The non-linear three dimensional waves generated by a moving surface disturbance

T H E N O N L I N E A R T H R E E - D I M E N S I O N A L W A V E S G E N E R A T E D

B Y A M O V I N G S U R F A C E D I S T U R B A N C E

Douglas G . Dommermuth Dick K . P . Yue

Massachusetts Institute of Technology, U.S.A.

ABSTRACT A h i g h - o r d e r s p e c t r a l m e t h o d r e c e n t l y d e v e l o p e d t o m o d e l wave-wave i n t e r a c t i o n s (Dommermuth & Y u e , 1 9 8 7 a , b ) I s h e r e e x t e n d e d t o s t u d y t h e n o n l i n e a r t h r e e - d i m e n s i o n a l g r a v i t y w a v e s c r e a t e d b y a m o v i n g s u r f a c e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . H i g h - r e s o l u t i o n c o m p u t a t i o n s a r e p e r f o r m e d w h i c h I n v o l v e s 0(60,000) u n a l i a s e d f r e e - w a v e modes a n d I n c l u d e s n o n l i n e a r i n t e r a c t i o n s u p t o t h i r d o r d e r i n w a v e s t e e p n e s s . F o r l o n g - t i m e s i m u l a t i o n s , a t a p e r i n g m e t h o d i s d e v e l o p e d t o m o d e l t h e o u t f l o w c o m p u t a t i o n a l b o u n d a r i e s . T h i s p r o c e d u r e a l l o w s u s t o o b t a i n u s e f u l n o n l i n e a r s t e a d y - s t a t e r e s u l t s I n a r e l a t i v e l y c o n f i n e d c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . F r o m t h e r e s u l t s o f t h e c o m p u t a t i o n s , n o n l i n e a r c o r r e c t i o n s t o t h e wave r e s i s t a n c e and w a v e p r o f i l e a n d p a t t e r n a r e I d e n t i f i e d . The d i f f e r e n c e s a r e q u i t e l a r g e n e a r t h e c u s p l i n e s a n d p o i n t t o t h e I m p o r t a n c e o f c o r r e c t l y a c c o u n t i n g f o r t h e n o n l i n e a r e f f e c t s i n t h e n e a r a n d I n t e r m e d i a t e f i e l d s . 1 . INTRODUCTION The p r e d i c t i o n o f t h e h y d r o d y n a m i c wake a s s o c i a t e d w i t h a m o v i n g d i s t u r b a n c e s u c h as a s h i p o r s u b m a r i n e i s o f t h e o r e t i c a l i n t e r e s t and i n c r e a s i n g p r a c t i c a l I m p o r t a n c e . T h e p r o b l e m , h o w e v e r , i s a n e x t r e m e l y d i f f i c u l t o n e and r e q u i r e s , u l t i m a t e l y , a c o m p l e t e u n d e r s t a n d i n g a n d m o d e l l i n g o f t h e I m p o r t a n c e and i n t e r p l a y among d i v e r s e m e c h a n i s m s s u c h a s g r a v i t y w a v e g e n e r a t i o n , i n t e r n a l w a v e s , s u r f a c e t e n s i o n e f f e c t s , b o u n d a r y l a y e r a n d t u r b u l e n c e , s h e d v o r t l c i t y a n d s e p a r a t e d f l o w , a n d b u b b l e s a n d a i r e n t r a l n m e n t . E v e n w h e n v i s c o s i t y a n d v o r t l c i t y a r e i g n o r e d , t h e p r e c i s e d e s c r i p t i o n o f t h e t h r e e -d i m e n s i o n a l g r a v i t y w a k e i s s t i l l a f o r m i -d a b l e t a s k . F o r l i n e a r i z e d f r e e - s u r f a c e c o n d i t i o n s , t h e r e s u l t i n g N e u m a n n - K e l v i n p r o b l e m h a s b e e n s t u d i e d s i n c e K e l v i n ( 1 8 8 6 ) . C o n s i d e r i n g t h e w a v e s c r e a t e d b y a l o c a l i z e d p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n m o v i n g w i t h c o n s t a n t s p e e d , U, D. Dommermuth, present address; Science Applications International D.K. Yue: Department of Ocean Engineering, Massachusetts Institute

K e l v i n d e v e l o p e d t h e m e t h o d o f s t a t i o n a r y p h a s e t o show t h a t t h e f a r - f i e l d s t e a d y w a v e p a t t e r n c o n s i s t s o f a s u p e r p o s i t i o n o f d i v e r g i n g a n d t r a n s v e r s e w a v e s y s t e m s w h i c h a r e c o n f i n e d w i t h i n t w o r a y s f o r m i n g a n g l e s o f * Ö Q w i t h t h e t r a c k . T h e a n g l e o f t h e r a y s , ^ o r c u s p l i n e s , i s g i v e n b y e o= s i n - l ( l/ 3) S 1 9. 5 , a f a r - f i e l d r e s u l t w h i c h c a n b e d e r i v e d b y s i m p l e g e o m e t r i c a r g u m e n t s ( e . g . , H a v e l o c k , 1908; Lamb, 1932; L i g h t h i l l , 1956). D e t a i l s o f t h e w a v e p a t t e r n a r e q u i t e c o m p l i c a t e d a n d m a t h e m a t i c a l l y may b e e x p r e s s e d a s t h e sum o f a d o u b l e a n d a s i n g l e i n t e g r a l w i t h t h e f a r - f i e l d w a v e s g i v e n p r e d o m i n a n t l y b y t h e l a t t e r ( P e t e r s , 19A9) . The f a r - f i e l d b e h a v i o r i n t h e c u s p r e g i o n ( a n d n e a r t h e t r a c k ) w a s a n a l y z e d b y U r s e l l (1960); t h e w a v e a m p l i t u d e s a r e r e s p e c t i v e l y 0(r-^/^) and 0( r- 3 ) i n s i d e a n d o u t s i d e t h e c u s p l i n e s ; i n a f i n i t e r e g i o n o f w i d t h O(i^l^) a c r o s s $=9^ t h e r e i s a t r a n s i t i o n f r o m o s c i l l a t o r y t o e x p o n e n t i a l l y d e c a y i n g b e h a v i o r i n a n A l r y -f u n c t l o n - l i k e m a i m e r w h e r e t h e a m p l i t u d e i s 0 ( r - l ' 3 ) , r b e i n g d i s t a n c e f r o m t h e s o u r c e n o r m a l i z e d b y g/U^. D e s p i t e t h e a n a l y t i c a l d e v e l o p m e n t s , t h e a c c u r a t e n u m e r i c a l c a l c u l a t i o n o f l i n e a r s h i p w a v e s i s , a t p r e s e n t , s t i l l n o t c o m p l e t e l y s a t i s f a c t o r y , i n p a r t d u e t o t h e I n h e r e n t i n c o n s i s t e n c y o f t h e N e u m a n n - K e l v i n a p p r o x i m a t i o n a n d t h e s u b s t a n t i v e c o m p u t a t i o n a l e f f o r t r e q u i r e d f o r r e a l i s t i c t h r e e - d i m e n s i o n a l g e o m e t r i e s ( e . g . D o c t o r s & B e c k , 1987; G u e v e l e t a l , 1977). T h e d i f f i c u l t y I s m o r e s e v e r e when o n e i s p r i m a r i l y I n t e r e s t e d i n t h e s h o r t -wave f i e l d , s a y , a s o b s e r v e d b y b a c k - s c a t t e r e d s y n t h e t i c - a p e r t u r e r a d a r s i g n a l s ( e . g . , V e s e c k y Et S t e w a r t , 1982; F u & H o l t , 1982), w h e r e p r e s e n t c a l c u l a t i o n s b a s e d o n d i s c r e t e d i s t r i b u t i o n s o f s i n g u l a r i t i e s may n o t b e a b l e t o p r o v i d e t h e n e c e s s a r y r e s o l u t i o n ( M l l g r a m , 1987). M o t i v a t e d b y t h e l a c k o f a g r e e m e n t b e t w e e n l i n e a r i z e d t h e o r y a n d o b s e r v a t i o n s , t h e r e h a s b e e n a n I n c r e a s i n g i n t e r e s t i n n o n l i n e a r s h i p wave e f f e c t s i n r e c e n t y e a r s ( s e e , e . g . , t h e s u r v e y b y T u l i n , 1978). A n o t a b l e d e f i c i e n c y o f t h e l i n e a r i z e d w a v e p a t t e r n , r e p o r t e d a s e a r l y a s H o v g a a r d (1909), i s t h e f a c t t h a t bow Corporation, San Deigo, CA.

