Sezonowy, liniowy model procesu poboru wody w miastach

WYZSZA SZKOŁA I N Z YN I E RSKA IM. JU R IJA GAGARINA W Z IELONEJ GóRZ E • ZESZYTY _NAUKOWE NR 64

N r 4 I NlYNIERIA 5ROOOWI SKA ₁₉₈₈

Zbignie w ^{S i w oń ~} Janusz Stanisławsk i

SEZoowY, LI NIOWY ~L PROCESU POOORU ~ Y W MIASTACH

l . Wstęe_

Bie żące i krótko terminowe prognozy zapotrzebowania na wodę spełniajq istotn~ ro-

lę w komputerowo w sp omaganym op tymal nym sterowaniu wielozbiornikowymi, ^dużymi, szcze-

•

gólnie grupowymi sys temami wodociągowymi. Prognozy te ^są także podstawą do wypracowy -

~ania optymalnych ^{pol eceń} oper acyjnych w kierowaniu procesam i produkcji wody. ^Są one

określ ane z wyprzedzeniem ^od jednej godziny do roku i ^{stanow ią} dane ^wyjściowe dla progr amów symulacyj nych ^{możliwe przyszłe} stany s ystemu zaopatrzenia w wodę, któr e

z kolei są wykorzystywane w algorytmach sterowania do wyznaczenia ste rowania oPtymal- nego . Dokładność prognoz określa jakość sterowania. Celem sterowania jest dystrybucja i s t erowanie przes)'łem oraz dystrybucja dyspozy c yjnych zasobów wod y . Natrn~i a st istot<ł

op tyma l nego sterow ania w systemac h zaopatrzenia w ^wodę m i ast jest ^{najtańsze i} racjo-

n a lne eksploato w am e systemu wo doci ągo~go z uwzględnieniem m. in. kosztów uzdatnia-

ni a w ooy oraz kosztów energ ii elektr yczne j zużywanej na jej p OI!lJOWanie [6, 7] .

P onadto komp uterowa symulacja ^{umo żli w ia} zmniejszenia strat wody 5pOWOdowanych

wys tępowani em nadmiernych c iśnień w sieci oraz aw ar i ami przewodów [ 5 ] .

Uk łady optymalnego s t erowania ^są w dzied zi n ie zaopatrzenia w ^wodę s zeroko s toso- wane w 1nnych krajacn eu r opejsi<Ich, a także w S tanach Zjednoczonych. i Japonii, gdzie

oDj ęt o nimi s y stemy dy jest ^większe nit

wodociągowe w e w sz ystkich m1 ast ach , w k tór y ch dobowe ^{zu życie} wo-

3 .

100000 m . R eali zacJa sterow ania w ymagazaawansowanych środków tech- q i c znych, ^{!ą czn1 e} z ,on~uterowym s yst emem rej estracji ⁱ przetw arzania danych wraz

z pa ~~etem orog:arn6« u tyt~owych. ~onieczne jest od~ied ni e przys to s owanie uk ładu

techno l ogi cz nego. Pol ega ono na zainst alow aniu ^'fJ mm dodatkowego oSPrz ęt u . J. i w ia-

1 ąc eno realnacJę pnrr.:.. arów, zoalne: J ~:.,, :;n-aliz.ac )i ^J zda lne go ^{ster ow ani a} z c ..; . . ' ._r . alne j nyspozytarni ~yposa żo ~~ j w mlnikompu~-~ l ub kompute r prowadz ący obliczen ia op t yma li-

I3Cvjne . Rea l 2za cj a ~ terowanla oezoo średniego jest dokonywana z dyspozytorn i loka1-

,_,_ ,_)j . Z .)Cw\ ZS Zycn wzglęców ~-. ,;ol sce jak do tąo został wyk onany J edyn ie system

.. e lewform a t ycz ny ( ^{r U} ófPL!\.erowv "' s t em pomi a rów ⁱ kontro ll ^{s tanów )} dl a potrzeb obsłu ­

,: <:u?r~; ^; J blek t ó .... ,;ococ: ą gu łt'lC.~t . ·~go Qraz aktualnie Jest ins ta lowany i nformatyczny

•

• _L·_ .'< "'''D'. tP:"G iv) cla u~uzeb • -JtsuO· .~;u Lubi ńsko-Głogowskiego CJ< ręg u ~uedzi rntegc.

