Analogia a interpretacja

Mieczysław Lubański

Analogia a interpretacja

1989

Studia Philosophiae C hristianae ATK

25(1989)1

MIECZYSŁAW LUBAŃSKI

ANALOGIA A INTERPRETACJA

1. Postawienie problemu. 2. Uwyraźnienie pojęć. 2.1. Pojęcie analogii.

2.2. Pojęcie interpretacji. 3. Teza artykułu. 4. Ilustracja probabilistyczna. 5. Uwagi uzupełniające.

1. POSTAWIENIE PROBLEMU

A nalogia ·— m ów iąc n ajk ró cej — to pew nego ro dzaju podo­ bieństw o m iędzy danym i stru k tu ra m i, in te rp re ta c ja natom iast to przyporządkow anie, p rzy spełnieniu określonych w arunków , w yrażeniom języka przedm iotów p ew n ej dziedziny. Na p ierw ­ szy rz u t oka odnosi się w rażenie, że m iędzy w ym ienionym i pojęciam i n ie zachodzi żaden związek. Czym in n y m jest — ja k m ożna sądzić — analogia, czym in n y m in te rp re ta c ja . P ierw sze z ty ch pojęć zdaje się w yrażać pew ien fa k t ontolo- giczny, drugie zaś — pew ien fa k t sem antyczny. Jed n ak że p rzy bliższym w ejrzen iu w isto tn ą treść pow yższych pojęć m ożna dostrzec pow iązania m iędzy nim i zachodzące. A rty k u ł te n s ta ­ w ia sobie za cel przeanalizow anie zw iązków zachodzących m ię­ dzy analogią oraz in te rp re ta c ją.

2. UWYRAŹNIENIE POJĘĆ

R ozw ażania nasze rozpoczniem y od u sta le n ia znaczeń te r ­ m in ó w analogia oraz in te rp re ta c ja ; w y d aje się to niezbędne ze w zględu na wieloznaczność w ym ienionych nazw.

2.1. POJĘCIE ANALOGII

P rzypuśćm y, że m am y dane dw a u k ład y A oraz В pew nych obiektów . R ozw ażm y następ u jące dw ie sytuacje:

(1) R elacje zachodzące m iędzy obiektam i u k ład u A podle­ gają ty m sam ym praw om , k tó ry m podlegają relacje zachodzą­ ce m iędzy obiektam i u k ład u B.

(2) M iędzy obiektam i układów A oraz В jest określona od- pow iedniość jedno-w ieloznaczna zachow ująca pew ne relacje. In n y m i słow y znaczy to, że obiektom u k ład u A zostały p rzy

porządkow ane zespoły obiektów u k ład u В z zachow aniem pew n y ch relacji. A więc, jeżeli określona rela cja zachodzi m ię­ dzy obiektam i u k ład u A, to zachodzi ona także m iędzy odpo­ w iad ający m i im zespołam i obiektów u k ład u B.

Otóż w każdym z w ym ienionych p rzypadków pow iem y, że m am y do czynienia z analogią zachodzącą m iędzy uk ład am i A oraz B.

Szczególnym p rzy p ad k iem sy tu a c ji (2) jest przypa'dek istn ie­ nia m iędzy rozw ażanym i obiektam i odpowiedniości w zajem nie jednoznacznej, tj. kied y każdem u obiektow i u k ład u A został p rzy p o rząd k o w an y dokładnie jed en obiekt u k ład u B, przyczym różn ym obiektom u k ład u A zostały p rzyporządkow ane różne obiekty u k ład u В i w szystkie obiekty u k ładu В zostały w y­ czerpane. Wówczas m ającą m iejsce analogię zwie się izom or­ fizm em . W sy tu a c ji ogólnej nosi ona nazw ę hom om orfizm u \