wave c r e s t s t e n d t o l i e o u t s i d e t h e t h e o r e t i c s ] c u s p l i n e s and b y a n amount w h i c h v a r i e s w i t h s p e e d . To a c c o u n t f o r t h i s , Gadd ( 1 9 6 9 ) i n c l u d e d s e c o n d - o r d e r c o r r e c t i o n s t o b o t h t h e s i n g u l a r i t y d i s t r i b u t i o n s o n t h e s h i p c e n t e r p l a n e and t h e c o n d i t i o n a t t h e f r e e s u r f a c e ( b y d i s t r i b u t i n g s i n g u l a r i t i e s o n i t s mean p o s i t i o n ) , b u t w i t h l i m i t e d s u c c e s s . I n a d i s c u s s i o n o f Gadd's p a p e r , L i g h t h i l l ( i n Gadd, 1969) s u g g e s t e d a m o r e u s e f u l a p p r o a c h t o a c c o u n t f o r t h e n o n l i n e a r e f f e c t s o n wave p r o p a g a t i o n s p e e d u s i n g W h i t h a m ' s t h e o r y f o r s l o w l y - v a r y i n g d i s p e r s i v e w a v e s ( L i g h t h i l l , 1967; W h i t h a m , 1 9 7 4 ) . T h i s a p p r o a c h was i n f a c t f o l l o w e d b y Howe ( 1 9 6 7 , 1968) ( b u t f o r a s i m p l e r p r o b l e m i n v o l v i n g a s i n g l e w a v e t r a i n r e s u l t i n g f r o m o p e n c h a n n e l f l o w p a s t a s l o w l y -m o d u l a t e d w a v y w a l l ) w h e r e he p r e d i c t e d p h a s e j u m p s o r ' s h o c k s ' , a r e s u l t w h i c h v i o l a t e s t h e o r i g i n a l a s s u m p t i o n o f s l o w v a r i a t i o n s , and a p p e a r s t o b e n o n p h y s i c a l (Newman, 1 9 7 0 ) . S u b s e q u e n t l y , a number o f a t t e m p t s t o a c c o u n t f o r some f r e e - s u r f a c e n o n l i n e a r i t l e s w e r e made ( e . g . , Newman, 1 9 7 0 ; H o g b e n , 1972; Dagan 1 9 7 2 a ; K l t a z a w a & T a k a g i , 1 9 7 6 ) . Much o f t h e w o r k i s a n a l y t i c i n n a t u r e and i n v o l v e s p e r t u r b a t i o n s t o h i g h e r o r d e r i n one o r m o r e o f t h e s m a l l p a r a m e t e r s o f t h e p r o b l e m . S u c h a p p r o a c h e s a r e n o t w i t h o u t d i f f i c u l t i e s , a n d t h e u n i f o r m i t y o f t h e e x p a n s i o n , f o r e x a m p l e , a r o u n d t h e z e r o - s p e e d l i m i t ( O g i l v i e , 1968; Dagan, 1972b, 1 9 7 5 ) i s u n t i l r e c e n t l y ( M l l o h S. Dagan, 1985) s t i l l p r o b l e m a t i c . T h i s has p r o m p t e d t h e i n t r o d u c t i o n o f a number o f q u a s i -l i n e a r t e c h n i q u e s ( D a w s o n , 1977; I n u i & K a j i t a n i , 1 9 7 7 ) , w h i c h h a v e f o u n d u s e f u l n u m e r i c a l a p p l i c a t i o n s ( e . g . X l a & L a r s s o n , 1 9 8 6 ) . The r e l a t e d p r o b l e m o f n o n l l n e a r i t y s p e c i f i c a l l y i n t h e K e l v i n c u s p r e g i o n has r e c e i v e d somewhat l e s s a t t e n t i o n (Newman, 1 9 7 1 ; A k y l a s , 1 9 8 7 ) , b u t we now k n o w t h a t r e s o n a n t q u a r t e t i n t e r a c t i o n s a l o n g t h e c u s p l i n e s may n o t be as s t r o n g as f i r s t c o n j e c t u r e d b y Newman ( 1 9 7 1 ) . T h e s e s t u d i e s t y p i c a l l y u t i l i z e p e r t u r b a t i o n t e c h n i q u e s i n a f a r - f i e l d l o c a l a n a l y s i s a n d , t h e r e f o r e , c a n n o t be r e a d i l y e x t e n d e d t o a n e x a m i n a t i o n o f t h e t o t a l wave p a t t e r n . D e s p i t e t h e r a p i d d e v e l o p m e n t o f n u m e r i c a l m e t h o d s f o r w a v e h y d r o d y n a m i c s , r e l i a b l e c o m p u t a t i o n a l r e s u l t s f o r t h e n o n l i n e a r s h i p -wave p r o b l e m a r e s c a r c e , e s p e c i a l l y i n t h r e e d i m e n s i o n s . One o f t h e d i f f i c u l t i e s o f a n o n l i n e a r c a l c u l a t i o n i s t h a t u n k n o w n s o n t h e e n t i r e f r e e s u r f a c e m u s t be e x p l i c i t l y i n c l u d e d and m o r e c o n v e n t i o n a l t e c h n i q u e s s u c h as a d i s t r i b u t i o n o f p a n e l s o n t h e s u r f a c e a r e e x p e n s i v e and p r o b a b l y p r o h i b i t i v e w h e n h i g h -r e s o l u t i o n t h -r e e - d i m e n s i o n a l -r e s u l t s a -r e r e q u i r e d . The m o s t s u c c e s s f u l c a l c u l a t i o n s t o d a t e e m p l o y f i n i t e - d i f f e r e n c e d i s c r e t i z a t i o n s o f a t r u n c a t e d f l u i d r e g i o n a r o u n d t h e h u l l ( M i y a t a & N i s h i m u r a , 1985; M i y a t a e t a l , 1986; Van E s e l t i n e & H a u s s l i n g , 1 9 8 1 ) i n c o n j u n c t i o n w i t h a b o u n d a r y - f i t t e d m a p p i n g (Thompson e t a l , 1974; H a u s s l i n g & C o l e m a n , 1979) o r a m a r k e r -a n d - c e l l (MAC) ( W e l s h e t -a l , 1966; Ch-an &-amp; S t r e e t , 1970; H i r t & N i c h o l s , 1 9 8 1 ) t y p e t r e a t m e n t o f t h e f r e e s u r f a c e . S u c h v o l u m e d i s c r e t i z a t i o n a p p r o a c h e s a r e , h o w e v e r , e x p e n s i v e a n d p r o b a b l y o f l i m i t e d u s e f u l n e s s f o r h i g h - r e s o l u t i o n c o m p u t a t i o n s w h i c h a r e n e c e s s a r y t o r e s o l v e n o n l i n e a r I n t e r a c t i o n s i n t h e s h i p w a k e . T h u s , i n one o f t h e l a r g e r MAC c o m p u t a t i o n s t o d a t e I n v o l v i n g 0 ( 1 0 0 , 0 0 0 ) c e l l s i n t h r e e d i m e n s i o n s ( M i y a t a & N i s h i m u r a , 1 9 8 5 ) , t h e c o m p a r i s o n s t o e x p e r i m e n t s f o r t h e wave p r o f i l e a l o n g t h e b o d y a n d i n t h e v i c i n i t y o f t h e h u l l w e r e q u a l i t a t i v e a t b e s t and w a v e r e s i s t a n c e c o m p a r i s o n s c o u l d n o t be made. I n t h e w o r d s o f some o f t h e m o r e s u c c e s s f u l p r a c t i t i o n e r s o f t h e m e t h o d ( M i y a t a e t a l , 1 9 8 6 ) : "The way f r o m ( t h e ) q u a l i t a t i v e a g r e e m e n t t o ( t h e ) q u a n t i t a t i v e a g r e e m e n t seems t o b e l o n g e r t h a n e x p e c t e d . " I n d e e d , a d i r e c t a p p l i c a t i o n o r e x t e n s i o n o f t h e f i n i t e -d i f f e r e n c e a p p r o a c h t o f i n e - r e s o l u t i o n c o m p u t a t i o n s o f t h e n o n l i n e a r s h i p - w a v e p r o b l e m a p p e a r s i n f e a s i b l e i n t h e i m m e d i a t e f u t u r e . The p r e s e n t p a p e r i s m o t i v a t e d b y t h e r e c e n t d e v e l o p m e n t o f a p o w e r f u l h i g h - o r d e r p s e u d o - s p e c t r a l m e t h o d f o r m o d e l l i n g n o n l i n e a r wave-wave a n d w a v e - b o d y I n t e r a c t i o n s . The m e t h o d i s f o r m a l l y b a s e d o n t h e Z a k h a r o v e q u a t l o n / m o d e - c o u p l l n g i d e a ( Z a k h a r o v , 1968; C r a w f o r d e t a l , 1 9 8 1 ; P h i l l i p s , 1960; C o h e n e t a l , 1976) b u t i s g e n e r a l i z e d t o I n c l u d e i n t e r a c t i o n s up t o a n a r b i t r a r y o r d e r , M, i n wave s t e e p n e s s . U n l i k e e x i s t i n g Z a k h a r o v mode-c o u p l l n g mode-c o m p u t a t i o n s , a l a r g e n u m b e r , s a y 0 ( 1 0 0 0 ) f r e e w a v e modes p e r h o r i z o n t a l d i m e n s i o n a r e t y p i c a l l y u s e d . E a c h o f t h e s e modes a r e " f r e e " o r i n d e p e n d e n t i n t h a t i t i s s u b j e c t t o i t s own a m p l i t u d e e v o l u t i o n e q u a t i o n w h i c h c o n t a i n s a l l t h e n o n l i n e a r I n t e r a c t i o n s w i t h t h e o t h e r modes up t o t h e s p e c i f i e d o r d e r . T h e s e e v o l u t i o n e q u a t i o n s a r e d e t e r m i n e d t h r o u g h a p s e u d o - s p e c t r a l t r e a t m e n t ( F o r n b e r g & W h i t h a m , 1 9 7 8 ) o f t h ^ n o n l i n e a r f r e e - s u r f a c e c o n d i t i o n s . S i g n i f i c a n t l y , t h e c o m p u t a t i o n a l e f f o r t i s o n l y l i n e a r l y p r o p o r t i o n a l t o t h e t o t a l n u m b e r o f m o d e s , N, and t h e o r d e r , M, a n d t h e c o n v e r g e n c e w i t h N a n d M i s e x p o n e n t i a l l y f a s t f o r w a v e s up t o a p p r o x i m a t e l y 8 0 % o f S t o k e s l i m i t i n g s t e e p n e s s ( k a ~ . 3 5 ) . ( F o r e x a m p l e , o u r c o m p u t a t i o n a l e x p e r i e n c e s h o w s t h a t f o r s u c h s t e e p n e s s e s , c o n v e r g e n c e t o 5 s i g n i f i c a n t f i g u r e s c a n be a c h i e v e d f o r M~8 a n d N~32 p e r w a v e l e n g t h ) . The m e t h o d has now b e e n t e s t e d e x t e n s i v e l y and c o m p a r e d t o e x p e r i m e n t s and o t h e r w e a k l y a n d f u l l y n o n l i n e a r

p r e d i c t i o n s f o r w a v e - w a v e i n t e r a c t i o n s i n t w o (Dommermuth & Yue, 1 9 8 7 a ) and t h r e e d i m e n s i o n s (Dommermuth & Yue, 1 9 8 7 b ) ; f o r s h a l l o w - w a t e r w a v e s (Dommermuth & Yue, 1 9 8 8 a ) ; and h a s b e e n g e n e r a l i z e d t o i n c l u d e t h e p r e s e n c e o f a s u b m e r g e d b o d y i n t w o - d i m e n s i o n s (Dommermuth & Yue, 1 9 8 8 b ) . The p r e s e n t t h r e e - d i m e n s i o n a l c o m p u t a t i o n s , w h i c h I n v o l v e 0 ( 6 0 , 0 0 0 ) u n a l i a s e d modes, t h i r d o r d e r i n n o n l i n e a r i t l e s ( o v e r lO'' t o t a l n u m b e r o f u n k n o w n s ) , and i n t e g r a t i o n t i m e s o f 0 ( 2 0 ) f u n d a m e n t a l p e r i o d s ( t o r e a c h s t e a d y s t a t e ) , r e p r e s e n t t h e m o s t a m b i t i o u s a p p l i c a t i o n o f t h e h i g h - o r d e r s p e c t r a l m e t h o d t o d a t e . On t h e o t h e r h a n d , e v e n l a r g e r