!.Jc_i: •. ]E: ·r. s~ ^... ~.:r:; ,.,as i~glem cały ;.~r~::::!S produ k CJł ¹ dystrybuc jl ^loiOdy, poczyn a jąc od

·-:: uJęCJa ³ ><.OI~cząc ^'la dos tarc z an iu odbiorccn. ^którymi są m1ast a ⁱ miej scowo ści

~GOK-u · ~az : a~laóy K ombi nat u Gó rn ic z~-Hutniczego ~ J adz i. Ponadt o przew i dziano \ te

159

160 ZBIGNIEW SIWOŃ , JANUS? STANISŁAWSKI

•

poza rej estracj ą i przetwarzaniem danych oraz sterowaniem na podstawi e aktualnych s t anów systefiJJ wodociągowego , będzie tam reali~owane s terowanie optymalne (s].

Praktyczne ^wdrożenie algorytmów optyma lnego sterowania j est motliwe pod warun- kiem dysponowania zestcn.eu1 informacji niezbędnych do identyfikac j i :

- prognostycznych modeli zapotrzebowania na ^wodę,

- charak t erystyk hydrauli cznych oraz zbiorów ^stanów tródeł zasilania ( pompowni

i zbiorników ) ,

- modeli sieci wodoci<Jgowych .

Rola ^{bieżących i} krótkoterminowych prognoz zapotrzebowania na wodę jest zasad- nicza , ^ponieważ bez nich nie jest ^JOOżliwe prowadzenie sterowania optymalnego. Jego zasada polega na wyborze optymalnej strategii dostarczania wody do odbiorców w il~

ści odpowiadającej prognozowanym potrzebom, spośród skończonej liczby sposobów wy-

n ikającej' . z liczby mo:Hiwych stanów w ^~i i zbiorników oraz ^długości okresu

(horyzontu ) optymalizacji .

Do tematycznego opisu przebiegu determini s tyczno-losowych zjawisk ~irycznych,

stosowa ne ~ ostatnio coraz częściej modele tworzone na podstawie anal i zy szeregów czasowych (chronologicznych ciągów) obset~acji badanego procesu, w tym tzw. scałko- .

w a ne modele autoregresj i i średni ej ruchomej AR I MA ^(od: autaregressive integrated AOving average process ) [1]. ^{Są one przydatne} w praktycznych zastosowaniach, ponie-

waż pozwalają szybko uzyskiwać prognozy w dowolnych horyzontach czasowych, a równo-

c ześnie są !OOdelami dynamicznymi. W dalszym ciągu zaprezentowano analizę możli~i

wykorzystania szczególnej k lasy modeli typu ARIMA , ^tj. lini owego, sezonowego modelu autoregres ji , do opisu ⁱ prognozowania proces u zapotrzebowania na wadę w mi astach.

Wery f ikacji modeli i e s tymacji ich parametrów dokonano na podstawie zbiorów wielo- letnich 0976- 8~ ) obserwacji dobowego zutyc ia wody w Łodzi, udostępnionych przez

Przedsiębi orstwo Wadociągów i Kanalizacji Okręgu Łódzkiego.

2. Stochastyczn y charakter ⁱ lianowa s truktura szeregu c zasowego wartości zu;y-

cia ^wody

Próby sforrułowania stoellastycznych modeli procesu zużycia wady ^w mi astach pod- - ję to dopi ero w o statnich k ilku latach. Badania w ^tym zakresie s ą aktualnie proWadZone

m. 1n. w ZSRR Li l , ^{N R D} l J, ^{4 J : w f olsce [ 8 -j . Ze względu na metodykę} obserwacji

przeb1e~ u pr ocesu zdkłada s1~, ze daje się on do brze opisać za ^{pomocą s zere~} GZa-.

sowego J q ,_ , t = l , ^{'.? • • . ,} N~ jego w artośc ¹ uśrednionych w jednakowych przedZl ałacłl

kwa ntowA- n i ~ ( miesięcznych, ^{c4bowych, godz inowy ch l ub innych ) .}

Najbardz ie ogól ny an alityczny soode l tego s ze regu ma postać [6, 7] :

gdzie :

v( t ) · · składowa determin istyc zna , a ( t ) - składowa l a sowa .

