) Wsk: rozważ przepływ ciepła i zmianę entropii każdego z podukładów w jego skutek, pamiętaj że ciepło z ciała o wyższej temperaturze odpływa

(1)

TERMODYNAMIKA

Zajęcia 1 (2019.10.07, 2019.10.09)

1.1 Wiadomo że dla gazu doskonałego, molowa energia wewnętrzna u jest jedynie funkcją temperatury u=u(T), oraz że molowe ciepło właściwe cv jest stałe (niezależne od stanu układu).

Pokaż że zmiany energii wewnętrznej gazu doskonałego można w pełni opisać jako dU=n cV dT, gdzie n to ilość moli gazu, cV to molowe ciepło właściwe zaś T temperatura.

Wsk: u=u(T) => du=f(T) dT, cV=const => można całkować, skorzystać z 1 zasady termodynamiki w procesie izochorycznym, ponieważ tylko funkcją temperatury, to dla v≠const. też musi działać

1.2 Wiedząc że ciepło właściwe cv gazu doskonałego jest stałe, zaś jego molowa energia wewnętrzna zależy tylko od temperatury u=u(T), oblicz wyrażenie na entropię gazu doskonałego S.

Odp: S=n cVln T + nR ln V + const.

Wsk: 1 zasada termodynamiki + równanie stanu

1.3 (dom) Dwa podukłady, izolowane od otoczenia ale nie między sobą mają początkowe temperatury T¹ i T². Objętości układów się nie zmieniają, oba podukłady mają tą samą, stałą pojemność cieplną CV^, zaś T2>T1. Oblicz zmianę entropii ΔS całości układu wywołaną wyrównaniem się temperatur (ponieważ układ jest izolowany, jest to produkcja entropii w nieodwracalnym procesie zrównywania się temperatur)

Odp: SΔ = C_Vln _{4T T} ln

1 2

(T +T )₁ ₂²

= C_V

(

1⁺ ^{4T T}1 2

(T −T )₁ ₂²

)

Wsk: rozważ przepływ ciepła i zmianę entropii każdego z podukładów w jego skutek, pamiętaj że ciepło z ciała o wyższej temperaturze odpływa

(2)

Zajęcia 2 (2019.10.14, 2019.10.16)

2.1 Układ o ustalonej objętości, stałej całkowitej pojemności cieplnej CV i temperaturze początkowej T1 jest w kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T0<T1. Oblicz entropię wyprodukowaną ∆Si w procesie dochodzenia układu do równowagi.

Odp: SΔ _i= C_V

(

ln ^T1

T₀

+ _T

0

T −T₁ ₀

)

Wsk: układ+otoczenie nie mają wymiany ciepła z innymi obiektami => ∆Si=∆S, oblicz zmianę entropii układu i otoczenia wskutek przepływu ciepła, otoczenie jest nieskończone

=> T=T0=const.

2.2 Gaz doskonały wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A→B w temperaturze T1. Znając początkową i końcową objętość gazu (VA, VB) oblicz jakie ciepło QIN zostało dostarczone go gazu w tym procesie.

Odp: QIN=n R T1 ln (VB/VA)

Wsk: dla gazu doskonałego u=u(T), więc dU=0 bo T=const.

2.3 Gaz doskonały wykonuje pracę w procesie adiabatycznym A→B. Znając molową pojemność cieplną tego gazu cV, oraz temperaturę początkową TA i końcową TB oblicz pracę wykonaną przez gaz WOUT.

Odp: WOUT=n cV (TA-TB)

Wsk: dla gazu doskonałego dU=ncVdT

2.4 Gaz doskonały pracuje w odwracalnym cyklu Carnota między temperaturami T1 i T2. Pokaż że w tym cyklu jest spełniona równość Clausiusa

∮

^dQ_T = 0, czyli _T , gdzie

1

Q₁

+ _T

2

Q₂

= 0

Q¹ i Q² to ciepła przyjęte przez układ podczas procesów odpowiednio w tempteraturze T¹ i T2 w każdym cyklu.

Wsk: oblicz Q1 i Q2 w procesach albo przez zmiany entropii albo przez objętości

(3)

Zajęcia 3 (2019.10.21, 2019.10.23)

Uwaga: na zajęciach będzie robiony tylko jeden z wariantów a,b w zadaniu 3.4

3.1 Gaz van der Waalsa wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A→B w temperaturze T1. Znając początkową i końcową objętość gazu (VA,VB) oblicz jaką pracę WOUT wykonał.