Z ilu stru je m y podane określenie p rostym i przykładam i. W eźm y pod uw agę p ro sto k ąt oraz prostopadłościan. Roz­ w ażm y boki p ro sto k ąta oraz ściany prostopadłościanu. Bez tru d n o ści zauw ażym y, że k ażdy bok p ro sto k ąta jest rów no­ legły do jednego z boków, zaś pro sto p ad ły do boków pozosta­ łych. P odobnie każda ściana prostopadłościanu jest rów noległa do jedn ej ze ścian, zaś pro sto p ad ła do ścian pozostałych. N a­ zw ijm y „elem en tem ogran iczający m ” p ro sto k ąt każd y jego bok, zaś „elem entem ogran iczający m ” prostopadłościan każdą jego ścianę. W ówczas m ożna w ypow iedzieć następ u jące stw ie r­ dzenie: K ażdy elem en t ograniczający jest rów noległy do jed ­ nego z elem entów ograniczających i p ro sto pad ły do pozosta­ łych elem entów ograniczających. K on sek w entn ie pow iem y, że u k ład boków p ro sto k ąta jest analogiczny do u k ład u ścian prostopadłościanu, jak rów nież, iż uk ład ścian prostopadłoś­ cianu jest analogiczny do u k ład u boków p rostokąta. M ówimy także, że p ro sto k ąt jest analogonem prostopadłościanu oraz iż prostopadłościan jest analogonem p ro sto kąta. P o d an y p rz y ­ k ład ilu s tru je sy tu ację (1). M iędzy uk ład am i A oraz В zacho­ dzą w spólne z w ią z k i2.

Z anotujm y, że z określenia analogii m iędzy Układami A oraz В w y n ik a w łasność sym etrii; znaczy to, że jeżeli uk ład A jest analogiczny do u k ład u B, to rów nież u k ład В jest an a­ logiczny do u k ład u A.

P o d an y nieco w yżej p rzy k ład analogii m iał c h a ra k te r geo­

1 G. Polya, Jak to rozwiązać? Nowy aspekt m etody m atem atycznej, tł. L. Kubik, W arszâwa 1964,, 71.

m etry czn y, tzn. odnosił się do fig u r geom etrycznych. Rozw aż­ m y jeszcze dw a p ro ste p rzy k ład y ty p u arytm etycznego.

N iech Z oznacza zbiór liczb całkow itych, tj. liczby całko­ w ite dodatnie, liczby całkow ite ujem n e oraz liczbę zero. O kreślm y dw a now e u k ład y liczb następ u jąco : przez uk ład A ro zum iejm y zbiór Z w raz z dodaw aniem ; zapiszm y to sym ­ bolicznie: A = {Z, + }; przez u k ład В ro zu m iejm y zbiór Z z działaniem § rozum ian ym jak n astęp u je: p§q = p + q + l, gdzie p oraz q oznaczają dow olne liczby całkow ite, zaś + zw ykłe dodaw anie liczb; zapiszm y to sym bolicznie: В = {Z,§}. N iech tera z f(p) = p + 1 dla dow olnej liczby całkow itej p. F u n k c ja f jest odw zorow aniem w zajem n ie jednoznacznym zbioru Z na siebie zachow ującym w ym ienione działania. Do­ k ład n iej m ów iąc zachodzi zależność: f(p + q) = [f(p)] § [f(q)].

M am y więc do czynienia z izom orfizm em u k ład u A na u k ład B. Inn ym i słowy, u k ład y A oraz В są analogiczne.

W yróżnijm y te ra z w zbiorze liczb całkow itych Z dwa jego podzbiory, m ianow icie podzbiór liczb p arzy sty ch oraz pod­ zbiór liczb n ieparzystych. O znaczm y je, odpowiednio, sym bo­ lam i 02 oraz 12. Można więc powiedzieć, że obiektow i 02 został p rzy po rząd ko w an y zbiór w szystkich liczb całkow itych p a rz y ­ stych, zaś sym bolow i 12 podzbiór w szystkich liczb całkow itych n ieparzystych. M ożemy zapisać to następująco:

02 - > { . . . , - 6 , - 4 , - 2 , 0, + 2 , + 4 , + 6 , . . .} l 2 - > { . . . , —5, —3, — 1, + 1 , 4-3, + 5 , . . . .}

O kreślm y obecnie działanie ! na zbiorze dw uelem entow ym złożonym z obiektów 02 oraz 12 w sposób n astęp u jący : 02 ! ! 02 = 0j„ 12 ! N — O2, O2 ! 12 = 12 ! 02 = 12:. Dla elem en tu

zbioru Z, czyli dla liczb całkow itych p oraz q, określm y dzia­ łanie ? następ u jąco : p ? q = reszta z dzielenia różnicy p — q przez 2. R ozum iejm y przez A uk ład złożony ze bioru Z w raz z działaniem ?, n ato m iast przez В u k ład złożony z obiektów 02 oraz 12 w raz z działaniem !; a więc in ny m i słowy, niech A = {Z, ?}, zaś В = {(02, 12), !}. Z auw ażam y bez większego tru d u , że u k ład y A oraz В są analogiczne 3.

