Toepasbaarheid een-dimensionaal diffusie-model - Deel 3: Homogene, getijstroming in kanalen

A doorsnede m b breedte m i C Chëzy koëfficiënt mz/s 3 c koncentratie kg/m _ 3 c over doorsnede gemiddelde koncentratie . kg/m _ _. _ ^ c over doorsnede en getij gemiddelde koncentratie, < c > = c kg/m c c = c - c ; < c > = 0 kg/m c' c' = c -c; c'= 0 kg/m _ 3 c ' c ' = < c ' > , < c > = c + c ' kg/m o o o o „ c' c ( = c1 - c ', < c ' > = 0 kg/m u t o c ,~ c koncentratie op hoogwaterkentering kg/m 3 c koncentratie op laagwaterkentering kg/m Li D dispersiekoëfficiënt nr/s 2 D~ , dispersiekoëfficiënt in systeem met wandinvloeden m /s D dispersiekoëfficiënt behorend bij het dispersief

Ac rt

- — Z , transport < u c > m /s

. . . 2 D experimenteel bepaalde dispersiekoëfficiënt m /s E overall dispersiekoëfficiënt m /s

2 E overall dispersiekoefficiënt van getijgemiddelde model m /s

^ 2 E„ overall dispersiekoefficiënt van HWK-model m /s

. . . . 2 E overall dispersiekoëfficiënt van LWK™model m /s

. . . 2 E overall dispersiekoëfficiënt van momentane model m /s

m o F dispersief transport kg m /s

2 F dispersief transport ten gevolge van snelheidsgradiënten kg m /s

f _ „ 2 F. dispersief transport ten gevolge van < u c > kg m /s H funktie die koncentratieverdeling over dwarsdoorsnede

beschrijft

h hoogte m P schaalfaktor voor stationaire drukkomponent m/s

2 p druk kg/ms

3 Q debiet m /s Q netto debiet over getijperiode < Q > = Q m /s Q , rivierdebiet m /s riv R hydraulische straal m S scheefheid koncentratieverdeling T getijperiode s 2

T T = b /4e , tijdschaal voor menging over de breedte s T T^ = h /e , tijdschaal voor menging over de vertikaal s

y 2 y 2

Tj tijdschaal voor initiële periode T Gauss'tijdschaal

t tijd s t overgangsperiode in t -zeerand koncept s U maximum snelheid u komponent in bepaalde doorsnede m/s U maximum snelheid u komponent in bepaalde doorsnede m/s ü maximum snelheid in bepaalde doorsnede m/s

max r

u,v,w snelheidskomponent in x-, y- en z-richting m/s

u. , zie c. 1 m/s

index index

u , riviersnelheid m/s

riv

u schuifspanningsstielheid m/s V funktie die snelheidsverdeling over dwarsdoorsnede beschrijft m/s x,y,z koördinaten in langs-, laterale en vertikale richting

m

a constante dichtheidsgradiënt 3c/8x kg/m y complexe funktie, y = & /~'lx

6 dimensieloze tijdschaal, <5 = vrrT fT

y'Z 2

E r stofwisselingskoëfficiënt in x-, y- en z-richting m /s

5 langskoördinaat in meebewegend assenstelsel m 2 ïï schaalfaktor voor oscillerende drukkomponent m/s p dichtheid kg/m

2 . . . . .

a variantie van koncentratieverdeling in tijddomein ar variantie van koncentratieverdeling in ruimtedomein

T tijd in meebewegend assenstelsel s

g getij gemiddelde grootheid, behorend bij getijgemiddeld model H grootheid behorend bij HWK-model

L grootheid behorend bij LWK~model

m momentane grootheid, behorend bij momentaan model t momentane komponent, grootheid verandert met t x komponent in x-richting

y komponent in y-richting, gemiddeld over vertikaal

z komponent in z-richting, grootheid verandert met y en z

Overige

0 {,.} orde van grootte

Re{..} reëel deel van complexe funktie evenredig met

< .. > over getijgemiddeld - over doorsnede gemiddeld

advektief transport u c door de met de gemiddelde snelheid u voortbewe-gende stroming.

balansmethode experimentele methode ter bepaling van de dispersie-koëfficiënt met behulp van het I-D model zelf.

convectie of

convectief transport

is het transport, uc, vc en wc in langs-, breedte en vertikale richting ten gevolge van snelheidskomponen-ten in die richting.

convectieve periode is de periode direkt na lozing als de koncentratiever-deling een twee- (of drie-)dimensionaal karakter heeft.

korrelatiemethode

diffusie of

diffusief transport

is een experimentele methode ter bepaling van de dispersiekoefficiënt die gedefinieerd is a]s

,dc dx

is het stoftransport door turbulentie.

diffusiemodel

dispersie of

dispersief transport

is de wiskundige beschrijving van de koncentratie-verdeling van stof in een systeem.

is het niet door turbulentie veroorzaakte stoftrans-port dat een waarnemer ziet, die zich met de gemiddel-de snelheid meebeweegt: dispersief transport = con-vectief transport-adcon-vectief transport.

dispersiekoncept is de veronderstelling dat dispersie gradient-type transport is.

dispersieve periode is de periode (geruime tijd) na lozing als de variantie van de koncentratieverdeling in het meebewegende assen-stelsel lineair met de tijd verloopt: het ééndimensio-naal diffusiemodel is toepasbaar.

eendimensionaal diffusiemodel of

1-D model

ééndimens ionaal systeem

is de wiskundige beschrijving van de koncentratie-verdeling van stof in een ééndimensionaal systeem, waarin dispersie een gradiënt-type transport is.

is een stromingssysteem waarin de laterale en verti-kale snelheidskomponenten verwaarloosbaar zijn ten opzichte van de longitudinale komponent.

getij gemiddeld model is het over de getij periode gemiddelde 1-D model.

gradiënt-type transport

("Fickian-type")

is stoftransport in bijvoorbeeld de langsrichting dat evenredig gesteld kan worden met de gradiënt van de over de dwarsdoorsnede gemiddelde koncentratie in die richting (bijv. u'c' = D 9c/9x).

Gauss periode is de periode (lange tijd) na lozing als de koncen-tratieverdeling Gauss-vormig (normaal) wordt.

homogeen systeem is een ééndimensionaal systeem waarin het water een konstante dichtheid heeft.

horizontaal systeem is een ééndimensionaal systeem waarin het dispersief

transport door laterale snelheidsgradienten overheerst wordt.

HWK-model is het 1-D model ten tijde van hoogwaterkentering.

inhomogeen systeem is een ééndimensionaal systeem waarin het water een variërende dichtheid heeft.

initiële periode is een andere naam voor convectieve periode.

lateraal systeem is een andere naam voor horizontaal systeem.

momenten methode van Fischer

is een methode om met behulp van de gemeten variantie van de koncentratieverdeling de dispersiekoëfficiënt te bepalen.

momentaan model is het momentaan 1-D model.

scheefheid is een maat van de afwijking van de vorm van de kon-centratieverdeling van de normaalvorm.

schuifspannings-dispersie

is het dispersief transport ten gevolge van schuif-spanningsverdeling in het systeem.

Taylor model is een andere naam voor ééndimensionaal diffusie model.

t -zeerand

Taylor periode

is het zeerand koncept van Thatcher-Harieman.

is een andere naam voor dispersieve periode.

variantie is het met de totale hoeveelheid opgeloste stof ge-normaliseerde tweede moment; het beschrijft de vorm van de koncentratieverdeling ten opzichte van haar gemid-delde.

vertikaal systeem ia een ééndimensionaal systeem waarin het dispersief transport door vertikale snelheidsgradiënten overheerst wordt-.

ijk methode is de naam van een semi-experimentele methode ter bepaling van de dispersiekoëfficiënt gebaseerd oo de vergelijking van gemeten en berekende koncentratie-verdeling.

De waterbeweging in kanalen, rivieren en estuaria heeft dikwijls een één-dimensionaal karakter, dat wil zeggen dat de snelheidskomponent in de lengte-richting van het systeem aanzienlijk groter is dan de snelheidskomponenten in vertikale en laterale richting. Een dergelijk systeem wordt een ééndimensio-naal systeem genoemd. In vele gevallen kan de over de dwarsdoorsnede gemiddel-de verspreiding in lengterichting van een in zo'n systeem opgeloste stof met een ééndimensionaal wiskundig model beschreven worden. Ten gevolge van de over de dwarsdoorsnede niet-homogene snelheids- en koncentratieverdeling ont-staat uit de convectieterm bij middeling over deze dwarsdoorsnede een advektie-term en een restadvektie-term, welke laatste in de literatuur nogal verwarrend diffu-sief- of disperdiffu-sief-transport-term wordt genoemd. In dit verslag zal het "transport" beschreven met deze restterm dispersie genoemd worden; het voor-noemde wiskundige model zal echter met "ééndimensionaal diffusie-model" (]-D model) aangeduid worden. In het kader van het Getijgootonderzoek wordt onder-zoek omschreven met het doel een groter inzicht in de toepasbaarheid van zulke ééndimensionale diffusiemodellen te verkrijgen \_25j , [2(ï\ .

Intuïtief kan worden gesteld dat de stroming en de koncentratieverdeling in het systeem aan de volgende voorwaarden moeten voldoen, opdat de koncentratie-verdeling met een ééndimensionaal diffusiemodel beschreven kan worden:

1. de waterbeweging in het systeem moet een ééndimensionaal karakter hebben, 2. de menging van een bepaalde stof over het dwarsprofiel moet veel sneller

plaatsvinden dan de verspreiding over de totale lengte van het systeem, 3. de beschrijving van een puntlozings-experiment is pas zinvol, nadat

ver-spreiding over het dwarsprofiel heeft plaatsgevonden,

4. de koncentratieverdeling over het dwarsprofiel moet redelijk homogeen zijn. 5. de gemiddelde longitudinale gradiënt 3c/3x moet representatief zijn voor

de longitudinale gradiënten 3c/3x in verschillende delen van het dwars-profiel,

6. de koncentratieverdeling moet geleidelijk variëren in de ruimte, dat wil zeggen hogere orde afgeleiden moeten relatief klein zijn.