Odp. W_OUT = nRT₁ln

(

^{V −nb}A

V −nb_B

)

^{+ an}²

(

^V¹B⁻

1 V_A

)

Wsk. Równanie stanu gazu van der Waalsa to

(

p⁺ V² RT

an²

)

(V −nb) = n

3.2 Gaz van der Waalsa wykonuje pracę w przemianie izotermicznej A→B w temperaturze T¹. Znając początkową i końcową objętość gazu (V^A,V^B) oblicz jakie ciepło Q^IN zostało dostarczone do gazu.

Odp. Q_IN = nRT ln₁

(

^{V −nb}A

V −nb_B

)

Wsk. Energia wewnętrzna gazu van der Waalsa wynosi U=ncVT-an²/V+U0.

3.3 Oblicz sprawność silnika cieplnego działającego w odwracalnym cyklu Carnota, gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Cykl działa między temperaturami T1 i T2 (T2>T1).

Znamy pojemności cieplne gazu cV i cp, natomiast szukaną sprawność definiujemy jako μ=WOUT/QIN, gdzie WOUT to całkowita praca wykonywana przez cykl, zaś QIN ciepło dostarczone do cyklu przy przemianach gdzie cykl ciepło przyjmuje.

Odp. μ=1-T¹/T²

Wsk. Skorzystaj z zachowania energii i równości Clausiusa

3.4 Oblicz sprawność pompy cieplnej działającej w odwracalnym cyklu gdzie czynnikiem roboczym jest gaz doskonały. Znamy pojemności cieplne gazu cV i cp. Sprawność pompy cieplnej zdefiniowana jest jako μ=QIN/WIN, gdzie QIN to ciepło oddane w cyklu, zaś WIN to całkowita dostarczona praca.

Pompa cieplna pracuje w cyklu:

a) Otta, złożonym z dwóch izochor przy objętościach V1 i V2 (V2>V1) i dwóch adiabat, b) Joule’a, złożonym z dwóch adiabat oraz dwóch izobar przy ciśnieniach p1 i p2 (p2>p1) Odp. a) μ = ¹ , b)

(

V 1V 2

)

^(γ−1)−1 ^{μ =} 1

(

p1p2

)

^(γ−1)^γ −1

Wsk. z zachowania energii przekształć sprawność na zależną tylko od ciepeł i oblicz ciepła korzystając z definicji cv,cp, zależności między temperaturami mogą być policzone z równania adiabat i równania stanu

(4)

Zajęcia 4 (2019.10.28, 2019.10.30)

4.1 Korzystając z tzw. podstawowego równania termodynamiki U=TS-pV+μn i transformacji Legendre’a zapisz podstawowe równanie termodynamiki w formie zawierającej inny potencjał termodynamiczny oraz wyprowadź wzór na zmianę tego potencjału: a) entalpia H(S,p,n), b) energia swobodna F(T,V,n), c) energia swobodna Gibbsa G(T,p,n)

Odp. a) H=TS+μn, dH=TdS+Vdp+μdn, b) F=pV+μn, dF=-SdT-pdV+μdn, c) G=μn, dG=-SdT+Vdp+μdn

4.2 Wyprowadź poniższe relacje Maxwella:

a)

(

^dT^dp

)

_S,n ⁼

⁽

^dV^dS

⁾

p,n, b)

(

dV^dS

)

T ,n =

(

^dT^dp

)

_{V ,n}, c)

⁽

^dV^dn

⁾

T ,p =

(

^dμ^dp

)

_{T ,n}

Wsk. Skorzystaj z równości pochodnych mieszanych odpowiednich potencjałów termodynamicznych, odpowiedni potencjał ma te same naturalne parametry które występują w relacji

4.3 Pokaż, że a) w procesach izobarycznych bez wymiany materii, ciepło dostarczone jest równe zmianie entalpii dQ=dH, b) w procesach izotermicznych bez wymiany materii, praca wykonana nad układem jest równa zmianie energii wewnętrznej dW=dF

Wsk. Skorzystaj z 1 zasady termodynamiki oraz “definicji” entalpii H=U+pV

4.4 Układ termodynamiczny o stałej pojemności cieplnej C i temperaturze T1 znajduje się w otoczeniu o temperaturze T0 (otoczenie ma nieskończoną pojemność cieplną).

a) Jaka jest maksymalna całkowita praca którą mógłby wykonać silnik używający tego układu jako źródła ciepła a otoczenia jako chłodnicy zakładając T1>T0 ?

b) Jaka jest maksymalna całkowita praca którą mogłby wykonać silnik używający tego układu jako chłodnicy, zaś otoczenia jako źródła ciepła zakładając T0>T1 ?

