ĆWICZENIA, CAŁKI POTRÓJNE Obliczając całkę potrójną zamienimy ją na trzy całki pojedyncze. Istotne są dwie rzeczy:

Obliczając całkę potrójną zamienimy ją na trzy całki pojedyncze. Istotne są dwie rzeczy:

• opis obszaru, po którym całkujemy,

• zauważenie, przy liczeniu całek, co jest zmienną, a co traktujemy jak stałą.

Czasami podstawiamy współrzędne sferyczne (przykłady były omawiane na wykładzie) lub walcowe.

Wzorów na zastosowanie całek jest mnóstwo (momenty sta- tyczne, momenty bezwładności,...); jak zwykle, jak będzie potrzebny wzór, to go podam.

ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI

PRZYKŁAD 1. Oblicz masę bryły B ograniczonej powierzchniami:

y = 0, y = 6, z = 4 − x

²

, z = 0, gdy gęstość γ(x, y, z) = x

²

.

Zastosujemy wzór m =

^RRR_B

γ(x, y, z)dxdydz.

z = 4 − x

²

6 4

−2 2

1

1

x

y

1

z

0 −2 2

1

1 2

3 4 5 6

x y

0

Naszą bryłę możemy opisać tak:

B : {(x, y, z) : −2 ¬ x ¬ 2, 0 ¬ y ¬ 6, 0 ¬ z ¬ 4 − x

²

}

1

Liczymy całkę zamieniając ją na trzy całki pojedyncze:

m =

^ZZZ

B

γ(x, y, z) dxdydz =

^ZZZ

B

x

²

dxdydz

=

^{Z 2}

−2

"

Z 6 0

Z 4−x²

0

x

²

dz

^

dy

#

dx =

^{Z 2}

−2

"

Z 6 0



x

²

· z

^z=4−x

2

z=0

dy

#

dx

=

^Z₋₂^{2 Z 6}

0

[x

²

· (4 − x

²

) − x

²

· 0]dy

^

dx =

^Z₋₂^{2 Z 6}

0

(4x

²

− x

⁴

)dy

^

dx

=

^{Z 2}

−2



(4x

²

− x

⁴

) · y

^y=6

y=0

dx =

^{Z 2}

−2

(4x

²

− x

⁴

) · [6 − 0]dx

= 6

^{Z 2}

−2

(4x

²

− x

⁴

)dx = 6 ·

^

4 · 1

3 x

³

− 1 5 x

^52

−2

= 6 ·

^

4

3 · 2

³

− 1

5 · 2

^5

−

^

4

3 · (−2)

³

− 1

5 · (−2)

^5

= 6 · 128

15 = 256

5 = 51.2

PRZYKŁAD 2. Oblicz masę bryły B ograniczonej powierzchniami:

y = 4, y = 2x, x = 0, z = 4, z = 0, gdy gęstość γ(x, y, z) = x + y.

Zastosujemy wzór m =

^RRR_B

γ(x, y, z)dxdydz.

4

2 1

1

x

y

1 4

z

0 2

1

1 2

3 4

x y

0

y = 2x y = 4

Naszą bryłę możemy opisać tak:

B : {(x, y, z) : 0 ¬ x ¬ 2, 2x ¬ y ¬ 4, 0 ¬ z ¬ 4}

Liczymy całkę zamieniając ją na trzy całki pojedyncze:

m =

^ZZZ

B

γ(x, y, z) dxdydz =

^ZZZ

B

(x + y) dxdydz

=

^{Z 2}

0

"

Z 4 2x

Z 4

0

(x + y)dz

^

dy

#

dx =

^{Z 2}

0

"

Z 4 2x



(x + y) · z

^z=4

z=0

dy

#

dx

=

^{Z 2}

0

"

Z 4

2x

[(x + y) · 4 − (x + y) · 0]dy

^

dx = 4

^{Z 2}

0

"

Z 4

2x

(x + y)dy

^

dx

= 4

^{Z 2}

0



x · y + 1

2 · y

^2y=4

y=2x

dx

= 4

^{Z 2}

0



x · 4 + 1

2 · 4

^2

−

^

x · 2x + 1

2 · (2x)

^2

dx

= 4

^{Z 2}

0

(4x + 8 − 4x

²

)dx = 4 ·

^

4 · 1

2 x

²

+ 8x − 4 · 1 3 x

^32

0

= 4 ·

^

2 · 2

²

+ 8 · 2 − 4

3 · 2

³

− 0

^

= 4 ·

^

8 + 16 − 32 3



= 160 3 PRZYKŁAD 3. Oblicz masę bryły B ograniczonej powierzchniami:

y = −x − 1, y = 0, x = 0, z = 0, z = 2 + x + y, gdy gęstość γ(x, y, z) =

_2+x+y^−2y

.

Zastosujemy wzór m =

^RRR_B

γ(x, y, z)dxdydz.