Hoewel algemeen aanvaard, vermeldt de literatuur zelden hoe goed een systeem aan bovenvermelde voorwaarden moet voldoen. Met andere woorden het geldig-heidsgebied waarbinnen een bepaald ééndimensionaal model adekwaat is, wordt zelden exact omschreven. Ook de interessante vraag hoe betrouwbaar een kon-cept is, indien het systeem niet meer (geheel) aan bovenvermelde voorwaarden voldoet, blijft veelal onbeantwoord.

De boven beschreven probleemstelling omvat onder meer de volgende vragen:

1. kan een bepaald systeem met een ééndimensionaal diffusiemodel (1-D model) beschreven worden?

2. zo ja, welk model (momentaan, getijgemiddeld etc.) is dan voor het systeem het meest geschikt?

3. hoe groot is de dispersiekoëffici'ënt voor het onder 2 gevonden systeem?

Het onderzoek zal systematisch uitgevoerd worden: de drie geformuleerde vragen zullen voor meer of minder geschematiseerde systemen beantwoord worden, be-ginnende met een permanente, homogene gootstroming, die stapsgewijs gekompli-ceerder wordt. Bij dit onderzoek zal verondersteld worden dat dispersie

een gradiënt-type transport is. Uiteraard dient aangegeven te worden of aan deze veronderstelling voldaan wordt.

In dit verslag zal een homogeen, niet-permanent systeem aan de orde komen. Er zal weer, evenals in £26] onderscheid gemaakt worden tussen vertikale systemen, i.e, systemen waarin transport ten gevolge van laterale snelheidsgradiënten verwaarloosbaar is en laterale systemen, i.e. systemen waarin transport ten gevolge van vertikale snelheidsgradiënten verwaarloosbaar is. Het éën dimensio-naal diffusiemodel voor niet-permanente stromingen zal in hoofdstuk 2 gedefi-nieerd worden, tezamen met de van het model afgeleide modellen zoals het getij-gemiddelde diffusiemodel, en de voor dit verslag relevante begrippen. Tevens wordt in dit hoofdstuk ingegaan op de problematiek bij het formuleren van de juiste randvoorwaarden.

In hoofdstuk 3 zal de toepasbaarheid van het 1 D-model summier aan de orde komen. Bij het ter perse gaan van het onderhavige verslag was een studie naar de lengte van de initiële periode, i.e. de periode direkt na lozing gedurende welke de koncentratieverdeling een twee- of driedimensionaal karakter heeft, en de processen die tijdens die periode een rol spelen, nog niet afgerond.

Een en ander zal in een later stadium in een ander verslag gerapporteerd worden. In hoofdstuk 4 tenslotte wordt uiteengezet hoe de grootte van de dispersie-koëfficient voor de verschillende modellen bepaald kan worden, zowel (semi)-emperisch als theoretisch. Een en ander zal vooraf worden gegaan door een

kwalitatieve beschouwing van de grootte van het dispersief rapport als funktie van de verschillende systeemparameters. Het hoofdstuk zal worden afgesloten met een vergelijking tussen de schaarse in de literatuur beschikbare

gegevens en de met de in dit verslag beschreven procedures verkregen dispersie-koëfficiënten.

Het onderzoek is in het kader van het Getijgootonderzoek M 896 uitgevoerd in opdracht van de Hoofdafdeling Waterloopkunde van de Deltadienst van Rijkswater-staat. Het verslag is geschreven door ir. J.C. Winterwerp.

In dit hoofdstuk zullen de verschillende êëndimenstonale diffusiemodellen gedefinieerd worden. Uitgangspunt voor alle modellen is de over de turbulen-tietijd gemiddelde massabalans, waarin de snelheldskomponenten v en w, respek-tievelljk in laterale en vertikale richting, nul zijn:

3t + u ox öx ex öx öy ey oy öz

Hierin is c(x,y,z,t) de koncentratie van de opgeloste stof, u(x,y,z,t) de stroomsnelheid in het systeem, EX de turbulente stofultwisselingskoëfficiënt

in x-richting e t c . * \ t is de tijd en x, y en z zijn de koördinaten in longi-tudinale, laterale en vertikale richting.

In dit verslag wordt de toepasbaarheid van het ééndimensionaal diffusiemodel en de grootte van de dispersiekoëfficiënt behandeld. Deze problematiek wordt niet wezenlijk beïnvloed door de eventuele verandering van de dwarsdoorsnee A met x of t, tenzij ÖA/ot te groot wordt, hetgeen op bladzijde 7 ter sprake komt. Daarom wordt in dit verslag aangenomen dat öA/ox = öA/öt = 0, tenzij anders is vermeld.

De kontinuTteltsvergelljking voor water wordt dan vereenvoudigd tot:

| Ü = 0 ' (2.2) ox

De snelheid u en de koncentratie c variëren over de dwarsdoorsnede, zodat (2.1) in zijn algemene vorm analytisch niet oplosbaar is. Daarom wordt (2.1) vaak vereenvoudigd door haar te middelen over de dwarsdoorsnede. Deze

mid-*) In (2.1) is gesteld v = w = 0. Denkbaar zijn ook situaties waarin bijvoor-beeld v ^ 0. In dat geval kan de koncentratieverdeling toch met (2.1) beschreven worden wanneer het effekt van de secundaire stroming (I.e. v f 0) als extra mengmechanlsme beschouwd wordt en wordt verdiskonteerd in de term ö/öy e oc/oy. De koëffIciënt e is dan de effectieve

deling zal. hier uitgewerkt worden. De snelheid en koncentratie worden daartoe gesplitst in stationaire en oscillerende komponenten, analoog aan Fischer [7]:

u(x,y,z,t) - üo(x,t) + üt(x,t) + u'(x,y,z,t) (2.3)

en c(x,y,z,t) = cQ(x,t) + ct(x,t) + c((x,y,z,t) (2.4)

Hierin is gedefinieerd:

ü (x,t) is de over de doorsnede en het getij gemiddelde snelheid:

ü - <ü>; ü is nog steeds een funktie van t in verband met seizoeninvloe-o seizoeninvloe-o

den op de rivierafvoer etc.

u (x,t) is de variatie over de getijperiode van de over de doorsnede gemiddelde snelheid: ü = G - ü" ; per definitie geldt <iï > = 0.

u' is een restterm die nog nader uitgewerkt wordt; per definitie geldt tP" = 0 Het een en ander is verduidelijkt in figuur la.

Gelijke definities gelden voor c. Verder is gebruik gemaakt van:

, , t+T/2

u = T ƒƒ u d y d z en <u> = » ƒ u d t '

A A L t-T/2

De komponenten u' en c' kunnen nog verder opgesplitst worden in een getijge-middelde komponent en een over het getij variërende komponent, beide op hun beurt gesplitst in een vertikale en een laterale bijdrage (zie flg. lb en lc)

u»(x,y,z,t) = u' (x,y,t) + u' (x,y,z,t) + u' (x,y,t) + u' (x,y,z,t) (2.5)

c'(x,y,z,t) = c^y(x,y,t) + c^(x,y,z,t) + c£y(x,y,t) + c^(x,y(z,t) (2.6)

Hierin is gedefinieerd:

u' = u1 + u' is de over het getij gemiddelde waarde van de restterra u':

u' = <u'>; per definitie geldt ü7" ~ \P + u7 = 0. Ook u' kan een funktie

o o oy oz o van t zijn ten gevolge van seizoeninvloeden,

u' = u' + u' is de variatie over de getijperiode van de restterm u': u' = u1 - u'; per definitie geldt <uT> = <u' > + <u' > = 0 en vT" = 0.

t o t t y tz • t

1 h

u' is de over de vertikaal gemiddelde waarde van u' : u1 = *- ƒ u' d z en

oy o oy h o varieert dus over de breedte; per definitie geldt ü"1 = 0.

u' is de variatie over de diepte van u': u' = u1 - u' •

oz o oz o oy' per definitie geldt: tp = 0.