Odp. WMAX=C(T1-T0)-C T0 ln (T1/T0) (w obu przypadkach)

Wsk. Silnik cieplny pracujący w odwracalnym cyklu Carnota o sprawności μ=1-TO/TI ma najwyższą możliwą sprawność (TI to temperatura grzejnicy a TO temperatura chłodnicy), licząc maksymalną możliwą pracę można rozpatrywać nieskończenie mały cykl

(5)

Zajęcia 5 (2019.10.30, 2019.11.04)

Uwaga: zadanie 5.6 nie będzie robione na zajęciach

5.1 Pokaż jakie nierówności termodynamiczne związane ze zmianami a) V,n, b) S,n wynikają z minimalizacji energii wewnętrznej U przy ustalonym S,V,n. Napisz nierówność zawierającą wyznacznik odpowiednich pochodnych i zinterpretuj ją w mierzalnych

wielkościach fizycznych.

Wsk. Z minimalizacji energii wynika dodatniość wyznacznika macierzy drugich pochodnych cząstkowych. Zinterpretuj uzyskane pochodne, przekształcając je do mierzalnych wielkości fizycznych (np. ciepła właściwego czy ściśliwości)

5.2 Oblicz molowe ciepło spalania mola propenu C3H6, zakładając swobodny dostęp tlenu oraz znając ciepła uwodorniania propenu C3H6+H2+qA→C3H8, spalania propanu

C3H8+5O2+qB→3CO2+4H2O i spalania wodoru 2H2+O2→2H2O+qC.

Wsk. Dodaj stronami równania reakcji, dobierając współczynniki tak by dostać spalanie propenu C3H6+9/2 O2+qD→3CO2 + 3H2O

Odp. qD=qA+qB-qC/2

5.3 Entalpia molowa wody w temperaturze TA i ciśnieniu atmosferycznym pA wynosi hA. Oblicz entalpię wody po tym jak została przepuszczona przez reaktor atomowy (jako chłodziwo) który przeprowadził ją w płyn superkrytyczny o temperaturze TB przy ciśnieniu p^B, oraz przez turbinę i chłodnicę które opuściła w postaci ciekłej w temperaturze T^C i w ciśnieniu atmosferycznym pA. Załóż że znasz wszelkie własności wody, tzn. molowe ciepła właściwe w dowolnej fazie i w dowolnych warunkach (zakładając że wewnątrz każdej fazy ciepła właściwe są stałe), ciepła przemian fazowych, gęstość, masę molową itp.

Wsk. Entalpia to funkcja stanu, skorzystaj z prawa Kirchoffa, nie zawsze wszystkie dane są potrzebne

Odp. hC=hA+cp(TC-TA)

5.4 Sztaba żelaza o masie m i temperaturze T1 znajduje się pod ciśnieniem p0. Sztaba jest podgrzewana przy ustalonym ciśnieniu. W temperaturze T2 sztaba stopiła się. Proces podgrzewania zakończono w temperaturze T3. Oblicz ciepło dostarczone do żelaza podczas całego procesu oraz zmianę jego entropii, znając wszelkie molowe własności żelaza (ciepła właściwe każdej z faz, molowe ciepła topnienia i wrzenia przy ciśnieniu p0, masę molową).

Wsk. Podziel proces na podgrzewanie i przemianę fazową (odbywającą się w ustalonym T2,p0)

Odp. Q₁₃ = _M^m

[

c^p^(s)^{(T −T )}² ¹ ^{+ q}^sc^{+ c}^p^(c)^{(T −T )}³ ¹

]

, ^Δ^S¹³ ⁼ ^M^m

[

^{c ln}^p^(s) ^T1 ^ln

T₂

+ _T

2

q_sc

+ c_p^(c) _T

1

T₃

]

5.5 Znając kształt granicy faz woda-para wodna pCG(T) oblicz ciepło przemiany ciecz-gaz w zależności od temperatury, zakładając że para wodna jest gazem doskonałym o

objętości o wiele większej niż ta sama ilość cieczy.

Wsk. Skorzystaj z równania Clausiusa-Clapeyrona i równania stanu gazu doskonałego, zaniedbaj objętość cieczy

Odp. qCG = ^dp_dT^CG _p

CG

RT²

5.6 (dodatkowe) Oblicz ile ciepła qC należy dostarczyć do każdego kilograma n-heksanu C6H14 aby w temperaturze reakcji katalitycznej TC (przy ciśnieniu atmosferycznym) zmienić go w benzen C6H6 i wodór H2. Znamy własności (ciepła molowe, gęstości, masy molowe itp.) każdej z tych substancji, oraz molowe ciepła spalania wszystkich tych substancji w

(6)

temperaturze warunkach pokojowych (T0, p0). Załóż że ciepło molowe każdej z tych substancji jest stałe.

