Magnetyzm Magnetyzm

1

Wykład 5

Magnetyzm Magnetyzm

Wrocław University of Technology 14-04-2012

2

Pole magnetyczne ŁADUNEK ELEKTRYCZNY

ŁADUNEK MAGNETYCZNY

POLE ELEKTRYCZNE

POLE MAGNETYCZNE

?

Jak wytworzyć pole magnetyczne?

1) Naładowane elektrycznie cząstki, poruszające się w postaci prądu elektrycznego w przewodniku, wytwarzają pole magnetyczne.

2) Cząstki elementarne, np. elektrony, wytwarzają swoje własne pole

magnetyczne, które jest podstawową cechą tych cząstek, podobnie jak ich masa i ładunek elektryczny (lub jego brak).

3

Indukcja magnetyczna

siła F_Bdziałająca na cząstkę (nosząca nazwę siły Lorentza), jest równa ładunkowi cząstki pomnoŜonemu przez iloczyn wektorowy jej prędkości v i indukcji magnetycznej B

v q B = F

gdzie Φ oznacza kąt między kierunkami wektorów prędkości v i indukcji magnetycznej B.

B v q F

r r

r = ×

⇒

Φ

= q vB sin F

Siła F_Bdziałająca na naładowaną cząstkę, która porusza się z prędkością v w polu magnetycznym o indukcji B, jest zawsze prostopadła do wektorów v i B.

Reguła prawej dłoni

5

Indukcja magnetyczna

Jednostka indukcji magnetycznej B w układzie SI

1 TESLA = 1T = =

PrzybliŜone wartości indukcji magnetycznej

s m C

N

⋅ /

niuton

(kulomb)(metr/sekunda)

m A

N

⋅

niuton

(kulomb/sekunda)(metr) 1 TESLA = 1T = =

na powierzchni gwiazdy neutronowej 10⁸T

w pobliŜu duŜego elektromagnesu 1.5T

w pobliŜu małego magnesu sztabkowego 10^-2T

na powierzchni Ziemi 10^-4T

w przestrzeni międzygwiezdnej 10^-10T najmniejsza wartość w pomieszczeniu

ekranowanym magnetycznie 10^-14T

6

Linie pola magnetycznego

Jednostka indukcji magnetycznej B w układzie SI.

RóŜnoimienne bieguny magnetyczne przyciągają się, a jednoimienne bieguny magnetyczne się odpychają.

7

Pola skrzyŜowanie – odkrycie elektronu przez Thomsona

Schemat współczesnej wersji aparatury doświadczalnej, uŜywanej przez Thomsona - lampa oscyloskopowa.

Pola skrzyŜowanie – zjawisko Halla

9

Pola skrzyŜowanie – zjawisko Halla

W płytce powstaje poprzeczne, w przybliŜeniu jednorodne pole elektryczne o natęŜeniu E (jest ono analogiczne do pola w kondensatorze płaskim). Pole to działa na elektrony siłą

Proces gromadzenia się elektronów trwa dopóty, dopóki Dla warunków równowagi moŜemy zapisać

Napięcie Halla określa równanie

gdzie n oznacza koncentrację elektronów swobodnych, d zaś jest grubością płytki.

eE F

= −

E

L

F

F >

E

L

F

F =

B I U

= γ

end

= 1 γ

10

Pola skrzyŜowane – zjawisko Halla

11

Ruch cząstek w polu magnetycznym

a) Naładowana cząstka porusza się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B, z prędkością v, która tworzy kąt Φ z kierunkiem wektora B.

b) Ta cząstka zakreśla linię śrubową o promieniu r i skoku p.

c) Naładowana cząstka, poruszająca się po linii śrubowej w niejednorodnym polu magnetycznym. Wektory sił magnetycznych po lewej i po prawej stronie mają składową, skierowaną do środka rysunku.

Ruch cząstek w polu magnetycznym

13

Spektrometr masowy

Jon o masie m i ładunku q jest wytwarzany przez źródło S. Jon, który w chwili

początkowej znajduje się w stanie spoczynku, jest przyspieszany przez pole elektryczne, wywołane róŜnicą potencjałów U. Jon opuszcza źródło i wpada do komory separatora, w której jednorodne pole magnetyczne o indukcji B jest przyłoŜone prostopadle do kierunku ruchu jonu. Pole magnetyczne powoduje, Ŝe jon porusza się po półokręgu, uderzając w płytę światłoczułą (i pozostawiając w niej ślad) w odległości x od szczeliny wejściowej. Jaka jest masa m pojedynczego jonu?

