Energia kinetyczna

Energia, Praca,

Moc

Kto wykonał większą pracę?

Andiej Czemerkin

1996 r Igrzyska Olimpijskie Rekord : m = 260 kg H = 2m

Paul Anderson 1957 r

Q= 27900 N m= 3000 kg

Energia kinetyczna

• Energia związana ze stanem ruchu ciała

2 2

1 mv E =

• Wielkość skalarna

• Jednostka energii

• James Prescott Joule XIX wieczny angielski uczony

2 2

/ s m

kg 1

J 1 joule

1 ==== ==== ⋅⋅⋅⋅

Problem

CięŜar kaŜdej lokomotywy Q=1.2^.10⁶ N a = 0.26 m/s²

Jaka była łączna energia kinetyczna tuŜ przed zderzeniem ?

1989 r Waco, Texas, William Crush – linie kolejowe Katy

tuŜ przed zderzeniem ?

Rozwiązanie

) x x

( a 2 v

v

====

++++ −−−−

s / m 8 . 40 v ====

Prędkość lokomotywy

kg 10

x 22 . s 1

/ m 8 . 9

N 10 x 2 .

m 1

6

====

====

J 10 x

0 .

2

====

2 5

2 2

1

) ( 1 . 22 10 ) ( 40 . 8 / )

(

2 mv x kg m s

E = =

DuŜo czy mało

J E

= 2 . 0 ⋅ 10

Energia kinetyczna

lokomotyw przed zderzeniem

Aby podnieść temperaturę1kg wody 20^oC – 100^oC

20^oC – 100^oC

K T = 80

∆

J kg

kg K K

m J T

C

E

4200 ⋅ 80 ⋅ 1 = 3 . 36 ⋅ 10

= ⋅

⋅

∆

⋅

=

wody 600kg

m = 10 600

36 . 3

10 2

5

8

≈

⋅

= ⋅

E

E

DuŜo czy mało

kg MJ /

9 . 3

Moc wybuchu

J E

= 2 . 0 ⋅ 10

kg kg MJ

J 51 . 3 9

. 3

10 0

.

2

⋅ =

Przebywanie blisko tego zderzenia było równi bezpieczne jak przebywanie w pobliŜu wybijającej bomby

Materiał wybuchowy trotyl -60 g

855 granatów F1

Praca

Gdy zmieniamy prędkość ciała działając na nie siłą, zmieniamy jego energię kinetyczną. Zmiana energii jest związana z przekazaniem lub

odebraniem energii.

Gdy przekazanie energii odbywa się dzięki Gdy przekazanie energii odbywa się dzięki

przyłoŜeniu do ciała siły, siła wykonuje na ciałem pracę.

Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana w wyniku działania na ciało siłą.

Gdy energia jest przekazana ciału, praca jest dodatnia, a gdy energia jest ciału odebrana, praca jest ujemna.

Praca jako zmiana energii kinetycznej

Praca W jest to energia przekazana ciału lub od niego odebrana w wyniku

działania na ciało siłą. Zmiana energii kinetycznej ciała ∆Ε_k jest równa całkowitej pracy W wykonanej nad tym ciałem.

∆Ε_k ⁼ Ε_{k końc} ^- Ε_{k pocz} ^{= W}

Praca i energia kinetyczna

koralik

Ŝyłka

E

E

Praca jest to energia przekazana

ciału lub od innego odebrania na drodze działania na ciało siłą.

ma

F =

kpocz

E

kkon

E =

v v

→

Gdy koralik przemieszcza się o wektor d,

jego prędkość w wyniku działania siły F zmienia się

d a v

v

=

+ 2

d

F mv

mv

−

=

2

1 2

1

d F

W =

Praca jako zmiana energii kinetycznej

W E

mv

mv

−

= ∆

= 2

1 2

1

Zmiana energii kinetycznej

Praca wykonana nad cząstką

=

W E

E

=

+

Energia kinetyczna po wykonaniu pracy

Energia kinetyczna

przed wykonaniem pracy

= Praca wykonana

nad cząstką +

Praca

Stanowi związek między siłą a energia

Praca, W, wykonana przez stałąstałą siłę jest zdefiniowana jako iloczyn skalarny wektora siły i wektora przesunięcia

θ

∆

=

∆

⋅

=

∆ W F r F x cos

Do obliczenia pracy wykonanej przez siłę nad ciałem w czasie jego przemieszczenia potrzebna jest tylko składowa siły w kierunku przemieszczenia ciała. Składowa siły prostopadła do przemieszczenia nie wykonuje pracy.