Wsk. Skorzystaj z prawa Hessa by określić ciepło potrzebne do przeprowadzenia reakcji, oraz z prawa Kirchoffa dla obu stron reakcji aby określić ile będzie wynosiło to ciepło w temperaturze TC

Odp. qC=1/MC6H14 [qC6H14-qC6H6-4qH2+(cC6H14-cC6H6-4cH2)(TC-T0)], gdzie qX to ciepło spalania 1 mola substancji X, cX to molowe ciepło właściwe substancji X, zaś MX to masa molowa substancji X

(7)

FIZYKA STATYSTYCZNA

Zajęcia 6 (2019.11.13, 2019.11.20)

6.1. Rozważ układ N cząstek i, z których każda może mieć skwantowaną energię a) Ei=0,1,2,3,… , b) Ei=1,2,3,… . Oblicz liczbę stanów takiego układu jeżeli całkowita energia E jest ustalona.

Wsk. Można rozpatrywać że mamy E kwantów, każdy może być przypisany do jednej z N cząstek – kombinacja z powtórzeniami daje od razu wynik

Odp. a)Δ = (N−1Γ + E E )= (N−1+ E N−1 ), b)Δ = (E−1 E−N ) = (E−1 N−1 )Γ

6.2. Rozważ klasyczną cząstkę o masie m w 1-wymiarowym pudełku o długości L. Oblicz ilość stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E, narysuj przestrzeń fazową i zaznacz dozwolone stany dla takiej cząstki. Wyznacz gęstość stanów g(E). Naturalną jednostką objętości jednowymiarowej przestrzeni fazowej jest stała Plancka h.

Wsk. Przestrzeń fazowa 1-wymiarowej cząstki ma 2 wymiary: położenie (0,L) i pęd

(dodani i ujemny, bo cząstka może poruszać się w obie strony). Energia cząstki to energia kinetyczna.

Odp. Γ = ^2L_h √2mE,g (E) = ^dΓ(E)_dE = _h^L

√

^2m^E

6.3. Rozważ kwantową cząstkę o masie m w 1-wymiarowym pudełku o długości L. Oblicz liczbę stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E. Wyznacz gęstość stanów g(E).

Wsk. Dozwolone stany cząstki wynikają z rozwiązania równania Schrödingera dla 1-wymiarowej studni potencjału i warunków brzegowych (Ψ(0)=Ψ(L)=0):

gdzie dla n∊ℕ.

sin

Ψn(x) = A

(

^√^2mE^h^ˉ ⁿ^x

)

^Eⁿ ⁼ ^8mL^h²²ⁿ²

Odp. Γ = ^2L_h √2mE,g (E) = ^dΓ(E)_dE = _h^L

√

^2m^E

(8)

Zajęcia 7 (2019.11.25, 2019.11.27)

7.1. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego może być wyrażona jako εi=(ni+1/2)ħω ,gdzie n=0,1,2,… . Rozważ układ N oscylatorów, których całkowita energia jest ustalona i wynosi E. Oblicz entropię i temperaturę tego układu.

Wsk. Efektywnie rozkładamy E/ħω-N/2 kwantów energii (wzbudzenia oscylatorów) na N cząstek. Przy E=const. entropia wynika z ilości dostępnych stanów (objętości przestrzeni fazowej). _∂S^∂E = T

Odp. S=k[(N+M) ln(N+M) – N ln N – M ln M] ,T =^h^ωˉ^k_ln^·1^N+M_M , gdzie M=E/ħω-N/2, a k to stała Boltzmanna

7.2. Rozważ N nieoodziaływujących cząstek klasycznych o masie m w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Naturalną jednostką objętości przestrzeni fazowej jest tu h^3N(dla całego układu). Zakładając że układ ma ustaloną energię E oblicz entropię, temperaturę i ciśnienie w układzie (wyraź przez temperaturę).

Wsk. N-wymiarowa kula o promieniu r dla parzystego N ma objętość π^N^/2r^N/(N/2)! , ΔΓ=dΓ/dE·ΔE. Różniczkując entropię po energii i objętości można uzyskać 1/T i p/T (1 zasada termodynamiki).

Odp. S ≈ Nk

[

ln^V^N ⁺ ²³ln^N^E ⁺ ³²

(

^ln3h² , , p=NkT/V

4πm + ₃⁵

)]

^{T =} 32 E kN

(9)

Zajęcia 8 (2019.12.02, 2019.12.04)

8.1. Rozważ układ składający się z dwóch niezależnych rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię 0 lub ε. Układ jest w kontakcie cieplnym z otoczeniem o

temperaturze T. Oblicz energię wewnętrzną U, swobodną F i entropię S.

Wsk. Wszystko bezpośrednio z definicji, zauważyć że Z2=Z12

Odp. U=2ε 1/(e^-^βε+1), F=-2kBT ln (1+e^-^βε), S=2kB ln (1+e^-^βε)+2ε/(T(e^βε+1))

8.2. Energia pojedynczego spinu magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym wynosiEi=-μsiH, gdzie μ to moment magnetyczny spinu, si=±1/2 to wartość spinu

(dyskretny stan kwantowy) zaś H to pole magnetyczne w której spin się znajduje. Oblicz średnią energię U i magnetyzację M=⟨∑iμsi⟩ dla układu N niezależnych spinów

znajdujących się w polu zewnętrznym H i kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T.

Wsk. Niezależne cząstki ZN=Z1N, pojedynczy spin ma tylko 2 mikrostany (si=±1/2), porównaj U wychodzące z definicji i z sumy statystycznej

Odp. U=-NμH tgh βμH, M=N tgh βμH

8.3. Energia pojedynczego kwantowego oscylatora harmonicznego może być wyrażona jako εi=(ni+1/2)ħω ,gdzie n=0,1,2,… . Rozważ układ N niezależnych oscylatorów

znajdujących się w kontakcie cieplnym z otoczeniem o temperaturze T. Oblicz średnią energię U i entropię S układu.

Wsk. Niezależne cząstki ZN=Z1N ,U = _∂β^−∂lnZ

Odp. U = Nˉhω

(

12 + _{e −1}hβωˉ¹

)

,^{S = Nk}B

(

^{e −1}^h^{β ω}^βωˉ^h^ˉ −ln^{(1−e )}^{β ω}^h^ˉ

)

8.4. Rozważ N nieoodziaływujących cząstek klasycznych o masie m w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Zakładając że układ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T oblicz entropię S, energię wewnętrzną U i ciśnienie p w układzie.

Wsk. Całka Gaussa ^+∞

∫

xp x Różniczkując energię swobodną F po

−∞

e (−x )² d = √π

temperaturze i objętości można uzyskać S i p (1 zasada termodynamiki).

Odp. U = ₂³Nk T_B , S = Nk_b

(

52 + ln_N^V +³₂ln(2mk T )_B

)

, p=NkT/V

(10)

Zajęcia 9 (2019.12.09, 2019.12.11)

9.1. Oblicz wielką sumę statystyczną dla gazu doskonałego w otwartym układzie o objętości V, który jest w równowadze z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym cząsteczek gazu μ. Masa każdej cząstki to m.

Wsk. Suma po wszystkich stanach w układzie otwartym to suma po N i suma po wszystkich stanach o określonym N (jak w zespole kanonicznym), ^+∞∑ , dla

n=0 n!xⁿ = e^x pojedynczej cząstki klasycznejZ₁ = V(2mk T )_B ²³

Odp.Ż = exp

(

e V^βμ

⁽

^2m^β

⁾

²³

)

9.2. Rozważ gaz doskonały cząstek o masie m w otwartym układzie o objętości V, który jest w równowadze z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym cząsteczek gazu μ. Oblicz średnia liczbę moli gazu n znajdujących się w objętości układzie, średnią energię wewnętrzną U oraz ciśnienie gazu p.

Wsk. Wielka suma statystyczna dla gazu doskonałego wynosiŻ = exp

(

e V^βμ

⁽

^2m^β

⁾

²³

)

(9.1), z własności zespołu wielkiego kanonicznego ⟨N⟩= _β^{1 ∂}_∂μlnŻ,⟨E⟩= −_∂β^∂ lnŻ+ μ⟨N⟩

Odp.n = _N¹ e V , ,

A

βμ

(

^2m^β

)

²³ ^{U =} 23^{⟨N⟩k T}

B p = ^{⟨N⟩k T}_V^B

9.3. Rozważ powierzchnię na której adsorbować się mogą cząstki, gdzie energia każdej zaadsorbowanej cząstki to -ε. Powierzchnia jest w równowadze z gazem doskonałym o temperaturze T i potencjale chemicznym μ = k_BT ln

(

βp(2πmk T )^h³_B ²³

)

(potencjał chemiczny gazu doskonałego). Oblicz współczynnik pokrycia powierzchni θ=N/A gdzie N to ilość zaadsorbowanych cząstek a A ilość miejsc gdzie cząsteczki mogą się zaadsorbować.

Wyraź wspołczynnik pokrycia przez ciśnienie p gazu doskonałego nad tą powierzchnią.

Pamiętaj że cząstki gazu doskonałego są nierozróżnialne.

Wsk. Rozważ zaadsorbowane cząstki jako układ w zespole wielkim kanonicznym, ilość stanów dla N cząstek to po prostu ilość możliwych rozłożeń N cząstek na A miejsc (bez powtórzeń),(x+ y)ⁿ = ∑ⁿ y

i=0(n i ) x^{n−1 i}

Odp.θ = _{p+p (T )}^p , gdzie to wielkość zależna od warunków

0 p₀(T ) = e^−βε

h β^{3 2}⁵ (2πm)²³

9.4* (dodatkowe) Pokaż że rozkład prawdopodobieństwa ilości cząstek gazu doskonałego w otwartym układzie o objętości V w równowadze termodynamicznej z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym μ jest rozkładem Poissona tzn. P (N) = e^−⟨N⟩N!⟨N⟩^N

Wsk. Prawdopodobieństwo N to suma prawdopodobieństw stanów o N cząstkach

. Wielka suma statystyczna (8.1), suma

Ω P (N) =

∫

ΔΓ_N

P (Ω) d Ż = exp

(

e V^βμ

⁽

^2m^β

⁾

²³

)

statystyczna 1 cząstkiZ₁ = V(2mk T )_B ²³, z własności zespołu ⟨N⟩= _β^{1 ∂}_∂μlnŻ, z czego wynikają zależności między⟨N⟩ a Ż i Z¹.

9.5* (dodatkowe). Rozważ gaz N nieoddziaływujących ultrarelatywistycznych (nie-kwantowych) cząstek punktowych, znajdujących się w zamkniętym układzie o objętości V i w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Energia

(11)

ultrarelatywistycznej cząstki i wyraża się wzorem Ei=pic, gdzie pi to pęd cząstki zaś c to prędkość światła w próżni. Oblicz energię wewnętrzną gazu U oraz jego ciśnienie p. Załóż że cząstki są nierozróżnialne, aby zapobiec paradoksowi Gibbsa.

Wsk. Całkowanie po dowolnych współrzędnych kartezjańskich x,y,z można zmienić na całkowanie po współrzędnych biegunowych r,γ,θ : dxdydz= r²drsinθdθdϕ , całka Eulera

e dx !

+∞

∫

0

x^{n−1 −x} = Γ (n) =_n∈N (n−1) Odp. U=3NkBT, p=NkBT/V

(12)

Zajęcia 10 (2019.12.16, 2019.12.18)

10.1. Rozważ układ złożony z 3 fermionów z których każdy może przebywać w jednym z 4 stanów kwantowych o energiach ε1,ε2,ε3,ε4. Układ jest w równowadze termicznej z

otoczeniem o temperaturze T. Wyznacz sumę statystyczną Z układu oraz średnią ilość fermionów ‹N1› w stanie o energii ε1.

Wsk. Z zakazu Pauliego wynika że może być max. 1 fermion w każdym stanie → łatwo wypisać wszystkie stany, dowolna średnia ‹x›=ΣΩP(Ω)x(Ω)

Odp.

Z = e−β(ε +ε +ε )₂ ₃ ₄ + e−β(ε +ε +ε )₁ ₃ ₄ + e−β(ε +ε +ε )₁ ₂ ₄ + e−β(ε +ε +ε )₁ ₂ ₃ = e−β(ε +ε +ε +ε )₁ ₂ ₃ ₄ (e^βε¹+ e^βε²+ e^βε³+ e^βε⁴), N ⟩ −

⟨ ₁ = 1 ^e^{−β ε +ε +ε}⁽^{2 3 4}_Z ⁾

10.2. Rozważ układ złożony z 3 bozonów, z których każdy może przebywać w jednym z 3 stanów kwantowych o energiach 0, ε, 2ε. Układ jest w równowadze termicznej z

otoczeniem o temperaturze T. Wyznacz sumę statystyczną Z układu oraz średnią ilość bozonów ‹N0› w stanie o energii 0.

Wsk. Bozonów może być w danym stanie dowolnie dużo, rozkładamy 3 nierozróżnialne cząstki na 3 stany (z powtórzeniami)

Odp. Z = 1 + e^−βε+ 2e^−2βε+ 2e^−3βε+ 2e^−4βε+ e^−5βε+ e^−6βε,⟨N0⟩= ^3+2e^−βε^+3e^−3βε_Z^+e^−3βε^+e^−4βε

10.3. Rozważ gaz N elektronów swobodnych w objętości V i temperaturze T=0K. Wyznacz potencjał chemiczny μ0, energię wewnętrzną U0 i ciśnienie p0 tego gazu. Funkcja gęstości stanów jest znana i wynosig (E) = _2π^V2

(

hˉ² .