(l}

= Sezonow~, liniowy roodel_:.erOGesu QOboru

u • 4

•

•

• . 161

•

Składową v(t) tworzą:

- trend czasowy TR ( t ) owartości średniej szeregu,

- komponenta okresowa {periodyczna) w(t), charakteryzujęca cykliczne wahania warto-

ści średniej i wariancji szeregu .

Składowa losowa at jest w ogólnym przypad<u suną ~nenty autokorelacyjnej AKt ujlll.ljącej zależność między zużyciero wody w ch'flili t a zużyciem w chwilach po-

przednich , komponenty korelacyjnej KRt opisującej zależność mi~dzy zużyciem wody

w chwili ^{t a} różnymi czynnikami losowymi (np . t~raturą powietrza i dobową wyso- kością opadów atmosferycznych) otaz reszty losCYWej €.t. ^Ogólnie przyjętą metodą mo- delowania szeregów czasowych obserwacji zjawisk empirycznych jest rozłożenie owych szeregów na trzy składowe:

- trend

- kCJ11)011entę okresową, '

- składową losowę.

Trend opisuje si~ najczęściej za ^{pomocQ równań} regresji liniowej lub nielinowej, a okresowość poprzez konbinację sinusoid ⁱ cosinusoid [l, 6] . Sposób ten został wyko- rzystany w rodelach procesu zużycia wody opracowanych w ZSRR [2] ^{i w NRD} [3, 4].

Z wła snych badań autorów wynika jednakże, że nie zawsze jest on wystarczająco efek- tywny i oszczęm1y pod ^względem pararoetryzacji. Z tego ^{względu ~} opracowanej przez

autorów efektywnej metodzie krótkoterminowego i bieżącego prognozowania zapotrzebowa- nia na wodę w miastach j]3, 9] wykorzystano tzw. modele sezonowe; wielowymiarowe,

których podstawą jest stacjonarność szeregów opisujących proces zu2ycia wody w dniach tygodnia o podobnym charakterze. Zostały one szczegółowo opisane w pracach [6, 8, ~ .

3. _ Sezonow~ model liniowy Qo~oweso zużycia wody w mieście

' - u

W modelowaniu i prognozowaniu jednorodnych szeregów czasowych s~ niekiedy stoso - wane modele sezonowe bazująca na podobieństwie obseNacji odległych od siebie o •. s''

.

jednostek czasu, gdzie "s" ,)est znanym a priori okresem składowej pe:tiodycznej.

W szczególnym przypadku cykliczne zmiany w dobowym zutyciu wody motna scharakteryzo-

~ać sezonowym modelaa1 autoregresji AR :

(2)

w którym ^• _•

w ^{t = Qt ·-} - ^• ₍₃₎

O. t '

• (4)

Qt :: ^Q ·t ^- _q t -s gdzie :

c: -

~

okre~ składowej periodycznej, D - ^.rząd rr.{)delu autoregres ji AR )

~ ~

•P ^{pararr€t~ modelu AR .}

16 2 ' ZB IGNIE:W S~~Gr-{, J~NUS~ ^ST A _ t..;;; U ;.;;.SŁ,;;;.A_WS ~ K.::.I ^____ ~---· -=-% ~~~ ~- ~· ... --

Wyraż aj ąc t en model prz y pomocy cperatcra ^{p t zesunięc i a} w stec z S mo tna ^go zapi-

sać w s króconej fo rmie [l]:

gdzie:

Mode l ten bazuje na założeniu, że kolejno po sobie następujące s-te rożnice war-

tości badanego szeregu czasowego {qt? są nawzajem skorelowane i roogq być wyrstane .