F d

Praca

Praca wykonana przez siłę jest dodatnia, gdy składowa wektorowa siły w kierunku przemieszczenia jest skierowana zgodnie z wektorem przemieszczenia.

Praca wykonana przez siłę jest ujemna, gdy składowa wektorowa siły w kierunku przemieszczenia jest skierowana przeciwnie do wektora przemieszczenia.

Praca jest równa zeru, gdy siła nie ma składowej w kierunku przemieszczenia.

Przesunięcie jest poziome

Siła jest skierowana pionowo

∆W = 0

∆Ep =0

Praca jest dodatnia przy podnoszeniu cięŜaru

Praca jest ujemna przy opuszczaniu cięŜaru

Praca

Wielkość skalarna

1 1

m N

s m

kg J

joule = 1 = 1 ⋅ / = 1 ⋅

1

d F mv

mv

−

=

2

1 2

1

Całkowita praca wykonana przez wiele sił

Całkowita praca wykonana przez wiele sił jest sumą prac wykonanych przez poszczególne siły

Przykład: dwaj szpiedzy przesuwają szafę pancerną do swojej cięŜarówki. Szafa ma masę 225 kg, a jej przemieszczenie do cięŜarówki ma wartość 8.5 m. Agent 001 pcha szafę siłą F₁ o wartości 12 N skierowaną pod kątem 30^o w dół od poziomu, a agent 002 ciągnie ją z siłą F₂ o wartości 10 N, skierowaną pod kątem 40^o w górę od poziomu.

Jaką całkowitą pracę nad szafą wykonają siły F₁ i F₂ podczas jej przemieszczenia do cięŜarówki?

Całkowita praca wykonana przez wiele sił

∑ ^{= +}

=

i

i

cał

W W W

W

Praca wykonana przez siłę F₁:

1 1

1

1

^{F d F d} cos θ

W = ⋅ =

Praca wykonana przez siłę F₂:

2 2

2

2

^{F d F d} cos θ

W = ⋅ =

J m

N

W

= ( 12 )( 8 . 5 )(cos 30

) ≈ 88 . 3 W

= ( 10 N )( 8 . 5 m )(cos 40

) ≈ 65 J

J W

W

W

=

+

≈ 153

Praca wykonana przez siłę cięŜkości

E

Ciało zostaje rzucone w górę z prędkością v₀

2

2 0

1 mv E_k =

Gdy ciało się wznosi jego ruch jest spowalniany przez siłę cięŜkości Fg. tzn. energia kinetyczna ciała maleje

E

cięŜkości Fg. tzn. energia kinetyczna ciała maleje

Siła cięŜkości wykonuje prace nad ciałem

Praca wykonana podczas przemieszczenia ciała

θ

F

W = ⋅ =

θ

cos mgd

W =

przez siłę cięŜkości

Praca wykonana przez siłę cięŜkości

Gdy ciało się wznosi, siła F_g jest skierowana przeciwnie do przemieszczenia d ciała.

θ = 180

mgd mgd

mgd

W = mgd cos 180 = mgd ( − 1 ) = − mgd W = cos 180 = ( − 1 ) = −

Gdy ciało spada, siła F_g jest skierowana zgodnie z kierunkiem przemieszczenia d.

θ = 0

mgd mgd

mgd

W = cos 0 = ( + 1 ) =

Praca wykonywana przy podnoszeniu i opuszczaniu ciała

F d d

F F g

g pocz zew

kon k

k

E W W

E

E = − = +

∆

F F g

g d

F

0 0

= +

−

=

= ⇒

−

=

∆

g zew

g pocz zew

kon k k

W W

W W

E E

E

Problem – Kto wykonał większą pracę

Przykład: Andiej Czemerkin podniósł rekordowy cięŜar o masie 260 kg na

wysokość 2 m. Paul Anderson bijąc rekord Guinessa podniósł na wysokość 1 cm podest drewniany z częściami samochodowymi i kasą pancerną. Całkowita cięŜar ładunku 27900N (3000kg). Czyj wyczyn wymagał uŜycia większej siły?

Kto wykonał większą pracę podnosząc swój cięŜar –Czemerkin czy Anderson?

Czemerkin czy Anderson

Praca wykonana przez Czemerkina i Andersona była przeciwna do pracy wykonanej przez siłę cięŜkości.