2m

)

²³^√E

Wsk. Warunek stałości ilości cząstek N = ^+∞

∫

n⟩ ε, dla β→+∞ rozkład F-D jest

0 ⟨ (ε) g (ε) d rozkładem jednorodnym do progu ε=μ

Odp. μ₀ = (3π )² ³²^h_2m^ˉ²

(

VN

)

³²,^U0 = ₅³^Nμ₀,p₀ = ²₃^U_V⁰

10.4. Wyznacz temperaturę Tc w której w gazie nieoddziałujących bozonów o gęstości stanów g (E) = (2s+ 1) ^V_π2

(

h2m_ˉ²

)

²³^√Edochodzi do kondensacji Bosego-Einsteina.

∫

n⟩ ε, kondensacja zaczyna

0 ⟨ (ε) g (ε) d

zachodzić w punkcie gdzie μ=0, ^+∞

∫

gdzie Γ(n) to funkcja gamma

0 x dxⁿ

e −1^x = Γ (n+ 1 ζ (n) + 1) Eulera, zaś ζ(n) to funkcja zeta Riemanna

Odp. Tc= _k¹ gdzie

B

(

^{V A}^N1

)

^A¹ ^{= Γ}

⁽

³²

⁾

^ζ

⁽

³²

⁾

^2π¹²

(

hˉ² 2m

)

²³

10.5 (dodatkowe). Rozważ pojedynczy stan kwantowy o energii ε. Zakładając równowagę termiczną z otoczeniem o temperaturze T i potencjale chemicznym μ wyprowadź wzór opisujący średnią liczbę cząstek ‹n›(ε) znajdujących się w tym stanie. Rozważ przypadek a) fermionów, b) bozonów.

Wsk. ^+∞∑ dla a<1

n=0aⁿ = _1−a¹

Odp. a)⟨ (ε) =n⟩ _eβ(ε−μ)¹ ₊₁ , b)⟨ (ε) =n⟩ _eβ(ε−μ)¹ ₋₁

(13)

Zajęcia 11 (2020.01.08, 2020.01,09)

11.1. Rozważ klasyczną cząstkę w 3-wymiarowym pudełku o objętości V. Oblicz ilość stanów Γ(E) o energii mniejszej lub równej E oraz gęstość stanów g(E). Naturalną

jednostką objętości trójwymiarowej przestrzeni fazowej jest stała Plancka w sześcianie h³. Wsk. Przestrzeń fazowa 3-wymiarowej cząstki określona jest przez jej położenie i

składowe pędu Ω=(x,y,z,px,py,pz). Pamiętaj że pędy mogą być zarówno dodatnie jak i ujemne bo pęd może być skierowany w dowolną stronę.

Odp. Γ = 4πV_3h3(2mE)23,

2m g (E) = ^dΓ(E)_dE = 2πV_h3 ₂³√E

11.2. Energia pojedynczego spinu magnetycznego w zewnętrznym polu magnetycznym wynosi Eⁱ=-μsⁱH, gdzie μ to moment magnetyczny spinu, sⁱ=±1/2 to wartość spinu

(dyskretny stan kwantowy) zaś H to pole magnetyczne w której spin się znajduje. Oblicz entropię S oraz równowagową temperaturę T dla układu N niezależnych spinów o energii całkowitej E znajdujących się w polu zewnętrznym H.

Wsk. Wyraź energię układu przez ilość spinów +1/2 (lub -1/2), oblicz obj. przestrzeni fazowej (liczbę stanów) w zależności od N+, temperaturę można policzyć z 1 zasady termodynamiki dla magnetyka dU=TdS+HdM przy dU=0 (bo U=E=const.)

Odp. S = k_B(NlnN−N lnN −+ + (N−N )+ l (N−N )n + )dla N₊ = −_Hμ^E

(

N −⁺ N2

)

,^{T =} ln

−^μH_kB

(

^N+

N−N+

)

11.3. Rozważ kryształ złożony z N atomów, w którym mogą istnieć defekty Frenkla, czyli przemieszczenia atomów z węzłów sieci krystalicznej do pozycji międzywęzłowych, których w tym krysztale jest R. Energia kryształu jest większa o w na każdy występujący defekt. Kryształ jest w równowadze termicznej z otoczeniem o temperaturze T. Zaniedbaj drgania sieci itp., rozpatrując jedynie defekty jako sposób w jaki układ może zmieniać energię. Oblicz średnią liczbę defektów n występujących w krysztale w podanych warunkach.

