∫ Całkowanie numeryczne i funkcje całkowe

Całkowanie numeryczne i funkcje całkowe

Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne przeprowadzamy wtedy, gdy niemożliwe jest znalezienie analitycznej po- staci funkcji pierwotnej do funkcji całkowanej (lub gdy nie potrafimy tego zrobić). Oczywiście całko- wanie numeryczne daje nam całkę oznaczoną, czyli liczbę będącą wartością całki oznaczonej w gra- nicach, w których całkujemy.

I = ∫

a b

f ( x)dx

Przedstawiona zostanie tutaj metoda całkowania, zwana metodą trapezów. Oparta jest ona na inter- pretacji graficznej całki. Otóż całkę można interpretować jako pole powierzchni pod krzywą, będącą wykresem funkcji podcałkowej, jak na rysunku.

Jeżeli pole pod krzywą podzielimy na wąskie paski, a krzywą przybliżymy linią łamaną o punktach załamania na granicach pasków, to każdy pasek przyjmie kształt trapezu. Suma pól tych trapezów jest (w mniejszym lub większym przybliżeniu) równa polu pod krzywą, czyli wartością całki.

Pole pojedynczego paska pomiędzy punktami na osi 0X — xi a xi+1 wynosi:

I

= f (x

)+ f (x

)

2 ⋅(x

− x

)

i jest to nic innego jak znany Państwu wzór na pole trapezu. Można go też interpretować jako śred- nią z wartości funkcji całkowanej na krańcach paska pomnożonej przez szerokość paska. Suma wszystkich pasków daje wartość całki.

Ograniczenia co do funkcji całkowanej

Należy pamiętać, że takie całkowanie można przeprowadzić jedynie w przypadku, gdy funkcja pod- całkowa (czyli funkcja całkowana) jest dobrze określona na przedziale całkowania, za wyjątkiem skończonej liczby punktów. Oznacza to, że funkcja musi mieć ograniczoną wartość na całym prze- dziale całkowania (za wyjątkiem skończonej liczby punktów), a w tych szczególnych punktach musi mieć określoną granicę lewo i prawostronną (granice te nie muszą być równe). W przypadku wystę- powania takich wyróżnionych punktów, całkę dzielimy na kilka całek po obszarach pomiędzy tymi punktami. Jako wartość funkcji dla takich punktów przyjmujemy tę granicę, po której stronie leży obszar całkowania, który właśnie liczymy. Nie da się natomiast całkować w ten sposób funkcji, która w jakimś punkcie, nawet na brzegu, obszaru całkowania zmierza do nieskończoności.

Podsumowując ograniczenia metody:

1. Funkcja podcałkowa musi być określona na całym przedziale całkowania (żadnych punktów oso- bliwych, wybuchania do plus czy minus nieskończoności).

2. Funkcja musi być ciągła na całym przedziale całkowania (nie może być skoków funkcji). Jeśli ist- nieją punkty nieciągłości, to musimy podzielić obszar całkowania na podobszary ciągłe i je całko- wać, a później dodajemy te całki do siebie.

3. Funkcja musi być gładka na obszarze całkowania (tzn. musi mieć ciągłą pochodną — nie może być punktów załamania, „ostrych kantów” na wykresie). Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to po- stępujemy jak w punkcie 2., tzn. dzielimy odpowiednio obszar całkowania na podobszary.

4. Funkcja musi być dostatecznie wolnozmienna. Nie może być szybkich zmian wartości funkcji, któ- rych nie dałoby się uchwycić podziałem na paski, bo wtedy całkowanie nie ma sensu — nie dosta- niemy poprawnej wartości.

Przykładowe obliczenie

Jako przykład policzymy całkę funkcji

f (x )= x

2 ( ^{2−x 1−x ln x+1} )

w granicach od 0 do 1.

Jeśli się przyjrzymy dobrze funkcji, to ma ona w obszarze całkowania dwa punkty osobliwe: 0 i 1.

W punkcie 0 funkcja ta jest nieokreślona, bo ln(0) jest nieokreślony. W punkcie 1 występuje nato- miast problem dzielenia przez 0, ze względu na mianownik ułamka poprzedzającego ln. Można jed- nak pokazać, że w obu tych punktach granice funkcji są skończone i wynoszą w obu 0. Tak więc mo- żemy całkować w przedziale od 0 do 1.