Powierzchnia opisana równaniem y = 0 to płaszczyzna x0z (zawiera się

w niej tylna ściana naszego pięciościanu). Powierzchnia opisana równa-

niem x = 0 to płaszczyzna y0z (zawiera się w niej prawa ściana naszego

pięciościanu). Powierzchnia opisana równaniem z = 0 to płaszczyzna

x0y (zawiera się w niej dolna ściana naszego pięciościanu). Powierzch-

nia opisana równaniem y = −x − 1 to płaszczyzna równoległa do

osi 0z (równanie tej płaszczyzny “nie ma z”, czyli możemy je zapisać

y = −x − 1 + 0 · z); przechodzi ona przez punkty (−1, 0, 0), (0, −1, 0)

(zawiera się w niej lewa ściana naszego pięciościanu). Powierzchnia opi-

sana równaniem z = 2 + x + y to płaszczyzna przechodząca przez

punkty (0, 0, 2), (0, −1, 1), (−1, 0, 2) (zawiera się w niej górna ściana

naszego pięciościanu).

z = 2 + x + y

−1

1

1 2

x y

1

−1 z

0

1

1

x

−1

−1

y

0

y = −x − 1 y = 0

Naszą bryłę możemy opisać tak:

B : {(x, y, z) : −1 ¬ x ¬ 0, −x − 1 ¬ y ¬ 0, 0 ¬ z ¬ 2 + x + y}

Liczymy całkę zamieniając ją na trzy całki pojedyncze:

m =

^ZZZ

B

γ(x, y, z) dxdydz =

^ZZZ

B

−2y

2 + x + y dxdydz

=

^Z₋₁⁰

"

Z 0

−x−1

Z 2+x+y 0

−2y

2 + x + y dz

^

dy

#

dx

=

^Z₋₁⁰

"

Z 0

−x−1



−2y

2 + x + y · z

^z=2+x+y

z=0

dy

#

dx

=

^Z₋₁⁰

"

Z 0

−x−1

[ −2y

2 + x + y · (2 + x + y) − −2y

2 + x + y · 0]dy

^

dx

=

^Z₋₁⁰

"

Z 0

−x−1

(−2y)dy

^

dx =

^Z₋₁^{0 }

−y

^2y=0

y=−x−1

dx

=

^{Z 0}

−1



−0

²

−

^

−(−x − 1)

^2

dx =

^{Z 0}

−1

(x

²

+ 2x + 1)dx

=

^

1

3 x

³

+ 2 · 1

2 x

²

+ x

^0

−1

=

^

1

3 x

³

+ x

²

+ x

^0

−1

=

^

1

3 · 0

³

+ 0

²

+ 0

^

−

^

1

3 · (−1)

³

+ (−1)

²

+ (−1)

^

= 1

3 − 1 + 1 = 1

3

ĆWICZENIA,

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE O ZMIENNYCH ROZDZIELONYCH Jest to równanie postaci:

g(y) · y

⁰

= f (x),

gdzie funkcje f oraz g są ciągłe w pewnych przedziałach.

METODA ROZWIĄZANIA.

Najczęściej spotykany jest następujący “dziwny” zapis - wyjaśnienia na wykładzie. Najpierw zamieniamy y

⁰

na

^dy_dx

, następnie traktujemy to wy- rażenie jak iloraz i mnożymy przez dx; gdy przekształcimy równanie do postaci, że z jednej strony mamy jakąś funkcję zmiennej x razy dx, a z drugiej strony równania jest jakaś funkcja zmiennej y razy dy (wtedy zmienne są ROZDZIELONE), to “dopisujemy” znak całki na początku lewej i na początku prawej strony tego równania, czyli postępujemy tak:

g(y)y

⁰

= f (x) g(y) dy

dx = f (x) g(y)dy = f (x)dx

Z

g(y)dy =

^Z

f (x)dx Wystarczy teraz obliczyć obie całki.

PRZYKŁAD 4. Rozwiąż równanie y

⁰

=

2y+sin y+cos y^x+x2

.

Oczywiście nie każde równanie różniczkowe jest równaniem o zmien- nych rozdzielonych. Nasze jest. Stosujemy schemat zaczynając albo od zamiany y

⁰

, albo od pomnożenia przez mianownik ułamka z prawej strony, by igreki znalazły się po stronie lewej (“rozdzielamy” zmienne).

y

⁰

= x + x

²

2y + sin y + cos y

dy

dx = x + x

²

2y + sin y + cos y |·(2y + sin y + cos y) (2y + sin y + cos y) · dy

dx = x + x

²

|·dx (2y + sin y + cos y)dy = (x + x

²

)dx

Zmienne są rozdzielone. Działamy dalej zgodnie ze schematem.

Z

(2y + sin y + cos y)dy =

^Z

(x + x

²

)dx y

²

− cos y + sin y = 1

2 x

²

+ 1

3 x

³

+ C

UWAGA. Stała C mogła być dodana do lewej strony. Zazwyczaj jednak pojawia się przy “x”.

UWAGA. Zauważmy, że w tym zadaniu nie dzieliliśmy przez żadną funkcję zmiennej y, a więc nie

“zgubiliśmy” żadnego rozwiązania.

PRZYKŁAD 5.

Rozwiąż równanie (y

²

+ y) · y

⁰

= y · (cos x +

_x2¹+1

).

To także jest równanie o zmiennych rozdzielonych. Stosujemy schemat.

(y

²

+ y) · y

⁰

= y · (cos x + 1 x

²

+ 1 ) (y

²

+ y) · dy

dx = y · (cos x + 1

x

²

+ 1 ) |: y y

²

+ y

y · dy

dx = (cos x + 1

x

²

+ 1 ) |·dx (y + 1)dy = (cos x + 1

x

²

+ 1 )dx

Z

(y + 1)dy =

^Z

(cos x + 1

x

²

+ 1 )dx 1

2 y

²

+ y = sin x + arctgx + C

Zauważmy, że “po drodze” dzieliliśmy przez y, “po cichu” zakładaliśmy

więc, że y 6= 0. Mogliśmy jakieś rozwiązanie “zgubić”.

Sprawdzamy, czy y = 0 jest rozwiązaniem “zgubionym”. Po prostu pod- stawiamy y = 0 do równania wyjściowego i sprawdzamy, czy lewa strona jest równa prawej.

L(y = 0) = (0

²

+ 0) · 0 = 0 P (y = 0) = 0 · (cos x + 1

x

²

+ 1 ) = 0 L = P

ODPOWIEDŹ.

Rozwiązania są opisane równaniami:

¹₂

y

²

+ y = sin x + arctgx + C, gdzie C ∈ R oraz y = 0.

DWA ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA właściwy numer zestawu to dwie ostatnie cyfry numeru indeksu,

na rozwiązane zadania czekam do 24.05.2020

[04] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 3, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2x + y.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = x+cos x+sin x e^y+cos y .

[05] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x², y = 1, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = y.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = x+cos x+sin 2x 1+e^y+cos y .

[17] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 2x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 1, gdy gęstość γ(x, y, z) = x.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x2_e^{+x+cos x}y+3y² .

[32] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = ¹₂x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 1, gdy gęstość γ(x, y, z) = y.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x2+cos x−sin x e^y+4y³ .

[53] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 3x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 3, gdy gęstość γ(x, y, z) = x.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^{4x−3 sin x}_ey+6y⁵ .

[56] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2xy.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^6x2_e^{−3 cos x}y−2y .

[58] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 2x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2x.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^{6x+5 sin x}_ey+7y⁶ .

[63] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 3x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 4, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2y.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^{8x−sin x}_ey−y .

[67] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 3, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^4x−e_y+6y^x5.

[69] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 4, gdy gęstość γ(x, y, z) = z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x+2e_y−5y^x4.

[70] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 1, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = _3y^x−22+5y⁴.

[74] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 4, gdy gęstość γ(x, y, z) = ¹₂z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = _{y+sin y}^4x+ex.

[75] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 2x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 3, gdy gęstość γ(x, y, z) = 18z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^{sin x+e}_{y+cos y}^x.

[77] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 2x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = xz.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = _{sin y+6y}^9x8+ex5.

[80] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 3x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = yz.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^{4x−cos x}_{y+sin y} .

[81] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 1 − x², y = 0, z = 0, z = 1, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = _{y+2 sin x}^4−ex .

[84] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x+2e_y4−y^x.

[86] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 2x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 4, gdy gęstość γ(x, y, z) = x.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = _y^x+e3+y^x5.

[87] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 3x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 1, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^4x+x_y2+y³².

[88] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 1 − x², y = 0, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = _x3(2y+cos y)¹ .

[89] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 2x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 6, gdy gęstość γ(x, y, z) = ¹₆z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x_y+y^9+e5^x.

[92] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 6, gdy gęstość γ(x, y, z) = x.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x_e⁸y^+x+y⁶.

[93] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 3, gdy gęstość γ(x, y, z) = x.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^4x_y−y^2+e5^x.

[94] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 2x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 3, gdy gęstość γ(x, y, z) = 2z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x_y+y^2+e3^x.

[95] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 2, z = 0, z = 4, gdy gęstość γ(x, y, z) = z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x−e_y−y^x3.

[96] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = x, y = 0, x = 3, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^x3_y+y^{+sin x}6 .

[97] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 4x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 1, gdy gęstość γ(x, y, z) = x.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = ^{cos x−e}_y+y2^x.

[98] (1) Oblicz masę bryły ograniczonej powierzchniami: y = 3x, y = 0, x = 1, z = 0, z = 2, gdy gęstość γ(x, y, z) = z.

(2) Rozwiąż równanie y⁰ = _{y+sin y}^8x+ex.