jako skończona kombinacja lini~ różnic poprzedni ch obserwacji oraz komponenty nie- skorelowanej (reszty losowej ) et. ^{Szereg f-t JX}Winien być tzw .} "białym SZLU011", tj.

powinien podlegać rozkładowj normalneniw o wartości oczekiwanej równej zero i skoń- . · · czonej równej zero i skończonej wariancji . Do wyznaczenia właściwej dla badanego sze..

regu { qt ~ różni cy .. s" , przydatna jest analiza eupirycznych turi<cji autokorelacji i autokorelac j i cząstkowych, wskazujących jak zmienia się korelacja między wartościa­

Rii badanego szeregu wraz ^{ze zmianą ich odstępu czasowego ;;X •}

Na rysunku l i 2 pokazano przyi<ladowe wykresy estymatorów rk(k) funkcji auto- korelacyjnej oraz rkk(k) furi<cji autokorelacji cząstkowycłl ciągu obserwacji dobO- wego zużycia wody w Łodzi dla szeregu podstawowego (\1

0 , t j. s = O) oraz drugiej

( s = O) i siódmej ( s = 7) r61nicy wartośc~ procesu . Wskazuj~ one, te w modelu klasy AR nale ży uwzgl Odnić si ódme róŻnice ( s = ^7).

~ celu zweryfikowania przydatności modeli kl asy (2 ) do opisu procesu zużycia

wody, obhc zono wartości estymatorów f pera.netrów t , rozwiązując układ równań ^•

. [l ^{p p ) .}

l iniowych Yule a-Walkera ~ . Zbadano sezonowe modele A R pierwszego (p = l , drugle- go (p = 2) i trzeciego (p = l) rzędu. Adekwatność badanych modeli próbnych spr~

"

no analiz ują c ^{s zer egi} {(,t J ^różni c mi~dzy wartośc iami ^{W t rzeczywi stymi, e obliczO-} nymi. Oo oceny stopnia adekwatności szeregu dopasowanego i r zecz ywi stego wykorzysta- no jednoczesny test lgodności, w którym badane są pierwsze ^K au tokore l acje reszt

losowych . lic zba K j est wybierana tak duża , że wagi 'ł' k procesu dla k > ^{K Sł}

zaniedb~lnie mał e.

Jeśli dobrany model j est odpowiedni t o statystyka :

gdzie :

K

O = N> ^{r k( C ) 2}

k=l

r k- współ czymik autokorelacji .. reszt dla k-tego k!'oku, N - liczebność s zeregu reszt f- ^t,

K - najw i ększa liczba kroków ( przyjęto : K = ^{30) ,}

(6)

r n a rozkład ^{X 2 z} liczbą ^{s topni swobody} równą różnicy :n1 ędZy ~artośc i ~ ^{K !.} lic~

p a r ametrów modelu . T estowan i e polega ^!18 po ~ówr.an i u ^{obl i c zony cn} wa r tości ^{O z} ~

---~ S ~ e ~ z~o~ n~~~ ~ ~ l ~ i~n ~iow~y~~~~e~ l ~ p~r~oc~e~ s~u ~p~ o~b ~ o~r u ~ · ~ · ~ · -- ---1~ 6~3 ~

-

1,0

0,8

0 . 6 0 , 4 0, 2

o

-0,2

-0. 4 1,0

0,8 0,6

DA

.)L 0 ,2

o

-0 . 2

- 0.4

1.0 l

0.8 ~

0.6 i

0 , 4 i

0,2

o ^l

-0 . 21 l

- 04 r

o

.

la • •

^IL

^.

• l •

.

.

