Moc w układach elektrycznych o przebiegach nieokresowych

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ S e r i a : ELEKTRYKA z . 36

________ 1972 Nr k o l . 343

ZYGMUNT NOViOMIEJSKI

I n s t y t u t Podstawowych. Problemów E l e k t r o t e c h n i k i i E n e r g o e l e k t r o n i k i

MOC W UKŁADACH ELEKTRYCZNYCH O PRZEBIEGACH NIEOKRESOWYCH

S t r e s z c z e n i e . W p ra o y z o s t a ł y podane d e f i n i c j e w a r t o ś c i s k u te c z n y c h o r a z mocy c z y n n e j 1 b i e r n e j d l a układów o d o - w o lnyoh, na o g ó ł nie o k re so w y ch p r z e b i e g a o h . Wyprowadzono nowe z a l e ż n o ś c i d la mooy c z y n n e j i b i e r n e j i podano i c h f i ­ z y k a ln e i n t e r p r e t a c j e w o d n i e s i e n i u do układów l i n i o w y c h .

Nieoh f ( t i b ę d z i e f u n k o j ą p r z e b i e g u r z e o z y w i s t e g o . P r z e z w a r to ś ó sk u ­ t e c z n ą F p r z e b i e g u f ( t i r o z u m i e ć będziemy w i e l k o ś ć :

Dla w a r t o ś c i s k u t e c z n e j F może z a o h o d z i ó : 1 . F » 0

2 . F « o o n s t a n s > 0 3 . F — o»

Z p unktu w id z e n ia prowadzonych rozważań w s z y s t k i e p r z e b i e g i mogące w y s t ą ­ p i ć w dowolnym obwodzie e l e k tr y c z n y m z o s t a n ą p o d z i e l o n e na dwie k l a s y . Do k l a s y p i e r w s z e j . { I i z o s t a n ą z a k la s y f i k o w a n e p r z e b i e g i , k t ó r y c h w a r to ś ó s k u t e o z n a F *= O a do d r u g i e j ( I l i p r z e b i e g i , d l a k t ó r y c h O < F < ° ° . P rz e ­ b i e g i , d l a k t ó r y c h F— ni e mogą w y s t ą p i ć w u k ł a d a c h r z e c z y w i s t y c h i zo­

s t a n ą p o m i n i ę t e w d a l s z y o h r o z w a ż a n i a c h .

O g ó l n i e b i o r ą o , p r z e b i e g i f ( t i mogą z a w i e r a ć im p u lsy D ira o a o" ( t i . Kwa­

d r a t im p u ls u D iraoa J e s t n i e z d e f i n i o w a n y i d l a t e g o p o j ę c i e w a r t o ś c i sk u ­ t e c z n e j d l a te g o ty p u przebiegów n i e p o s i a d a z n a c z e n i a . W na s z y c h r o z w a - ż a n i a o h przyjm iemy Je dnak z a k l a s y f i k o w a n i e do k l a s y i i i l u b ( I l i p r z e b i e ­ gu w p o s t a o i :

[ f ( t i ] 2 d t . ( 1 i

4 Zygmunt Nowoml ej ski

w z a l e ż n o ś c i od w a r t o ś o i g r a n i c y :

l i ® h Z k i £ ( 3 )

T—« l £ = ! — OO

Do k l a a y ( I i n a l e ż ą p r z e b i e g i o skońozonej w a r t o ś o i e n e r g i i , w s z o z e g ó l - n o ś o i f u n k c j e p r z e j ś o i a układów lin i o w y c h i pasywnyoh.

Do k l a s y ( X I ) n a l e ż ą w s z y s t k i e p r z e b i e g i okresowe o r a z duża k l a s a p r z e b i e ­ gów n ie o k r e s o w y o h . Między in nym i p r z e b i e g i prawie okresowe w y s t ę p u j ą o e w u k ł a d a c h r ez onansow ych i samowzbudnyoh o r a z p r z e b i e g i wielookresow e i mo­

dulowane .

W d a l s z y o h r o z w a ż a n ia c h zajmiemy s i ę układem L skupionym między z a c i s k a m i ( a , b ) , między k tó r y m i wy­

s t ę p u j ą p r z e b i e g i : n a p i ę c i a u ( t ) o r a z prądu i ( t ) na­

l e ż ą c e do k l a s y (IX ) ( p o r . r y s . 1 ) . Oznacza t o , że na z a c i s k a c h ( a , b ) u k ła d u L o k r e ś l o n e s ą w a r t o ś o i s k u t e c z n e ( p o r . ( 1 ) ) :

c i(t)

u (i) L

b

R y s . 1

U = ^ l i m f a ’ j [ u ( t ) ] 2 dt ( 4 )

[ l ( t ) ] 2 dt

o r a z moc modułowa ( p o r . [ i j ) :

U I . ( 5 )

Moc ozynną P p o b i e r a n ą p r z e z u k ł a d L d e f i n i u j e m y przy pomooy r e l a c j i :

)

-T d f . T7

P = l i m im | u ( t ) K t O d t ,

Q l i m far 7

J

( 6 )

( 7 )

Moo w u k ł a d a c h e l ek t r y c z n y c h , o p r z e b i e g a c h n i e okr e s owyoh 5

g d z i e H { ł ( t )} oznaoza t r a n s f o r m a t ę H l l b e r t a f u n k c j i i ( t ) i z a o h o d z i ( p o r . W ' •

■ W - i / H i p .