De grootheden u' , u' , c' , c' etc. zijn analoog gedefinieerd. ty tz oy oz

Samenvattend blijkt dus:

u = ü + ü + u' + u' + u' + u' (2.7)

o t oy oz ty tz

en c = c + c + c' + c' + c' + c' (2.8) o t oy oz ty tz

Invullen van (2.7) en (2.8) in (2.1) met gebruik van (2.2) en middelen over de dwarsdoorsnede levert: öc , - Öc o r Öc —, ,— —T y— T . . .... . __, , , -__ + u ~— = ^5~ e T5— - u c - u c' - u' c' - u' c' + ot ox ox L x ox oy oy oz oz ty ty tz tz (2.9) - u' c' - u1 c' - u' c' - u' c' 1 oy ty ty oy oz tz tz oz

Het blijkt dat het konvektief transport u — uit (2.1) overgaat in het advec-tief transport u -jr— en het dispersief transport u * cr uit (2.9). Dit laatste

t r a n s p o r t is o n d e r te v e r d e l e n i n :

ïï1 c1 = horizontale restcirculatle (in het x-y vlak)

oy oy

ÏF <P = vertikale restcirculatie (in het x-z vlak) oz oz

f c1 = schuifspanningseffekt door laterale oscillerende komponent (in

het x-y vlak)

T c* = schuifspanningseffekt door vertikale oscillerende komponent (in het x-z vlak)

ü 1c ' = korrelatie tussen stationaire en oscillerende stromings- en

kon-oy ty

etc. centratie komponenten

In dit verslag zal het dispersief transport in homogene getijstromingen door kanalen behandeld worden. Over het algemeen zal de stationaire snelheidsnent (bijvoorbeeld rivierafvoer) veel kleiner zijn dan de oscillerende kompo-nent, T)e invloed van secundaire- en dichtheidsstromingen op de restcirculatie blijft hier ook buiten beschouwing. Het is dan aannemelijk om alle termen in

(2.9) met een stationaire komponent te verwaarlozen, dus u' = u' = c' = c' = 0.

oy oz oy oz

In dit verslag zal dus alleen de grootte van het schuifspanningseffekt door de oscillerende komponent ter sprake komen, zodat (2.9) overgaat In:

9c , - 9c 9 r 9c — • • — — • •— -i i"i i n\

_— + u ___ = _— p _— — u c — u c (2.10; ot Öx 9x ' x 9x ty ty tz tz ' y^"-'i

Analoog aan verslag M895-41-2 [261 wordt nu het dispersle-koncept gedefini-eerd, dat wil zeggen dat verondersteld wordt dat het dispersief transport u*c* een gradiënt-type transport is:

De evenredigheidsfaktor D wordt dispersiekoëfficiënt genoemd. De enige eis die hier aan D gesteld wordt, is dat I) onafhankelijk is van de koncentratieverde-ling over de dwarsdoorsnede: D ^ D ( c1) . De reden hiervoor is de volgende:

Gradiënt-type transport veronderstelt dat het stoftransport evenredig is met de gradiënt van de over de dwarsdoorsnede gemiddelde koncen-tratieverdeling en het transport mag dus per definitie niet van de

koncentra-tie verdeling over de dwarsdoorsnede afhangen. Na invoering van het dispersie koncept (2.11) in (2.10) wordt verkregen:

Ö C . — Ö C O r i - n j ^ " | Ö c /•T

ot Öx öx L x ty tz ' Öx

Hierin zijn de dispersiekoëfficiënten Dt y en Dt z gedefinieerd als:

ty ty ty ' ox

(2.13)

D

= -

' c'

/ H

Tenslotte kan worden opgemerkt dat (2.10) is afgeleid voor systemen met kon-stante doorsnede. Indien ÖA/öx f 0 wordt in plaats van (2.10) gevonden:

9 c , Q o c 1 o r > Sc , •—r- r — , — i f— T / r, i / s

+ -T -r— = T -5— A e -K— - A u ' c' - A u c (2.14) Öt A öx A öx l x öx ty ty tz tz

-Deze relatie is in detail afgeleid in onder andere [12]. A Is de totale of "kombergende" doorsnede van de geometrie en Q is het debiet. De doorsnede A varieert over het getij, zodat een aan (2.3) analoge splitsing van A mogelijk is: A = AQ + At met < A > •» A Q . Dit heeft konsekwenties voor het

getijgemid-delde model (zie par. 2.2) omdat Invoering van A = AQ + At «et (2.7) en (2.8)

in (2.1) en middelen over dwarsdoorsnede en getijperiode derde-graads-korrela-ties oplevert als < A TT c* > etc. He grootte van deze termen hangt uiter-aard af van de grootte van At, Hansen [9] heeft de grootte van deze termen

bepaald voor de Columbia rivier met een getijslag van ca. 30% van de gemiddel-de waterdiepte. Hij vond dat gemiddel-de bijdrage van < A ü7 c' > etc. tot het

dlspersief transport te verwaarlozen is. Deze konklusie is bevestigd in [5] en [7] en daarom zullen deze korrelaties niet meer in dit verslag ter sprake komen. De verhandeling in volgende hoofdstukken zal gebaseerd zijn op (2.10) en (2.12).

2.2 Ééndimensionale diffusiemodellen voor nlet-permanente systemen

De vergelijking (2.12) wordt in dit verslag het ééndimensionale dlffusieraodel (1-D model) genoemd. Uitgaande van (2.12) kunnen voor een homogeen, nlet-permanent systeem van eenvoudige geometrie drie 1-T) modellen onderscheiden worden, die voor praktische toepassing interessant zijn. Deze modellen worden respektievelijk momentaan model, LWK-model (laagwaterkenteringsmodel) en getijgemiddeld model genoemd. Bij de behandeling van de modellen wordt veron-dersteld dat de waterbeweging bekend ia en dat het turbulent diffusief trans-port e Öc/öx veel kleiner Is dan het disperslef transtrans-port [26].

Het momentaan model is dan (2.12) zelf, geschreven in de vorm

Hierin is E de overall dispersiekoëfficiënt en gelijk aan:

E = D + D (2.16) m ty tz

Aan E^ wordt dezelfde eis gesteld als aan D: F^ ^ E ( c ' ) . Ep, in (2.15) mag dus nog wel degelijk met t variëren. Echter, de koncentratieverdeling c wordt niet bepaald door Em» doch door ƒ E dt' [31, [29], zodat verwacht mag worden dat

berekening van c met momentane \(t) dezelfde resultaten oplevert als bereke-ning van c met getijgemiddelde < Em >. Dit wordt bevestigd door de resultaten

gepresenteerd in figuur 2. Hier is voor getijgootomstandigheden (proef T32 uit M896-38A [24]) de koncentratieverdeling c berekend met

Em(t) » 5 u*h*) en met < E m > = 5 < u * > h uitgezet.

De berekeningen zijn uitgevoerd met Em = 5U* h, een vorm die in hoofdstuk

4.4 afgeraden wordt. Desondanks is deze dispersiekoëfficiënt hier gebruikt, omdat, ten tijde van de uitvoering van dit onderzoek, slechts rekenprogram-ma's met deze optie beschikbaar zijn. De aard van de konklusle wordt door

De onderlinge verschillen blijken klein; in vergelijking met de verschillen

tussen berekende en experimentele koncentratieverdeling zelfs verwaarloosbaar

(zie hoofdstuk 4.7, fig. 7 en M896-38A [24]). Gekonkludeerd kan worden dat in

praktische gevallen het momentane model met getijgemiddelde

dispersiekoeffi-cient dezelfde resultaten levert als het momentane model met momentane

dis-persiekoefficient. In dit verslag zal daarom gewerkt worden met de

getijgemid-delde waarde E

, D

en D

waarbij het <..> teken weggelaten is. Wordt toch

de momentane dispersiekoefficient bedoeld, dan zal zij worden aangegeven met

V t )

etc.

Het tweede praktisch interessante model heet hier het getijgemiddelde model en

ontstaat na middeling van (2.10) over de getijperiode. Deze middeling zal hier

term voor term besproken worden om misverstand te voorkomen:

t+T/2 Bc

i t + T / 2 & - - ^

T J

TSE

V o

V t

V t

^ 1

'

oc

en e o c / ö x wordt weer v e r w a a r l o o s d . Aldus wordt gevonden: x

- < V t > " < Uty Cty

De eerste term in (2.18) beschrijft de verandering van de

koncentratieverde-ling c over een tijdschaal van de orde van of groter dan de getijperiode en

de tweede term het advectief transport door de stationaire snelheidskomponent

(bijv. u

i

) ; de vierde en vijfde term zijn in de vorige paragraaf besproken.

De derde term is nieuw en beschrijft het dispersief transport gemiddeld over

de getijperiode ten gevolge van de korrelatie tussen de oscillerende komponent

van de waterbeweging u en de oscillerende komponent c van de

koncentratie-verdeling. Fysisch is dit transport moeilijk te interpreteren; het is

afkom-stig van aiet-lokale mengprocessen en kan dan zeer grooe zijn. Enig inzicht kan verkregen worden door de volgende twee situaties te vergelijken:

Ren wolk opgeloste stof In een oscillerende stroming in een lang, recht kanaal met öu/&x = &A/öx = 0 wordt door het getij slechts heen en weer getranspor-teerd. De term u c levert dus geen netto bijdrage aan dé verspreiding van de stof en Is daarom getijgemiddeld nul.

In een systeem als de getijgoot worden over de getijperiode paketjes water naar en van zee getransporteerd, welk transport ook met Ü c wordt beschreven. Op zee worden de paketjes echter grondig gemengd met de daar opgeloste stof, zodat per getijperiode een netto transport vanuit zee de getijgoot in plaats-vindt. Getijgemiddeld Is dus < ü c > t 0 en blijkt zelfs zeer groot te kunnen zijn (zie ook [5], [91, [10]).

In sommige gevallen (zie hoofdstuk 3) kan ook < u c > als een gradiënt-type transport beschreven worden:

>" V-sr <

2

-

1 9

>

hetgeen op elegante wijze in [4] wordt aangetoond. Aldus wordt voor het getij-gemiddelde model gevonden:

5c 9c . Öc

° Ü ^ 4 ^ (2.20)

Öt o Öx Öx g öx

waarin Eg de dispersiekoefflciënt van het getijgemiddelde model ts,

gedefini-eerd volgens:

E = E + D = D + D + D (2.21) g ra Ac ty tz Ac

Het derde praktisch interessante model is het EWK-model, waaronder de zoge-naamde hoogwater- en laagwaterkenteringsmodellen verstaan worden. Uitgangspunt

•«=- + u. TJ— + u -5— = •*— (- u'c') (2.22) ot t ox o m. ox

De basisveronderstelling is hier, dat de koncentratie verdeling op laagwater-kentering c over de getijperiode onveranderlijk blijft én slechts door de getijbeweging getransporteerd wordt. In een met de getijsnelheid meebewegend assenstelsel, T = t e n £ = x - f u dt' geldt dus:

9C OC . — QC „ fr. r,o\

9^ = ^t + u t ^ = 0 ( 2'2 3 )

Als nu (2,22) op laagwaterkentering beschouwd wordt en (2.23) wordt gesubsti-tueerd dan wordt gevonden:

_ de ,

u _ ± = °_ (- •

~

c"

)

(2.24)

o dx dx L

Invoering van het dispersie-koncept (2.11) levert het IWK-model:

_ dcT , dcT

u -3-ii- Z- ET -,-i; (2.25)

o dx dx L dx

waarin de dispersiekoëfflciënt KL gelijk is aan E ^ t ) op laag waterkentering:

^L ~ Era ft==ljK^)« D e koncentratieverdeling op hoogwaterkenterlng wordt gevonden

door cT(x) over de getijweg te verschuiven. Dezelfde redenering kan voor

hoogwaterkentering gehouden worden en dan onstaat het HWK-model:

_ de dc

Uo dx " d x T ! dx

„

Het verschil tussen cT en c„ wordt echter gedeeltelijk veroorzaakt door het L tl

Gekonkludeerd kan worden dat er dus iets mankeert aan de theoretische onder-bouw van de kenteringsmodellen; zij moeten dan ook zeer voorzichtig toegepast worden.

