Wpływ postaci macierzy mas na częstości giętnych drgań własnych belki z pęknięciem

ZESZY TY N A U K O W E PO L IT E C H N IK I ŚLĄSKIEJ 1994

Seria: M E C H A N IK A z. 115 Nr kol. 1230

M arek K RA W C ZU K , W iesław O STA CHO W ICZ In sty tu t M aszyn Przepływowych

Polska A kadem ia N auk w G dańsku

W P Ł Y W PO STA C I M A CIERZY MAS NA C ZĘSTO ŚC I G IĘTN Y C H D RGAŃ W ŁASNYCH BELK I Z PĘ K N IĘ C IE M

Streszczenie. W pracy przedstaw iono analizę num eryczną w pływu postaci m acierzy m as n a częstości giętnych drgań własnych belki sw obodnie po d p artej z pęknięciem . R ozpatrzono dwa modele: pierwszy, w k tó ry m m acierz m as m a p o stać ja k w przypadku braku pęknięcia, oraz drugi, w którym p o stać m acie­

rzy m as zależna je st od jego wymiarw. Stw ierdzono, że różnice w w artościach obliczonych częstości giętnych drgań własnych belki są funkcją głębokości i położenia pęknięcia oraz analizowanej form y drgań.

IN F L U E N C E O F AN IN ERTIA M A TRIX FO R M U PO N B EN D IN G N ATURA L FR EQ U EN C IE S O F A CRA C K ED BEAM

Sum m ary. T he p ap er presents th e num erical analysis of th e influence of th e in e rtia m atrix form upon bending n atu ral frequencies of th e simply su p p o rted beam . Two models are considered: in the first one th e m ass m atrix has th e sam e form as in th e case of th e uncracked beanij in the second one the m ass m a trix is a function of crack dim ensions. T h e differences betw een calcu lated values of bending n atu ral frequencies are a function of th e crack d ep th an d its location an d also analyzed form of vibration.

B J1H H H H E $ O P M B I M A T P H IfB I H H E P IĘ K H

HA H A C T O T Y H 3 rH B H B IX C O B C T B E H H B IX K O JIE B A H H 0 B A JIK H C T P E H fH H O ii

Pe3 K > M e . B p a S o T e n p e # C T a B J i e H O H y M e p m r e c i a m a H a j i r o b j i h h h h h M a - T p n u b i H H e p u H M H a n a c T O T y c o 6 c T B e H H L i x K O J i e S a m m b a J i K H . A H a ; m 3 n p o - B a n o flB e M o r e a u , n e p B y i o b KOTopofi n p t n i H T O h t o M a T p m j a H H e p i j K H H M e e T T a i< y io >Ke c a M y i o < J>opM y K a K M a T p m ; a H H e p i p m 6 a j i i c n 6 e 3 T p e i r m H B i , b t o -

pyio B K O T O p o f i n p H H H O H T O M a T p m j a H H e p rę H H 3 a B H C H T O T B e jIH H H H B I T p e U I - H M H BI. I I o K a 3 a H O U T O p a 3 H H i ; a M & K g y B L M H C J ie H H L IM H H a C T O T a M H C O Ó C T B e H -

Hhix

KOJiebaHHii.

1. W S T Ę P

A naliza w pływ u pęknięć zmęczeniowych na dynam ikę elem entw konstrukcyjnych m a­

szyn i urządzeń w ym aga opracow ania modeli m atem atycznych, któ re ja k najdokładniej opisyw ałyby zjawiska, któ re one wywołują (redukcja częstości drgań w łasnych, w zrost a m ­ p litu d drgań w ym uszonych, sprzęganie postaci drgań, d rgania p aram etry czn e). W p ra k ­ tyce do m odelow ania pęknięć w elem entach konstrukcyjnych stosow any je s t cały szereg, przedstaw ionych poniżej m etod:

(a) w prowadzenie w m iejscu pęknięcia sprężyny o sztywności zastępczej obliczonej na podstaw ie praw m echaniki pękania [1],

(b) zastąp ien ie pęknięcia klasycznym i elem entam i skończonym i o zredukow anym polu przek ro ju [2] lub zredukow anych wsplczynnikach sprężystości [3],

(c) rozdzielenie węzłw elem entów skończonych w miejscu pęknięcia i zagęszczenie siatki elem entw klasycznych [4] lub osobliwych [5] wokół jego wierzchołka,

(d) zastosow anie specjalnych elem entów skończonych z pęknięciam i [6J.