Na początku należy przyjąć jakiś krok całkowania, czyli szerokość pasków, na które dzielimy pole pod wykresem funkcji. Im mniejszy krok całkowania, tym węższe paski i tym większa dokładność całkowania. Wiąże się to jednak z nakładem pracy.

W tym przykładzie przyjmiemy krok całkowania h=0,001. Ponieważ przedział całkowania jest od 0 do 1, więc mamy 1000 pasków (trapezów). Realizacja obliczeń w arkuszu kalkulacyjnym jest jednak bardzo prosta. Poniższe kroki opisują konstrukcję zrealizowaną na arkuszu Całka w dokumencie Całki.xlsx.

1. W kolumnie A wprowadzamy wartości x, które są granicami pasków. Robimy to w ten sposób, że wstawiamy serię wartości, poczynając od 0, z krokiem 0,001 i kończąc na 1. Jak to się robi, pokazy- wałem już w temacie dotyczącym równań różniczkowych.

2. W kolumnie B obliczamy wartość funkcji dla x z kolumny A. Ze względu na Wyżej wspomnianą właściwość tej funkcji w pierwszej komórce (wartość dla x=0) mamy błąd dziedziny funkcji, a w os- tatniej komórce (wartość dla x=1) mamy błąd dzielenia przez zero. Ponieważ, jak wspomniałem, granica tej funkcji w tych punktach istnieje i w obu wynosi 0, więc na tych miejscach możemy wpi- sać te wartości.

3. W kolumnie C liczymy powierzchnie pasków według podanego wcześniej wzoru na pole trapezu.

Wartość pierwszej komórki w kolumnie C dajemy równą 0, a następnie liczymy w kolejnej komórce pole paska, według wzoru na pole trapezu. Formułę tę kopiujemy wzdłuż kolumny.

4. Pozostaje już tylko zsumować te paski, co na arkuszu zostało zrobione w komórce F1. I to jest szukana wartość całki oznaczonej.

Funkcje całkowe

Funkcje całkowe, to takie funkcje, których wartość obliczana jest za pomocą całki. Najczęściej są to funkcje którejś z granic całkowania, np.

funkcja błędu:

erf ( x)= ∫

0 x

e

dt

sinus całkowy: si x=−

∫

x

∞ sin t

t dt jest funkcją dolnej granicy całkowania.

Wartości tych funkcji nie da się wyznaczyć za pomocą kombinacji funkcji analitycznych i muszą być obliczane w sposób numeryczny.

Inny przykład, to taki, kiedy znamy kształt funkcji podcałkowej tylko z tabeli jej wartości, wtedy całka nieoznaczona tej funkcji może być również przedstawiona w postaci tabeli wartości, jako funkcja całkowa.

Przykładowe obliczenie

Jako przykład funkcji całkowej policzymy sinus Fresnela

S (x )= ∫

0 x

sin(t

) dt

Zrobimy to w zakresie od 0 do 4 z krokiem 0,01. Poniższe kroki opisują konstrukcję zrealizowaną na arkuszu Funkcja całkowa w dokumencie Całki.xlsx.

1. Jak poprzednio, w kolumnie A wprowadzamy wartości x, które jednocześnie są wartościami t.

Robimy to w ten sposób, że wstawiamy serię wartości, poczynając od 0, z krokiem 0,01 i kończąc tym razem na 4.

2. W kolumnie B obliczamy wartość funkcji dla x z kolumny A. Tutaj nie mamy żadnych punktów osobliwych, więc w każdej komórce kolumny wartości są dobrze obliczone.

3. W kolumnie C liczymy powierzchnie pasków według podanego wzoru na pole trapezu. Wartość pierwszej komórki w kolumnie C dajemy równą 0, a następnie liczymy w kolejnej komórce pole paska, według wzoru na pole trapezu. Formułę tę kopiujemy wzdłuż kolumny.

4. W kolumnie D liczymy wartości funkcji całkowej w ten sposób, że sumujemy wartości z kolumny C od początku kolumny (od komórki C2) do danego miejsca. Najprościej jest to zrobić w ten sposób, że zakres sumowania w komórce D2 podajemy blokując adres początku =SUMA($C$2:C2), a na- stępnie kopiując tę formułę wzdłuż kolumny, co będzie skutkować zmianą końca zakresu sumowa- nia. Zależność kolumny D od kolumny A to właśnie tabelka funkcji całkowej sinus Fresnela.