Samengevat kunnen de volgende drie modellen onderscheiden worden:

1. het momentane model:

T5tf ö x o x m ?)x

met E = D + D (2.16) m ty tz

2. het getijgemiddelde model:

9c Sc . 9c (2.20) Öt uo ox dx g öx met E =» E + D = D + D + DA (2.21) g m Ac ty tz Ac 3. het LKW-model: êc , de u

_];= o _

L

en eventueel het HWK-model!

de de

u -» - -T— EL. -i (2.26) o dx dx tt dx

De disperslekoëf f Iciënten Em, F,p, F,^ en EH zijn een funktie van de geometrie

van het systeem, mogen eventueel over de lengte van het systeem variëren en kunnen een funktie van de tijd zijn op een tijdschaal van de orde van of groter dan de getijperiode T. Zij mogen echter geen direkte funktie zijn van de koncentratleverdeling over de dwarsdoorsnede: E ^ E(c').

2.3 Randvoorwaarden

De diffusie vergelijking (2.1) Is een parabolische partiële differentiaal-vergelijking. Mathematisch houdt dit in dat de oplossing van (2.1) slechts gedefinieerd is als er benedenstrooms en bovenstrooms randvoorwaarden opge-drukt worden. In veel praktische gevallen waarin de diffusievergelijking toegepast wordt om de koncentratleverdeling in een ééndimensionaal systeem te beschrijven, zijn de randvoorwaarden triviaal. Voor een oneindig lang systeem waarin een beperkte hoeveelheid stof wordt geloosd, wordt gevonden

c(x = ± ») = 0. Problemen treden echter op bij toepassing van het momentane diffusiemodel (2.15) in geometrisch begrensde systemen, met name bij kontinue lozingen. Gedacht kan hierbij worden aan bijvoorbeeld de indringing in de getijgoot van in zee opgeloste Rhodamine. In geval van een cyclisch getij en konstante bovenafvoer zal zich een zogenaamd dynamisch evenwicht Instellen, dat wil zeggen dat de koncentratieverdeling In de goot cyclisch over de getij-periode zal variëren.

De koncentratieverdeling in de mond van de getijgoot (l.e. de randvoorwaarde van het ééndimensionale systeem getijgoot) zal dus ook cyclisch zijn, doch zal afhangen van de koncentratleverdeling op zee en van de mengprocessen in de goot zelf, met name tijdens de ebfase. De randvoorwaarde is dus niet onafhan-kelijk van de processen in de goot (zie ook [27]). Uit de literatuur is een tweetal mogelijkheden bekend om de randvoorwaarde voor het bovenstaande speci-fieke geval te beschrijven. De eerste mogelijkeheid is het opdrukken van een

(experimentele) koncentratieverdeling c(t) gedurende de gehele getijperiode. Een tweede mogelijkheid wordt geopperd door Thatcher en Harleman [201 met hun zogenaamde to-Zeerand. Dit zeerand-koncept is schematisch weergegeven in

figuur 3 en luidt:

gedurende het grootste deel van de vloedperiode is de koncentratieverdeling in de mond van het estuarium gelijk aan de zeekoncentratle c , = c

mond zee na hoogwaterkentering wordt de koncentratie in de mond bepaald door het

2— 2

uitstromende water. Via een "extra" vergelijking (5 c)/5x = 0 ) wordt uit de koncentratie van het uitstromende water c , bepaald.

mond

- na laagwaterkentering loopt de koncentratie in de mond in een tijdsperiode t_ op tot de vloedkoncentratie c

o v zee

De lengte van de overgangsperiode tQ bepaalt, mede de hoeveelheid stof die

tijdens een getijperiode het kanaal instroomt. De dispersiekoëfficiënt Rm

waarmee een bepaalde koncentratieverdeling beschreven kan worden, is dus een direkte funktie van to. Hoe de gevoeligheid van Rm met betrekking tot

varia-ties van tQ ligt, is reeds uitvoerig behandeld in onder andere [271 voor

inhoraogene situaties. Voor homogene stromingen zal deze gevoeligheid niet kleiner zijn; immers in homogene stromingen is voor het instandhouden van een bepaalde koncentratieverdeling het advectief transport veel groter dan het dispersie!: transport [261 zodat een kleine afwijking in dit advectief trans-port (= t - zeerand) een grote invloed op het dispersief transtrans-port moet

hebben om dezelfde koncentratieverdeling te kunnen beschrijven (zie ook [321). Het getijgemiddelde model en het LWK-model, de twee andere in dit verslag beschreven modellen, kennen bovenstaande randvoorwaarden problematiek in veel mindere mate. Voor deze modellen is een getijgemiddelde koncentratieverdeling of de koncentratie op êén bepaald tijdstip (HWK of IWK) een voldoende rand-voorwaarde. Weliswaar zullen ook deze in veel gevallen op de een of andere wijze empirisch bepaald moeten worden, doch de moeizame beschrijving over de getijperiode ontbreekt.

Tenslotte kan nog opgemerkt worden dat als in een begrensd geometrisch systeem de opgeloste stof tot aan een vaste wand komt de randvoorwaarde niet beschre-ven kan worden met c = 0 . De randvoorwaarde volgt dan uit de eis dat er geen stof door de wand getransporteerd wordt: oc/on = 0, waarbij n de normaal op de wand is.

3 Toepasbaarheid van het eendimensionaal diffusiemodel

In dit hoofdstuk zal worden toegelicht waarom en onder welke omstandigheden het dispersief transport in het l-D model als gradiënt-type transport behan-deld raag worden. Algemeen kan gesteld worden dat de voldoende voorwaarden voor permanente systemen zoals geformuleerd in verslag R1092 [29] en geciteerd in verslag M896-41-2 identiek zijn voor oscillerende systemen:

met andere woorden (2.1) gaat over in (2.15) met E^ ±s konstant als

1. |e iL_| « ju ~ | , i.e. longitudinale turbulente diffusie is

verwaarloos-x

ar

v

baar.

2. | ™ — | « l-rrl) i«e. de koncentratteverdeling over de dwarsdoorsnede veran-dert weinig In longitudinale ^-richting.

Hieruit volgt als afhankelijke voorwaarde:

^2. « u' & c

3. 2SL- > O, i.e. de koncentratieverdeling over de dwarsdoorsnede verandert weinig met de tijd in een meebewegend assenstelsel.

Hierin zijn Z, en % koördinaten in het met de gemiddelde snelheid meebewegende assenstelsel: 73 = x - ƒ ü(t')dt' en i - t.

Deze wiskundig geformuleerde eisen geven nog geen fysisch inzicht waarom

dispersie als gradiënt-type transport beschreven kan worden. Dit inzicht wordt wel verkregen uit twee publikaties van Taylor [17], [18], Zijn argumentatie opgesteld voor stationaire stromingen, is beknopt In appendix A weergegeven. Hij veronderstelt ondermeer dat het turbulentleveld homogeen is, dat wil zeggen de statistische eigenschappen van het turbulente veld moeten in alle richtingen dezelfde zijn en mogen niet met de tijd variëren. Hoe belangrijk

deze eisen zijn is niet bekend, doch vertrouwen in het koncept is gerechtvaar-digd door haar algemene, redelijk succesvolle toepassing. De redenering in appendix A lijkt daarom ook voor oscillerende stromingen de fysische basis te geven voor toepassing van het dispersie-koncept.

Uit appendix A blijkt dat een noodzakelijke eis, opdat (2.1) overgaat in (2.15) met konstante dlspersiekoëfficiënt:

2

is dat de variantie a van de gemiddelde koncentratieverdeling in het ruimte-domein lineair met de tijd verloopt:

do>2

—~>- = const. (3.2)

d

In figuur 4 is het verloop van o\. met T geschetst, zoals dat door vele

stu-dies onder permanente omstandigheden, gevonden is. Het blijkt dat vanaf T = T de variantie lineair met T verloopt. De tijdperiode % < T]_ wordt de initiële periode genoemd, de tijd daarna x > T] de dlspersieve periode. Vermenigvuldi-ging van (3.1) met £ en integratie naar E, laat zien dat in de dispersieve

-1/2 periode de scheefheid S van de koncentratieverdeling evenredig is met T .

In de literatuur wordt vaak gesteld dat het dispersie-koncept pas geldig is als S = 0. De tijdperiode waarin dit gebeurt wordt aangegeven met

x = T ; zij is over het algemeen enige malen groter dan T]_« °P n et moment dat dit verslag geschreven werd, was er een onderzoek op gang gezet dat inzicht in de relevantie van de laatste voorwaarde S = 0 moet verschaffen. Tevens kan dan inzicht verkregen worden in de betekenis van de "<<-tekens" op de vorige

bladzijde. De resultaten van dat onderzoek zullen te zijner tijd in een afzon-derlijke verslag gerapporteerd worden.