C echą w spólną m eto d y (a) i (d) je st to, że w m odelu zakłada się jedynie zm iany szty­

wności, podczas gdy w m etodach (b) i (c) również postać m acierzy m as ulega m odyfikacji.

Pow yższy brak spójności pom iędzy m odelam i skłonił autorów pracy do przeprow adzenia badań nad w pływ em postaci m acierzy m as na zm iany charak tery sty k dynam icznych kons­

tru k cji z pęknięciem . A nalizę przeprowadzono na przykładzie sw obodnie po d p artej belki stalow ej, sto su jąc specjalny belkowy elem ent skończony z pęknięciem .

2. M O D EL D Y SK R E T N Y BELK I

Do m odelow ania analizowanej belki zastosowano dw a typy belkowych elem entów skoń­

czonych o dwóch węzłach i dwóch stopniach swobody w węźle. N ieuszkodzone części belki m odelow ano elem entam i belkowymi bez pęknięć (rys. Id ), podczas gdy uszkodzony odcinek zastąpiono specjalnym elem entem belkow ym z pęknięciem (rys. lc).

2 .1 . B e lk o w y e le m e n t s k o ń c z o n y z p ę k n ię c ie m

Belkowy elem ent skończony z pęknięciem przedstaw ia rys. lc . Poprzeczne, niepropa- gujące, o tw arte pęknięcie jednostronne położone je st w środku elem entu i dzieli go n a dwie części. W celu w yznaczenia postaci macierzy mas i sztywności elem entu w ykorzystano przem ieszczeniow e sform ułowanie M ES, zakładając dwie różne funkcje k ształtu d la lewej ni i prawej u 2 części elem entu:

«i = «1 + a2x + a3x 2 -f a4x 3 , ( 1)

u 2 = a5 + a6x + a2x 2 + asx 3 (2 )

oraz p rzyjm ując w arunki brzegowe n a końcach elem entu:

< Z i= iii(0 ), q2 = u'i(0), vę3 = u 2(/), <7i = u'2(l) (3)

W pływ postaci m acierzy m as na częstości 189

i w m iejscu pęknięcia:

Ul (Zj) = u 2(Z i), u ^ h ) = u 2(h ) - 0u"(Z i), u"(Zl) = ui'(Zi),

(4) M M = « , (/i), J

gdzie: «i — ti8 - stałe w yznaczane z warunków brzegowych, l\, l - w ym iary ch arak tery s­

tyczne elem entu, 0 - dodatkow a podatność belki wywołana pęknięciem.

a)

moduf Younga , E - 2.1*10 N/m2 liczba Poissona, f -0.3 gęstość j ę =7860 kg/m3

L- 1 0 0 0 _________ b-SO

M

bl

Rys. 1 a) w ym iary analizowanej belki, b) model dyskretny belki, c) belkowy elem ent skończony z pęknięciem , d) belkowy elem ent skończony bez pęknięcia

F ig .l a) dim ensions of th e a n a ­ lyzed beam , b) th e discrete m o­

del of th e beam , c) th e beam fi­

n ite elem ent w ith the crack, d) th e beam finite elem ent w ithout th e crack

U w zględniając w arunki brzegowe na końcach elem entu (3) i w m iejscu pęknięcia (4) o trzym ujem y dwie m acierze funkcji kształtu w postaci:

N i = [ l , ar, x 2, a;3]

N 2 [ l , * , * 2, * 3]

