lczynniki ak, k = 1, 2, 3, 4, funkcjona lu f w bazie sprze˙zonej do bazy_֒ (1, 1 + t, 1 − t², t³).

4. Dla X = P_|R³ , niech funkcjona l s ∈ X^∗bedzie zdefiniowany jako_֒ s(p) = p^′(0) + p^′′(1) dla p ∈ X .

Znajd´z wsp´o lczynniki a1, a2, a3rozwiniecia funkcjona lu s w bazie funkcjona l´_֒ ow (s1, s2, s3) przestrzeni X^∗zdefiniowanych jako

s1(p) = p(−1), s2(p) = p(0), s3(p) = p(1), p∈ X . 5. Niech sk ∈ Kⁿ → K bed_֒ a funkcjona lami zdefiniowanymi jako_֒

sk(~x) = ~a_k^T ∗ ~x ∀~x ∈ Kⁿ, gdzie

~ak =

k

X

j=1

~ej,

1 ≤ k ≤ n. Wyka˙z, ˙ze uk lad (s1, . . . , sn) jest baza_֒  Kⁿ_|K^∗

. Znajd´z baze (~b_֒ 1, . . . ,~bn) w Kⁿ_|K sprze˙zon_֒ a do (s_֒ 1, . . . , sn).

6. Niech A = [a1, . . . , an] ∈ X^1,n i B = [b1, . . . , bn] ∈ X^1,n bed_֒ a dwiema bazami tej samej przestrzeni_֒ liniowej X|K, a

R=





 r1

... rn





∈ (X^∗)^n,1 S=





 s1

... sn





∈ (X^∗)^n,1

bazami X_|K^∗ sprze˙zonymi odpowiednio do A i B. Niech dalej C, D ∈ K_֒ ^n,n bed_֒ a macierzami wsp´o l-_֒ czynnik´ow rozwinie´c element´_֒ ow odpowiednio b1, . . . , bk i s1, . . . , sn w bazach a1, . . . , an i r1, . . . , rn, tzn.

B= A ∗ C, S= D ∗ R.

Wyka˙z, ˙ze C ∗ D = In= D ∗ C, czyli macierze C i D sa do siebie wzajemnie odwrotne._֒

1