c o m p u t a t i o n s a r e e n v i s a g e d , w h i c h may p r o v i d e t h e n e c e s s a r y r e s o l u t i o n o f t h e s h o r t e r d i v e r g i n g w a v e s n e a r t h e t r a c k , and may u l t i m a t e l y i n c l u d e a s u b m e r g e d o r e v e n s u r f a c e -p i e r c i n g s l e n d e r b o d y . I n § 2 , t h e m a t h e m a t i c a l f o r m u l a t i o n and b a s i s o f t h e h i g h - o r d e r s p e c t r a l m e t h o d i s s u m m a r i z e d . F o r l a t e r r e f e r e n c e , s e v e r a l l i n e a r i z e d r e s u l t s f o r t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n i n a d o u b l y p e r i o d i c d o m a i n and f o r t h e s t e a d y -s t a t e p r o b l e m i n an u n b o u n d e d f l u i d a r e a l -s o g i v e n . D e t a i l s o f t h e n u m e r i c a l i m p l e m e n t a t i o n a r e g i v e n i n § 3 , i n c l u d i n g e r r o r a n a l y s e s and s y s t e m a t i c c o n v e r g e n c e and b e n c h m a r k t e s t s . A t a p e r i n g p r o c e d u r e w h i c h e n a b l e s l o n g - t i m e s i m u l a t i o n s i n a l i m i t e d c o m p u t a t i o n a l d o m a i n i s d e s c r i b e d i n §3.3. N u m e r i c a l r e s u l t s f o r t h e n o n l i n e a r t h r e e - d i m e n s i o n a l p r o b l e m o f a m o v i n g s u r f a c e p r e s s u r e a r e p r e s e n t e d i n §4. The m a i n f i n d i n g s a r e s u m m a r i z e d i n t h e c o n c l u s i o n s e c t i o n (§5). 2. MATHEMATICAL FORMULATION We c o n s i d e r t h e I r r o t a t l o n a l m o t i o n , s t a r t i n g f r o m r e s t , o f a h o m o g e n e o u s , i n c o m p r e s s i b l e , and I n v l s c i d f l u i d u n d e r a f r e e s u r f a c e i n I n f i n i t e d e p t h . S u r f a c e t e n s i o n i s n o t i n c l u d e d . A C a r t e s i a n c o o r d i n a t e s s y s t e m i s c h o s e n w i t h t h e o r i g i n a t t h e mean w a t e r l e v e l , t h e x - a x i s p o i n t i n g i n t o a u n i f o r m c u r r e n t o f s p e e d , -U, and t h e z - a x i s p o s i t i v e u p w a r d . F o r s i m p l i c i t y , t i m e and mass u n i t s a r e c h o s e n so t h a t t h e g r a v i t a t i o n a l a c c e l e r a t i o n a n d f l u i d d e n s i t y a r e one. The g r a v i t y w a v e s c r e a t e d b y a s u r f a c e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n , P^^*)» t u r n e d o n a t t = 0 , c a n be d e s c r i b e d b y a t o t a l v e l o c i t y p o t e n t i a l , - U x + $ ( x , z , t ) , w h e r e i s a t i s f i e s L a p l a c e ' s e q u a t i o n w i t h i n t h e f l u i d . H e r e x = ( x , y ) i s a v e c t o r i n t h e h o r i z o n t a l p l a n e and t i s t i m e . F o l l o w i n g Z a k h a r o v ( 1 9 6 8 ) , we d e f i n e t h e s u r f a c e p o t e n t i a l 4 S ( 3 c , t ) = $ ( x , l 7 ( x , t ) , t ) ( 2 . 1 ) w h e r e z = ) J ( x , t ) d e n o t e s t h e f r e e s u r f a c e , w h i c h we assume t o be c o n t i n u o u s and s i n g l e -v a l u e d . I n t e r m s o f t h e k i n e m a t i c and d y n a m i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s o n t h e f r e e s u r f a c e a r e r e s p e c t i v e l y ( 2 . 2 a ) * t " " * x ' * 2 ' x * ^ * ' x * ^ - I (1+V i y 7 r ) il{x,ri,t) = -P ( x ) ( 2 . 2 b ) w h e r e Vjj = (3/9x,9/9y) d e n o t e s t h e h o r i z o n t a l g r a d i e n t . The i n i t i a l c o n d i t i o n s a r e i^(x,0)-= rjix,0)=0, a t t = 0 , a t w h i c h t i m e t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n , P^, i s a p p l i e d I n s t a n t a n e o u s l y . W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e p r e s e n c e o f a f r e e s t r e a m , t h e e n s u i n g r e s u l t s f o l l o w c l o s e l y

t h a t o f Dommermuth & Yue ( 1 9 8 7 a ) ( h e r e a f t e r d e n o t e d b y D Y ) , w h i c h we s u m m a r i z e h e r e f o r t h e s a k e o f c o m p l e t e n e s s . We assume t h a t t and rj a r e 0 ( e ) q u a n t i t i e s , w h e r e e, a s m a l l p a r a m e t e r , i s a m e a s u r e o f t h e wave s t e e p n e s s . We c o n s i d e r a c o n s i s t e n t a p p r o x i m a t i o n up t o and i n c l u d i n g a g i v e n o r d e r M i n £, a n d w r i t e $ i n a p e r t u r b a t i o n s e r i e s i n £: M , , 4 ( x . z , t ) = E «^""'(x.z.t) m = l ( 2 . 3 ) H e r e and h e r e a f t e r , ( ) d e n o t e s a q u a n t i t y o f 0 ( e ™ ) . We f u r t h e r e x p a n d e a c h *(™) e v a l u a t e d o n z=)J i n a T a y l o r s e r i e s a b o u t z = 0 , so t h a t f r o m ( 2 . 1 ) we h a v e M M-m „k , k r ( x , t ) = * ( x , ) 7 , t ) = E E 2 0-^ j C n J ^ ^ ^ Q ^ ^ j m = l k = 0 k! az*^ C2.4) The v a l i d i t y and c o n v e r g e n c e o f ( 2 . 4 ) i s l i m i t e d b y t h e r a d i u s o f c o n v e r g e n c e ( f r o m z = 0 ) o f $, w h i c h c a n n o t e x t e n d b e y o n d t h e f i r s t s i n g u l a r i t y i n t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f $ a b o v e z=?J. I n p r a c t i c e , t h i s p l a c e s t h e l i m i t o n t h e s t e e p n e s s o f t h e f r e e s u r f a c e we c a n c o n s i d e r . A t a g i v e n i n s t a n t o f t i m e , we may c o n s i d e r $^ and tj k n o w n , so t h a t ( 2 . 4 ) i s a D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n f o r t h e u n k n o w n $. T h u s , e x p a n d i n g ( 2 . 4 ) and c o l l e c t i n g t e r m s a t e a c h o r d e r , we o b t a i n a s e q u e n c e o f b o u n d a r y c o n d i t i o n s f o r t h e u n k n o w n p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l s o n z = 0 ; * ^ ' " ^ x , 0 , t ) = R ^ " ) , m=l,2,...,M. ( 2 . 5 a ) w h e r e k = l k l dz'^ m=2,3,...,M. ( 2 . 5 b ) T h e s e b o u n d a r y c o n d i t i o n s , I n a d d i t i o n t o L a p l a c e ' s e q u a t i o n and a p p r o p r i a t e c o n d i t i o n s I n t h e f a r f i e l d , d e f i n e a s e a u e n c e o f b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m s f o r $ ( " ) , m=l,2,...,M, i n t h e d o m a i n z i O . T h e s e p r o b l e m s c a n be s o l v e d s u c c e s s i v e l y a t i n c r e a s i n g o r d e r s f o r any p r e s c r i b e d $S ^_ As i n a t y p i c a l m o d e - c o u p l i n g a p p r o a c h , we r e p r e s e n t e a c h as an e x p a n s i o n o f f r e e modes w h i c h s a t i s f y a l l b u t t h e D i r i c h l e t f r e e -s u r f a c e c o n d i t i o n ( 2 . 5 ) . T h u -s we w r i t e 00 * < " ^ x , z , t ) = E $ ( " ^ ( t ) « ( x . z ) , z <. 0 n = I " " ( 2 . 6 ) w h e r e , i n p r a c t i c e , t h e number o f s p e c t r a l modes i s t r u n c a t e d a t some s u i t a b l e n u m b e r , N. S u b s t i t u t i o n o f ( 2 . 6 ) i n t o ( 2 . 5 ) d e t e r m i n e s t h e a m p l i t u d e s * n ( n i ) ( t ) i n t e r m s o f t h e m o d a l

c o m p o n e n t s o f o u r m a i n o b j e c t i v e I n o r d e r t o I n t e g r a t e t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n s ( 2 . 2 ) I s t h e s u r f a c e v e r t i c a l v e l o c i t y . k + 1 * ^ ( x , 7 , t ) = E E ^ E t ^ " ^ t ) n m = l k = 0 n = l k + l n

* (x.O)

( 2 . 7 ) w h i c h , w h e n s u b s t i t u t e d i n t o t h e f r e e - s u r f a c e c o n d i t i o n s ( 2 . 2 ) y i e l d s t h e f i n a l r e s u l t ' ' t - " V ' x * ^ * ' x ' ' - ( l + V x " ? M M-m k N , , - k + l E E ^ E «^"'^t) 2 — m = l k = 0 ^' n = l a z ^ * ^ "

*

( x , 0 ) X' X' k + l M M-m „k N , , E E ^ E • ^ ' " ^ t ) ^ ^ m = l k = 0 ^' a = l " Bz^^^l "

•

( x , 0 ) -P

*

( x , t ) =

E

p = - * q E ^ • p q ( t ) e x p d S p X + U^y] • ^ " ^ x . z . t ) = Ê E • < ' " > ( t ) . p=-« q^-»

•exp[(«p + /C^)^''^z + i/CpX + 1/t^y]

( 2 . 9 ) w h e r e /tp=2Tp/L, *q=2)rq/W. I n p r a c t i c e , t h e number o f F o u r i e r modes i s t r u n c a t e d a t I P l m a x = P and |ql„ax=Q-We c o n s i d e r , f o r t h i s w o r k , a x i s y m m e t r i c p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n s , P a = P a ( x , y ) = P a ( r ) , c e n t e r e d a t ( x , y ) = ( X c , 0 ) w i t h r a d i a l e x t e n t s R < L / 2 , W/2 ( c f . E q . 3 . 2 ) . The r a d i a l d i s t a n c e f r o m t h e c e n t e r o f t h e p r e s s u r e , r , i s g i v e n b y r 2 = ( x - x ^ ) 2 + y 2 . The ( n o n l i n e a r ) w a v e r e s i s t a n c e i s e x p r e s s e d i n t e r m s o f t h e s u r f a c e p r e s s u r e and wave e l e v a t i o n : ( 2 . 8 ) E q u a t i o n s ( 2 . 8 ) a r e t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n s f o r 4^ and t] i n t e r m s o f t h e m o d a l a m p l i t u d e s ^ n ^ " ) w h i c h t h e m s e l v e s a r e g i v e n b y t h e v a l u e s o f t h e s e s u r f a c e q u a n t i t i e s a c c o r d i n g t o ( 2 . 5 ) , and t h e p r o b l e m i s c o m p l e t e . We p o i n t o u t t h a t ( 2 . 8 ) i s t h e g e n e r a l i z a t i o n t o M - t h o r d e r i n wave s t e e p n e s s o f t h e p e r t u r b a t i o n e q u a t i o n s w h i c h f o r m t h e b a s i s o f m o d e - c o u p l i n g f o r m u l a t i o n s ( e . g . W e s t , 1 9 8 2 , A p p e n d i x A ) . So f a r , t h e b a s i s f u n c t i o n s I n ( 2 . 6 ) a r e g e n e r a l a n d c a n b e a p p l i e d t o p r o b l e m s i n deep w a t e r o r f i n i t e d e p t h o r e x t e n d e d i n a s t r a i g h t f o r w a r d m a n n e r t o I n c l u d e t h e p r e s e n c e o f a v a r i a b l e b o t t o m t o p o g r a p h y (DY § 2 ) . I n s h a l l o w w a t e r , t h i s p r o c e d u r e l e a d s t o c l o s e d -f o r m e q u a t i o n s w h i c h h a v e I m p o r t a n t i m p l i c a t i o n s t o s i m u l a t i o n s o f h i g h l y - n o n l i n e a r w a v e i n t e r a c t i o n s i n s h a l l o w w a t e r (Dommermuth & Yue, 1 9 8 8 a ) . We a r e a l s o a b l e t o g e n e r a l i z e t h i s a p p r o a c h t o i n c l u d e t h e p r e s e n c e o f a b o d y (Dommermuth & Yue, 1 9 8 8 b ) .