Przykładowe obliczenie całki funkcji stabelaryzowanej

Przykład obliczania całki nieoznaczonej funkcji stabelaryzowanej zrobimy na przykładzie obliczonej już wcześniej prędkości skoczka spadochronowego. Jego prędkość opadania obliczyliśmy na pod- stawie równania różniczkowego. Teraz chcielibyśmy znać drogę jego opadania w zależności od cza- su. Gdyby prędkość była stała, to liczylibyśmy ją według wzoru s=v·t. Ponieważ jednak prędkość się zmienia, więc droga jest całką:

s= ∫

0 t

v (t)dt

Poniższe kroki opisują konstrukcję zrealizowaną na arkuszu Funkcja całkowa stabelaryzowana w dokumencie Całki.xlsx.

1. Do kolumny A kopiujemy wartości t, z kolumny A w arkuszu Skoczek w pliku rr.xlsx.

2. Do kolumny B kopiujemy obliczone poprzednio wartości v z kolumny C tego arkusza, ale wkleja- my je specjalne jako wartości.

3. W kolumnie C liczymy powierzchnie pasków według podanego wzoru na pole trapezu. Wartość pierwszej komórki w kolumnie C dajemy równą 0, a następnie liczymy w kolejnej komórce pole paska, według wzoru na pole trapezu. Formułę tę kopiujemy wzdłuż kolumny.

4. W kolumnie D liczymy wartości funkcji całkowej w ten sposób, że sumujemy wartości z kolumny C od początku kolumny (od komórki C2) do danego miejsca. Najprościej jest to zrobić w ten sposób, że zakres sumowania w komórce D2 podajemy blokując adres początku =SUMA($C$2:C2), a na- stępnie kopiując tę formułę wzdłuż kolumny, co będzie skutkować zmianą końca zakresu sumowa- nia. Zależność kolumny D od kolumny A to właśnie tabelka zależności drogi od czasu.

Odwracając tę zależność (czas spadania od wysokości) możemy zobaczyć ile czasu ma skoczek na otwarcie spadochronu, gdy skacze z zadanej wysokości. Z tabelki i wykresu widać, że skacząc z wy- sokości 500 m skoczek ma zaledwie 15 s na otwarcie spadochronu! Żeby sobie swobodnie polatać, to trzeba skakać z dużych wysokości (kilku kilometrów). Oczywiście mając specjalne ubranie, zwięk- szające opór, można ten czas wydłużyć.

Zadania do wykonania

1. Czas opróżniania zbiornika napełnionego do wysokości H z odpływem na wysokości h można obliczyć za pomocą całki oznaczonej:

T =− ∫

H

h

A

μ A

√ 2 g z dz = ∫

h

H

A

μ A

√ 2 g z dz

gdzie μ to wspólczynnik wydatku otworu, A0 powierzchnia otworu odpływowego, A powierzchnia lustra wody w zbiorniku i g przyspieszenie grawitacyjne. Jeśli zbiornik ma symetrię obrotową (jest walcem, kulą stożkiem, elipsoidą obrotową itp.) i ma otwór w dnie dokładnie w osi, to przyjmując r0 jako promień otworu, a R(z) jako promień zbiornika na wysokości z, otrzymamy:

T = ∫

h

H

π( R( z))

μ π r

√ 2 g z = 1

μ r

∫

h

H

( R(z ))

√ ^{2 g z dz}

Obliczyć ten czas dla trzech przypadków:

1) zbiornik jest walcem o promieniu R=1 m napełnionym do wysokości H=1 m, czyli:

R(z)=1 oraz T = 1 μ r

∫

h

H

1

√ ^{2 g z dz}

2) zbiornik jest odwróconym stożkiem ściętym (kształt donicy) o promieniu górnym 1 m, promie- niu dolnym 0,5 m napełnionym do wysokości H=1 m, czyli:

R(z )= 1

2 (1+z ) oraz T = 1 4μ r

∫

h

H

(1+z )

√ 2 g z dz

3) zbiornik jest elipsoidą obrotową napełnioną do wysokości H=1 m, której promień jest dany wzorem:

R(z)= z

+r

czyli T = 1 μ r

∫

h

H

( z

+ r

)

√ 2 g z dz

Całki obliczyć z krokiem 0,01 m. Współczynnik μ=0,5, promień r0=0,05 m, g=9,81 m/s² a wyso- kość otworu odpływu h=0,1 m.

2. Obliczyć funkcję całkową cosinus Fresnela w granicach od 0 do 4 z krokiem 0,01. I porównać jej wykres z wykresem funkcji sinus Fresnela.

C (x )= ∫

0 x

cos(t

) dt