Wsk. typowe rozwiązanie jest trudne ze względu na sumę statystyczną, w

równowagowym n w zespole kanonicznym minimalizuje się energia swobodna, tzn ^∂F_∂n = 0 , entropię dla danej liczby defektów S(n) oblicz traktując n jako dane/stałe, tzn. używając zespołu mikrokanonicznego, mikrostan zależy od tego które n atomów przemieści się do pozycji międzywęzłowych, oraz na jakie pozycje się przemieszczą

Odp. n ≈ √NRe^−β^w₂ dla n<<N,R

11.4 (dodatkowe). Rozważ układ składający się z N magnetycznych spinów całkowitych ( si∈{-1,0,+1} ) w zewnętrznym polu magnetycznym H i w równowadze termicznej z

otoczeniem o temperaturze T. Oblicz energię wewnętrzną U i średnią magnetyzację M układu. Energia pojedynczego spinu wynosi Ei=-μsiH, gdzie μ to moment magnetyczny spinu. Ponieważ energia zależy tylko od stanu pojedynczego spinu, tak więc spiny są niezależne od siebie. Magnetyzacja to średni moment magnetyczny całego układu M=

‹Σiμsi›.

Wsk. Spiny niezależne więc ZN=Z1N, pojedynczy spin ma 3 stany (różne wartości si), wyrażając energię U jako średnią sumę energii poszczególnych spinów i porównując z definicją M otrzymujemy zależność między U i M

Odp. U = −NμH_cosh(βμH)+^sinh(βμH) ,

21 M = Nμ_cosh(βμH)+^sinh(βμH)

21

(14)

Zajęcia 12 (2020.01.13, 2020.01.15)

12.1. Rozważ układ składający się z wnętrza zamkniętego pudełka o temperaturze T i objętości V. Oblicz średnią ilość fotonów N(ν) o częstotliwości ν wewnętrz pudełka, oraz średnią gęstość energii u(ν), wiedząc że funkcja gęstości stanów tog (E) = 8π V_c3 E , zaś

h³ 2

potencjał chemiczny fotonów jest zawsze równy 0.

Wsk. E=hν, N(E)dE=‹n›(E)g(E)dE, N(ν)dν=N(E)dE, u(ν)=U(ν)/V Odp.N (ν) = 8πV_c3 ν² ,

e^βhν−1 u (ν) = 8πh_c3 ν³ e^βhν−1

12.2. Rozważ jednowymiarowy ferromagnetyczny łańcuch Isinga o długości N w

równowadze z otoczeniem o temperaturze T bez zewnętrznego pola (H=0), gdzie spiny mogą mieć wartości si∊{-½,+½}. Załóż że łańcuch jest otwarty, tzn. spiny na końcach mają tylko jednego sąsiada. Oblicz średnią energię układu.

Wsk.e^∑^xⁱ = ∏e^xⁱ,e^x+ e^−x = 2coshx,cosh(x) = cosh(−x) Odp. U=-(N-1)J/4 tgh (J/4kBT)

12.3. Rozważ trójwymiarowy układ spinów Isinga w którym każdy spin si∊{-½,+½} ma z=6 sąsiadów (sieć sześcienna). Stosując przybliżenie średniego pola oblicz temperaturę krytyczną układu przy założeniu że nie ma pola zewnętrznego (H=0).

Wsk. przybliżenie średniego pola oznacza że traktujemy każdy spin jak statystycznie taki sam i oddziaływujący nie z konkretnymi sąsiadami tylko statystycznymi sąsiadami

(średnim polem) tzn. ∑ ⟨s⟩gdzie z to ilość sąsiadów (liczba koordynacyjna), w ten

j s_j = z

sposób można rozważyć pojedynczy spin oddziaływujący z średnim polem; równanie ma 1 (dla nachylenia w zerze <1) lub 2 (dla nachylenia >1) stabilne rozwiązania;

gh(x) x = t

tgh(ax)|

∂x∂ x=0 = a Odp. TC = _4k^Jz

B

12.4* (dodatkowe). Wyznacz temperaturę Tc w której w 2-wymiarowym gazie

nieoddziałujących bozonów o gęstości stanówg (E) = (2s+ 1)2V_πˉ_h2mdochodzi do kondensacji Bosego-Einsteina.

∫

n⟩ ε, kondensacja zaczyna

0 ⟨ (ε) g (ε) d zachodzić w punkcie gdzie μ=0

Odp. Kondensacja w ogóle nie zachodzi (nie istnieje temperatura w której potencjał chemiczny jest zerowy)