1 0 0 0

0 1 0 0

G, G 2 - G i g 3 g 4 G 5 —Gą Gs

1 Ge 0 Ge

0 Gr 0 Gs

Gi Cr2 - G j G3 G-i Gs - G i Gs

(5)

(6)

gdzie: Cn = - 3 /Z2, G 2 = - 3 /Z 2 - 1 /(2 Z + 2 0 ) , G3 = - 3 / Z 2 + 1 /(2 1 + 2 0 ) , G< = 2//U G* = 1/Z2, G6 = 1/2 - Z2/ ( 2Z + 2 0 ) , G7 = / / ( / + 0 ) , G8 = 0 /(Z + 0 ) .

D odatkow a p o d atn o ść belki 0 w ywołana pęknięciem obliczana je st z zależności [6]:

0 =

ra r 1/2

/ a F i( ó ) d a d z ,

jo Jo

gdzie: a = a / f t , z = z / i , (p a trz rys. lc).

Funkcja popraw kow a F \(a ) uw zględniająca skończone w ym iary elem entu d an a jest związkiem [6]:

F t (a ) = \ / t a n A/A [0.752 + 2.02a + 0.37(1 - sin A)3] / cos A (S) gdzie: A = -Ka/2h.

M ając w yznaczone m acierze funkcji k ształtu możemy określić m acierze liniowej zależności pom iędzy naprężeniam i i odkształceniam i:

B j = [0, l ,2 x ,3 x 2

B 2 = [0, l,2 x ,3 x 2

1 0 0 0

0 1 0 0

G\ ^{g 2} - G , g 3

G \ G 5 ~ Gą G s

1 Ge 0 Ge

0 ^{g 7} 0 Gg

Gi ^{g2 - G ,} Gs

G4 G 5 — Gą Ge

(9)

(10)

O stateczn ie m acierz m as M e oraz macierz sztywności K„ elem entu m a ją postacie:

r '/2

N 2 d x ,

, 1/2 w

M ( = qA / N [ N i dx + qA / N 2

J O J 1/2

(1/1 ,/

K e = / B ; D B ! d x + / B p B 2 d x ,

J O J l / 2

(ID

(12)

gdzie D oznacza m acierz opisującą zależność pom iędzy stanem naprężeń i odkształceń w ciele liniowo sprężystym .

A nalizując postacie m acierzy funkcji kształtu N i, N 2 oraz liniowej zależności między naprężeniam i i odkształceniam i B i, B 2,możemy stw ierdzić, że w p rzypadku b raku pęknięcia ( 0 = 0) m acierze te m a ją identyczne postacie ja k w przypadku elem entu belkowego typu Bernoulliego-Eulera bez pęknięcia [7], a ty m sam ym również m acierz m as M „ i sztywności K e redukuje się do postaci ja k dla elem entu bez pęknięcia.

3. O BLIC ZEN IA N UM ERYCZNE

O bliczenia num eryczne w ykonano dla belki sw obodnie p o d p artej o w ym iarach i stałych m ateriałow ych pokazanych na rys. la . Założono, że analizow anych będzie osiem pierw ­ szych częstości giętnych drgań własnych belki. W pierwszej fazie obliczeń przeprow adzono

W pływ postaci m acierzy m as na częstości 191

testy m ające n a celu wyznaczenie optym alnej liczby elem entów pozw alających z zadow a­

lającą dokładnością obliczyć te częstości. W wyniku przeprowadzonych obliczeń zdecy­

dowano się n a stosow anie w dalszej fazie obliczeń siatki złożonej z 10 elem entów równej długości - ta b e la 1.

T abela 1 Porów nanie wyników obliczeń 8- pierwszych często­

ści giętnych drgań własnych belki bez pęknięcia

C z ę s t o ś ć

T e o r i a b e le k B e m o u l ie g o - E u l e r a

M E S m o d e l 1 0 -e le m e n to w y

B łę d w z g lę d n y [%]

u/l 7 3 6 .2 9 0 7 3 6 .3 4 2 0 .0 0 7 2

u<2 2 9 4 5 .1 6 0 2 9 4 5 .6 6 9 0 .0 1 7 3

U/3 6 6 2 6 .6 1 0 6 6 3 0 .5 8 7 0 .0 5 9 1

U/4 1 1 7 8 0 .6 4 0 1 1 8 0 0 .9 3 4 0 .1 6 5 3

<*/5 1 8 4 0 7 .2 5 0 1 8 4 8 1 .1 1 8 0 .4 0 1 3

u/6 2 6 6 0 6 .4 4 0 2 6 7 1 8 .7 0 1 0 .8 0 0 8

U>7 3 6 0 7 8 .2 1 0 3 6 5 9 1 .1 3 7 1 .4 2 4 5

u/g 4 7 1 2 2 .5 6 0 4 8 2 1 1 .2 8 6 2 .3 1 0 4

T abela 2 ilu stru je wpływ głębokości pęknięcia na wartości częstości giętnych drgań własnych belki wyznaczone dla dwóch przypadków : (A ), w którym m acierz m as elem entu m a postać ja k w przypadku elem entu bez pęknięcia oraz (B ), w którym m acierz m as obliczana je s t według algorytm u przedstaw ionego w punkcie 2 pracy. O bliczenia w ykonano dla stałego położenia pęknięcia (L \ / L = 0.25).

T abela 2 Częstości giętnych drgań własnych belki z pęknięciem d la dwóch postaci macierzy m as (położenie pęknięcia L i / L = 0,25, głębokość a /h = varia)

N r (A) [ a / h — 0 .5 ]

(B)

[ a / h = 0.5] A [% ) (A) [ a / h = 0.3]

(B)

[ a / h = 0.3] A [%1

o

« II-e

a (B)

[ a / h = 0.1 ] A [%]

1 5 1 4 .8 6 5 1 3 .7 3 0 .2 1 9 6 6 5 .5 2 6 6 4 .4 3 0 .1 6 3 7 2 9 .2 7 7 2 8 .3 8 0 .1 2 2

2 2 1 0 4 .7 5 2 1 6 9 .6 1 3 .0 8 1 2 5 2 9 .2 9 2 5 6 8 .1 0 1.5 3 4 2 8 9 2 .2 2 2 8 9 6 .8 3 0 .1 5 9

3 6 0 2 0 .0 3 6 0 5 8 .5 1 0 .6 3 9 6 2 6 7 .8 9 6 3 0 5 .7 4 0 .6 0 7 6 5 7 4 .5 4 6 5 9 7 .6 7 0.3 5 1

4 1 1 8 0 0 .9 3 1 1 2 7 0 .3 1 4 .4 9 6 1 1 8 0 0 .9 3 1 1 5 3 2 .1 2 2 .2 7 7 1 1 8 0 0 .9 3 1 1 7 6 5 .6 1 . 0 .2 9 9

5 1 6 7 8 5 .0 1 1 7 3 8 0 .4 6 3 .5 4 7 1 7 5 1 0 .4 6 1 7 7 4 7 .7 2 1.3 5 4 1 8 3 4 1 .5 4 1 8 3 3 7 .3 3 0.229

6 2 4 0 0 0 .9 5 2 3 6 7 2 .0 2 1 .3 7 0 2 4 8 3 6 .5 3 2 5 3 8 5 .6 4 1 .2 9 4 2 6 3 6 6 .8 7 2 6 6 0 7 .9 8 0 .9 1 4

7 3 5 2 9 6 .2 7 3 1 7 9 9 .1 7 9 .9 0 5 3 5 6 3 9 .1 1 3 4 3 9 4 .4 9 3 .4 9 2 3 6 3 8 4 .9 4 3 6 4 2 3 .9 1 0.027

8 4 8 2 1 1 .2 8 4 5 4 2 6 .3 9 5 .7 7 6 4 8 2 1 1 .2 8 4 6 7 4 8 .5 2 3 .3 0 4 4 8 2 1 1 .2 8 4 8 0 0 6 .7 3 0.424

4. W N IO SK I

W pracy przedstaw iono m etodę tw orzenia belkowego elem entu skończonego z pojed y ­ nczym, niepropagującym , otw artym pęknięciem poprzecznym położonym w środku jego

długości. O pracow ana m eto d a pozw ala na uwzględnienie w postaci m acierzy m as zm ian sztywności elem entu wywołanych pęknięciem , co do chwili obecnej d la tego ty p u ele­

m entów nie było możliwe.

W wyniku przeprow adzonych obliczeń num erycznych stw ierdzono, że różnice pom iędzy obliczonymi częstościam i giętnych drgań własnych belki dla dwóch modeli m acierzy maś są zależne od: głębokości pęknięcia, postaci drgań oraz (wyniki przedstaw ione zostaną na K onferencji) położenia pęknięcia. Ogólnie możemy stw ierdzić, że różnice wzr-ąstają w m iarę w zrostu głębokości pęknięcia oraz są większe dla wyższych postaci drgań.

L IT ER A T U R A

[1] D im arogonas A .D ., Massouros G.: Torsional vibration of a shaft w ith a circum fere­

n tial crack, Eng. F ract. M echanics, 15, 1980, ss.439-444.

[2] Yuen M .M .F.: A num erical study of the eigenparam eters of dam aged cantilever beam , J. Sound and V ibration, 103, 1985, ss.301-310.

[3] Cawley R .D ., A dam s R .D .: T he location of defects in stru ctu res from m easurem ents of n a tu ra l frequencies. J. of S train Analysis, 14, 1979, ss.49-57.

[4] O stachow icz W .M ., K rawczuk M.: V ibration analysis of a cracked beam , C om puters and S tru c tu re s, 36, 1990, ss.245-250.

[5] Shen M .H .H ., P ierre C.: N atural modes of B ernoulli-Euler beam s w ith sym m etric cracks, J. Sound and V ibration, 138, 1990, ss.115-134.

[6] K raw czuk M.: F in ite T im oshenko-type beam elem ent w ith a crack, E ngineering T ransactions, 40, 1992, ss.229-24S.

[7] Przem ieniecki J.S .:T heory of m a trix stru c tu ra l analysis, 1st ed., New York, M cGraw- Hill, Inc., 1968.

Recenzent: Prof. d r hab. inż T adeusz Burczyński W płynęło do Redakcji w grudniu 1993 r.

A b s t r a c t

T h e p ap er presen ts an analysis of a form of th e in ertia m atrix upon changes of bending n a tu ra l frequencies of a cracked sim ply supported beam .

T h e beam is m odelled by FEM . Two types of beam finite elem ents are applied. T he undam aged p a rts of th e beam are modelled by well known beam finite elem ents w ithout a crack. T h e cracked p a rt of th e beam is su b stitu ted by a special beam finite elem ent w ith th e crack. A m eth o d of form ation of the special beam finite elem ent w ith thq crack is p resented. T h e m ethod is based on displacem ent form ulation of FEM and laws of fractu re m echanics. Tjwo different shape functions (1-2) and boundary conditions (3-4) are used

W pływ postaci m acierzy mas n a częstości 193

in order to d eterm in e shape function m atrices (5-6) and m atrices of stress-strain relation (9-10). H aving th e shape function m atrices and m atrices of stress-strain relation a mass m atrix and a stiffness m atrix of the elem ent (11- 12) are calculated.

N um erical calculations are carried out for the sim ply su p p o rted beam m ade of steel - F ig .l. In th e first step th e influence of the mesh upon bending n a tu ra l frequencies is analyzed - T a b .l. T able 2 presents th e changes of bending n atu ral frequencies calculated for two form s of th e m ass m a trix and th e various crack d epth.

T h e resu lts of num erical calculations show th a t differences in results are a function of th e crack d e p th an d its location and also the m ode of vibration.