F ^ ( t ) L/2 W/2

J •

-L/2 -W/2 d x d y P ^ ( x , y , t ) I 7 ^ ( x , y , t ) ( 2 . 1 0 ) F o r l a t e r r e f e r e n c e , we w r i t e down t h e l i n e a r i z e d r e s u l t s f o r r e s p e c t i v e l y t h e t r a n s i e n t s o l u t i o n i n a d o u b l y - p e r i o d i c d o m a i n and t h e s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n i n a n u n b o u n d e d f l u i d . F o r t h e p e r i o d i c t r a n s i e n t r e s u l t s c o r r e s p o n d i n g t o t h e s u r f a c e p r e s s u r e b e i n g a p p l i e d a t t = 0 , w h i c h we d e n o t e b y ( ) , t h e F o u r i e r m o d a l a m p l i t u d e s f o r t h e f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n and p o t e n t i a l a r e g i v e n b y : 1(C U t P (U cosWt-l/CpU s l n W t ) J F o r t h e p r e s e n t p r o b l e m , we c h o o s e p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n b o t h h o r i z o n t a l d i m e n s i o n s , and c o n s i d e r t h e r e c t a n g u l a r d o m a i n , -L/2 i x i L/2 and -W/2 i y i W/2 i n deep w a t e r . The a p p r o p r i a t e r e p r e s e n t a t i o n s f o r t h e s u r f a c e p r e s s u r e , f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n , s u r f a c e v e l o c i t y p o t e n t i a l , and p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l s a r e t h e n r e s p e c t i v e l y : V L P 1« U t (« s l n l i ; t + i S p U c o s W t ) J ( 2 . 1 1 ) w h e r e - ("p^ * q ^ ) ^ ' ^ t h e f r e q u e n c y i s g i v e n b y = K^. N o t e t h a t n e a r t h e r e s o n a n c e o f a p a r t i c u l a r mode, KpU ü U, i t s a m p l i t u d e g r o w s l i n e a r l y i n t i m e . P ^ ( x ) = E E P„„ e x p [ i / c x + iiC V] p=-» q= f / ( x , t ) = E E )7„„(t) exp[i« X + i s y ] -00 n = -00 p=-» q pq p q' F o r t h e l i n e a r i z e d s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n f o r a p r e s s u r e m o v i n g o n a n u n b o u n d e d f l u i d , we d e n o t e b y tj^ a n d t h e f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n s o n t h e c e n t e r l i n e and c u s p l i n e r e s p e c t i v e l y , and l e t = l / U ^ be t h e c h a r a c t e r i s t i c w a v e n u m b e r . F o r a n a x i s y m m e t r i c p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n , we w r i t e down t h e w e l l k n o w n f a r -f i e l d a s y m p t o t i c b e h a v i o r s o -f a n d tot « o r » l ( e . g . , S t o k e r , 1 9 5 7 ) :

. l n ( | 3^/3 2 r 1 r ( 2 . 1 2 ) w h e r e J Q I S t h e z e r o t h - o r d e r B e s s e l f u n c t i o n o f t h e f i r s t k i n d . I t I s e v i d e n t f r o m ( 2 . 1 2 ) t h a t t h e f a r - f i e l d w a v e a m p l i t u d e d e c r e a s e s o n l y as o n t h e c u s p l i n e s as c o m p a r e d t o r'^'^ I n s i d e t h e K e l v i n a n g l e . C o r r e s p o n d i n g t o ( 2 . 1 2 ) , t h e l i n e a r i z e d s t e a d y - s t a t e w a v e r e s i s t a n c e I s g i v e n b y : i r / 2 r P ( r ) J (/C r s e c a o o -ö)dr ( 2 . 1 3 ) d u r a t i o n o f s i m u l a t i o n , t h e r e r e m a i n f o u r m a i n s o u r c e s o f c o m p u t a t i o n a l e r r o r s : ( 1 ) e r r o r s due t o t r u n c a t i o n i n t h e number o f modes N and o r d e r M; ( 2 ) a m p l i f i c a t i o n o f r o u n d - o f f and t r u n c a t i o n e r r o r s ; ( 3 ) e r r o r s due t o a l i a s i n g ; and ( 4 ) e r r o r s due t o n u m e r i c a l t i m e i n t e g r a t i o n . T h e s e a r e d i s c u s s e d s e p a r a t e l y b e l o w . 3 . 2 . 1 . E r r o r s due t o t r u n c a t i o n i n t h e number o f modes H and o r d e r M F o r s u f f i c i e n t l y s m o o t h P^, 17, and 4^, t h e c o e f f i c i e n t s i p q ^ " ) o f any o r t h o g o n a l e i g e n f u n c t l o n e x p a n s i o n o f t h e p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l v a n i s h m o r e r a p i d l y t h a n a l g e b r a i c p o w e r s o f p and q as p,q-*». S i m i l a r l y , f o r m i l d n o n l i n e a r i t l e s , t h e t r u n c a t i o n e r r o r a f t e r o r d e r M i s 0 ( e ^ ' ' " ^ ) , a n d t h e c o n v e r g e n c e i s e x p o n e n t i a l l y f a s t as M I n c r e a s e s . As i s p o i n t e d o u t a f t e r ( 2 . 4 ) , s u c h c o n v e r g e n c e c e a s e s b e y o n d a c e r t a i n w a v e s t e e p n e s s due t o t h e p r e s e n c e o f s i n g u l a r i t i e s i n t h e a n a l y t i c c o n t i n u a t i o n o f t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l a b o v e t h e a c t u a l s u r f a c e . T h e s e o b s e r v a t i o n s a r e s u b s t a n t i a l l y c o n f i r m e d i n o u r n u m e r i c a l t e s t s o f r e g u l a r (DY § 3 . 3 ) , and o b l i q u e S t o k e s w a v e s ( c f . §3.4) w h e r e t h e c r i t i c a l s t e e p n e s s i s f o u n d t o be a p p r o x i m a t e l y e = k a ~ . 3 5 . 3. NUMERICAL METHOD 3 . 1 . I m p l a m e n t a t i o n The n u m e r i c a l m e t h o d f o r a s i m u l a t i o n u s i n g N=0(PXQ) w a v e modes and r e t a i n i n g n o n l i n e a r i t l e s up t o a s p e c i f i e d o r d e r , M, c o n s i s t s o f t w o p r i n c i p a l s t e p s : ( a ) G i v e n t h e s u r f a c e e l e v a t i o n ( ^ ( x . t ) a n d t h e p o t e n t i a l { ^ ( x . t ) o n t h a t s u r f a c e a t some i n s t a n t o f t i m e t , t h e m o d a l a m p l i t u d e s o f t h e v e l o c i t y p o t e n t i a l •jj(™)(t) s u b j e c t t o t h e D i r i c h l e t c o n d i t i o n ( 2 . 4 ) a r e s o l v e d u s i n g a p s e u d o - s p e c t r a l m e t h o d . S p e c i f i c a l l y , a l l s p a t i a l d e r i v a t i v e s o f j(™) , *S a^d 1\ a r e e v a l u a t e d i n s p e c t r a l ( w a v e n u m b e r ) s p a c e , w h i l e n o n l i n e a r p r o d u c t s a r e c a l c u l a t e d i n p h y s i c a l s p a c e a t a d i s c r e t e s e t o f p o i n t s x j . F a s t -F o u r i e r t r a n s f o r m s a r e u s e d t o p r o j e c t b e t w e e n t h e w a v e n u m b e r and p h y s i c a l d o m a i n s . A t e a c h o r d e r , ( 2 . 5 ) i s s o l v e d i n w a v e n u m b e r s p a c e b y e q u a t i n g F o u r i e r m o d e s . The n u m b e r o f o p e r a t i o n s r e q u i r e d i s 0 ( P Q I n PQ). F o r p e r t u r b a t i o n s up t o o r d e r M t h e o p e r a t i o n c o u n t i s t h e n 0(MPQ I n PQ) p e r t i m e s t e p . ( b ) The e v o l u t i o n e q u a t i o n s ( 2 . 8 ) a r e t h e n I n t e g r a t e d i n t i m e t o o b t a i n t h e new v a l u e s i ; ( x , t + A t ) and t S ( 3 j , t + A t ) . F o r t h e p r e s e n t c o m p u t a t i o n s , we u s e a f o u r t h - o r d e r R u n g e - K u t t a i n t e g r a t o r w i t h c o n s t a n t t i m e s t e p s A t . The t w o - s t e p p r o c e d u r e ( a ) - ( b ) i s r e p e a t e d s t a r t i n g f r o m i n i t i a l c o n d i t i o n s . 3.2. E r r o r c o n s i d e r a t i o n s A s s u m i n g t h a t t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n (LXW) i s s u f f i c i e n t l y l a r g e f o r a g i v e n To r e t a i n s p e c t r a l c o n v e r g e n c e and a c c u r a c y i n t h e p r e s e n t w o r k , t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n m u s t b e c h o s e n t o be s m o o t h e n o u g h t o a v o i d G i b b ' s p h e n o m e n a . F o r t h i s p u r p o s e , we d e f i n e t h e H e r m i t i a n p o l y n o m i a l , I I ( s ) , O i s i l , w h e r e I I ( 0 ) = 1 , n ( l ) = 0 , and (dl^/ds*'^)n(0) = ( d k / d s k ) n ( l ) = 0 f o r k = l , 2 , 3 , 4 , 5 : n(s)=l-462s^+1980s^-3465s^+3080s'-1386s^°+252s^^ ( 3 . 1 ) and s p e c i f y t h e s u r f a c e p r e s s u r e , P a ^ ^ a f " ^ ) ' f P n ( r / R ) , 0 i r ^ R ( 3 . 2 ) w h e r e Pn,ax t h e maximum p r e s s u r e a t t h e c e n t e r r = 0 . The F o u r i e r modes, P p q , o f t h e p r e s s u r e g i v e n i n ( 3 . 2 ) c o n v e r g e as p " ^ , q " ^ as p , q I n c r e a s e , and i s f o u n d t o b e s u f f i c i e n t l y s m o o t h f o r c o m p u t a t i o n s up t o f o u r t h o r d e r ( M = 4 ) , w h e r e f o u r t h - o r d e r d e r i v a t i v e s o f t h e f r e e - s u r f a c e b o u n d a r y c o n d i t i o n s ( 2 . 8 ) a r e r e q u i r e d . 3.2.2. A m p l i f i c a t i o n o f r o u n d - o f f and t r u n c a t i o n e r r o r s The I n t e g r i t y o f t h e n u m e r i c a l r e s u l t s c a n be s e v e r e l y l i m i t e d b y t h e a m p l i f i c a t i o n o f c o m p u t a t i o n a l e r r o r s . C o n s i d e r , f o r i n s t a n c e , a s m a l l r a n d o m e r r o r i n t h e F o u r i e r a m p l i t u d e s o f t h e p e r t u r b a t i o n p o t e n t i a l s 4 p q ( " ) . F o r t h e d e r i v a t i v e s I n ( 2 . 5 ) and ( 2 . 7 ) , we h a v e , i n g e n e r a l Ql'^/öz^^ ~ (JCp^+Ztq^)^'^. s o t h a t a t a n y o r d e r t h e e r r o r s i n t h e h i g h e s t w a v e n u m b e r