14

Spektrometr masowy

Jon porusza się po okręgu stąd działają na niego dwie siły

r F_od mv

= 2

F

= qvB

qB r = mv

Aby znaleźć zaleŜność między v i U, korzystamy z faktu, Ŝe energia mechaniczna (E_mech=E_k+ E_p) jest zachowana w czasie przyspieszania jonu.

= 0

∆ +

∆ E

E

⇒ 0

2 1

=

− qU mv

m v 2 qU

=

15

Spektrometr masowy

Podstawiając do wyraŜenia na promień krzywizny:

q mU B

m qU qB

m qB

r mv 2 1 2

=

=

=

Wiadomo, Ŝe x = 2r stąd

q mU x B 2 2

=

Rozwiązując to równanie ze względu na m otrzymujemy masę badanego jonu:

U qx m B

8

2

=

Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem

Pionowy przewodnik, w którym nie płynie prąd elektryczny nie odchyla się (a). Przewodnik umocowany jest na obydwu końcach i przechodzi przez szczelinę między pionowymi biegunami magnesu. Pole magnetyczne między biegunami jest skierowane przed płaszczyznę rysunku. Na rysunku (b) prąd płynie do góry, a przewodnik odchyla się w prawo. Na rysunku (c) kierunek przepływu prądu jest przeciwny, przewodnik zaś odchyla się w lewo.

17

Siła magnetyczna działająca na przewodnik z prądem RozwaŜmy fragment przewodnika o długości L.

Wszystkie elektrony przewodnictwa, znajdujące się w tym obszarze, przejdą przez płaszczyznę xx w czasie t = L/v_d. Tak więc ładunek, przepływający w tym czasie przez płaszczyznę xx, jest równy:

v

I L It q = =

Podstawiając to do wyraŜenia na siłę otrzymujemy:

ILB B

v v B IL

qv

F

d d

B

= sin φ = sin 90 ° =

JeŜeli pole magnetyczne nie jest prostopadłe do przewodnika, to siła magnetyczna jest określona uogólnionym równaniem:

B L I F

r r

r = × ^F

= ^{ILB sin} φ

18

Moment siły działający na ramkęz prądem

Schemat prostego silnika elektrycznego, składającego się z pojedynczej ramki z prądem, umieszczonej w polu magnetycznym o indukcji B. Dwie siły magnetyczne F i - F wytwarzają moment siły, który działa na ramkę, usiłując ją obrócić wokół osi. Mimo braku wielu istotnych szczegółów, z rysunku moŜna odczytać, w jaki sposób działanie pola magnetycznego na ramkę z prądem wywołuje ruch obrotowy.

19

Moment siły działający na ramkęz prądem

( )

2

IbB sin 90 IbB cos F

F = ° − θ = θ = −

3

1

IaB F

F = = −

Moment siły działający na ramkęz prądem

Siły F₁i F₃mają taką samą wartość lecz są skierowane przeciwnie, a więc nie powodują przesunięcia ramki ani w górę, ani w dół. JednakŜe, te dwie siły nie działają wzdłuŜ tej samej prostej, tak więc powstaje wypadkowy moment siły.

Moment ten usiłuje obrócić ramkę tak, aby ustawić jej wektor normalny n wzdłuŜ kierunku wektora indukcji magnetycznej B. Ramiona tych sił względem osi obrotu ramki wynoszą (b/2)sinθ. Wartość momentu siły M', wywołanego działaniem sił F₁ i F₃jest więc równa:

θ θ

θ sin sin

sin 2

' 2 b IabB

b IaB IaB

M  =



 

 + 

 

 



= 

Gdy pojedynczą ramkę, w której płynie prąd, zastąpimy cewką, składającą się z N zwojów nawiniętych tak ciasno, Ŝe moŜna przyjąć w przybliŜeniu, iŜ mają te same wymiary i leŜą w tej samej płaszczyźnie, wtedy całkowity moment siły, działający

21

Dipolowy moment magnetyczny

Cewka, przez którą płynie prąd, moŜe być opisana za pomocą pojedynczego wektora µ, noszącego nazwę dipolowego momentu magnetycznego. Kierunek wektora µ wybieramy zgodnie z kierunkiem wektora normalnego n,

prostopadłego do płaszczyzny cewki:

= NIS µ

gdzie N jest liczbą zwojów cewki, I - natęŜeniem prądu płynącego przez cewkę, a S - polem powierzchni, objętej przez kaŜdy zwój cewki.