N ie c h y ( t ) j e s t o d p o w ie d z ią u k ła d u l i n i o w e g o , ozasowo n i e z m i e n n i c z e g o (ak­

tywnego l u b pasywnego) z a w a r te g o między z a c i s k a m i ( a , b ) na n ap ięc io w y im­

p u l s D lra o a <5 ( t ) ( p o r . r y s . 2 ) . Dla u k ła d u t e g o z a ­ o h o d z i ( p o r . r y s . 3 ) :

\f(t)

d(t)

R y s . 2 .

a i ( t ) J T > —

u W | y ( t )

l

OD

l ( t ) = ^ y ( t ) u ( t - r ) d r

— OO

s t ą d d l a mooy c z y n n e j ( p o r . ( 6 ) ) : ip

P » lim | u ( t } j j y ( i ) u ( t - t ) a r] d t

T r ni_________ _.

(8)

R y s . 3

fTrit)

Połóżmy ( p o r . r y s . 4 ) s

1 , gdy -<r < t < T

O, gdy t < -d? o r a z t > T.

nT ( t )

ii il i

it ii t

-Y i

R y s . 4

W y k o r z y stu ją o f u n k o j ę R j , ( t ) do z a p i s u r e a l o j i ( 8 ) , otrzymamy i

°° a.

P - l i m jijr

j

Ti

P - I y ( t ) | | l x m jjT | u ( t ) u i t - O d t j d i . (9 )

W ie lk o ś ć s

*#

■f ( t ) » lim 4»rr f u ( t ) u ( t - r ) T— ~ 4

d t . ( 1 0 )

6 Zygmunt Nowomiejakl

j e s t (na p o d sta w ie d e f i n i c j i ) f u n k o j ą a u t o k o r e l a c j i p r z e b i e g u n a p i ę c i a u ( t ) .

J e s t ona f u n k c j ą p a r z y s t ą :

f ( t ) = « ( - t )

1 d l a t e g o n i e z a l e ż n ą od p r z e s u n i ę c i a fazowego.

Po wprowadzeniu ( 1 0 ) do r e l a c j i ( 9 ) , otrzymamy:

O

i

Z r e l a o j i (1 1 ) wynika t w i e r d z e n i e o r z e k a j ą c e , że moc cz ynna-P p o b i e r a n a p r z e z u k ła d L n i e j e s t b e z p o ś r e d n i o z a le ż n a od f u n k c j i p r z e b i e g u p r z y ł o ­ żonego n a p i ę c i a u ( t ) , l e c z od a u t o k o r e l a c j i te g o p r z e b i e g u . Oznacza t o , że j e ż e l i r ó ż n e n a p i ę c i a p o s l a d a j ą o e t ą samą a u t o k o r e l a o j ę z o s t a n ą p r z y ­ ło ż o n e do te g o samego u k ła d u lin i o w e g o L, t o pobór mocy c z y n n e j P w k a ż ­ dym przypadku b ę d z ie t e n sam. N ależy t a k ż e zauważyć, że na o g ó ł z n a c z n i e ł a t w i e j z wyników pomiaru odtw orzyć f u n k c j ę f ( t ) od p r z e b i e g u u ( t ) i d l a t e g o wzór ( 1 1 ) może p o s i a d a ć i s t o t n e z n a c z e n i e o b l i c z e n i o w e .

S t o s u j ą c t r a n s f o r m a c j ę F o u r i e r a , wzór ( 1 1 ) można p r z e d s t a w i ć w p o s t a c i :

OD

p = h i f V w) y * dw

={Re V / Su (e>) y* ( u ) dw. (1 2)

(Wzór (1 2 ) wynika z b e z p o ś r e d n ie g o z a s to s o w a n ia t w i e r d z e n i a P a r s e y a l a do wzoru ( 1 1 ) ) .

Uwaga: Uzyskane stosunkowo p r o s t e i ła tw e w obróbce numerycznej r e l a c j e ( 1 1 ) o r a z ( 1 2 ) ważne s ą t y l k o w o d n i e s i e n i u do układów l i n i o w y c h . W p r z y ­ p a d k u , gdy między z a c i s k a m i ( a , b ) skupiony J e s t obwód n i e l i n i o w y moc czyn­

ną P można o b l i c z y ć t y l k o b e z p o ś r e d n i o z wzoru ( 6 ) .

W o d n i e s i e n i u do układów lin i o w y o h d la mocy b i e r n e j Q ( p o r . ( 7 ) ) zachodzi:

T.