R ezygnujem y z podaw ania b ardziej złożonych p rzykładów o c h a ra k te rz e algebraicznym . Nie w y d ają się one być n ie ­ zbędne ze w zględu na cel przyśw iecający tem u artyk uło w i. Z auw ażm y natom iast, że analogia m iędzy u k ład am i może m ieć w iele różnych aspektów .

3 G. Birkhoff i S. Mac Lane, Przegląd algebry współczesnej., tł. A. Ehrenfeucht i A. Mostowski, W arszawa 19663, 36—38.

Jeżeli rozw ażym y na p rzy k ład odcinek, tró jk ą t i czw orokąt, to d ają się zauw ażyć n a stęp u jące zależności: odcinek leży zaw ­ sze na p ro ste j, tró jk ą t na płaszczyźnie, czw orokąt w p rze strz e ­ ni; najp ro stszą fig u rą jednow ym iarow ą ograniczoną jest odci­ nek, n ajp ro stszy m w ielobokiem — tró jk ą t, n ajp ro stszy m w ie- lościanem — czworościan. W nętrze odcinka jest jedn ow y m ia­ row e, w n ę trz e tró jk ą ta — dw uw ym iarow e, w n ętrze czw oroś­ cianu — tró jw y m iaro w e. O dcinek m a dw a „w ierzchołki” zw ykle m ów i się: dw a p u n k ty końcowe, tró jk ą t m a trz y w ierz­ chołki, czw orościan m a cz te ry w ierzchołki. T ró jk ą t m a trz y boki, czw orościan m a sześć boków. W czw orościanie w y stę p u ją c z te ry tró jk ą ty . Z estaw iając ilość elem entów zero-, jedno-, dw u-, tró jw y m iaro w y ch z jakim i m am y do czynienia w p rz y ­ p ad k u trzech rozw ażanych fig u r geom etrycznych o trzy m am y n a stę p u jąc y układ:

2 1 3 3 1 4 6 4 1

T u ta j w iersz pierw szy odnosi się do odcinka, w iersz d ru g i —■ do tró jk ą ta , w iersz trzeci — do czw orościanu. K olum na p ierw ­ sza podaje ilość elem entó w zerow ym iarow ych, k olu m n a d ru ­ ga — ilość elem entó w jednow ym iarow ych, k o lu m n a trz e ­ cia ■—■ ilość elem entów d w uw ym iarow ych, ko lum na czw ar­ ta — ilość elem entów tró jw y m iaro w y ch zaw artych w danej figurze. D oszliśm y w te n sposób do w y k ry cia p ro ste j re g u ­ larn o ści zachodzącej dla odcinka, tró jk ą ta oraz czw orościa­ n u 4. Jeżeli zgodzilibyśm y się rozw ażać p rzestrzen ie o w yższej liczbie w ym iarów , a więc p rzestrzen ie cztero-, pięcio-, ..., n -w y m iaro w e, to p o stępując podobnie o trzy m alib y śm y uk ład zależności zachodzących m iędzy ilością elem entów zero-, je d ­ no-, ..., n -w y m iaro w y ch dla tzw. sym pleksu n-w ym iarow ego. P rz ez sy m plek s n -w y m ia ro w y rozum ie się n a jp ro stsz ą fig u rę ograniczoną o w ym iarze n, k tó re j każd y elem en t ogranicza­ jąc y o niższym w ym iarze jest sym pleksem owego niższego w y m iaru . W szczególności sym p lek sy zerow ym iarow e są po p ro stu p u n k tam i, sym pleksy jednow ym iarow e — odcinkam i, sy m plek sy d w uw ym iarow e — tró jk ą ta m i, sym pleksy tró jw y ­ m iarow e — czw orościanam i.