Moment siły, działający na cewkę pod wpływem pola magnetycznego wtedy :

θ µ B sin M =

lub ogólnie w postaci wektorowej:

B M

r r r = µ ×

22

Dipolowy moment magnetyczny

Dipol magnetyczny ma w zewnętrznym polu magnetycznym magnetyczną energię potencjalną, która zaleŜy od ustawienia dipola w polu magnetycznym:

Dipol magnetyczny ma najmniejszą energię gdy moment magnetyczny µ jest ustawiony zgodnie z kierunkiem wektora indukcji B. Dipol ma największą energię, gdy wektor µ jest ustawiony przeciwnie do kierunku wektora indukcji pola.

( ) ^B

E

r r

⋅

−

= µ θ

Gdy dipol magnetyczny obraca się od pewnego początkowego ustawienia θ_poczdo innego ustawienia θ_kon, praca W, wykonana nad dipolem przez pole magnetyczne jest równa:

(

)

p

E E

E

W = − ∆ = − −

23

Pole magnetyczne wywołane przepływem prądu Dzielimy przewodnik na elementy ds, a następnie

definiujemy wektorowy element ds, jego kierunek jest zgodny z kierunkiem przepływu prądu w elemencie ds. MoŜemy następnie zdefiniować element prądu jako Ids.

Wartość wektora dB pola, wytworzonego w punkcie P przez element prądu Ids jest równa:

2

0

sin

4 r

dB Ids θ π

= µ

gdzie θ jest kątem między kierunkami ds i r, a wektor r jest skierowany od ds do punktu P. Symbol µ₀jest stałą, zwaną przenikalnością magnetyczną próŜni (stałą magnetyczną), której wartość jest równa:

A m T A

m

T / 1.26 10 / 10

4 ^{7 6}

0=

π

µ

3 0

4 r

r s dB Id

r r ×

= π

lub

µ

Pole magnetyczne wywołane przepływem prądu

Reguła prawej dłoni: Uchwyć element prawą ręką, tak aby twój kciuk wskazywał kierunek prądu.

Twoje palce będą wtedy wskazywać kierunek linii pola magnetycznego, wytworzonego przez ten element.

25

Pole magnetyczne wywołane przepływem prądu

2

0

sin

4 r

dB Ids θ π

= µ

∫

∫

∞

=

=

0 2 0

0

sin 2 2

r ds dB I

B θ

π µ

2

2

R

s

r = + ^{sin sin} ( )

R s

R

= +

−

= π θ θ

( ^{s Rds R} ) ^{R I} ( ^{s s R} ) ^{R I}

B I

π µ π

µ π

µ

2 2

2

0 0 2 / 2 1 2 0 0

2 / 2 3 2

0

=

 





 





= +

= +

∞ ∞

∫

26

Siły działające między dwoma równoległymi przewodami z prądem Prąd płynący w przewodzie a wytwarza pole

magnetyczne o indukcji B_ai właśnie to pole magnetyczne powoduje powstawanie siły.

d B

I

π µ 2

=

d I LB LI

I B L I

F

π µ 90 2 sin ° =

=

×

= r r r

Aby znaleźć siłę, działającą na przewód z prądem, wywołaną przepływem prądu w drugim przewodzie, najpierw wyznacz pole, pochodzące od prądu w drugim przewodzie, w miejscu, w którym znajduje się pierwszy przewód. Następnie wyznacz siłę, jaką to pole działa na pierwszy przewód.

Przewody, w których płyną prądy równoległe, przyciągają się, a te, w których płyną prądy antyrównoległe, się odpychają.

27

Prawo Ampère’a

I

s d

B ⋅ = µ

∫ ^{r r}

Prawo Ampere'a ma postać:

UłóŜ prawą rękę wzdłuŜ konturu, tak aby palce wskazywały kierunek całkowania. JeŜeli prąd przepływa przez kontur w kierunku

wyciągniętego kciuka, to przypisujemy mu znak plus. Gdy prąd płynie w kierunku przeciwnym - przypisujemy mu znak minus.

2

1

I

I I

= −

(

)

cos ds

I I

B = −

∫ ^{θ µ}

Pole magnetyczne cewki

(

)

2 0

2 ) (

z R z IR

B = µ +

Wartość indukcji magnetycznej pola jest równa:

gdzie R jest promieniem cewki, a z jest odległością danego punktu od środka cewki. Ponadto kierunek wektora indukcji B jest taki sam, jak kierunek dipolowego momentu magnetycznego µ cewki.

Dla punktów na osi, połoŜonych daleko od cewki (z >> R) równanie to redukuje