Fizyka 1

Fizyka 1

Wykład 6.

Energia kinetyczna

W XVIII wieku wprowadzono określenie energia kinetyczna do opisu energii ciał pozostających w ruchu.

W ujęciu klasycznym energię kinetyczną możemy zdefiniować jako iloczyn masy m i kwadratu prędkości v podzielony przez 2:

Jeśli mamy więcej niż jedną cząstkę, to energia kinetyczna układu jest równa sumie energii kinetycznej wszystkich cząstek:

Energia kinetyczna

Możemy zapisać równanie opisujące energię kinetyczną również za pomocą pędu, zamiast za pomocą masy i prędkości. Skoro v = p/m ,

Jednostką energii kinetycznej jest, tak jak w przypadku innych form energii, dżul (J). W fizyce atomowej powszechnie używa się jednostki elektronowolt (eV) 1eV = 1,6 10⋅ ⁻¹⁹ J.

Energia kinetyczna

Energia kinetyczna pojedynczej cząstki ma charakter jednostkowy, ale energia kinetyczna układu cząstek może być podzielona na wiele różnych rodzajów:

● jeżeli obiekt bądź cząstka wykonuje ruch obrotowy, ich energia kinetyczna jest również energią kinetyczną ruchu obrotowego,

● w przypadku ruchu drgającego – energią kinetyczną ruchu drgającego,

● energia kinetyczna chaotycznego ruchu atomów może być nazywana energią termiczną.

Praca

Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana na drodze działania na ciało siłą. Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest ujemna.

O pracy mówimy wtedy, gdy siła działająca na dane ciało powoduje jego przemieszczenie. Siła może zależeć od przemieszczenia, a przemieszczenie może następować na dowolnej drodze pomiędzy dwoma punktami.

Nieskończenie mały przyrost pracy (energii) dW związany z działaniem siły F na nieskończenie małej drodze (odpowiadającej nieskończenie małemu przemieszczeniu) dr

Praca

Praca może przyjmować wartości dodatnie, ujemne bądź być równe zero zależnie od kierunku przyłożenia siły i jej zwrotu. Maksymalna praca jest wykonywana wtedy, kiedy wektor siły jest równoległy do wektora przemieszczenia (cosθ = ±1), a wynosi zero, kiedy jest on do przemieszczenia prostopadły (cosθ = 0).

Praca

Pracę całkowitą wyraża całka w postaci:

Jednostka pracy może być zdefiniowana jako iloczyn jednostki siły (niutona) i przemieszczenia (metra), N m. Jednostkę tę nazywamy dżulem ⋅ (1 J).

Praca

stałej siły

We współrzędnych kartezjańskich:

Praca

stałej siły

Siła reakcji podłoża (siła nacisku) R jest prostopadła do podłoża, stąd praca wykonywana przez tę siłę jest równa zeru.

Siła ciężkości mg, która ma stałą wartość i zawsze jest skierowana pionowo w dół może zostać wyznaczona jako iloczyn skalarny jej wektora i wektora przemieszczenia.

Praca wykonana przez stałą siłę grawitacji zależy tylko od ciężaru ciała oraz różnicy wysokości, na której ta siła działa. Wartość pracy siły grawitacji przy ruchu w górę jest ujemna (y_B>y_A), to my wykonujemy pracę podnosząc przedmiot. W przypadku ruchu w dół praca jest dodatnia (y_B<y_A).

Praca

stałej siły

Dla ciał poruszających się po płaszczyźnie wektor siły tarcia kinetycznego T_k ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora dr , więc praca wykonywana przez tę siłę jest ujemna.

|l_AB| jest drogą przebytą przez ciało (przy założeniu ruchu prostoliniowego).

Praca

zmiennej siły

Nieskończenie mała praca wykonana przez zmienną siłę może być opisana za pomocą składowych tej siły oraz odpowiadających im przemieszczeń

Tutaj siła jest wyrażana jako funkcja położenia, natomiast przemieszczenie zależy od równania opisującego drogę, na której dana siła działa.

Praca wykonana nad cząstką przy zmianie jej położenia musi być obliczona przez całkowanie siły.

Gdy chcemy obliczyć pracę wykonaną przez siłę sprężystości, wybieramy oś x wzdłuż sprężyny w taki sposób, aby jej wydłużenie przyjmowało dodatnią wartość, początek układu obieramy w położeniu równowagi x_równ=0. Tak przyjęty układ współrzędnych pozwala nam opisać siłę tylko za pomocą składowej x, czyli F_x = −kx . Wówczas praca przy rozciąganiu sprężyny z x_A do x_B wynosi:

Praca

zmiennej siły (siła sprężystości) Praca przy rozciąganiu sprężyny z x_A do x_B wynosi:

W_AB zależy tylko od punktu końcowego i początkowego A i B, natomiast nie zależy od drogi pomiędzy tymi punktami.