Moc w u k ł a d a o h e l e k t r y o z n y o h o p r z e b i e g a c h nl eokr e s owyoh 7

S tą d p r z y j m u j ą c , że d o p u s z c z a ln a j e s t zmiana k o l e j n o ś c i oa łk o w a n la i

)

Q

|~llm pr |

,

Mamy;

lim im I u ( t ) H { u ( t - t ) \ d t

' T - * J p

• i i ; k l— ao n* —O®s g & r i «

i lim ^ f j i a . c n u c n r f

«bOC OD -*

T

=, i . f 1 [ l i m ¿¡r J u ( t ) u [ t - ( f - M ] d t l d?

¿ C D L T ~ = " - J J -*

. i y . - j, j t g ) * * . - -

O s t a t e c z n i e :

0 t e . (13 )

Z r e l a o j i ( 1 3 ) wynika t w i e r d z e n i e o r z e k a j ą c e , że moc b i e r n a 0 p o b i e r a n a p r z e z u k ł a d lin i o w y n i e J e s t b e z p o ś r e d n i o z a l e ż n a od p r z y ło ż o n e g o n a p i ę ­ c i a u ( t ) , l e o z od t r a n s f o r m a t y H i l b e r t a f u n k o j i a u t o k o r e l a o j i f ( t ) . Dla H {■f ( t )} z a u h o d z i s

1 F v ( * ) d i 1 ł * ( - i ) d

>} ~ * | - V r r * ■ “ *■ /

im OO MCC-

■ * ł f « » H {P Ct )} .

8 Zygmunt Nowomlejski

C z y l i

H t ( - t )j = - H| ^>(t ) j . ( 1 4 )

Tak więo f u n k o j a H )}■ j e s t f u n k o j ą n i e p a r z y s t ą . S t o s u j ą c t r a n s f o r m a c j ę F o u r i e r a d o r e l a o j i ( 1 3 ) otrzymamy:

Oo

0 * ’r j y i sga S ^ (ö) Y* (w) da>

— ae>

i °°

- - Im ( i

j

W spółozynnik mooy x j e s t aa o g ó ł z d e fin io w a n y przy pomocy r e l a o j i :

x = t r r .P

P o łó żm y :

' ( t r ) = l i m I l ( t ) l ( t - t ) d t .i T ~ " _ r

Na p o d s ta w ie wzorów ( 4 ) otrzymamy:

ü =”\[7 (ö7 t I = ^ jv (o )'

i s t ą d d l a układów l i n i o w y o h :

f y l r ) p ( r )

-OO

X = - p - . - - - -.-j—

-^j-Pio ) v ( o )

(16 )

( 1 7 )

LITERATURA

1 . NOWOMIEJSKI Z . J . : Moc 1 e n e r g i a e l e k t r y o z n a w u k ła d a o h e l e k t r y c z n y o h o dowolnych u s t a l o n y o h p r z e b i e g a c h . Z e s z y ty Naukowe P o l . Ś l . " E l e k t r y ­ k a " z . 1 5 .

2 . NOWOMIEJSKI Z . J . : A nalyse e l e k t r i s c h e r K r e i s e mit p e r i o d i s c h e n n i o h t s i n u s o i d a l f o r m i g e n V orgä ngen. " W l s s e n s o h a f t l i o h e Z e i t s c h r i f t d e r E lek­

t r o t e c h n i k " 8 , s . 244—2 5 4 , 1967.

Moo w u k l a d a o h e l e k t r y c z n y c h o p r z e b i e g a o h n i e o k r e s o wy c h 9

lviOUHOCTb 3 OJIEKTPLhECKhX CfcCTELAX K HUlEHf.OSl.'.liCKliM TEsEHhEifi P

3 p a fio T e nosaH bi on pejejieH M H ieiiC T aym n H X 3Ha'ieHHii a T axxce aKTHBHoii h peaKTMBHOii MOHHOCTeii jy ia CHCTeuOB C npCHSBOJIBHHM, B0 0 6 me HenepMOJHyeCKHM TetieHneMo BHBeseHH HCBtie 3aBHCHMOCTH S Jia aKTHBHOft a peaKTMBHOH MOmHOCTeK H nOJ.aHH MX §M3MKaJIBHfcie MHTepiipOT aliK M OTHOCHT ejIBKO JIHHeXHHX CHOTeMOBo

POWER RATING IN NON-PERIODICAL ELECTRIC SXSTEMS

S u m m a r y

In th e p a p e r d e f i n i t i o n s o f e f f e o t i v e v a l u e s , a o t l v e and r e a o t i v e p o ­ wer o f sy stem s od a r b i t r a r y , g e n e r a l l y non - p e r i o d i o a l o h a r a o t e r i s t i o s , a r e g i v e n .

New r e a l t i o n s h i p s f o r t h e a c t i v e and r e a o t i v e power a r e d e r i v e d and t h e i r p h y s i c a l i n t e r p r e t a t i o n r e l a t e d t o l i n e a r a r e p r e s e n t e d .