Een verhandeling over de toepasbaarheid onder getijgemiddelde omstandigheden is gegeven door Dronkers [4]. Voor een vertikaal systeem vindt hij als vol-doende voorwaarden:

cr

|i-| » 2 u T / c '

(3.3)

o öx ' sv z

en o -r— » u T / f——

1 o öx sv z ^9x

Hierin is a de gemiddelde afstand waarover individuele deeltjes in n getijden o

verplaatst worden door alle verspreidingsmechanismen (o = / 2 n TE), u is h ^

de gemiddelde circulatiesnelheid: u = J |u^z | dz, Tz is de tijdschaal voor

vertikale turbulente menging! T = h /e en c' is gedefinieerd in (2.4). De circulatiesnelheid us v is zeer klein in de systemen die in het onderhavige

verslag aan de orde komen (zie hoofdstuk 2). Omdat ö gedefinieerd is als de verplaatsing over n getijden, zal praktisch gesproken altijd aan (3.3) en (3.4) voldaan worden, met andere woorden het dispersief transport in een getijgemlddeld model is een gradiënt-type transport.

4 Bepaling van, de dispersiekoëfficiënt

4.1 Kwalitatieve beschrijving van de grootte van het dispersie!: transport

Evenals in permanente systemen [26] is in niet-permanente' systemen de tijd nodig voor menging van de stof over de dwarsdoorsnede een belangrijke parame-ter. Deze tijd kan worden gedefinieerd met de tijdschaal voor menging over de vertikaal:

respektlevelijk met de tijdschaal voor menging over de breedte:

2

(4.2,

In dit verslag zal het symbool T gebruikt worden voor de tijdschaal voor menging in laterale richting, vertikale richting of over de hele doorsnede. In niet-peraanente systemen blijkt T ^ vooral belangrijk in verhouding tot de tijdschaal voor oscillatie, dus bijvoorbeeld de getijperiode T. Het dispersief transport is gedefinieerd als de verspreiding van de stof in langs richting ten opzichte van een met de over de dwarsdoorsnede gemiddelde snelheid meebewegend assenstelsel.

Er kan dan onderscheid gemaakt worden tussen systemen met relatief snelle en met relatief trage menging.

T z >> T vindt menging van de stof over de dwarsdoorsnede zo langzaam

plaats dat in een zuiver oscillerende stroming een wolk stof na iedere periode vrijwel onvervormd op zijn oorspronkelijke plaats terugkomt; het dispersief transport zal dus klein zijn. In een oscillerende stroming met een stationaire komponent (rivierafvoer) zal dan de dispersie ten gevolge van oscillatie

verwaarloosbaar kunnen zijn ten opzichte van de dispersie ten gevolge van die stationaire komponent.

Vis T << T vindt menging over de dwarsdoorsnede zo snel plaats dat de stof y >z

binnen de getijperiode geheel gemengd is over die dwarsdoorsnede. In dat geval kunnen het dispersief transport ten gevolge van de oscillerende en ten gevolge van de stationaire stromingskoraponent van dezelfde orde van grootte zijn, doch

zijn beide klein.

ökubo [15] was de eerste die hierop wees. Dit beeld is bevestigd door ver-schillende berekeningen, uitgevoerd door Okubo [15], Taylor til [19], Fukuoka [8] en Holley et al [13].

Een belangrijke praktische konsekwentie van het bovenstaande wordt door Hol-ley, Fischer en Harleman gegeven. Zij maken aannemelijk dat voor veel estuaria geldt dat Tz « T en T » T, zodat verwacht kan worden dat, met betrekking

tot de grootte van het dispersief transport, de vertikale gradiënten van de oscillerende stromingskoraponenten de laterale zullen domineren. Zij konklude-ren in hun publikatie dat blijkbaar in brede estuaria Dt y afneemt bij

toene-mende breedte, üit betekent niet noodzakelijkerwijze dat in brede estuaria laterale effekten altijd verwaarloosbaar zijn. Immers, enerzijds kunnen bij-voorbeeld ten gevolge van secundaire stromingen T en T van dezelfde orde van grootte zijn, anderzijds kan bijvoorbeeld Do y de andere komponenten domineren.

4.2 Experimentele bepaling van de dispersieko'éfficiënt

In hoofdstuk 2 is uiteengezet hoe de totale dispersiekoëfficiënten E en E

zijn opgebouwd uit de komponenten Dfc , ^tz en n . Het zal echter over het algemeen niet mogelijk zijn deze komponenten direkt afzonderlijk experimenteel te bepalen, tenzij de snelhelds- en koncentratieverdeling over de dwarsdoor-snede in detail bekend zijn. Er zijn vier methoden om E experimenteel te bepalen:

1 da2x 1. volgens E = j ~^—

2. de momenten methode van Axis

3. volgens de definitie E = - ü~rcr / —

ox

In geval van een momentane lozing kan de dispersiekoefficiënt E bepaald worden uit:

2 dov

Deze methode is door Fischer uitgewerkt [6] en wordt door hem de momenten methode genoemd. Om hem van 2. te onderscheiden wordt de methode in dit ver-slag de momenten methode van Fischer genoemd. In (4.3) is « gedefinieerd als de variantie van de koncentratieverdellng in het ruimtedomein. Fischer [6] laat zien dat in de disperaieve periode (T > Tj, zie fig, 4) bij benadering

geldt u ha = Ao\. » waarin G en o de variantie van de

koncentratieverde-t Q t ^

ling in respektievelijk het tijddomein en het ruimtedomein zijn. Voor een momentaan model wordt aldus gevonden:

i -3 H

E = < u

-

L.> (4.4)

m 2. dx

De tweede methode Is toepasbaar als de snelheidsverdeling over de dwarsdoor-snede bekend is. Deze snelheidsverdeling kan gesubstitueerd worden in de momentenvergelijking van, Aris, waarna met (4.3) de dispersiekoefficiënt be-paald kan worden. De moraentenvergelijkingen zijn te vinden in onder andere

[29], Deze methode zal toegepast worden in de studie naar de relevantie van de eis S = 0, waarnaar in hoofdstuk 3 gerefereerd wordt. Zij zal in het daar aangekondigde verslag uitgebreid behandeld worden en zal daarom hier niet meer ter sprake komen.

Een derde methode om E experimenteel te bepalen volgt uit de definitie

E = ü"'"c? / 5c/Öx. Deze methode is geschikt voor momentane en kontinue

lozin-gen. Onderscheid kan gemaakt worden tussen de zogenaamde balansmethode en de korrelatiemethode [22]. Bij de balansmethode wordt uitgegaan van het 1-D model zelf, bijvoorbeeld van het momentane model:

Gemeten worden dan dc/öt, öc/öx en ü en na integratie van (2.15) over x wordt

E

gevonden als funktie van de tijd t. De getijgemiddelde dispersiekoëfficiënt

< E

> wordt gevonden door middeling van E

. Bepaling van E

voor het

getijge-middelde en E ^ en EJJ voor het laagwater- c.q. hoogwaterkenterlngsmodel kan op

analoge wijze geschieden. Bij de korrelatiemethode wordt voor het momentane

model direkt gebruik gemaakt van

Hier moet dus u, ü, c, c en oc/ox gemeten worden. Vergelijk, (4.5) levert

door middeling over de getijperiode en zij gaat over In

öc öc

{- <ü

c

> - <u'c'>}/-^= {- <ü

c

>

-voor het getijgemiddelde model. Zowel de balansmethode als de

korrelatiemetho-de vereisen een hoge graad van nauwkeurigheid van korrelatiemetho-de metingen om enigszins

betrouwbare waarden voor E te verkrijgen. Belde methoden zijn Immers gebaseerd

op het bepalen van het kleine verschil tussen twee grote, vrijwel gelijke

grootheden. De korrelatiemethode is de enige methode waarmee de afzonderlijke

komponenten D

c bepaald kunnen worden, gebruikmakend van de definities

(2.13) en (2.19). Koncentratie- en snelheidsverdeling dienen dan uiteraard tot

in detail bekend te zijn (zie ook par. 4.7).

De laatste methode zal hier "ijkmethode" genoemd worden en Is in feite een

iteratieve methode. Zij bestaat uit de vergelijking van gemeten

koncentratie-verdelingen en berekende koncentratlekoncentratie-verdelingen, bepaald met een gekozen 1-D

model met verschillende dlspersiekoëffIciënten. Die dispersiekoëffIciënt die

de beste overeenkomst tussen berekeningen en experiment geeft, is de

disper-siekoëf ficiënt van het systeem. Deze methode lijkt op het eerste gezicht wat

simplistisch doch zij zal In veel gevallen, met name bij de toepassing van het

getijgemiddelde of laagwaterkenteringsmodel relatief eenvoudig en betrouwbaar

blijken.

4.3 Verspreiding in dwarsrichting

De grootte van het dispersief transport en dus de grootte van de dlspersie-koëfficiënt is een direkte funktie van de effektleve stofultwlsselingskoëffi-ciënt e en/of e . Tn dit verslag worden D en E expliciet uitgedrukt als funktie van e. Hiermede is in feite de problematiek van het bepalen van de grootte van de dispersiekoëfficiënt verlegd naar het bepalen van

e en/of e . Daarom zal in deze paragraaf een tweetal vuistregels worden

y z

gepresenteerd om e en e te bepalen. Voor de achtergronden van deze regels y z

wordt verwezen naar [16], [21] en [28].