Dla jednowymiarowego przypadku wykonana praca jest równa polu powierzchni pod krzywą dla zależności F(x) .

Wykres zależności siły sprężystości f(x) = −kx od wydłużenia x, na którym zaznaczono obszary pod krzywą odpowiadające wartościom pracy dla przemieszczeń x_A i x_B przy różnych zwrotach siły sprężystości.

Praca

jako zmiana energii kinetycznej

Rozpatrzmy jeszcze raz ruch ciała pod wpływem stałej, niezrównoważonej siły F i obliczmy pracę jaką wykonuje ona na drodze s.

Stałość siły oznacza, że ruch odbywa się ze stałym przyspieszeniem a.

Zakładamy ponadto, że kierunek siły F i przyspieszenia a

pokrywa się z kierunkiem przesunięcia s. Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego możemy napisać

Wykonana praca jest równa:

Praca wykonana przez siłę F działającą na ciało o masie m jest równa zmianie energii kinetycznej tego ciała.

Moc

Z punktu widzenia zastosowań praktycznych często istotnym jest nie to ile energii można uzyskać ze źródła, ale to jak szybko można ją uzyskać

(zamienić w użyteczną postać). Na przykład, ważnym parametrem samochodu, istotnym przy wyprzedzaniu, jest to jak szybko samochód przyspiesza tzn. jak

szybko silnik wykonuje pracę związaną z rozpędzaniem samochodu.

Moc definiujemy jako ilość wykonanej pracy (lub przekazanej energii) do czasu w jakim została ona wykonana.

Jako że praca może być funkcją czasu, wprowadzono termin mocy średniej jako skończoną wartość pracy wykonanej w skończonym czasie:

Moc

Moc chwilowa jest to szybkość wykonywania pracy w danej chwili:

Jeżeli siła F działa na ciało, które zostaje przemieszczone o dr w czasie dt , to moc będzie równa:

gdzie v jest prędkością ciała i przy założeniu, że siła F jest stała w czasie.

Jednostką mocy jest dżul na sekundę czyli wat: 1 J / s = 1 W . Inną często spotykaną jednostką jest koń mechaniczny: 1 KM = 746 W .

Moc

Jaka musi być minimalna moc silnika samochodu o masie 1200 kg, aby wjechać pod górę zbocza o nachyleniu 15% z prędkością 90 km/h? Przyjmij,

że 25% mocy samochodu jest wykorzystywane do przeciwdziałania siłom oporu ruchu.

Podsumowanie

Praca W

● Nieskończenie mały przyrost pracy jest wyznaczany jako iloczyn skalarny siły wykonującej pracę i nieskończenie małego przemieszczenia.

● Praca siły działającej na skończonej drodze jest równa całce z nieskończenie małych przyrostów pracy na tej drodze.

● Praca wykonana przeciwko danej sile jest ujemna.

● Praca siły grawitacji jest równa iloczynowi ciężaru ciała i różnicy wysokości odpowiadającej przemieszczeniu ciała.

● Praca siły sprężystości zależy tylko od stałej sprężystości i zmiany długości sprężyny.

Podsumowanie

Energia kinetyczna

• Dla ciał poruszających się z prędkościami nierelatywistycznymi energia kinetyczna ruchu postępowego jest wyrażana jako 0,5 razy iloczyn masy i kwadratu prędkości ciała.

• Całkowita energia kinetyczna układu ciał poruszających się jest równa sumie energii kinetycznych wszystkich ciał w tym układzie.

• Wartość energii kinetycznej zależy od obranego układu odniesienia, zawsze przyjmuje wartości dodatnie i może być określana różnymi pojęciami w zależności od rodzaju ruchu ciała.

Podsumowanie

Ze względu na to, że siła wypadkowa, zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona, jest równa iloczynowi masy i przyspieszenia, tj. pierwszej pochodnej prędkości po czasie, całkowita praca wykonana nad cząstką w ruchu będzie odpowiadać zmianie jej energii kinetycznej. Jest to zasada równoważności pracy i energii kinetycznej - szczególny przypadek zasady zachowania energii mechanicznej.

Podsumowanie

Moc

• Moc wyraża szybkość zmian pracy w czasie. Wyznaczamy ją jako pochodną pracy po czasie.

• Z kolei aby wyznaczyć pracę, znając wartość mocy, musimy obliczyć całkę z mocy w funkcji czasu.

• Moc możemy też wyznaczyć jako iloczyn skalarny prędkości i siły działającej na ciało.