modes a r e a m p l i f i e d t h e m o s t . T h i s I s a r o o t c a u s e o f u n s t a b l e g r o w t h o f e r r o r s I n many n o n l i n e a r s i m u l a t i o n s w h e r e l a r g e w a v e n u m b e r s ( o r f i n e s p a t i a l r e s o l u t i o n s ) a r e u s e d . To e l i m i n a t e s u c h h i g h - w a v e n u m b e r i n s t a b i l i t i e s , we f o l l o w L o n g u e t - H l g g i n s & C o k e l e t ( 1 9 7 6 ) and a p p l y a s m o o t h i n g f u n c t i o n ( i n wavenumber s p a c e ) t o Pg, and t o t] and $^ a f t e r e v e r y t i m e s t e p . An i d e a l t w o - d i m e n s i o n a l l o w - p a s s f i l t e r : Aj(«p,«q,i') = 1 |p|/P and |q|/Q i. V 0 <. U i I 0 o t h e r w i s e ( 3 . 3 ) w h e r e 1/ i s a p a r a m e t e r t o b e c h o s e n , i s u s e d . The a p p l i c a t i o n o f ( 3 . 3 ) makes t h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s e x t r e m e l y r o b u s t ( c f . DY § 4 . 3 ) , a l t h o u g h i n many c o m p u t a t i o n s no s m o o t h i n g o r f i l t e r i n g w h a t s o e v e r i s n e c e s s a r y . We p o i n t o u t t h a t a u s e f u l a l t e r n a t i v e t o a p p l y i n g ( 3 . 3 ) when m o d e l l i n g p h y s i c a l e x p e r i m e n t s may be t o i n t r o d u c e w a v e n u m b e r d e p e n d e n t d a m p i n g t e r m s e x p l i c i t l y i n t h e s p e c t r a l e q u a t i o n s . T h i s i s , h o w e v e r , n o t d o n e i n t h e p r e s e n t w o r k . l a r g e r s t a b i l i t y r e g i o n . U s i n g a l i n e a r i z e d s t a b i l i t y a n a l y s i s , t h e C o u r a n t c o n d i t i o n f o r RK4 i s A t 2 i 8/(/CpZ+/CQ2)l/2, w h i c h s h o u l d a l s o be a n e c e s s a r y c o n d i t i o n f o r t h e n o n l i n e a r p r o b l e m . I n c o n t r a s t , ABM4 i s w e a k l y u n s t a b l e f o r any A t a c c o r d i n g t o l i n e a r s t a b i l i t y a n a l y s i s . 3.3 E n a b l i n g l o n g - t i m e s i m u l a t i o n s Our g o a l i s t o s t u d y t h e n o n l i n e a r s h i p -w a v e p a t t e r n t h a t -w o u l d b e c r e a t e d o n a n u n b o u n d e d f l u i d . The u s e o f a f i n i t e n u m e r i c a l d o m a i n i s a c o m p u t a t i o n a l n e c e s s i t y w h i l e t h e c h o i c e o f d o u b l y - p e r i o d i c b o u n d a r y c o n d i t i o n s a l l o w s f o r t h e u s e o f h i g h l y e f f i c i e n t F o u r i e r s p e c t r a l s e r i e s ( 2 . 9 ) . T h i s , h o w e v e r , I m p o s e s a l i m i t o n t h e s i m u l a t i o n t i m e b e y o n d w h i c h a n a p p r e c i a b l e amount o f w a v e e n e r g y w o u l d e x i t t h e r e a r and r e e n t e r t h r o u g h t h e f r o n t o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . O v e r e v e n l o n g e r t i m e s , r e s o n a n c e s w o u l d o c c u r i n t h e f i n i t e n u m e r i c a l d o m a i n t h a t w o u l d n o t b e p r e s e n t i n an u n b o u n d e d f l u i d . 3.2.3. A l i a s i n g e r r o r s C o n s i d e r t h e p r o d u c t , h ( x ) , o f t w o f u n c t i o n s f < x ) and g ( x ) and t h e i r r e s p e c t i v e F o u r i e r s e r i e s r e p r e s e n t a t i o n s h ^ , t^, and g j , f o r - N i n ^ N . I n o u r p s e u d o - s p e c t r a l a p p l i c a t i o n , t h e p r o d u c t i s p e r f o r m e d i n p h y s i c a l s p a c e a t e q u a l l y - s p a c e d p o i n t s x j : h ( x j ) = f ( x j ) g ( x j ) . W h e r e u p o n we h a v e , j + k = n -' j+k=n±N J j,k=0,*l,*2,...,±N ( 3 . 4 ) The s e c o n d sum r e p r e s e n t s t h e a l i a s i n g e r r o r t e r m s w h i c h a r i s e w h e n e v e r J + k = n ( m o d u l o N ) . I t i s w e l l k n o x j n ( e . g . , O r s z a g , 1971) t h a t t h e b e s t a p p r o x i m a t i o n t o t h e p r o d u c t I n t h e mean-s q u a r e mean-s e n mean-s e i mean-s t h e mean-s o - c a l l e d a l i a mean-s - f r e e mean-sum. To o b t a i n t h i s , we d o u b l e t h e number o f modes ( a n d t h e number o f c o l l o c a t i o n p o i n t s x j ) f o r e a c h f u n c t i o n . T h u s , we d e f i n e new f u n c t i o n s H = FG, w h e r e ( F n , G n ) = ( f n . g n ) | n | i N a n d ( F n , G n ) = ( 0 , 0 ) f o r N < | n | i 2 N , and t h e p r o d u c t i s t a k e n as b e f o r e i n p h y s i c a l s p a c e . The F o u r i e r c o e f f i c i e n t s o f t h e a l i a s - f r e e sum, h , i s t h e n g i v e n b y h j j = H j j f o r | n | i N . F o r p r o d u c t s i n v o l v i n g t w o o r m o r e t e r m s , t h e m u l t i p l i c a t i o n i s d o n e s u c c e s s i v e l y w h e r e e a c h f a c t o r i s made a l i a s - f r e e b e f o r e m u l t i p l y i n g b y t h e n e x t t e r m . 3.2.4. E r r o r s due t o n u m e r i c a l t i m e I n t e g r a t i o n The l o c a l t r u n c a t i o n e r r o r o f t h e f o u r t h -o r d e r R u n g e - K u t t a (RK4) scheme u s e d f -o r i n t e g r a t i n g t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n s ( 2 . 8 ) i s 0 ( A t 5 ) . The g l o b a l t r u n c a t i o n e r r o r f o r t = 0 ( l ) i s f o u r t h o r d e r i n A t ( s e e T a b l e 2 ) . RK4 r e q u i r e s t w i c e as many e v a l u a t i o n s as t h e commonly u s e d m u l t i s t e p A d a m s B a s h f o r t h

-M o u l t o n (AB-M4) m e t h o d o f t h e same o r d e r b u t has a somewhat l o w e r g l o b a l t r u n c a t i o n e r r o r and a To a l l o w f o r l o n g - t i m e s i m u l a t i o n s , we d e v e l o p a p r o c e d u r e w h e r e i n t h e f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n and p o t e n t i a l a r e t r u n c a t e d s m o o t h l y ( t a p e r e d ) a t t h e l o n g i t u d i n a l e n d s o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n a f t e r e a c h t i m e s t e p . S p e c i f i c a l l y , we m u l t i p l y f] and $^ b y a t a p e r i n g f u n c t i o n n ( x , A ) w h i c h i s e q u a l t o o n e i n t h e m i d d l e and s m o o t h l y a p p r o a c h e s z e r o a t t h e e n d s : n ( x , A ) = • 1 , , n ( ( | x | - L / 2 + A ) / A ) , |x| < L/2 - A

I

- A < |x| ^

I

( 3 . 5 ) w h e r e A m e a s u r e s t h e w i d t h o f t h e t a p e r i n g r e g i o n and i s a p a r a m e t e r t o be c h o s e n . I n p r a c t i c e ( 3 . 5 ) i s a p p l i e d b e f o r e t h e f i l t e r i n g ( 3 . 3 ) and t h e a l i a s - f r e e p r o d u c t s Ufj a n d 0$^ a r e p e r f o r m e d i n p h y s i c a l s p a c e . As t h e n u m e r i c a l t e s t s i n §4 i n d i c a t e , t h i s s i m p l e t a p e r i n g p r o c e d u r e i s r e m a r k a b l y e f f e c t i v e a n d a l l o w s us t o c a r r y o u t v e r y l o n g s i m u l a t i o n s , i n many c a s e s r e a c h i n g s t e a d y s t a t e i n m o s t o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n . 3.4. N u m e r i c a l c o n v e r g e n c e t e s t s a g a i n s t e x a c t S t o k e s w a v e s We f i r s t t e s t t h e a c c u r a c y and c o n v e r g e n c e w i t h r e s p e c t t o t h e o r d e r M, t h e maximum

n u m b e r s o f w a v e modes, P and Q, and t i m e s t e p A t , o f o u r m e t h o d u s i n g e x a c t ( p r o g r e s s i v e ) S t o k e s w a v e s as a b e n c h m a r k . F o r t h e s o l u t i o n o f t h e l a t t e r , we f o l l o w S c h w a r t z ( 1 9 7 4 ) b u t s o l v e t h e n o n l i n e a r e q u a t i o n s a s s o c i a t e d w i t h t h e m a p p i n g f u n c t i o n ( S c h w a r t z ' E q s . 2 . 6 ) d i r e c t l y u s i n g N e w t o n I t e r a t i o n r a t h e r t h a n h i s h i g h - o r d e r p e r t u r b a t i o n . The f i n a l r e s u l t s a r e e x a c t t o 14 s i g n i f i c a n t f i g u r e s .

E P=Q M= 2 4 6 8 . 1 15 .69X10-t .65X10-0 .62X10-° 3 2 .75X10-2 .69X10-^ .65X10-6 .63X10-8 64 .75X10-2 .69X10-^ .65X10-6 .63X10-8 .2 16 .30X10-1 .11X10-2 .44X10-^ . 19X10-5 32 .30X10-1 .11X10-2 .45X10-'* .18X10-5 64 .30X10-1 .11X10-2 .45X10-^ . 18X10-5 .3 16 .70X10-1 .62X10-2 .66X10-3 .21X10-3 32 .70X10-1 .63X10-2 .58X10-3 .56X10-^ 6 4 .70X10-1 .63X10-2 .58X10-3 .56X10-'^ .35 16 .97X10-1 .13X10-1 .31X10-2 .22X10-2 32 .97X10-1 .12X10-1 .16X10-2 .29X10-3 T a b l e 1 . Maximum r e l a t i v e e r r o r i n t h e f r e e - s u r f a c e v e l o c i t y , iz\z=rj' °^ a n o b l i q u e S t o k e s w a v e o f s t e e p n e s s e f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f mode n u m b e r s P and Q, a n d o r d e r o f a p p r o x i m a t i o n M. t / T T / f i t = 40 50 60 3.4.1 C o n v e r g e n c e o f t h e b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m s o l u t i o n F i r s t , we t e s t t h e h i g h - o r d e r s o l u t i o n o f t h e b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m ( c f . E q s . 2 . 5 ) . We p r e s c r i b e tj and f o r ( t w o w a v e l e n g t h s o f ) a n e x a c t o b l i q u e S t o k e s w a v e t r a v e l l i n g a l o n g t h e d i a g o n a l x = y a n d s o l v e f o r t h e v e r t i c a l v e l o c i t y o n t h e f r e e s u r f a c e , 4 z l z = ) ^ . The r e l a t i v e e r r o r s b e t w e e n t h e e x a c t a n d a p p r o x i m a t e v e l o c i t i e s (maximum d i f f e r e n c e d i v i d e d b y maximum e x a c t v a l u e ) a r e g i v e n i n T a b l e 1 f o r a r a n g e o f w a v e s t e e p n e s s e s a n d n u m e r i c a l p a r a m e t e r s . The t o t a l w a v e s t e e p n e s s i s d e f i n e d t o b e e=k();n,ax-'?min)'2, w h e r e k i s t h e f u n d a m e n t a l w a v e n u m b e r . S i m i l a r t o DY's t w o - d i m e n s i o n a l r e s u l t s , f o r s t e e p n e s s e s u p t o e ~ . 3 5 , t h e e r r o r d e c r e a s e s e x p o n e n t i a l l y f a s t w i t h i n c r e a s i n g P, Q, a n d M. F o r a n y g i v e n M, t h e r e s u l t s c o n v e r g e t o some l i m i t e x p o n e n t i a l l y r a p i d l y as P a n d Q a r e i n c r e a s e d . On t h e o t h e r h a n d , P, Q m u s t b e s u f f i c i e n t l y l a r g e f o r t h e c o n v e r g e n c e w i t h M t o t a k e p l a c e . 3.4.2 C o n v e r g e n c e o f t h e n u m e r i c a l t i m e i n t e g r a t i o n I n T a b l e 2, t h e g l o b a l t r u n c a t i o n e r r o r s o f t h e n u m e r i c a l t i m e i n t e g r a t i o n i s s h o w n . As b e f o r e , we u s e e x a c t S t o k e s w a v e s t o p r e s c r i b e t h e i n i t i a l c o n d i t i o n s f o r 4^ ^ n d f] f o r a ( t w o w a v e l e n g t h l o n g ) w a v e t r a i n t r a v e l l i n g a l o n g x = y . The maximum r e l a t i v e e r r o r s i n t h e s u r f a c e e l e v a t i o n s a r e m e a s u r e d a f t e r t i m e s t / T = l a n d 10, w h e r e T i s t h e f u n d a m e n t a l w a v e p e r i o d . We c o n s i d e r a r a n g e o f t i m e - s t e p s i z e s and t w o w a v e s t e e p n e s s e s , e = . l a n d . 2 . By e x a m i n i n g t h e r a t i o s o f t h e e r r o r s as A t I s d e c r e a s e d , i t i s s e e n t h a t t h e e x p e c t e d O ( A t ^ ) g l o b a l e r r o r i s r e c o v e r e d p r o v i d e d t h a t t h e s o l u t i o n t o t h e b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e m i s s u f f i c i e n t l y a c c u r a t e , w h i c h h a s n o t o c c u r r e d , f o r e x a m p l e , f o r e=.2 a n d T/At=50. 1 .47X10-^ 10 .36X10-3 1 .82X10-'^ 10 .17X10-3 .18X10-^ .14X10-3 .66X10-^ .36X10-3 .84X10-5 .62X10-* T a b l e 2. Maximum r e l a t i v e e r r o r i n t h e f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n , o f a p r o g r e s s i v e o b l i q u e S t o k e s w a v e o f s t e e p n e s s £ and p e r i o d T a f t e r i n t e g r a t i o n t i m e t , f o r d i f f e r e n t v a l u e s o f t i m e s t e p A t . N u m e r i c a l p a r a m e t e r s a r e P=Q=16 a n d M=6. F o r o u r c o m p u t a t i o n s , t h e p a r a m e t e r s M, P, Q, a n d At a r e c h o s e n f o r a s p e c i f i e d a c c u r a c y ( t y p i c a l l y , 5 = 1 0 - 5 ) u s i n g t h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e : (1) s e l e c t t h e o r d e r o f t h e p e r t u r b a t i o n M s o t h a t i5~e"; (11) c h o o s e t h e n e c e s s a r y number o f F o u r i e r modes N b a s e d o n T a b l e 1 t o r e a l i z e t h e r e q u i r e d a c c u r a c y ; and ( i l l ) c h o o s e A t / T a c c o r d i n g t o T a b l e 2 s u b j e c t t o t h e l i n e a r C o u r a n t s t a b i l i t y c o n d i t i o n (cf.§3.2.4). 4. RESULTS I n t h i s c h a p t e r we p r e s e n t l i n e a r a n d n o n l i n e a r r e s u l t s f o r t h e p r o b l e m o f a t h r e e -d i m e n s i o n a l p r e s s u r e -d i s t r i b u t i o n a p p l i e -d o n a u n i f o r m s t r e a m . F i r s t , we e s t a b l i s h t h e c o r r e c t n e s s a n d a c c u r a c y o f t h e n u m e r i c a l m e t h o d t h r o u g h s y s t e m a t i c c o n v e r g e n c e t e s t s f o r t h e n u m b e r s o f F o u r i e r m o d e s , t h e o r d e r o f a p p r o x i m a t i o n , a n d t h e t i m e s t e p . The p e r f o r m a n c e o f t h e t a p e r i n g p r o c e d u r e f o r l o n g -t i m e s i m u l a -t i o n s and f o r o b -t a i n i n g s -t e a d y - s -t a -t e r e s u l t s i s t h e n e v a l u a t e d . F i n a l l y , d e t a i l s o f t h e n o n l i n e a r w a v e r e s i s t a n c e , s u r f a c e p r o f i l e s , and w a v e p a t t e r n s a r e p r e s e n t e d and c o m p a r e d t o l i n e a r t r a n s i e n t and s t e a d y - s t a t e p r e d i c t i o n s .

I n w h a t f o l l o w s , a l l l e n g t h s a r e n o r m a l i z e d b y t h e d i a m e t e r o f t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n , 2R ( I . e . , 2R=1 i n o u r l e n g t h u n i t s ) . F o r o u r b a s e c a s e , we c h o o s e a u n i f o r m s t r e a m v e l o c i t y U=.4. A t t h i s F r o u d e number ( / = U ) , t h e l i n e a r w a v e r e s i s t a n c e i s c l o s e t o i t s maximum a c c o r d i n g t o ( 2 . 1 3 ) . A t t h i s s p e e d , t h e d i v e r g i n g w a v e s i n t h e wake a r e d o m i n a t e d b y t h e t r a n s v e r s e w a v e s , w h i c h c o n t r i b u t e m o s t t o t h e w a v e r e s i s t a n c e . We c h o o s e t h e a m p l i t u d e o f t h e s u r f a c e p r e s s u r e , ^ m a x i s u c h t h a t t h e t r a n s v e r s e w a v e s o n t h e t r a c k a r e c l o s e t o b r e a k i n g . U s i n g t h e l i n e a r r e s u l t ( 2 . 1 2 ) f o r rjo w i t h ü = . 4 , we c a l c u l a t e t h e l o c a l w a v e s t e e p n e s s d e f i n e d b y e o ( r ) = |87o/8x| = 10.62Pjiax/>'"^> w h i c h i s v a l i d f o r r > > l . Thus we s e l e c t f o r o u r n o n l i n e a r c a l c u l a t i o n s a t y p i c a l v a l u e o f Pp,a3j~0.015, w h i c h g i v e s e o ( r ) ~ 0 . 1 6 / ^ r , a v a l u e somewhat g r e a t e r t h a n 35Z o f S t o k e s l i m i t i n g s t e e p n e s s a t a d i s t a n c e o f r = l . I n o u r n o n l i n e a r ( t h i r d -o r d e r ) s i m u l a t i -o n s , t h e s t e e p e s t w a v e s -o c c u r s l i g h t l y a f t o f t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n w h e r e t h e maximum l o c a l s l o p e i s |8);/ax|n,ajj~.33, and t o t h e s i d e s o f t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n , w h e r e |9)7/9ylniax " -15. T h i s i s j u s t w i t h i n t h e l i m i t o f t h e n u m e r i c a l scheme ( c f . § 3 . 4 ) . T o g i v e a n i n d i c a t i o n o f t h e c o n v e r g e n c e o f t h e n o n l i n e a r t r a n s i e n t r e s u l t s t o w a r d s s t e a d y s t a t e , a n d f o r c o m p a r i s o n w i t h t h e l i n e a r s t e a d y - s t a t e w a v e r e s i s t a n c e , we d e f i n e a t i m e - a v e r a g e d w a v e r e s i s t a n c e n o r m a l i z e d b y ^2 ^ a v g< ^ ' ' 2 ) = — 7 7 ^ / ^ x ( ^ > ' V l ^ max t ^ ( 4 . 1 ) The c h o i c e o f t h e l o w e r a n d u p p e r t i m e l i m i t s , t ^ a n d t 2 i may b e g u i d e d , f o r e x a m p l e , b y t h e l i n e a r i z e d a n a l y s i s o f Wehausen ( 1 9 6 4 ) f o r t h e t r a n s i e n t p r o b l e m . F o r a n I m p u l s i v e l y s t a r t e d s u r f a c e p r e s s u r e , t h e l i n e a r w a v e r e s i s t a n c e o s c i l l a t e s a b o u t i t s s t e a d y - s t a t e v a l u e w i t h a l e a d i n g - o r d e r p e r i o d o f 4 T , w h e r e T=2)rU i s t h e t h e t i m e i t t a k e s t o t r a v e l o n e f u n d a m e n t a l w a v e l e n g t h Xo=2»u2 a t s p e e d U. F o r a r e a s o n a b l e e s t i m a t e o f t h e s t e a d y - s t a t e r e s i s t a n c e , t h e r e f o r e , we c h o o s e t 2 - t i t o b e some m u l t i p l e o f t h e l i n e a r o s c i l l a t i o n p e r i o d , 4T. T a b l e 3 shows t h e c o n v e r g e n c e o f o u r r e s u l t s w i t h r e s p e c t t o t h e n u m b e r s o f F o u r i e r modes, P a n d Q, t h e o r d e r o f a p p r o x i m a t i o n , M, and t h e t i m e s t e p , A t . F o r c o m p a r i s o n , we g i v e t h e v a l u e o f F a v g ( 2 T , 6 T ) , a n d t h e n o r m a l i z e d f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n 17r='?/I'max a t a s p e c i f i c p o i n t b e h i n d t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n ( o n t h e " r o o s t e r t a l l " ) w h e r e t h e a m p l i t u d e i s c l o s e t o maximum. F o r r e f e r e n c e , t h e l i n e a r i z e d t r a n s i e n t d o u b l y - p e r i o d i c s o l u t i o n (2.11) a n d t h e l i n e a r i z e d s t e a d y - s t a t e r e s u l t (2.13) f o r u n b o u n d e d f l u i d a r e a l s o s h o w n . The e x p e c t e d e x p o n e n t i a l c o n v e r g e n c e o f F g ^ g w i t h P, Q a n d M i s c l e a r l y s e e n . T h e t h i r d - o r d e r s i m u l a t i o n s a r e u n s t a b l e f o r t i m e s t e p s T / A t 5 3 0 e v e n w h e n t h e l i n e a r i z e d C o u r a n t s t a b i l i t y c o n d i t i o n i s n o t v i o l a t e d . H o w e v e r , f o r somewhat s m a l l e r t i m e s t e p s o u r r e s u l t s c o n v e r g e r a p i d l y t o t h r e e a n d f o u r s i g n i f i c a n t f i g u r e s r e s p e c t i v e l y f o r ijj. a n d F^^g. B e c a u s e o f t h e s t e e p s l o p e s i n t h a t r e g i o n , t h e s u r f a c e e l e v a t i o n 1]^ i s a s t r i n g e n t m e a s u r e o f c o n v e r g e n c e . T h i s i s e v i d e n c e d b y i t s r a t h e r u n e v e n c o n v e r g e n c e w i t h r e s p e c t t o t h e o r d e r o f a p p r o x i m a t i o n , M, i n d i c a t i n g t h a t e v e n h i g h e r o r d e r n o n l i n e a r e f f e c t s may b e i m p o r t a n t t h e r e . F o r t h e i n t e g r a t e d q u a n t i t y , F^vg» c o n v e r g e n c e t o f o u r s i g n i f i c a n t f i g u r e s i s a c h i e v e d a t t h i r d o r d e r w h i l e t h e s e c o n d - o r d e r r e s u l t i s s t i l l I n a d e q u a t e . T h i s i s r e l a t e d t o t h e f a c t t h a t t h e l e a d i n g - o r d e r c o r r e c t i o n t o t h e n o n l i n e a r wave p h a s e s p e e d s o c c u r s a t t h i r d o r d e r , w h i c h i n t u r n a f f e c t s t h e r e l a t i v e p h a s e s b e t w e e n dtjlbx a n d Pa i n ( 2 . 1 0 ) . p Q T/At _{a v g} 32 16 3 60 0.9962 2.97 64 32 3 6 0 1.0065 3.30 128 64 3 60 1.0065 3.31 128 64 1 60 1.0288 2.68 128 64 2 6 0 0.9967 3.48 128 64 3 6 0 1.0065 3.31 128 64 4 60 1.0063 3.45 128 64 3 30 128 6 4 3 45 1.0064 3.31 128 64 3 6 0 1.0065 3.31 L i n e a r t i m e - d o m a i n t h e o r y ( 2 . 1 1 ) 128 64 1