Holley et al [13] en R895-II [28] geven als orde van grootte voor de effektle ve vertikale stofuitwisselingskoëfficiënt e in permanente stromingen

e /hu. •=» 0 {0,l}. Deze waarde wordt vaak als getijgemiddelde waarde in getij-stromingen toegepast:

< ez > = 0,1 h <uA> (4.7)

Hierin is de schuifspanningssnelheid uA gekoppeld aan de Chêzy-koëfficiënt C

volgens:

(4.8)

Een idee van de grootte van de getijgeraiddelde effektieve laterale stofuit-wisselingskoëf ficiënt < e > kan verkregen worden uit de laboratorium experi-menten van Ward [21] en Sumer [16]. Afhankelijk van de toegepaste modelruw-heid, breedte-diepteverhouding en geometrie van de dwarsdoorsnede geven zij:

4.4 Theoretische bepaling van de dlspersleko'éfflciënt van het momentane model

In paragraaf 2,1 is uiteengezet hoe de dlsperslekoëfficiënt Effl is opgebouwd

uit de komponenten:

E = ï> + I) (2.16) m ty tz

Voor de grootte van Kffl ±n (2.16) wordt in de praktijk veelal het resultaat van Holley en Harleman [12] gebruikt. Zij publiceren een analytische en experi-mentele studie van de dispersie in een oscillerende pijpstroming. Be studie heeft betrekking op systemen waarvoor geldt: T/Ty)Z = 3 a" 5 en

u > (ü ) . Uitgaande van een parabolisch snelheidsprofiel vinden zij als o t nisx

resultaat voor de grootte van de totale dispersiekoëfficiënt voor het momenta-ne model:

E (t) = 10,1 a u.(t) (4.10)

m w

Hierin is a de straal van de pijpdoorsnede. Vergelijking (4.10) is equivalent aan het resultaat in een stationaire pijpstromlng [181. Vervolgens laten Holley en Harleman zien dat de koncentratieverdeling in de pijp verkregen met het momentane model met Era(t) uit (4.10) vrijwel identiek is aan de

koncentra-tieverdeling verkregen met de getijgemiddelde waarde van E^, 2iij adviseren daarom, na invoering van de hydraulische straal R - a/2, in een momentaan model een getijgemiddelde dlspersiekoëffIciënt te gebruiken:

E = 20,2 R < u > (4.11) m *

In de praktijk wordt (4.10) om nogal duistere redenen toch vaak als tijdsaf-hankelijke dlspersiekoëffIciënt gebruikt volgens:

Hoewel de experimentele resultaten van Holley en Harleman redelijk in over-eenstemming zijn met (4.11) moet gebruik van (4.11) en/of' (4.12) toch ontraden worden omdat zij door de keuze van hun stromingsparameters de wezenlijke

karakteristieke eigenschappen van dispersie in oscillerende stromingen nege-ren. Ten eerste is het onderzoek verricht voor gevallen dat T z < T, zodat

slechts een deel van de in de praktijk voorkomende gevallen wordt beschouwd. Ten tweede is de studie beperkt tot het geval dat

Ü > (ü ) : de stroming heeft dan altijd dezelfde richting en bovendien zal o t max

de stationaire komponent DQ de oscillerende komponent Dfc domineren. Het is dus

niet verwonderlijk dat (4.10) equivalent is met het resultaat voor stationaire pljpatromlng. Samengevat kan gekonkludeerd worden dat (4.10) en (4.11) de komponenten Dt y en Dt z niet geheel of geheel niet beschrijven. Deze konklusie

is tevens de verklaring voor de bevindingen (o.a. [24]) dat (4.12) het disper-sief transport in de getijgoot veelal niet korrekt beschrijft.

Okubo [15] gaat uit van een lineaire snelheidsverdeling in een vertikaal systeem:

waarin UQ e n ut de maximum waarde (aan het wateroppervlak) van respektievelijk

de stationaire stromlngskomponent uQ en de oscillerende stromingskomponent ut

zijn. De diffusievergelijking voor het vertikaal systeem wordt dan, bij kon-stante e: 2 2 5c , r ii z _L rt z 4 2 u t i öc & c , & c

+ L

~ T I

7 T

—

h

t

h T

o7 x 7 T

z

Vergelijking (4.14) wordt opgelost met de momentenmethode voor t •* «. De dispersiekoëfficiënt D wordt bepaald uit de berekende momenten met D = 0,5 dö.2/dt. Hij vindt dat:

voor T » T B = 12,7 x 10"3 U 2 T (-J-)2 en (4.15) z tz t zvT ' z voor T « T D = 4,2 x 10~3 U 2 T (4.16) z tz t z met Tz volgens (4.1): T = h2/< e >

Fukuoka [8] publiceert de resultaten van een soortgelijke studie, eveneens gebaseerd op het lineaire snelheidsprofiel (4.13).

Naast e = konstant beschouwt hii het geval dat e = e I sin 2irt/Tl. Z * Z Z ' "

waarbij e zodanig wordt gekozen dat <e > uit (4.19) en (4.20) gelijk Is aan

e uit (4.Ï7) en (4.18). Hij vindt dat:

z

voor E = konst., T » T: D. = 6,3 x 10~3 U 2 T (^-)2 f 1 - / - — ] (4.17)

z z

voor e = konst., T « T: D - 4,2 x 10~3 U 2 T (4.18)

z z tz t z

voor e = e sin ojt , T » Ti D = z z ' " z tz o

= ^ 6 , 3 xlO"

U

T

(l-)

[ 1 - / ^ 1 (4.19)

Het blijkt dat ten gevolge van het oscillerende karakter van e de dispersie-z

koëfficient ongeveer 20% afneemt. Het is opvallend dat (4.17) en (4.15) glo-baal een faktor 2 verschillen. Fukuoka signaleert dit verschil zelf ook, doch stapt er nogal lakoniek overheen. De oorzaak van de verschillen is echter duidelijk aanwijsbaar: Fukuoka maakt een fout in de afleiding van de momenten-vergelijking uit de diffusiemomenten-vergelijking (vergelijk (10) uit [8] met bijvoor-beeld (13) uit [15] of (5.5) uit [29]). Daarom moet gekonkludeerd worden dat

(4.17) en dus ook (4.19) onjuist zijn.

De derde publlkatie waarin wordt uitgegaan van een lineaire snelheidsverdeling is afkomstig van Holley, Fischer en Harletnan [13]. Zij gaan uit van:

u = Üt( £ - \) sln töt (4.21)

De koncentratteverdeiing c' en 9c/9x worden berekend uit de diffusievergeltj-king met de aannames 9c'/9x << 9c/9x, dc/5x = konstant en 9c/9t = 0,

Aldus wordt gevonden voor Dt volgens de definitie D = - u'c' / 9c/Öx

T — 1

V

=

h \

2 T r

^ ? 2

>Ml

* 2 ; — ;

(4>22)

7t __, ( i n - 1 ) [U

Deze funktie Is dimensieloos uitgezet in figuur 5, welke verderop besproken zal worden. Voor Tz » T en Tz « T gedraagt (4.22) zich asymptotisch als:

voor T » T D 10,4 x 10~3 U 2 T f^_)2 en (4.23)

z tz t z 1

voor T « T D = 4,1 x 10~3 U 2 T (4.24)

z tz t z

hetgeen in overeenstemming met de resultaten van ökubo is. Met behulp van (4.22) en de veronderstelling dat voor de meeste natuurlijke getijstromingen geldt Tv » T en Tz « T konkluderen zij dat In brede estuaria de Invloed op

het dlspersief transport van de laterale gradiënt van de oscillerende snel-heidskomponent kleiner wordt bij toenemende breedte.

Holley et al verbinden aan het gegeven dat voor Ty^z « T het dispersief

transport ten gevolge van de oscillerende snelheidskomponenten van dezelfde orde van grootte kan zijn als het transport ten gevolge van de stationaire

koraponenten, de konklusie dat T>t ais funktie van de dispersiekoëfficiënt Do in

een equivalente stationaire stroming beschreven kan worden. Taylor III [19] laat zien dat dit onjuist is, omdat er niet zoiets bestaat als een equivalente stationaire stroming. Hij beschouwt daartoe, analoog aan Chatwin [3] het

disperslef transport in een vertikaal systeem met een snelheidsverdeling beschreven door:

L " (4.25)

Hierin is al aangenomen dat Reynolds' analogie geldig is, zodat de diffusie-koëfficiënt in (4.25) met e beschreven kan worden. Hij laat zien dat de

z

maximale in het systeem optredende getijsnelheid Ut en ÏT een funktie van

elkaar zijn:

„ it/2 (cosh 25 + cos 2 6 )2 n = _ _ c o s h 5 _ c o s § u

Hierin is 5 = /icT /T.

z

Vervolgens lost hij uit de diffusievergelijking, impliciet aannemend dat öc'/ox = 0 en dc/öx = konstant, c' en oc/3x op en bepaalt met behulp van D = - u'c' / 5c/9x de getijgemiddelde dispersiekoëfficiënt Dt z« Aldus vindt

h i j :

9 ji f o 00 2

IT'T ,jz_-T cosh 26 - cos 26 r (n-ir) /^ 29) tz " 2m lT ] cosh 26 4- cos 26 '• [ ( ^ 44-|2

H i e r i n i s 6 = /-rfT / T . V e r g e l i j k i n g ( 4 . 2 9 ) gaat met ( 4 . 2 8 ) over i n :

2

D - UU2T ( V coah 25 - cos 26 ^ (nu)2 (4.30)

t z t T (cosh 5 - cos 5 )Z n = 1 [(nu)* + 4 $ V

De dispersiekoëfficiënt Dt z kan genormeerd worden met Do z, gebaseerd op een

U-norm: UQ = Ut en een druk-norm: P = TI. Het resultaat is gepresenteerd in

figuur 5, tezamen met het resultaat van Holley et al (4.22). De figuur demon-streert heel duidelijk hoe het verloop van Dt z/ Do z met Tz/T sterk afhangt van

het veronderstelde snelheidsprofiel en de wijze van normeren. Een en ander impliceert dat het normeren van Dt z met DQ Z een weinige zinnige bezigheid is

en beter nagelaten kan worden.