J m

N mgd

up W

up

W

( ) =

( ) = cos θ = ( 2548 )( 2 ) cos 180

= 5100

J m

N mgd

up W

up

W

( ) =

( ) = cos θ = ( − 27900 )( 0 . 01 ) cos 180

= 280

Praca wykonana przez dowolną siłę zmienną

koralik

Ŝyłka

kpocz

E

kkon

E

x F

W

=

∆

∆

Całkowita praca wykonana przez siłę nad cząstką podczas jej ruchu x_pocz x_kon

∑

∑ ^{∆ = ∆}

= W F x

W

∑ ^∆

=

F x

W

x ,

lim

PrzybliŜenie jest tym lepsze im mniejsza jest szerokość pasków ∆x, czyli im więcej jest pasków. JeŜeli Dx dąŜy do zera, liczba pasków dąŜy do nieskończoności

∫

=

pocz

x

x

dx x

F

W ( )

Praca wykonana przez siłę zmienną

Analiza w trzech wymiarach

Niech na cząstkę działa siła trójwymiarowa

k F j

F i

F

F =

ˆ +

ˆ +

ˆ

Niech

F

= F

(x ) F

= F

( y ) F

= F

(z )

dz F dy

F dx

F r

d F

W = r r =

+

+

z z

Cząstka doznaje niewielkiego przemieszczenia

k dz j

dy i

dx r

d = ˆ + ˆ + ˆ

Praca wykonana przez siłę F nad cząstką podczas jej przemieszczenia dr

∫

∫

∫

∫ ^{= + +}

=

pocz kon

pocz kon

pocz kon

pocz

z

z

z y

y

y x

x

x r

r

dz F z

dy F dx

F dW

W

Praca wykonana przez siłę spręŜystości

Siła spręŜystości

d k F

− r

=

JeŜeli x>0 spręŜyna jest rozciągana a F < 0 JeŜeli x<0 spręŜyna jest ściśnięta a F> 0

Siła spręŜystości jest siłą zmienną – zaleŜy od x

ZałoŜenia: spręŜyna doskonała

ciało porusza się bez tarcia ciało traktowane jako cząstka

Praca wykonana przez siłę spręŜystości

x_pocz - x_kon dzielimy na małe odcinki

∑

∑ ^{∆ = ∆}

= W F x

W

(

)

2 ) 1

(

x

x x

x

x x

k dx

kx Fdx

W

kon

pocz kon

pocz

−

 

 



 −

=

−

=

= ∫ ∫

Gdy ∆x -> 0

Praca W jest dodatnia, gdy połoŜenie końcowe ciała jest bliŜsze końca spręŜyny nieodkształconej (x=0) niŜ jego połoŜenie początkowe.

Gdy połoŜenie końcowe ciała jest dalsze punktu x=0, to praca jest ujemna.

Praca jest równa zeru, gdy połoŜenia końcowe i początkowe klocka są jednakowo odległe od x=0

Moc

Szybkość, z jaką siła wykonuje pracę, czyli pracę w jednostce czasu

Jeśli siła wykonuje pracę w przedziale czasu ∆t, to moc średnia w tym przedziale

t P

W

= ∆

Moc chwilowa P jest szybkość wykonywania pracy

dt P

= dW

J s W 1 1

1 = 1 KM = 746 W

MJ J

s W

kWh ( 10 )( 3600 ) 3 . 6 106 3 . 6

1 =

= ⋅ =

Szybkość z jaką siła wykonuje pracę

dt P

= dW

 dx  dx

F

dW ^cos θ _



 



= 

=

= dt

F dx dt

dx F

dt

P

dW θ θ

cos cos

θ cos Fv

P

=

v F P

r r

⋅

=

Siły zachowawcze i niezachowawacze

Układ ciał składa się z dwóch lub więcej ciał

Siła działa między ciałem o właściwościach cząstki a resztą układu

Gdy zmienia się konfiguracja układu siła wykonuje pracę W₁ nad ciałem, przy czym energia Kinetyczna ciała zamienia się na inną postać energii układu

Gdy zmiana konfiguracji układu zachodzi w druga stronę zamiana energii przebiega W przeciwnym kierunku, a siła wykonuje pracę W₂

Siły zachowawcze i niezachowawcze

JeŜeli W₁ = -W₂ energia kinetyczna zmienia się w energię potencjalną Siły nazywamy zachowawczymi

Siła spręŜystości i siła cięŜkości – siły zachowawcze

Siły które nie są zachowawcze nazywamy niezachowawczymi Siła tarcia kinetycznego i siła oporu – siły niezachowawcze

Siły zachowawcze i niezachowawcze

Całkowita praca wykonana przez siłę zachowawczą nad cząstką poruszającą się po drodze zamkniętej jest równa zero

Praca wykonana przez siłę zachowawczą nad cząstką, przemieszczającą się Między dwoma punktami nie zaleŜy od drogi, po jakiej się porusza cząstka

Wyznaczanie energii potencjalnej

Zmianę grawitacyjnej energii potencjalnej Ep definiujemy — zarówno dla

wznoszenia, jak i dla spadku ciała —jako pracę wykonaną nad ciałem przez siłę cięŜkości, wziętą z przeciwnym znakiem. Oznaczając pracę —jak zwykle —

symbolem W, zapisujemy to stwierdzenie w postaci:

W E

= −

∆ E

= − W

∆

Gdy siła zaleŜy od połoŜenia, praca

∫

=

pocz

x

x

dx x

F

W ( )

∫

−

=

∆

pocz

x

x

p

F x dx

E ( )

energii potencjalnej Ogólna postać

energii potencjalnej

Grawitacyjna energia potencjalna

1. Siła cięŜkości działa w pionie – całkowanie wzdłuŜ osi y 2.Siła F = -mg -siła cięŜkości skierowana w dół wzdłuŜ osi y

d ^{∆ = − ∫ = − ∫ −}

kon

kon y

r

dy mg

dr r

F

E ( ) ( )

d

F g

∫

∫ ^{= − −}

−

=

∆

pocz

pocz y

r

p

F r dr mg dy

E ( ) ( )

y mg E

= ∆

∆

Energia potencjalna układu cząstka-Ziemia zaleŜy jedynie od połoŜenia y cząstki w pionie, liczonego względem punktu odniesienia y=0, a nie zaleŜy od

połoŜenia w poziomie

Energia potencjalna spręŜystości

∫

∫ ^{= − −}

−

=

∆

x r

dx kx

dr r

F

E ( ) ( )

kx F = −

∫

∫ ^{= − −}

−

=

∆

pocz

pocz x

r

p

F r dr kx dx

E ( ) ( )

2 2

2 1 2

1

pocz kon

p

kx kx

E = −

∆

2

2 1 kx E

=

∆

Zasada zachowania energii mechanicznej

Energia mechaniczna E_mechukładu jest sumą jego energii kinetycznej i Potencjalnej wszystkich jego składników

p k

mech E E

E = +

Gdy siła zachowawcza wykonuje pracę W u kładzie izolowanym nad jednym z ciał układu zachodzi zmiana energii kinetycznej E_k ciała na energię potencjalną E_p

układu

W E

=

∆

a energii potencjalnej

∆ E

= − W

Zasada zachowania energii mechanicznej

p

k

E

E = − ∆

∆

Wzrost jednego rodzaju energii równa jest ubytkowi drugiego rodzaju Wzrost jednego rodzaju energii równa jest ubytkowi drugiego rodzaju Zapisując w postaci

gdzie składniki 1 i 2 odnoszą się o dwóch róŜnych chwil, a więc do dwóch róŜnych Konfiguracji składników układu.

)

( _{2 1}

1

2 k p p

k E E E

E − = − −

2 2

1

1 p k p

k E E E

E + = +

Zachowanie

energii mechanicznej

Zasada zachowania energii mechanicznej

2 2

1

1 p k p

k E E E

E + = +

Wniosek: gdy układ jest izolowany a na jego składniki działają tylko siły Zachowawcze to:

Zachowawcze to:

suma E_k i E_p

dla dowolnego układu

suma E_k i E_p

dla kaŜdego innego stanu układu

=

W układzie izolowanym, w którym zmiana energii pochodzi od sił zachowawczych energia kinetyczna i potencjalna mogą się zmieniać, jednak ich suma czyli

energia mechaniczna nie ulega zmianie

Zasada zachowania energii mechanicznej

Przykład

Przykład

Przykład: zasada zachowania energii

v r 1

k

działa tarcie brak tarcia

Pudełko o masie m = 2kg ślizga się po blacie Z prędkością v1=4m/s i wpada na spręŜynę ściskając ją aŜ jego prędkość spadnie do zera.

Przed dotarciem do spręŜyny pudełko porusza się po blacie bez tarcia, a potem – gdy ściska spręŜynę- działa na nie siła tarcia

działa tarcie brak tarcia

1 1

2

2 term mech term

mech E E E

E − = −

spręŜynę- działa na nie siła tarcia Kinetycznego o wartości 15N.

Stała spręŜystości spręŜyny wynosi 10000 N/m O jaką odległość zostanie ściśnięta spręŜyna, gdy pudełko osiągnie prędkość zero?

k

działa tarcie brak tarcia

1 1

2

2 term mech term

mech

E E E

E − = −

1- stan początkowy ślizgającego się pudełka 2- stan, w którym prędkość pudełka v=0 działa tarcie brak tarcia 2- stan, w którym prędkość pudełka v=0

a spręŜyna jest ściśnięta o d

cm d

d f mv

kd

5 . 5

2 1 2

1

=

⇓

−

=