_—

2.64 L i n e a r s t e a d y - s t a t e t h e o r y ( 2 .13)

—

1

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1.02739 T a b l e 3. C o n v e r g e n c e w i t h r e s p e c t t o n u m b e r s o f F o u r i e r m o d e s , P a n d C^j o r d e r o f a p p r o x i m a t i o n , M; a n d t i m e s t e p . A t . The c o m p u t a t i o n p a r a m e t e r s a r e : U=.4, L = 8 , W=6j X c = l , Pniax=-015. A t a p e r i n g ( A = . 5 X o ) a n d a n i d e a l s m o o t h i n g f i l t e r (V=.9) a r e a p p l i e d e v e r y t i m e s t e p . F a v g i s f o r t i = 2 T a n d t 2 = 6 T , a n d <7r='7/Pmax i s e v a l u a t e d a t ( x , y ) = ( - 0 . 6 2 5 , 0 ) a t t = 6 T . T o e v a l u a t e t h e e f f e c t i v e n e s s o f t h e t a p e r i n g f u n c t i o n ( 3 . 5 ) , we p e r f o r m a number o f l i n e a r ( M = l ) s i m u l a t i o n s a n d c o m p a r e t h e e s t i m a t e s o f w a v e r e s i s t a n c e t o t h e s t e a d y -s t a t e t h e o r e t i c a l v a l u e g i v e n b y ( 2 . 1 3 ) . T h i -s i s s h o w n i n T a b l e 4 f o r a r a n g e o f t h e t a p e r f u n c t i o n p a r a m e t e r f r o m A=0 ( n o t a p e r i n g ) up t o A=.75Xo ( o r 75Z o f t h e f u n d a m e n t a l w a v e l e n g t h \O=2KU^ a t t h e l o n g i t u d i n a l ends o f t h e c o m p u t a t i o n a l d o m a i n ) . A t s h o r t e r s i m u l a t i o n t i m e s , w h e n l i t t l e w a v e e n e r g y I s e x p e c t e d t o l e a v e t h e d o m a i n f r o m t h e r e a r ( a n d e n t e r e d i n t o t h e f r o n t ) , t h e c o m p u t a t i o n

w i t h o u t u s e o f t a p e r i n g g i v e s t h e b e s t e s t i m a t e o f t h e s t e a d y - s t a t e r e s i s t a n c e as e x p e c t e d . Thus when t h e t i m e - a v e r a g e d r e s i s t a n c e I s c a l c u l a t e d w i t h t i = 4 T a n d t 2 = 8 T , t h e r e l a t i v e e r r o r i n t h e e s t i m a t e o f t h e s t e a d y - s t a t e r e s i s t a n c e I s o n l y .02Z f o r A=0 b u t I s up t o ~.5Z f o r A=.75Xo. F o r l o n g e r s i m u l a t i o n s , h o w e v e r , d i s t u r b a n c e s e v e n t u a l l y r e a c h t h e c o m p u t a t i o n b o u n d a r i e s a n d t h e n o n - t a p e r e d r e s u l t s g i v e r a t h e r p o o r e s t i m a t e s o f t h e s t e a d y - s t a t e l i m i t . On t h e o t h e r h a n d , t h e t a p e r e d s i m u l a t i o n s p e r f o r m r e m a r k a b l y w e l l . F o r e x a m p l e , f o r F ^ v g C 1 2 T , 1 6 T ) , t h e r e l a t i v e e r r o r I s l e s s t h a n .2Z f o r A=.5Xo, b u t I s a b o u t 4Z f o r t h e r e s u l t w i t h o u t t a p e r i n g . M o r e I m p o r t a n t l y , I n c o n t r a s t t o t h e n o n - t a p e r e d s i m u l a t i o n s , t h e u s e o f a t a p e r f u n c t i o n a l l o w s s t e a d y - s t a t e r e s u l t s t o b e r e a c h e d . F o r n o n l i n e a r c o m p u t a t i o n s i n g e n e r a l , t h e t a p e r i n g p r o c e d u r e a l l o w s f o r a s m a l l e r c o m p u t a t i o n a l d o m a i n a n d i s p a r t i c u l a r l y e f f e c t i v e f o r l o n g -t i m e s i m u l a -t i o n s and f o r -t h e p r e d i c -t i o n o f -t h e s t e a d y - s t a t e l i m i t s ( I f t h e y e x i s t ) o f t h e n o n l i n e a r r e s i s t a n c e a n d w a v e f i e l d . A/^o F a v g ( 4 T , 8 T ) F a ^ g ( 1 2 T , 1 6 T ) 0.00 1.0276 1.0688 0.25 1.0256 1.0256 0.50 1.0324 1.0291 0.75 1.0328 1.0339 L i n e a r s t e a d y - s t a t e t h e o r y ( 2 . 1 3 ) 1.02739 1.02739 T a b l e 4. The e f f e c t o f t a p e r i n g o n t h e p r e d i c t i o n o f l i n e a r w a v e r e s i s t a n c e . The n u m e r i c a l p a r a m e t e r s a r e ! U=.4; L = 8 , W=6; X ( , = l , Pmax'O.OlS; P = 1 2 8 , Q=64, M = l j T/At=50 a n d l/=.9. The ( u n b o u n d e d d o m a i n ) s t e a d y - s t a t e r e s i s t a n c e i s c a l c u l a t e d u s i n g ( 2 . 1 3 ) . H a v i n g d e m o n s t r a t e d t h e v a l i d i t y and a c c u r a c y o f t h e n u m e r i c a l m e t h o d , we t u r n t o t h e d e t a i l s o f t h e n o n l i n e a r s o l u t i o n . I n T a b l e 5, we i n v e s t i g a t e t h e d e p e n d e n c e o f t h e n o n l i n e a r wave r e s i s t a n c e o n t h e a m p l i t u d e , ^max' °^ t h e f o r c i n g p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . F o r c o m p a r i s o n , we c a l c u l a t e t h e d i f f e r e n c e s b e t w e e n F a v K ( 2 T , 6 T ) a n d t h e l i n e a r s t e a d y - s t a t e ( n o r m a l i z e d ) r e s i s t a n c e a n d n o r m a l i z e t h e m a g a i n b y t h e p r e s s u r e a m p l i t u d e . The n e a r l y c o n s t a n t v a l u e s o v e r a r a n g e o f V^^,^ i n d i c a t e t h a t t h e l e a d i n g - o r d e r n o n l i n e a r c o r r e c t i o n I n t h e w a v e r e s i s t a n c e i s a t t h i r d o r d e r , a n d i s n e g a t i v e f o r t h i s F r o u d e number and p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . I n t h e f o l l o w i n g , we p r e s e n t r e s u l t s f r o m o u r h i g h - r e s o l u t i o n n o n l i n e a r s i m u l a t i o n . F o r t h i s c o m p u t a t i o n , we a g a i n f i x U=.4 a n d Pmax='015. The p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n i s p l a c e d a t X(,=5 i n a c o m p u t a t i o n a l d o m a i n g i v e n b y L=16 and W=8\/2. T h i s a l l o w s u s t o s i m u l a t e u p t o a p p r o x i m a t e l y 12 t r a n s v e r s e w a v e s b e h i n d t h e p r e s s u r e . The n u m b e r s o f u n a l i a s e d F o u r i e r modes we u s e a r e P=Q=128. T h i s g i v e s a t o t a l o f 4X128X128 = 6 5 , 5 3 6 u n a l i a s e d d e g r e e s o f -p max F ( 2 T , 6 T ) - F /P^ avj5^ ' ' x ' max P max 0.0050 -1.48 0.0100 -1.47 0.0150 -1.40 0.0175 -1.35 T a b l e 5. The d e p e n d e n c e o f t h e wave r e s i s t a n c e o n t h e a m p l i t u d e , Pjiax» o f t h e s u r f a c e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . The p a r a m e t e r s o f t h e p r o b l e m a r e : U=.4, L = 8 , W=6, X c = l i P=128, Q=64, M=3, T / A t = 6 0 ; A=.5Xo a n d u=.9. The l i n e a r s t e a d y - s t a t e r e s i s t a n c e , F^, i s g i v e n b y ( 2 . 1 3 ) . f r e e d o m . N o n l i n e a r i n t e r a c t i o n s up t o t h i r d o r d e r (M=3) a r e I n c l u d e d . B a s e d o n t h e l i n e a r r e l a t i o n s h i p , S K OWI K Q ) , w h e r e a i s t h e wake a n g l e , «o=U-2 i s t h e f u n d a m e n t a l w a v e n u m b e r , a n d /(Q=2)rQ/W t h e maximum y w a v e n u m b e r , o u r p r e s e n t c o m p u t a t i o n w o u l d n o t p r o v i d e s u f f i c i e n t r e s o l u t i o n f o r d i v e r g i n g waves w h o s e w a k e a n g l e s a r e l e s s t h a n a b o u t 8.5 d e g r e e s . A t a p e r i n g f u n c t i o n Q ( x , . 5 X o ) a n d a n i d e a l s m o o t h i n g f i l t e r A i ( « p , S q , . 9 ) a r e a p p l i e d t o rj a n d #^ a f t e r e a c h t i m e s t e p . We u s e a c o n s t a n t At=T/50=2TU/50 a n d c a r r y o u t t h e s i m u l a t i o n t o t = 2 0 T o r f o r a t o t a l o f 1000 t i m e s t e p s . The c o m p u t a t i o n r e q u i r e s a p p r o x i m a t e l y 40 s e c o n d s o f CPU t i m e p e r t i m e s t e p o n a C r a y -2S s u p e r c o m p u t e r , o r a b o u t 11 h o u r s f o r t h e e n t i r e s i m u l a t i o n . I n w h a t f o l l o w s , a l l l i n e a r i z e d r e s u l t s a r e c a l c u l a t e d f r o m t h e r e s u l t s i n § 2 , t h e t r a n s i e n t d o u b l y - p e r i o d i c s o l u t i o n s f r o m ( 2 . 1 1 ) u s i n g t h e same p a r a m e t e r s as a b o v e , a n d t h e s t e a d y - s t a t e ( u n b o u n d e d d o m a i n ) r e s u l t s f r o m ( 2 . 1 2 ) a n d ( 2 . 1 3 ) . A s a n a i d t o u n d e r s t a n d i n g t h e r e s u l t s f o r t h e w a v e r e s i s t a n c e , we show f i r s t t h e f r e e s u r f a c e p r o f i l e s i n t h e v i c i n i t y o f t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . F i g u r e s 1 and 2 p l o t r e s p e c t i v e l y t h e a l o n g - t r a c k a n d c r o s s - t r a c k c u t s o f t h e f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n i n t h e n e i g h b o r h o o d o f t h e I m p o s e d p r e s s u r e a t t = 2 0 T w h e n s t e a d y s t a t e h a s l o n g b e e n r e a c h e d . The l i n e a r a n d n o n l i n e a r r e s u l t s a g r e e r e a s o n a b l y w e l l i m m e d i a t e l y b e l o w t h e p r e s s u r e , b u t s h o w i m p o r t a n t d e v i a t i o n s t o t h e s i d e s and e s p e c i a l l y b e h i n d t h e p r e s s u r e . I n t h e r e g i o n a f t o f t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n , t h e maximum n o n l i n e a r w a v e e l e v a t i o n i s a l m o s t 3.4 t i m e s t h e maximum p r e s s u r e h e a d v e r s u s a v a l u e o f a b o u t 2.8 f o r t h e l i n e a r e l e v a t i o n . E q u a l l y r e l e v a n t i s t h e d i s t i n c t p h a s e s h i f t o n t h e b a c k f a c e o f t h e w a v e s u g g e s t i n g a somewhat s h o r t e r n o n l i n e a r w a v e l e n g t h . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h a r g u m e n t s b a s e d o n u n i f o r m S t o k e s w a v e s ( e . g . , S a l v e s e n , 1 9 6 9 ) . F r o m o u r c a l c u l a t i o n s , we f i n d t h a t t h e maximum l o c a l wave s l o p e s f o r t h e n o n l i n e a r p r o b l e m a r e i n a x ~ . 3 3 i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e p r e s s u r e , and |97/9ylniax~* 15 j u s t b e l o w t h e p r e s s u r e d i s t r i b u t i o n . T h i s I s c l o s e t o b u t w i t h i n t h e l i m i t s o f t h e c a p a b i l i t y o f t h e h i g h - o r d e r s p e c t r a l m e t h o d ( c f . T a b l e 1 ) .

Z - I ,

F i g u r e 1. L o n g i t u d i n a l profiles of the free-surface elevation along the track {y = 0) in the v i c i n i t y of the surface pressure at t = 2QT. T h e c u r v e s are for the nonlinear c o m p u t a t i o n s ( ) , a n d the linear t r a n s i e n t theory (2.11) ( ) . F o r

reference, t h e profile of the a x i s y m m e t r i c pressure d i s t r i b u t i o n (3.2) ( ) is also shown.

F i g u r e 2. T r a n s v e r s e profiles of the free-surface elevation across the track (at a; = a , ) in the v i c i n i t y of the surface pressure at t = 202^. T h e curves are for the nonlinear c o m p u t a t i o n s (• ) , a n d the l i n e a r transient theory (2.11) ( ) . F o r reference, the profile of the a x i s y m m e t r i c pressure distribution (3.2) ( ) is also shown.

F i g u r e 3. T i m e histories of the instantaneous wave resistance. T h e curves are for the n o n l i n e a r c o m p u t a t i o n s ( ) , a n d the linear t r a n s i e n t result from (2.11) ( ) . F o r reference, the linear s t e a d y - s t a t e r e s i s t a n c e , / F ; . . , f r o m (2.13) ( ) is also s h o w n . F i g u r e 3 shows t h e t i m e h i s t o r i e s o f t h e wave r e s i s t a n c e f o r t h e n o n l i n e a r a n d l i n e a r p r o b l e m s . N o t e t h a t h i g h f r e q u e n c y o s c i l l a t i o n s i n t h e l i n e a r r e s u l t ( w h i c h does n o t e m p l o y t a p e r i n g ) a r e n o t p r e s e n t i n t h e n o n l i n e a r t h e o r y . F o r t h i s F r o u d e n u m b e r , t h e s t e a d y - s t a t e r e s i s t a n c e i s r a p i d l y a p p r o a c h e d . I n p a r t i c u l a r , F a v g ( 4 T , 2 0 T ) = 1 . 0 0 7 1 f o r t h e n o n l i n e a r r e s u l t , a n d F a y g = 1 . 0 2 7 7 f o r t h e l i n e a r i z e d t h e o r y w h i c h s h o u l d b e c o m p a r e d t o t h e l i n e a r s t e a d y - s t a t e w a v e r e s i s t a n c e c o e f f i c i e n t o f F x / ( P n , a x ) ^ = 1 . 0 2 7 4 . The r a p i d a p p r o a c h t o s t e a d y s t a t e f o r t h e i n t e g r a t e d f o r c e , o f c o u r s e , n e e d n o t i m p l y t h a t t h e same i s t r u e f o r t h e wave s u r f a c e ( s e e , h o w e v e r . F i g . 8 ) . The f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n o n t h e t r a c k i s p l o t t e d i n F i g u r e 4 a t t i m e t = 2 0 T . The a g r e e m e n t b e t w e e n t h e l i n e a r t i m e - d o m a i n t h e o r y ( 2 . 1 1 ) ( ) a n d t h e l i n e a r f a r - f i e l d a s y m p t o t i c s ( 2 . 1 2 ) ( ) i n d i c a t e s t h a t s t e a d y s t a t e h a s b e e n r e a c h e d a t t h i s t i m e f o r a t l e a s t t h e f i r s t 10 w a v e s . T h e n o n l i n e a r p r o f i l e ( ) h a s a p h a s e w h i c h i s s l i g h t l y f o r w a r d o f t h e l i n e a r c u r v e s . T h i s a p p e a r s t o b e c a u s e d b y t h e s h o r t e n i n g o f t h e v e r y s t e e p w a v e ( s ) i m m e d i a t e l y b e h i n d t h e p r e s s u r e ( s e e F i g . 1 ) . The n o n l i n e a r w a v e l e n g t h s , h o w e v e r , do n o t a p p e a r t o b e a f f e c t e d a p p r e c i a b l y i n t h e I n t e r m e d i a t e a n d f a r f i e l d s o t h a t t h e p h a s e l a g r e m a i n s a l m o s t c o n s t a n t a f t e r t h e f i r s t f e w w a v e s . T h e n e t e f f e c t w o u l d t h e n a p p e a r t o b e a s m a l l f o r w a r d s h i f t o f t h e n o n l i n e a r w a v e p a t t e r n , a r e s u l t w h i c h may e x p l a i n some o f t h e d i s c r e p a n c i e s b e t w e e n l i n e a r i z e d p r e d i c t i o n s and o b s e r v a t i o n s ( e . g . , H o v g a a r d , 1 9 0 9 ; Gadd,1969; Newman, 1 9 7 0 ) . W i t h t h e e x c e p t i o n o f t h e n e a r f i e l d o f t h e p r e s s u r e , t h e n o n l i n e a r w a v e a m p l i t u d e s a r e g e n e r a l l y l e s s t h a n t h o s e o f t h e l i n e a r w a v e b y a b o u t 1 0 - 1 5 % . I n F i g u r e 5, t h e f r e e - s u r f a c e e l e v a t i o n a l o n g t h e l i n e a r c u s p l i n e ( x - X c = y > / 8 ) a t t = 2 0 T i s p l o t t e d . I n t h i s c a s e , t h e l i n e a r t i m e -d o m a i n t h e o r y ( 2 . 1 1 ) -does n o t a g r e e as w e l l w i t h t h e l i n e a r f a r - f i e l d a s y m p t o t i c s ( 2 . 1 2 ) as I n F i g . 4 o n t h e t r a c k . The s u r p r i s i n g r e s u l t i s t h e s u b s t a n t i a l f o r w a r d s h i f t o f t h e n o n l i n e a r w a v e p h a s e w h i c h i n c r e a s e s p r o g r e s s i v e l y w i t h d i s t a n c e a l o n g t h e c u s p l i n e . T h i s p h a s e s h i f t i s a l m o s t h a l f a w a v e l e n g t h a t a d i s t a n c e o f r ~ 1 4 , a l t h o u g h i t i s i m p o r t a n t t o p o i n t o u t t h a t t h e p h a s e d i f f e r e n c e s i n t h e a c t u a l d i r e c t i o n s o f w a v e p r o p a g a t i o n a r e l i k e l y s m a l l e r . T h e a m p l i t u d e s o n t h e c u s p l i n e a l s o show l a r g e d i f f e r e n c e s , w i t h t h e n o n l i n e a r w a v e a m p l i t u d e s t y p i c a l l y g r e a t e r b y as much a s 2 5 % , s a y , a t r ~ 1 0 . T h e p r e s e n t r e s u l t s d i f f e r q u a l i t a t i v e l y f r o m t h e f a r - f i e l d p e r t u r b a t i o n a n a l y s i s o f A k y l a s ( 1 9 8 7 ) , who f o u n d o n l y a s m a l l c h a n g e i n p h a s e and a l m o s t n o c h a n g e i n a m p l i t u d e a l o n g t h e c u s p l i n e s . T h i s p o i n t s o u t t h e i m p o r t a n c e o f a n o n l i n e a r m o d e l w h i c h I n c l u d e s t h e i n t e r a c t i o n s i n t h e n e a r a n d i n t e r m e d i a t e f i e l d s . The o v e r a l l d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e l i n e a r and n o n l i n e a r w a v e p a t t e r n s i s f u r t h e r