Uit praktische overwegingen wordt (4.30) geprefereerd boven (4.29) om D te beschrijven: Ut is een wat grijpbaarder grootheid dan n. Interessant is nu

weer hoe T>tz zich gedraagt bij Tz » T en Tz « T.

Uit verslag R1O92 [29] blijkt dat:

voor T » T: D„ » 5,7 x 10~3 x U 2 T (-J-)^2 en (4.31)

voor « T: Dt z - 4,2 x 10~3x Ut 2 Tz (4.32)

Voor Tz « T is het resultaat weer gelijk aan (4.16) en (4.24). Hieruit blijkt

dus dat de vorra van het snelheidsprofiel hier niet belangrijk is: (4.16) is met een lineair snelheidsprofiel bepaald en (4.24) met de snelheidsverdeling volgend uit (4.25), (4.26) en (4.27). In beide gevallen is e echter konstant genomen. Het is bekend dat voor £ = e(z) een veel voller snelheidsprofiel

z

ontstaat, zodat de dispersiekoefficiënt dan wat kleiner zal zijn. Voor T >> T verschilt het resultaat een faktor (T/T,)1' met (4.15) en (4.23). Dit moet

Cl

worden toegeschreven aan het faseverschil in de snelheidsverdeling over de vertikaal dat voor T„ » T geprononceerd wordt, en met (4.25), (4.26) en

(4.27) beschreven kan worden.

Een lineair snelheidsprofiel kan dit faseverschil uiteraard niet beschrijven. Een en ander zal een rol kunnen spelen in laterale systemen waar niet geldt

Ty « T (zie bijv. [13]).

Alle studies gaan uit van zuiver tweedimensionale stromingen, dat wil zeggen dat of v èn e of w ên e identiek nul gesteld worden. Taylor III berekent ook

y z

de disperslekoëfficient voor een oscillerende stroming door een rechthoekig kanaal met de aannames v = w = 0, doch e en e ongelijk hul. Een dergelijk systeem lijkt sterk op de getijgoot. De door Taylor III berekende dlspersie-koëfficiënt zal in dit verslag met D3 d aangeduid worden. De grootte van D3 d is

in figuur 6 weergegeven als funktie Tz/T en Tz/Ty. De figuur is dlrekt van

Taylor III overgenomen; voor de afleiding wordt verwezen naar [19]. Uit de figuur blijkt dat voor een oscillerende stroming door een rechthoekig kanaal het effekt van wandinvloeden op de grootte van de dispersieko'ëfficiënt D^, niet groot is (het verschil tussen D3 d voor Tz/Ty = 1 en D3 d voor Tz/Ty = 10

bedraagt maximaal 10%).

In verslag R1092 [29] wordt de dispersiekoëfficiënt voor een turbulente oscil-lerende stroming tussen twee evenwijdige platen berekend volgens de bovenbe-schreven door Taylor III toegepaste methode. Deze stroming kan opgevat worden als de stroming in een over de vertikaal goed gemengd lateraal systeem, waarin de laterale snelheidsverdeling alleen door wandinvloeden bepaald wordt. In werkelijkheid zal deze laterale snelheidsverdeling hoofdzakelijk door de over de breedte variërende bodem bepaald worden.

Uitgaande van de Reynoldsanalogie, e ™ konstant en impliciet via de oplossing van de diffusievergelijking öc/ox = konstant en öc'/öx =• 0, wordt gevonden:

_ \ ^ r 25(cos 26 - cosh 25) + sinh 25 - sin 26 ,

t y 32n 26(cosh 6 - cos ö )2

2 2 2 2 2 2 2(cos 6 + sinh 6) (sinh 5 cosh 6 - sin 6 cos 6)

_ ^ _ ^ ^ (cos 6 - cos 6) (sinh 6 cosh 6 + sin 5 cos 6)

roet 6 = /n T / T en Ty volgens (4.2): Ty = (b/2) /e . Onderscheid kan weer

worden gemaakt tussen:

en T « T: Dfc - 4,4 x 10"3 Ufc2 T (4.35)

Samenvattend kan gekonkludeerd worden dat de vorm van het snelheidsprofiel weinig invloed heeft op Dt V O Or Ty(Z « T. Indien TV ( Z » T kan de invloed van

faseverschillen In de snelheidsverdeling over de dwarsdoorsnede op de grootte en vorm van de dlspersiekoëfflciënt belangrijk worden. Hierom moeten de vormen (4.31) en (4.34) geprefereerd worden.

Samengevat blijkt uit de literatuurstudie dat het momentane model beschreven kan worden met:

ÖC , ~ ÖC Ö_ TJ ÖC

Hierin is de overall disperslekoëfficlënt E opgebouwd uit de komponenten:

E = D + D (2.16) m ty tz

De disperslekoëfficiënten D. en ~Dtz blijken volgens dit verhaal bij konstante

V

voor

»

: D - 5,7 x l(f

U

T (^-f

(4.36)

J * * * } ' y,z

voor Ty > z « T: Dt y > z = 4,3 x 10~3 Ufc2 Ty > z (4.37)

en voor een systeem met wandinvloeden volgt D^^ uit figuur 6 Hierin zijn de tijdschalen T en Tz gedefinieerd volgens:

-TTr

'

T = . h . (4.1) z < ez >

De (konstante) effektieve stofuitwisselingskoëfficiënten e en e kunnen bepaald worden met:

a 0,5) h < uft > (4.9)

< e > » 0,1 h < u* > (4.7)

4.5 Theoretische bepaling van de dispersiekoëfficiënt voor het getij-gemiddelde model

In hoofdstuk 2 is uiteengezet dat het verschil tussen het getijgemiddeld

dispersief transport in het momentane model en het dispersief transport in het getijgemiddeld model gelijk is aan de term - < u c >, het dispersief trans-port ten gevolge van de korrelatie tussen de oscillerende komponent van de over de dwarsdoorsnede gemiddelde snelheids- en koncentratieverdeling. De grootte van < ü c > wordt bepaald door niet-lokale mengprocessen (zie ook par. 2.2); zij zal dus over het algemeen door niet-lokale stromingsparameters bepaald worden. Desondanks blijkt < ü c > soms (hfdst. 3) als gradiënt-type transport "beschreven te kunnen worden:

oc

De grootte van de dispersiekoëfficiënt D zal ook van niet-lokale stromings-Ac

parameters afhankelijk zijn en is daarom niet te bepalen uit de in dit verslag beschreven snelheids- en koncentratieverdellngen, zoals die in de literatuur vaak gebruikt worden. Ter illustratie wordt dit gedemonstreerd voor het werk van Holley et al [13] en verslag R1O92 [29].

Holley et al gaan uit van een lineaire snelheidsverdeling in een vertikaal systeem volgens:

u = Ut (~ - j) sln tot (4.21)

Volgens de definitie n - u blijkt hier ü = 0 en dus < ü ê > ~ 0.

In verslag R1092 wordt de stroming in een lateraal systeem beschreven, uit-gaande van (4.25), (4.26) en (4.27). De snelheidsverdeling ü wordt dan:

Üt = TT T Re {(V exp (- iwt) } (4.38)

De complexe funktte V is hier:

Hierin Is y - 6 /- 2i = i (1-1)6, met 6 = / n b / 4E T. De

koncentratie-verdellng c wordt beschreven met:

c = a [x + Tl T2 Re {1 exp (- icot) } 1 (4.40)

waarin de complexe Funktie H gelijk is aan:

t£iLT| (4.41)

De funktie V = 12TU Tl, dus zijn Re {7 exp (- iwt) } en Re {H exp (- liot) } exakt m/2 uit fase, met andere woorden < ü c > is evenredig met < sln wt cos ut >, welke terra identiek nul is. Ook hier blijkt dus:

< utct > = O

De grootte van < u c > behorend hij de snelheidsverdeling volgens Holley et al wordt opgedrukt door de keuze van de snelheidsverdeling (ü = 0 ) ; zij beschouwen dispersie in een meebewegend assenstelsel. In R 1092 en het werk van Taylor III ter bepaling van Dt z (zie hfdst. 4.4) wordt gebruikt gemaakt

van een vergelijking voor de koncentratieverdeling in de vorm

c - a x + a f(y,z,t)

waarin a de (konstante) gradiënt 5c/?)x voorstelt (vergelijk met (4,40)). Deze relatie kan alleen de koncentratieverdeling over de dwarsdoorsnede c' be-schrijven; H m (x •+• i <°) leidt immers tot het onzinnige resultaat dat

c •* ± "•

4.6 Theoretische bepaling van de dispersiekoëfficiënt van het IHK-model

Het laagwaterkenteringsmodel is gedefinieerd volgens:

de , d cL

waarin de dispersiekoëfficiënt Ey gelijk is aan:

ET = E (t = LWK) (2.27)

kan gesplitst worden in de komponenten:

Helaas zijn er In de literatuur geen gegevens bekend waarmee T) (t = LWK) bepaald kan worden. Het blijkt wel mogelijk T)tz (t - LWK) te bepalen. Dit kan met behulp van de waterbeweging en koncentratieverdeling zoals gegeven door

Taylor III [191. Gedefinieerd wordt de volgende dispersiekoëfficiënt:

D = D (t = LWK) (4.43) Lz tz

In appendix B zijn de berekeningen beschreven die leiden tot:

voor T » T : D ^ = H , 4 x 10~

U

T^ (~]

cos

{ arcsin f0,94 -^l

7

'

voor T « T : DT = 8,4 x 10 U T (4.45)

z lz t z

Hierin ia UQ de maximum snelheid van de stationaire stromingskomponent, Ut de

maximum snelheid van de oscillerende stromingskomponent en Tz weer volgens

(4.1): T =• h2/< E >.

z z „ _

De koncentratieverdeling op hoogwaterkentering c,, volgt uit c door deze over.