• • r ^{"T l l}

l •

l

10

V ^o

s =o

l

-. '

2

s=2 ^.

l ł • l ^{l •}

^~

. ^l l ,-. _l

\J7

s~ 7

15 20 ^{25 30} 35

k

r< ys . l. wykresy ft:n'-<cji 91 Jtokorelacy j:~ej sz eregu czasowego obs e rwa cji dobowego zui ycia

w!Ja y w todzl -.ł wioseni1;r- le tni;n okrssj e 1982 roku dla sz eregu podstawowego { V ₀ ^{) oraz}

drugiej ( V

2 ) ¹ siódne j ( V _{7 )} rózr.ic:y w artcści procssu

164 •

- _- ^X

~

~

\...

tO

0 , 8

0~6

0 , 4

0 .2

o

-0.2 1 ,0

0 ,8

0 , 6

0.4

0 .2

o

-0,2

o

ząiG !II E\ 1 ;JIWOŃ ^l J t\tiUSZ S rAt!I _ §tANS I\1

V ^o

s ::O

l J _• ^~ l •

l

l ^{l •} . l " _{l l l} ^l

5 ^{1 0} 15 20

k 25 30 3 5

Rys. 2. Wykresy funkcji autokorelac ji ^{czą s tkowych} szeregu czasowego obserwacj i ^~ w ego ^zużycia wody w ^Łodzi w w iosenno-le t nim okresi e 1982 r. dla s zeregu ^{pods ta~}

( ~

0 ) oraz s iódmej różnicy w artości procesu ( V ₇ )

wi ednimi kwan tylami rozkł adu ^{X: 2} . Je2:eli Q jest mniejsze od stablicowane j wartoś;i

k rytyczne j akr' t o n ie m a pods taw ^do odrzucenia hipotezy o p raw idłow~~ dopasówaniu model u na poziomi e tsto tno śc l r ó w nym r zędowi kwanty la. Wartości Okr ^{określono jako}

95-ci o procentowy kwanty l rozkładu ^{x. 2 o N -p stopniach s.-K)body .}

Skutecznym , e f ek tywnym ś rodk iem dla w ykrywan ia okresowych odchyleń oc lasowaści

na ^tle białego s z umu jest tzw . uno rmowany pe r i odogram s kunu1o wany . ^\olgdiug definic ji periodogram szeregu czasowego r eszt (E-., ' t

H •

J( fi } = ~ r( ^{~> f.,t co s 2 -;! f . t) 2 • (}

L.

t:: l ^l

• '

~ 1.,2 . .. , N j j est o kre_?lor.y j aku:

N _{~ r} _ z ¹ _' Z ^{t-t sin 2 Jl f} ₁ ^{t ) l}

t :: l

(7)

gdzie:

fi : n ^{jes t c zęstotl i wości~ .}

Sezonuwy, l i mowy model procesu poboru 165

ll'ygodnit1j::>zy "' ^{użyciu i} pozwalający na dokonywanie porównań różnych typów modeli dopaso.:anydh do tego ~amego szeregu czasowego jest periodogram unormowany postaci:

[Jdzie:

j

~ J(f.)

i=l ^l

C(fj) N. s2 (B)

f,

s~ - estymator wariancji szeregu reszt,

j - j : N/2 dla N parzystego lub j

=

(N-l)/2 dla N nieparzystego.

Dla białego szumu wykres C(fj) układa się wzdłuż prostej łączącej punkty (O, O) i (O,S; 1). Wykrywanie błędnie dopasowanych modeli polega na stwierdzeniu znacznych systematycznych odchyleńperiodograau od tej proste~Wówczas szereg reszt nie jest czysto losowy i zachodzi podejrzenie O· ni~ieMiości dobranych okresów. Ola-

~ego testu tego używa się szczególnie chętnie do badania reszt modeli sezonowych [1]. Przykładowe wykresy autokorelacji reszt

tt

^{oraz t~stu} (6) pokazano na rys. 3.

Wynika z nich, że w praktyce wystarczającą zQodność między modelem a szeregiem za- obserwowanym uzyskuje się stosując sezonowy proces autoregresji trzeciego rzędu

ARO) dla siódmych rótnic wartości szeregu {. qt) .