2.2. POJĘCIE INTERPRETACJI

U stalm y tera z znaczenie te rm in u in te rp re ta c ja . P rzypuśćm y, że m am y d an y ü k lad złożony z pew n ej liczby aksjom atów czy też w aru n k ó w w postaci a b stra k cy jn e j, tzn. iż w a k sjo ­ m atach ty ch w y stęp u ją te rm in y pierw o tn e czyli niezdefinio­ w ane. P rzy p u śćm y dalej, że znaleźliśm y tak ą dziedzinę obiek­ tów i tak ie rozum ienie term in ó w pierw o tn y ch w zakresie roz­ w ażanej dziedziny, że odnośne rozum ienie pojęć pierw o tn y ch pow oduje p rzejście w szystkich ak sjo m ató w u k ład u w zdania praw dziw e. P ow iem y wówczas, że dokonaliśm y in te rp re ta c ji danego u k ład u aksjom atów .

Rozw ażm y p ro sty przykład. P rz y jm ijm y trz y te rm in y p ie r­ w otne. Niech nim i będą: zbiór pew nych obiektów N, pew ien obiekt a, fu n k cja f określona na zbiorze N. P rz y jm ijm y dalej, ż e 'sp e łn io n e m ają być cztery n a stęp u jące w aru nk i:

I. O biekt a jest elem en tem zbioru obiektów N.

II. Dla każdego obiektu x należącego do zbioru N zachodzi własność: f(x) nigdy nie jest identyczne z a, tj. f(x) ф a. III. Dla każdego x zachodzi im plikacja: jeżeli x jest elem en­

tem zbioru N, to f(x) jest także elem entem zbioru N. VI. Dla w szelkich x oraz y należących do zbioru N zachodzi

zależność: jeżeli f(x) = f(y), to x = y.

W skażem y teraz kilka in te rp re ta c ji w a ru n k ó w I— IV. N iech N będzie zbiorem liczb n a tu ra ln y c h 1, 2, 3, ..., niech a = 1, zaś f(x) = x + l dla każdego x należącego do N. Z ła t­ wością spraw dzam y, że w a ru n k i I— IV p rzy podanym znacze­ n iu term in ó w p ierw o tn y ch przechodzą w zdania praw dziw e. A zatem uzyskaliśm y in te rp re ta c ję w ym ienionych w aru n k ó w w dziedzinie liczb n a tu ra ln y c h rozum iejąc przez elem ent a liczbę 1, zaś fu n k cję f jako p ro stą operację polegającą na do­ daniu liczby 1 do danego elem en tu x.

N iech tera z N będzie zbiorem liczb postaci 1, 1/2, 1/4, ..., a więc liczb postaci 2-n, gdzie n = 0,1,2, ... N iech a = 1, zaś f(x) = 2"1 · x, tj f(x) jest rów ne elem entow i x podzielonem u przez dwa. Podobnie, jak w poprzednim przykładzie, stw ie r­ d zam y z łatw ością, że podane w yżej cztery w a ru n k i przecho­ dzą w zdania praw dziw e. O trzy m aliśm y więc in te rp re ta c ję w spom nianych ak sjom atów różną od in te rp re ta c ji poprzedniej.

R ozum iejm y przez elem en ty zbioru N ciągi nieskończone niem alejące złożone z zer oraz jedynek. Skoro ciągi m ają być niem alejące, przeto z chw ilą gdy pojaw i się w nim w jakim ś m iejscu jedynka, to w szystkie dalsze w y ra z y ciągu m uszą

rów nież być jedynkam i. P rzez elem en t a ro zu m iejm y ciąg zło­ żony z sam ych jedynek. O peracja dokonana przez fu n k cję f polega na dopisaniu do danego ciągu jednego zera na początku ciągu, in n y m i słow y dany ciąg po dokonaniu na nim op era­ cji f będzie posiadał na początku o jedno zero w ięcej, niż m iał ich ciąg w yjściow y. Bez tru d n o ści stw ierdzam y, że przy po­ d anym tu ta j rozum ieniu term in ó w p ierw o tn y ch w szystkie c z te ry w a ru n k i sta ją się zdaniam i praw dziw ym i w dziedzinie rozw ażanych ciągów nieskończonych. Znaczy to, że o trzy m a­ liśm y dalszą in te rp re ta c ję w aru n k ów I— IV.

P o d an y przy kład w raz z jego trzem a in te rp re ta c ja m i u n a ­ ocznia n astę p u jąc y fak t: u k ład w aru n k ó w (lub jak k to woli aksjom atów ) w ujęciu a b stra k cy jn y m posiada wiele in te rp re ­ tacji; in te rp re ta c je te są w p ew nym znaczeniu po krew ne so­ bie, jednakże ich k o n k rety zacje różnią się m iędzy sobą. W spom niane pokrew ieństw o polega na tym , że każda in te r­ p re ta c ja spełnia ten sam zestaw relacji podanych w założo­ nych w arunkach.

J e s t zrozum iałe, że znalezienie now ej, dalszej in te rp re ta c ji danego u kładu w aru n k ó w w ym aga inw encji, pom ysłowości, n iekied y n aw et znacznej. K ażda now a in te rp re ta c ja poszerza zakres zastosow ań danego u k ład u w aru n k ó w 5. Z w róćm y u w a ­ gę na to, że nieodzow ne jest, ab y in te rp re to w a n e w a ru n k i by ły sform ułow ane na płaszczyźnie ab strak cy jn ej.

3. TEZA ARTYKUŁU

M ając już uw yraźn io n e pojęcie analogii oraz in te rp re ta c ji m ożna przejść do sform ułow ania głów nej tezy a rty k u łu . U czynim y to analizując kolejno dwie czynności w iedzotw ór- cze, m ianow icie stw ierdzan ie analogii zachodzącej m iędzy obiektam i oraz poszukiw anie in te rp re ta c ji danego u kładu w a­ run k ó w (aksjom atów).

P rzy p u śćm y więc, że m am y dane dwa jakieś obiekty. Jeżeli uda nam się stw ierdzić ich analogiczność, to ty m sam ym d y sp o n u jem y pew nym w aru n k iem (lub pew nym i w aru nk am i) sform u ło w an ym (sform ułow anym i) na odpow iednim poziom ie ab strak cji, k tó ry (które) u jm u je (u jm u ją) — jeśli ta k m ożna powiedzieć — istotę zachodzącej analogii. In n y m i słowy, do­ chodzim y w ty m p rzypad k u do sform ułow ania pew nego

ogół-5 Podaliśmy dość proste . rozumienie pojęcia interpretacji; w ystarcza ono jednak w zupełności dla ukazania głównej tezy tego artykułu. Teza ta pozostaje słuszna m utatis m utandis również w odniesieniu do funk­ cjonujących w literaturze pojęć interpretacji.

nego w a ru n k u (pew nych ogólnych w arunków ) spełnionego (spełnionych) w odniesieniu do rozw ażanych obiektów . A więc s ta rtu ją c ze stw ierd zenia analogii zachodzącej m iędzy dany m i obiektam i dochodzim y do sform ułow ania ogólnego w arun ku , w zględnie w arunków . D roga postępow ania prow adzi od roz­ w ażania k o n k retn y c h tw orów do sform ułow ania ogólnego w a­ ru n k u (resp. ogólnych w arunków ) odnoszącego się (odnoszą­ cych się) do nich. Jeszcze krócej: stw ierd zając analogiczność obiektów , idziem y od k o n k retn y ch tw orów do ogólnych w a ­ runków .

Jeżeli teraz m am y d any u kład ogólnych w a ru n k ó w 6, to z n a tu ry rzeczy in te resu je nas klasa ich realizacji, czyli klasa różnych ich in te rp re ta c ji. Jeżeli p o tra fim y w skazać dw ie róż­ ne in te rp re ta c je danego u k ład u w arun k ów , to wówczas m oż­ na powiedzieć, że ich d esyg n aty są analogiczne; spełniają przecież te sam e związki. A zatem ta droga postępow ania b a­ dawczego polega na przejściu od d anych w a ru n k ó w do w sk a­ zania k o n k retn y c h tw orów spełniających je, a więc do tw o ­ rów analogicznych. Mówiąc krótko: poszukując in te rp re ta c ji spełniających dane w a ru n k i idziem y od nich do k o n k retn y ch tw orów w zględem siebie analogicznych.

T ak w ygląda schem at postępow ania badaw czego w rozw a­ żanych przypadkach. J e s t zrozum iałe, że dojrzenie, doszuka­ nie się analogii zachodzącej m iędzy dw om a obiektam i nie m u ­ si być w cale spraw ą pro stą i łatw ą. Jeżeli jed n a k uda n am się tego dokonać, wówczas otw iera się niejako m ożliwość sfo rm u ­ łow ania jej w pew ien ogólny, a b stra k c y jn y sposób, w postaci pew nego w a ru n k u lub u k ład u w arunków . Podobnie znalezie­ nie now ej in te rp re ta c ji nie m usi być ani proste, an i łatw e. Chodzi o to, że dysponując danym i w aru n k am i, dzięki zabie­ gowi in te rp re ta c ji, m ożem y znaleźć obiekty analogiczne.

N asuw a się n a stęp u jący w niosek: analogia oraz in te rp re ta ­ cja (dokładniej: czynność doszukiw ania się analogii m iędzy obiektam i oraz czynność in te rp re to w a n ia danych w arunków ) są zabiegam i w iedzotw órczym i idącym i n iejako w p rzeciw ­ nych kieru n kach. Jeżeli pew ne obiekty są analogiczne, to m oż­ n a podać ogólne w aru n k i, któ re je c h a ra k te ry z u ją ; podobnie,

3 Może to być w najprostszym przypadku jeden w arunek. Zresztą liczba w arunków jest w pewnym znaczeniu względna. Może ona być na wiele sposobów zmieniana, a więc zarówno powiększana, jak i zm niej­ szana. Istotne są te sytuacje, kiedy występujące w arunki stanowią układ niezależny. Nie będziemy się jednak tym i spraw am i bliżej zaj­ mowali.

in te rp re tu ją c uk ład w aru n k ó w z n a jd u jem y obiekty, k tó re je spełniają, są więc obiektam i analogicznym i. K ró tk o m ożna to w ypow iedzieć następ ująco : analogia prow adzi do sform ułow a­ nia pew nych w arunków , in te rp re ta c ja danych w a ru n k ó w p ro ­ w adzi do analogii. T ak w łaśnie może być sform ułow ana teza a rty k u łu .

D opow iedzm y raz jeszcze, że na obu drogach badaw czych niezbędna jest inw encja, czy też tw órcza in tu icja . J e j w y stę ­ pow anie jest niezależne od k ieru n k u , w k tó ry m zachodzi d a­ n y zabieg wiedzotw órczy. D odajm y także, że jeżeli uzn aje się analogię, to koniecznie trzeb a uznać rów nież in te rp re ta c ję o raz odw rotnie: uzn ając in te rp re ta c ję nie m ożna odrzucić a n a ­ logii. A nalogia oraz in te rp re ta c ja są dw om a obliczam i jed ­ nego i tego sam ego zw iązku o ch ara k te rz e ontologiczno-sem an- tycznym . J e s t to n iejak o w zm ocnienie — w p ew n y m sensie — tez y tego arty k u łu .

P osłużm y się term in am i: teoria oraz model. Isto tn y sens przed staw io n y ch w yżej rozw ażań m ożna u jąć w stw ierdzeniu: A nalogia oraz in te rp re ta c ja to czynności w iedzotw órcze p ro ­ w adzące — odpow iednio -— od m odeli do teo rii oraz od teorii do m odeli. Za k ażdym razem niezbędne jest dysponow anie dw om a co n a jm n ie j m odelam i; wów czas uw y ró żn iają się oba zabiegi: stw ierdzanie analogii oraz poszukiw anie różnych in te r ­ p reta cji.

4. ILUSTRACJA PROBABILISTYCZNA

U zu p ełn ijm y dotychczasow y to k m yśli d y sk u tu ją c jeszcze pro ste zagadnienia k o m binatoryczno-probabilistyczne.

1. Rozw ażm y zagadnienie k o rzy stania z w in d y przez pasa­ żerów . P rzypuśćm y, że w inda rusza z к p asażeram i i z a trz y ­ m u je się n a n piętrach . Z a p y tu je m y o różne m ożliwości opusz­ czania w in d y przez pasażerów .

2. In te re su je nas p roblem w yn ik u rzu tó w kostk am i do gry. P rzy pu śćm y , że rzu cam y к kostk am i sześciennym i. Z a p y tu je ­ m y o różne m ożliw e w yn iki rzutów .

3. R ozw ażam y pro b lem rozkładu dni urodzin w ciągu roku. P rzy p u śćm y , że m am y do czynienia z к osobami. Z a p y tu je m y o różne rozm ieszczenia d n i urodzin w spom nianych osób w ciągu roku.

4. In te re su je nas zagadnienie rozm ieszczenia błędów d ru ­ karsk ich . P rzypuśćm y, że pojaw iło się к błędów na n stro ­ nach. Z a p y tu je m y o różne m ożliw e rozm ieszczenia w spom nia­ n ych błędów.

S form ułow ane p rzed chw ilą c z te ry zagadnienia m ają w y ­ ra ź n y c h a ra k te r kom binatoryczny. Z w ykle dołącza się do nich p y tan ie o odnośne praw dopodobieństw a w y stęp u jący ch w n ich sytuacji. W ówczas w ym ienione p ro b lem y zysk u ją rów nież c h a ra k te r probabilistyczny.

Nie jest rzeczą tru d n ą zauw ażyć, że w spom niane zagadnie­ nia m ają id en ty czn y schem at a b stra k cy jn y . Bo przecież w y ­ stę p u ją w nich dw ie wielkości: к oraz n. W ielkość к została w yraźn ie uw idoczniona w każdym z przypadków . W ielkość n jest dom yślna w sy tu acji 2 oraz 3. W ynosi, odpowiednio, 6 {ponieważ kostka m a 6 ścian) oraz 365 (przy jm ujem y, że k aż­ dy ro k m a ty le dni). Zw iązek zaś m iędzy n im i jest p ro sty: chodzi o rozm ieszczenie к elem entów w n obiektach. A zatem istotnie są to sy tu acje m ające analogiczną s tru k tu rę . Z w ykle ab stra k cy jn e sform ułow anie podaje się w postaci n astęp u jącej: idzie o p ro b lem rozm ieszczenia к k u l w n kom órkach. To a b stra k cy jn e sform ułow anie m a w iele k o n k retn y c h ilu stra c ji, z k tó ry c h cztery zostały w yżej podane. Rolę k u l w pow yż­ szych 'ilustracjach pełnią, odpowiednio, pasażerow ie w indy, rzucane ko stk i sześcienne, osoby, k tó ry c h dni urodzin nas in te ­ resu ją, b łęd y dru k arsk ie, zaś rolę kom órek -— liczba pięter, n a k tó ry ch z atrzy m u je się w inda, liczby od 1 do 6, liczba 365 będąca liczbą d n i roku, liczba stro n p u b lik a c ji7. J e st widocz­ ne, ta k sądzim y, iż podany w a ru n e k a b stra k c y jn y może być in te rp re to w a n y na różne sposoby, m. in. n a podane w yżej, a także, iż m iędzy w spom nianym i p rzy k ład am i m ożna (w zględ­ nie łatw o) stw ierdzić zachodzenie analogii.

Z am ieściliśm y powyższą ilu stra c ję z tego w zględu, a b y u k a ­ zać szeroki zasięg i różnorodność przypadków , w k tó ry ch fu n k cjo n u je teza a rty k u łu . W ydaje się ona być na ty le ogól­ na, na ile ogólna jest analogia, w zględnie in te rp re ta c ja . G dzie­ kolw iek pojaw ia się jedna z nich, tam n ieuch ronn ie m am y do czynienia i z drugą.

M ożna, rzecz jasna, bez tru d u podaw ać dalsze p rzy k ła d y ilu stru ją c e przedłożoną tezę. Do tego celu szczególnie dobrze n a d a ją się różne działy m atem aty k i, w k tó re j — jak się zw ykle p rz y jm u je — tk w ią korzenie a n a lo g ii8. Nie będziem y tego jed ­

7 W. Feller, Wstęp do rachunku prawdopodobieństw a, t. I, tł. R. B ar-

toszyński i B. Bielecki, W arszawa 19875, 20—21.

8 M. Krąpiec, Metafizyka, Zarys po d sta w o w y ch zagadnień, Poznań

1966, 497; S. Swieżawski, M. Jaw orski, Byt, Zagadnienia m e ta fizyk i to-

m is tycznęj, Lublin 1961, 43—44; D. D. Runes, Dictionary o f philosophy,

n a k czynić, poniew aż nie w y d aje się to być dla celu tego a rty ­ ku łu potrzebne. Toteż przejd ziem y obecnie do następnego p u n k tu naszych rozw ażań.

5. UWAGI UZUPEŁNIAJĄCE

D otychczas rozw ażaliśm y problem analogiczności obiektów oraz p roblem in te rp re ta c ji ab stra k cy jn y c h w aru n k ó w (aksjo­ m atów ). Na ty m nie w y czerpu je się w szakże p ro b lem aty k a analogii. T erm in analogia zdaje się mieć c h a ra k te r p raw ie u n i­ w ersaln y . Może on być odnoszony do pew nego sty lu czy też sposobu rozum ow ania. W szczególności m ożna mówić o w nios­ kow an iu przez analogię. Ten rodzaj w nioskow ania zdaje się być najprostszym , ale praw dopodobnie i n ajw ażniejszy m ro ­ dzajem w nioskow ania. Można powiedzieć w ięcej, całe nasze m yślenie, zarów no codzienne, jak i naukow e, p rzen ika an alo­ gia. P o jaw ia się ona na w ielu m iejscach i na w ielu pozio­ m ach 9. Bogactwo jej jest ogromne.

P rzy p o m n ijm y w ty m m iejscu pogląd S tefana B anacha ty ­ czący się k lasy fikacji m atem atyków . Otóż zgodnie ze stano ­ w iskiem w yrażonym przez w spom nianego w ybitnego uczone­ go m atem aty k iem jest ten, kto p o trafi znajdow ać analogie m iędzy tw ierdzeniam i; lepszym , kto widzi analogie dowodów; jeszcze wyższym , k to dostrzega analogie teo ry j; a m ożna w y ­ obrazić sobie i takiego, k tó ry m iędzy analogiam i w idzi a n a ­ logie 10. Pow yższe słowa niew ątp liw ie św iadczą o w y raźnej h eu ry sty c zn e j roli analogii w badan iu naukow ym .

P ow róćm y raz jeszcze do postaw ionej w a rty k u le tezy. W y­ pow iedzm y ją skrótow o w postaci stw ierdzenia: analogia (dro­ ga prow adząca od rzeczyw istości do m yśli o niej) oraz in te r ­ p re ta c ja (droga od m yśli do rzeczyw istości) są nierozdzielne. Ale przecież stw ierdzanie analogii to zabieg w iedzotw órczy w zakresie ontologii, zaś poszukiw anie in te rp re ta c ji to takiż zabieg w zakresie teorii poznania. Jeżeli więc przedstaw ione rozum ow anie jest popraw ne, to w y jaśn iało b y ono — p rz y n a j­ m n iej w p ew nym stopniu — nieodzow ność jednoczesnego, czy też rów noległego, u p raw ia n ia ontologii oraz teorii poznania. W ydaje się, że w rozw ażaniach oderw anych od bad anej rzeczy­ w istości może pojaw ić się m yśl tycząca się pierw szeństw a

9 G. Polya, dz. cyt., 61—62.

10 H. Steinhaus, Stefan Banach (Wspomnienie wygłoszone we Wroc­ ław iu dnia 13 grudnia 1946 na akadem ii ku uczczeniu Stefana Banacha), M atem atyka 1(1948, 1, 22.

k tó re jś z nich, jednakże w badaniach odnoszących się do k on ­ k re tn e j rzeczyw istości sy tu acja w ygląda inaczej. D ośw iadcze­ nie badaw cze w skazuje, że nie należy pytać, k tó ra z w ym ie­ n ionych dziedzin je s t pierw sza, od k tó rej należy zacząć u p ra ­ w ianie filozofii. Obie one są tak samo pierw sze i niezbędne.

ANALOGY AND INTERPRETATION Summary

Analogy is â kind of sim ilarity of objects and interpretation is co­ ordination of objects of one kind w ith conditions (axioms) form ulated in an abstract m anner. The paper puts forw ard a thesis in which ana­ logy and interpretation (more precisely: the activity of searching for analogy between objects and interpreting given conditions) are scient­ ifically originative activities aiming, so to speak, in opposite directions. If given objects are analogical, general conditions which characterize them can be quoted; similarly, when interpreting a set of conditions we find objects which fulfil them, i.e. are analogical objects. Using the term s theory and model we can say th a t analogy and in terp re ta­ tion are scientifically originative activities leading respectively from .models to theories and from theories to models. Thus the activities