H ij

de getijweg te verplaatsen: het verschil tussen c, en c„ wordt bepaald door Li H

het advectief transport van de getijbeweging. Dit transport en dus de getijweg zijn een direkte funktie van de geometrie van het systeem en haar randvoor-waarden. Het is dan ook niet mogelijk een universeel geldende relatie te

bedenken die het verband tussen c, en ct, aangeeft. Deze konklusie is feitelijk

L H

equivalent aan de konklusie in paragraaf 4.5 dat D empirisch bepaald moet

jfiC

worden. Het een en ander impliceert ook dat in het HWK-model , dc^

=o _ H ( 2 < 2 6 )

dx H dx dx

de dispersiekoëfficlënt E„ empirisch bepaald zal moeten worden; immers het verschil tussen E„ en E-, wordt ook bepaald door de getijbeweging.

4.7 Vergelijking theoretisch en experimenteel bepaalde dlspersiekoëffIclënten

In dit hoofdstuk zullen de resultaten, gepresenteerd in de voorafgaande para-grafen, getoetst worden aan de resultaten van een drietal experimentele stu-dies. De eerste studie is door Ippen en Harleman [14] uitgevoerd in de WES goot. Benedenstrooms van de goot in de zee is een hoeveelheid kleurstof opge-lost, die onder invloed van de getijbeweging de goot binnendringt tot een dynamisch evenwicht wordt bereikt (d.w.z. < oc/öt > = 0 ) . Zij vinden dat de dispersiekoefficiënt E nodig om met een getijgemiddeld diffusiemodel de

getijgemiddelde koncentratleverdellng behoorlijk te beschrijven vrijwel gelijk is aan de dispersiekoefficiënt zoals die volgens Taylor [181 voor een open kanaalstroming zou moeten zijn. De omstandigheden waaronder de experimenten zijn uitgevoerd, zijn echter zo summier beschreven dat het niet mogelijk blijkt hun resultaten opnieuw te analyseren en te toetsen aan de resultaten zoals in dit verslag beschreven.

Het tweede experiment waaraan de resultaten van het onderhavige verslag ge-toetst kunnen worden is xiitgevoerd in de Andelse Maas [301, [311, een aan éên zijde afgesloten volledig soete getijrivier, met een over de lengte verspreid aantal lozingspunten van boezemwater, waarvan de bijdrage tot het dispersief transport In de Andelse Maas verwaarloosd wordt. In verslag S146-III [301 zijn zoutkoncentratlemetingen beschreven. De snelheidsverdeling is berekend met de kontinuïteitsvergelijking uit de op enkele plaatsen gemeten waterstand. De resultaten van deze berekeningen zijn niet in [301 gerapporteerd. De grootte van de dispersiekoefficiënt is in [30] bepaald door "datafitting" met het 1-D model (ijkmethode) en blijkt E = 50 h <|u|> in de mond van de Andelse Maas.

exp

De gegevens van de waterbeweging kunnen verkregen worden uit verslag W3 51 [31], Echter, hoofdzakelijk ten gevolge van het afsluiten van het Haringvliet, is de getijslag waarmee de berekeningen in [31] zijn uitgevoerd globaal een vierde van de getijslag waarbij de metingen beschreven in [30] zijn uitge-voerd. Uit de kontinuïteitsvergelijking volgt dat het debiet globaal rechte-venredig is met oh/ot. Gebruikmakend van de gegevens uit [311, "gekorrigeerd" voor een kleinere getijslag, worden de volgende karakteristieken voor de in

[301 beschreven stromingssituatie in de mond van de Andelse Maas gevonden: 240 m3/ s , <|Q|> =• 140 m3/ s , A = 700 m2, h = 4,5 m, b = 155 m en geschat

= 5,6 x 10"3 m2/s en < e > = 0,5 h < u. > = 28 x 10~3 m2/ s , zodat T /T = 0,08

en T /T = 4,8. Veronderstel een in vertikale en laterale richting parabolisch snelheidsprofiel, zodat Ut = 1,5 Qm a x/ A = 0 , 5 m/s . Dan wordt gevonden volgens

dit verslag:

2

D = 6 x 10 Uc T / T / T = 3 0 , 8 m / s

D = 4 x 1 0 "3 U 2 T = 3 , 6 m2/ s

n Dus de theoretische dispersiekoëfficiënt bedraagt E = B + D = 34,4 m / s . Gebruik makend van de bovenstaande parameters wordt voor de experimentele

— 2

dispersiekoëfficiënt gevonden E = 50 h <|u|> = 45 m / s . Gelet op de ruwe sxp

schattingen waarmee de stromingsparameters bepaald zijn, moet de overeenkomst tussen experimenteel en theoretisch bepaalde dlspersiekoëfficiënt als goed gekwalificeerd worden.

De derde studie is in het M896-kader uigevoerd. De resultaten zijn gerappor-teerd in verslag M896-38A [24], De experimenten zijn uitgevoerd in de getij-goot. Bij deze experimenten is Rhodamine in de zee van de getijgoot opgelost, die onder Invloed van de getijbeweging de goot binnendringt. Er zijn een drietal proeven uitgevoerd met verschillende bovenafvoer en getijslag; de proeven T12, T22 en T32 (zie tabel 1 ) . Genieten zijn de waterstand en in het symraetrlevlak van de goot de vertikale snelheidsverdeling en de koncentratie-verdeling over de lengte van de goot als funktie van de tijd. De toegepaste ruwheid bestaat uit bodemplaatjes. De koncentratieverdeling van proef T32 is ter illustratie in figuur 7 opgenomen. In verslag M896-38A is met de "ijkme-thode" (zie par. 4.2) bepaald met welke dispersiekoëfficiënt Rm de

experimen-tele koncentratieverdeling het beste met het momentane diffusiemodel beschre-ven kan worden. De resultaten zijn gegebeschre-ven in tabel 1. In figuur 7 Is de invloed van E op de berekende koncentratieverdeling te zien en de overeen-komst met de experimenten voor proef T32. Het blijkt dat de invloed van ver-schillende E zich hoofdzakelijk manifesteert nabij de stations 11 en 13, dus nabij de punt van de Rhodamine indringing.

Volgens Taylor III [19] zullen in de getijgoot wandeffekten een rol kunnen spelen, zodat dan de dispersiekoëfficiënt uit figuur 6 bepaald moet worden. Voor proef Tl2 bijvoorbeeld:

T 2 < e > = 0,1 h < uA > = 3,6 x 10~^ m / s , zodat •—- = . s T " ° '2 3 e n z T 2 < e > = 0,3 h < uA > = 10,8 x 10"4 m 2/ s , zodat y L = , b \ = 0,28 7 ^ ey ?

Uit figuur 6 blijkt dan D_, = 60 x 1 0 ~5 * U 2 T.

Jd t

De grootte van Do voor de stationaire komponent van de snelheidsverdeling

wordt verondersteld gelijk te zijn aan de som van T) voor een vertikaal systeem en Do y voor een lateraal systeem (zie [26]). De totale

dispersie-koëfflci'ént Em is bepaald in de mond van de getijgoot (station 1) en in tabel

1 gegeven. Stroomopwaarts zal Em afnemen ten gevolge van de afname van de

snelheid in de goot. Voor proef 132 bijvoorbeeld blijkt ter plaatse van sta-tion 13 (tot hier komt de Rhodaraine ongeveer tijdens vloed) Em = 0,034 m^/s.

Vergelijking van de resultaten tonen nogal wat verschillen. Uit tabel 1 blijkt dat E semi-experimenteel bepaald en volgens de in dit verslag gegeven methode orde 50% verschillen. Dit zal enerzijds veroorzaakt worden door de onnauwkeu-rige bepaling van e en e ; anderzijds heeft ook de keuze van de overgangspe-riode tQ zoals gebruikt bij het bepalen van de experimentele E^j met de

"reken-methode" invloed op de grootte van Era en dus op de verschillen in tabel 1,

Bij het M896-38A getijgootonderzoek zijn in en nabij het symmetrievlak van de goot de snelheid op 12 plaatsen in de vertikaal en de Rhodamine koncentratïe op 4 plaatsen in de vertikaal gemeten als funktie van de tijd. Uit deze metin-r gen kan dus direkt het transport < u'c' > in het symmetrievlak berekend wor-den, hetgeen voor proef T32, station 1 is gebeurd. Volgens de definitie D = - < A u'c' > / A < Öc/ox > blijkt dan l)ovn = 0,004 m2/ s . Rij de

bepa-exp J exp

ling van < u'c' > kunnen relatief grote fouten gemaakt worden; hoe groot is niet uit de resultaten van de metingen af te leiden.

Het verschil tussen De x p en E,^ blijkt aanzienlijk. Het verschil moet

hoofdza-kelijk gezocht worden in driedimensionale effekten: < u'c' > is alleen in het symmetrievlak van de goot bepaald, terwijl het transport van Rhodamine door de totale doorsnede van de goot plaatsvindt. Een en ander wordt verderop nog nader toegelicht.

De metingen uitgevoerd in de getijgoot zijn in verslag M896-38A ook getijge-middeld geanalyseerd. Het getijgentiddelde model (2.20) wordt daartoe naar x geïntegreerd: