całki pojedyncze NUMERYCZNE CAŁKOWANIE

(1)

CAŁKOWANIE

NUMERYCZNE

całki pojedyncze

(2)

Kwadratury interpolacyjne

(3)

Rozpatrujemy funkcję

f(x)

ciągłą i ograniczoną w przedziale domkniętym

[a, b].

Przedział

[a, b]

dzielimy na skończoną liczbę podprzedziałów, wyróżniając na osi

x

zbiór punktów:

0 1 2

...

_i _i 1

...

_n

a  x   x x    x x

_

  x  b

Punkty

x

_i

, i = 0, 1, ..., n

tworzą siatkę o stałym kroku (z reguły):

1

const

i i

x

_

   x h

(4)

(5)

Z własności całki oznaczonej wynika, że:

1

0

1

0

( ) d ( ) d

n i

i

x b n x

x a i x

f x x f x x

  

 

 

 

Oznaczenie:

1

( ) d

i

x i

x

f x x



  

(6)

Istota metody kwadratur interpolacyjnych

Przybliżenie funkcji podcałkowej

f(x)

w przedziale

[x

_i

, x

_i+1

]

lub przedziale odpowiednio poszerzonym wzorem interpolacyjnym

1 1

( ) d ( ) d

i i

x x

i

x x

f x x W x x

 

    

W(x)

– wielomian interpolacyjny

(7)

Wyprowadzenie wzorów przybliżających wartość całki w przedziale

[a, b]

Wielomian interpolacyjny

I. wzór Newtona

( 1)

2

( ) ...,

2!

i

i i i

x x

W x y q y q q y q

h



       

(8)

Metoda prostokątów

(9)

Niech:

( )

_i

, [ ,

_i _i 1

] W x  y x  x x

_

Oznacza to:

f(x)

w przedziale

[x

_i

, x

_i+1

]

jest przybliżona wielomianem interpolacyjnym ograniczonym do pierwszego składnika

f(x)

na odcinku

[x

_i

, x

_i+1

]

zastępujemy linią poziomą

(10)

1 1

( ) d d

i i

x x

i i

x x

f x x y x

 

    

Wprowadzamy podstawienie:

1

, d 1 d , 0, 1

i

i i

x x

q q x x x q x x q

h h

^

        

Otrzymujemy:

1 1

0

d d

i

x

i i i i

x

y x h y q hy



     

(11)

1 1

0 0

( ) d

b n n

i i

a

f x x h y

 

 

    



Wzór prostokątów:

1

0

( ) d

b n

i a i

f x x h y





 



(12)

Wzór prostokątów z niedomiarem:

1

0

( ) d

b n

i a i

f x x h y





 



Wzór prostokątów z nadmiarem

(wyprowadzany z II. wzoru Newtona):

1

( ) d

b n

i a i

f x x h y



 



(13)

Metoda prostokątów

z niedomiarem Metoda prostokątów z nadmiarem

(14)

Przykład

Obliczyć wartość całki, korzystając ze wzoru prostokątów:

 

5

2 1

2 d x  x

 ^ ⁴⁹ ¹ ₃

( ) d

b

a

f x x

 ^{f x} ^{( )} ^ ^x

²

^ ² ^a ^ ¹ ^b ^ ⁵

(15)

4 n 

Ilość podprzedziałów:

Krok całkowania:

5 1

4 1 h b a

n

 

  

0

1 0

2 0

3 0

4 0

1 1 1 2

2 1 2 1 3 3 1 3 1 4

4 1 4 1 5 a x

x x h

x x h b

 

    

     

      

2

0 0

2

1 1

2

2 2

2

3 3

2

4 4

( ) 1 2 3

( ) 2 2 6

( ) 3 2 11 ( ) 4 2 18 ( ) 5 2 27 y f x

y f x y f x y f x y f x

   

(16)

Wzór prostokątów z niedomiarem:

1 3

0 0

n

i i

h y h y



 

   ^ ^{h y} ⁽

⁰

^{ } ^y

¹

^y

²

^ ^y

³

⁾      1 (3 6 11 18)  38

Wzór prostokątów z nadmiarem:

4

1 1

n

i i

h y h y

 

   ^ ^{h y} ⁽

¹

^ ^y

²

^ ^y

³

^ ^y

⁴

⁾      1 (6 11 18 27)  62

(17)

(18)

Niech:

( )

_i _i

, [ ,

_i _i 1

] W x    y q y x  x x

_

Oznacza to:

f(x)

w przedziale

[x

_i

, x

_i+1

]

jest przybliżona wielomianem interpolacyjnym ograniczonym do dwóch pierwszych składników

(19)

1 1

( ) d ( ) d

i i

x x

i i i

x x

f x x y q y x

 

      

 

1

1 0

( ) d 1

i

y

i

q y

i

q 2 h y

i

y

i_

      

Wykorzystujemy podstawienia jak przy metodzie prostokątów:

(20)

1 1

1

0 0

( ) d

2

b n n

i i

i

i i

a

y y

f x x h

 



 

  

    

 

 



Wzór trapezów:

1 0

1

( ) d

2

b n

n

i a i

y y

f x x h y





  

      



(21)

Metoda trapezów

(22)

Przykład

Obliczyć wartość całki z poprzedniego przykładu, korzystając ze wzoru trapezów:

 

5

2 1

2 d 49 1 x  x  3



Przedział całkowania podzielony, jak w poprzednim zadaniu:

4 n 

Punkty

x

_i i wartości funkcji w tych punktach

y

_i są identyczne jak w poprzednim przykładzie

(23)

1 3

0 0 4

1 1

2 2

n n

i i

y y y y

h y h y



 

 

       

   

     

0 4

1 2 3

2 y y

h   y y y 

       

1 3 27 6 11 18 2

  

          50

(24)

Wzór Simpsona

(25)

Niech:

2

1

( 1)

( ) , [ , ]

i i

2!

i i i

W x y q y q q  y x x x

_

     

Oznacza to:

f(x)

w przedziale

[x

_i

, x

_i+1

]

jest przybliżona wielomianem interpolacyjnym ograniczonym do trzech pierwszych składników

(26)

Przedział

[a, b]

dzieli się na parzystą ilość podprzedziałów.

Pole pojedynczego trapezu krzywoliniowego:

 

2

0

2

0 0 0 0 0 1 2

( 1)

d 4

2! 3

x

q q h

y q y  y x y y y

 

             

(27)

Wzór Simpsona:



0 1 2 3 2 1



( ) d 4 2 4 ... 2 4

3

b

n n n

a

f x x  h y  y  y  y   y

_

 y

_

 y



(28)

Przykład

Obliczyć wartość całki z poprzednich przykładów, korzystając ze wzoru Simpsona:

 

5

2 1

2 d 49 1 x  x  3





0 1 2 3 2 1



( ) d 4 2 4 ... 2 4

3

b

n n n

a

f x x  h y  y  y  y   y

_

 y

_

 y 





0

4

1

2

4

3 4



3 h y y y y y

     

 

1 3 4 6 2 11 4 18 27

        1

 49

(29)

(30)

Rozpatrujemy funkcję

f(x)

ciągłą i ograniczoną w przedziale domkniętym

[a, b].

Pierwszy krok:

Sprowadzenie całki

( ) d

do postaci znormalizowanej:

b

a

f x x



1

( ) d F



  

(31)

Normalizacja

Podstawienia:

2 2

b a b a

x  

   d d

2 x b a 

 

1 x a , 1 x b

        

(32)

1 1

( ) d d ( ) d

2 2 2

b

a

b a b a b a

f x x f F

 

    

        

 

  

Czyli:

( ) 2 2 2

b a b a b a F    f        

 

(33)

Przykład

Całkę sprowadzić do postaci znormalizowanej:

5 2 1

( x  2) d x



2 2

b a b a

x  

   5 1 5 1

2 2

x  

      3 2

d d

2 x b a 

  5 1

d d

x 2 

   2 d 

(34)

5 2 1

( x  2) d x



¹

 ^ ^

²



1

3 2 2 2 d



 

        

¹ ²

1

8 24 22 d



 

        

( ) 8

2

24 22

F      

(35)

Znormalizowaną funkcję podcałkową

F()

w przedziale

[

–

1, 1]

przybliża się wielomianem stopnia

2n–1

2 2 1

0 1 2 2 1

( ) ...

_n ⁿ

F   a       a a a

_



^

Następnie obliczamy wartość przybliżoną całki oznaczonej:

1

1 1

( ) d ( )

n

i i

i

F F w

 

    





_i – odcięte tzw. punktów Gaussa,



_i

[

–

1, 1]

w

_i – współczynniki nazywane wagami

n

– ilość punktów Gaussa

(36)

n 

_i

w

_i

2 – 0.57735 0.57735

1.00000 1.00000

4 – 0.86113 – 0.33998 0.33998 0.86113

0.34785 0.65214 0.65214 0.34785

Wagi i odcięte punktów Gaussa dla różnych wartości

n

(37)

Przykład

Obliczyć wartość całki oznaczonej z poprzednich przykładów kwadraturami Gaussa dla

n = 2

.

Funkcja podcałkowa po normalizacji:

F ( )       8

²

24 22

(38)

2

1 1 2 2

1 1

( ) ( ) ( ) ( )

n

i i i i

i i

F w F w F w F w

 

      

 

2 2

1 1 1 2 2 2

8 24 22 w 8 24 22 w

   

                

2

8( 0.57735) 24( 0.57735) 22 1 8(0.57735) 24(0.57735) 22 1

 

        

 

       49.33328

(39)

Przykład

Wyprowadzić kwadraturę Gaussa dla przypadku

n = 2

.

2 3

0 1 2 3

( )

F   a       a a a

Powyższą funkcję całkujemy w przedziale

[

–

1, 1]

:

1 1

2 3

0 1 2 3

1 1

( ) d d

F a a a a

 

 

            

 

1

2 3 4

0 1 2 3

1

1 1 1

2 3 4

a a a a



 

           

⁰ ²

2 2

a 3 a

  

(40)

1

1 1 2 2

1

( ) d ( ) ( )

F F w F w



      



 ^a

⁰

^a

^{1 1}

^a

^{2 1}²

^a

^{3 1}³

  ^w

¹

^a

⁰

^a

^{1 2}

^a

² ²²

^a

³ ²³

 ^w

²

              

 

  

² ²

 

³ ³



0 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 3

2a a w w a w w a

            

(41)

Porównujemy współczynniki przy

a

₀

, a

₁

, a

₂

, a

₃

ze wzorów



ⁱ



1 2

1 1 2 2

2 2

1 1 2 2

3 3

1 1 2 2

2 0 2 3 0

w w

  

 

    

 

   

 

   



skąd:

w  1 w  1    0.57735   0.57735