Potwierdza to także wykres periodogramu skumulowanego dla tego modelu, który przedstawiono na rys. 4. Jego odchylenia od prostej białego szumu mają charakter przypadkowy i wynikają z błędów estymacji parametrów modelu. Wartości tych odchyleń

nie przekraczaj~ jednak wielkości dopuszczalnych określonych 25-cio procentowym prze-

działem ufności wg Kołmogorowa. Dla ir~ych lat i okresów sezonowych otrzymano nieco

różniące się wyniki: niekiedy okazało się konieczne uwzględnienie w modelu podwójnych siódmych różnic wartości szeregu. Z tego względu w opracowanym przez autorów i poka- zanym na rys. ) algorytmie doboru modelu sezonowego AR zastosowano iteracyjny cykl Jego identyfikacji i diagnostycznego sprawdzenia. Obliczenia są realizowane za pomo-

cą progr·arru k~uterowego AR 123 w języku FORTRAN 77 dla systenJJ minika!l)uterowego SM-4/20.

·5. Pods•.l!lla~anie i wr1ioski końcowe

Zasto~~an1e stannardowych metod analizy szeregów czasowych może prowadzić do budowy modeli stochastycznych typu ARIHA aproksymuj~tcych przebieg procesów rzeczy- wistych czasowymi fuokcjami rozmaitych zmiennych losowych. Wykorzystywanie ich w praktyce jest bardzo wygodne, ponie1<.· ~. oszacowania parametrów są dokonywane jedy-

"le nc podstawie da01ych określających konkretną realizację procesu, a dodatkowo

tsti"lieJe możliwość łatwej i~h korekty w miarę dopływu informacji o procesie.

Zaprezentowany li01owy, sezonowy model autoregresyjny AR procesu dobowego zu-

życl& ~oóy w miastach charakteryzuje się oszczędną parametryzacją, małym nakładem o~l1czeń i jest ~ystarcZ2JqGO efektywny dla potrzeb praktycznych. Bazuje on na źwery­ fli(O">łany"' przez autorów załczeniu, te szeregi siódmych lub podwójnych siócbych róż- '' l C war tośc1 procesu są w przybliżeniu stacjonarne, o czym świadczy zbie.tność szere-

gu wag ''t' k procesu. t-Ddcl ~en po zastosowaniu standardowej tedniki równań rcUnico-

.., o ^:::0

0. 0'<

N- ^III :J p .

... :::0

n-~...-J ,... ..

;("_, Q,) .... ::E

f'1 '<

rl-O. ::s:"

o .., ..,

~s~

).o.. ' ...

'<:

"U C m H>

'"'OC

x ^>.i-

ro ::.o n

(JJ ...

~...~.

C N,._.

.

_~

^'-" _Q)

r- c

O· rl- ..-..

Cll-1 0

N- N ::s:"

• co o

("j..,

o. ~-· · ltl O Cllt-

0' CD ^OJ

q o ,'")

a; '-'•

(1)

l>· l-'.

::0 N ' " ' t.n

C \,..;N

"' ^..._,

^(';)

'< ..,

("l c.. ^(l)

1-· '""'ID

ro :» ~' L. t'•

o .... ..,

O O. Q '< ^{,.., ..} ~ ^{t.n N} o ...

~· n

.., ::1 ' c.,

(~

(l)

Ul 1-'· N l!t:l:J o

t•· o o

~ ~·~

~ _l ^{l:J· '< o()}

( l

^:'3 ó ^=r

... ::r ^Q.

C'll ()

..,. Ul ... ..

:J ... .... .

.... . o.

1 - ~ł ::l

•.o · <

^,('!)

C:OtiO

~-~

:r C':

... , ""'"'O o ... ..

~..t ro

C X '1

. .._.., <l ~

_, N

- ~

- _-· ^~

. 1,0

0 , 8

0. 6 0.4

0.2

o

-0,2 -0. 4

AR (1 ), \1

7

Q: 98,56; ^Qkr=41.3

'-~ ^{1, 0} 5 10 1 5 20 25 30 k

O,S

0, 6

0,4 0. 2

A R (1} \) 7 ^X \}7

Q= 178,95 ; QKr= 41,3

\ l • . .

o -+ ^l

- 0 . 2 ^~ •

-0 _• 4 - 0,6

• • •

o s l ^{10 1 5 20 25 30}

k

AR (2), . V

7

O= 7 8 ,2 9 i Okr= 40 ,1

6. , , , ^~ .. , ; b ^{i , ~~ n} ió ^{i i} is " io

k

A ^{R ( 2) \/7 X} \J ⁷

o= ^{14 4, 86 ; a~ r ~ 40 ,1}

• • • •

l' ^{l l} 'l ^{i l l f} l" ^{l i} l ⁱ li') ^{11 iT} p ¹¹ q

o ^{5 1} o 15 20 25 30

• k

AR (3 ), 'J

7

Q = ³⁸ ,72 ; Qkr=38 ,9

!l .. ^li IL. ^{! • r L}

---· ^{111' l}

o, ^{··~n i} ;sl1 ^{;~.·;b, ,} ₂ ^~ ' ;h

k

AR ^{( 3)} _{\]7 X \)7}

Q = s ^{5 , 38 ; akr : 38 . 9}

J l

•

!

l l l ^{. l}

^l

.

1 ^{i t i i} 1 ^{i t r 1} 1 ^{r 1 t r} 1 ' ^{t np 1 t 1 p 1 11} 1

o ^{5 1 0 1 \ 20 25 '30} l

....

O)

O'l

S3 '"'"i

~ H

m a:

tJ) ...

^~

~ Z•

~

'-' _{):1 •}

Cll ~

N

~ )>

..."

·-

~ H

~ ~

H

:....

t= u

- ^::a ~

s

Sezonowy, liniowy model procesu poboru w ody .. .

' 16 7

~ 1,0 r---r--..----

d E

~ 0,9ł

~ o

·c GI

c. 0,8

. 0, 7

Oli

o,sl

l 0,4

0,3 l

0,2 t ///

0 . 1

o

184

/

"

/

/

/

.. ..

/ /

/

•

•

• •

/

/

0 , 1

/

/

/

"

"

/

/ /

"

/

,.

/ /

/ / /

0,2

/ /

/ /

/ / / / /

•••

/

/ / ·

/

4

/

/ /

0.3

/ /

/

/

•

/ / /

/

/

/

• /

/

/

/ / /

/

/ / /

0,4 . 0,5

częstottiwos~

2

dcres

Rys . ~- Skumul~any periodogram unormowany reszt dla modelu AR ( 3)\7

7 . lódt , wiosenno - letni ^okreS 1 982 roku

1 6 8 Z BIGNIEW S f~ UŃ; J ANUSZ STANISŁAWSKI

t

Szereg czasowy obserwacji w sezonowym .. okresie roku [q ^{t- t = 1.2 •... , N}

~---~~~---·-

s=O p=1

..__ _ _ - r - - - - ' .

Estymacja funkcji autokorelacyjnych rk(k) i rkk(k)

Estymocja porometrów procesu

Estymacja funkcji wag [ "Yj]

'ó ^{= 1 i 1tlj} _=~ ^{'fp,ptk • Vj-p--k}

k <j-p

li m V =O

- ~00 J

T

-

N

Estymocja funkcji autokorelacyj - nych reszt rk(k) i rkk ( k)

Obliczenie statystyk i

k 2

O = N · Llr. l

k=1 k

T

STOP

Q

N

p=p+1 N

p=3

p=1

T T s::O

p:1~

N Model klasy

AR , (p.s)x (p 1 ^,sł

T

Rys . 5. Algorytm wyboru modelu p róbnego w '< l 3sie sezonowych p roces ów autoregresji

S ezor.owy, lin iow y model _ procesu poboru wody . . .

~- ~---~---~~ 169

w ycn pCJzwnla szybko uzyski wać prognoz y w róż nym horyzoncie c zasowym, a równocześnie uz · ~ ęki skons truc>Wanw ^go . JaK o rekursyw nego ( w katdym kroku po otrzymaniu ^nO'flej por-

c..ji danych l'WZględr.i:~ Je i generuje na wę wartość prognozy ), jest dynamic1nym.

~2al~LOWa~e pkzez autorów badania ^dotyczące stochastycznego modelowania i prog- nozowsnia pracesu zuz ycla wody w rr.i asta ch (ich wyniki za preze ntowa no m. in . w pra-

c c;ch [ 6- 9] , ma ję na c el u siarmuło wa n ie efektywnych ⁱ równocześnie oszczędnych pod

wzgJ ęden1 parometry ' z3cjl ^{i nakł adu oblic z eń} metod prognozowania, nadających się do

be zpośred!liego wykcnystar.ia w 3lgorytmach op tyma lnego sterowania szeroko pojętym

p rocesem zaopa t;. zenia w vmdę mi as ^{t i} regionów.

r l,

• -

l •

- 1

:> _{_f} •

[ ~~

Litaratura

Box G. E.P. , Jenld.r1s G. N. - Time S eries Analysi s fo recasting ^and Contrn l,

HoJ. den-d ay , San ^{F rr~nci sc o .} 1976 .

Cichel~sv ili z. - ^{Mooe li rowanije} proces5a vodopot~eblenija si s tem vodosnab-

~enija Materiały z honft>renc ji Sympoz jum ,.Zutycie w ody w odociągo wej ", 6 1ałystok , :::.. le.'l-l9E! ., l%~.

H\ll"r'fre l J. , Nesi:ler W. , ^Kittner H . , Lu ckner L. - Wasse rbedarfprogno s e mi t Hi lfe

vor. Si gnalmodellen. ^Materiały z SympozjtJm .. ^Zużycie wody ^{wodoc iągowe j}

¹¹

^, s. 264-281 . _• l9B~ .

N estlar W. , Luckner

^{ł L.. • ,}

Hurrrne l J . - Oie Nu tzung von -Signalmode llen zur

~ łasserbedarfprognoss als Basis e1ner effektiven Steuerung von Wasserversorg ungs- p r oces '3en, \'iBsser,o~ i rtschaft-Wasse rtechnik t. 32 ^rrr 12, s . 41A - - 418, 198 2.

L ^{~ ~ ?aw!.ak A. , ~helcC~r zewis z E. W. - Op ra co wG~ nie me tody, p rogramu i. z} asad jego ^wy-

korzys-ta n ia ^{IJ (l} ste rmtan12 poopo~ .'n iami zas1lajęcymi sys temy zaopa trzenia w wo-

dę. R aport Instytut u Inż. Ochro ny Środowisk~ Politechniki Wrocławskiej,

Wroclaw , l9 SS L - ^{6 -.} - ¹

. - il l_ 7

^l

Siwoń Z. - Mode J. ow<mie proc;es u zużyc1a ~ody i prognoz owanie za potrzebowania

na ^wodę~ miast ach. Mono9ra fia . Wydaw nict wa Pol itechni ki Wrocławskiej ,

~lroe;ła ~v , l9ac .

Siwoń Z. Pro blemr progr.ozowama w projektow aniu i procesa ch optyma lnego

ster ow a11ia sys t en:ami zr.opa t rzenia ^w w odę m ias t. Mat . konf. nauk . -teci JiJ .

.,Węz! ovJt ~ probl emy inż .., ·nienl ś r J awiska w m akroreg ionie płd . -zach .' ' , Jelenia

Gćra , l98S.

-

^~

L ^{3 ; Si vmr'l Z. , Stan} bła<·Jski J . - Opracowanie stochastycznego roodel u zużycia wod y

~

w a 9l~ne ra ~ j i tniej ako-przemysłowej. Raport Inst. Inż . Ochr . Srod. Politech-

n.tkl Wrocławsk iej , SPR nr 50/84, i(rocław 1 984 . ,.. - •

L ~~ S.lvror'l ^{Z. ,} S t~ n J.sł a wski ^{j -} Prognczowanie zapotrzetxJwa nia na wodę w f:".iastach d a ;:;ot r zeb sterowan ia ¹ kor-troli proceeów zaopa trzeni a. GWiTS T o m 59 nr l,

- l · - ·cne;.

;:.:,. 4-1 1, l..-n .... .

Ooc. dt hao . i!'l2' . Zbi~iew ^{S i} WOń ^{- Pllli tedYlika} Wrocł~WSka, ^dr tł't. ^Janusz StanisłiJWSI<i

Wyzsza Szkoła ln:tyniersKa w Zielonej Gór18.