VII Analiza dynamiczna konstrukcji z wbudowanymi tłumikami drga

Współczesna mechanika konstrukcji w projektowaniu inżynierskim

Modern structural mechanics

with applications to civil engineering

Andrzej Garstecki, Wojciech Gilewski, Zbigniew Pozorski, eds.

VII

Analiza dynamiczna konstrukcji

z wbudowanymi tłumikami drga ń

str. 181-202

VII

Dynamic analysis of structures

with built in dampers

pp. 181-202

Roman Lewandowski

Politechnika Poznańska

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska Instytut Konstrukcji Budowlanych

Słowa kluczowe: dynamika konstrukcji, tłumiki drgań, modele tłumików,

charakterystyki dynamiczne

Keywords: dynamics of structures, dampers, models of dampers, dynamic properties

VII ANALIZA DYNAMICZNA KONSTRUKCJI Z

WBUDOWANYMI TŁUMIKAMI DRGAŃ

Roman LEWANDOWSKI

Wstęp

Coraz częściej zachodzi konieczność stosowania tłumików drgań w celu zmniejszenia przemieszczeń dynamicznych różnego rodzaju konstrukcji inżynierskich. Obecnie buduje się konstrukcje większe, wyższe niż w przeszłości, z materiałów o podwyższonej wytrzymałości i oszczędniej zaprojektowane. Równocześnie konstrukcje te są bardziej wiotkie i przez to bardziej podatne na działanie obciążeń dynamicznych. Amplitudy drgań takich konstrukcji mogą być na tyle duże, że konieczne staje się ich zmniejszenie. Nadmierne drgania mogłyby w istotnym stopniu zmniejszać komfort użytkowania budynku (np. biurowca lub wysokiego budynku mieszkalnego) lub/i wywołać uszkodzenia wynikające ze zmęczenia materiału konstrukcji. Tłumiki drgań są też stosowane do ochrony konstrukcji przed skutkami drgań przekazywanych przez podłoże (np. do ochrony budynków w pobliżu linii kolejowych i linii metra). Tłumiki drgań umieszcza się także na mostach i kładkach dla pieszych po to by zabezpieczyć te obiekty przed drganiami rezonansowymi wywołanymi opływem powietrza (flatterem), ruchem pociągów lub/i przemieszczaniem się ludzi. Tłumiki drgań (zwłaszcza tzw. masowe tłumiki drgań) stosuje się w celu zmniejszenia drgań zarówno lekkich stropów, kominów stalowych jak i dużych przekryć dachowych (np. stadionów). W nowoczesnym budownictwie na terenach sejsmicznych stosowanie tłumików drgań do ochrony konstrukcji przed niszczącym działaniem trzęsień ziemi i działaniem huraganowych wiatrów staje się powoli rozwiązaniem standardowym.

Konstrukcje wyposaża się w różnego rodzaju tłumiki drgań, które w wielu przypadkach składają się na układy redukcji drgań. W ogólności rozróżnia się aktywne, półaktywne, pasywne i hybrydowe układy redukcji drgań. Obszerne omówienie najistotniejszych cech wyżej wymienionych układów redukcji drgań można znaleźć w pracach [6,29,30-33].

Pasywne układy redukcji drgań to takie układy, urządzenia lub tłumiki, których działanie nie wymaga zasilania z zewnętrznego źródła energii, a rozpraszanie energii w układzie redukcji drgań jest wywoływane ruchem konstrukcji. Pasywne układy redukcji drgań umożliwiają bezpieczne przenoszenie obciążeń dynamicznych i poprawiają komfort użytkowania budynku. Najbardziej popularnymi typami pasywnych tłumików drgań są strojone tłumiki masowe (nazywane również masowymi tłumikami drgań), tłumiki wiskotyczne, tłumiki lepkosprężyste, tłumiki cieczowe, tłumiki metalowe oraz tłumiki

tarciowe. Obszerny przegląd i omówienie pasywnych układów redukcji drgań można znaleźć w pracy [30].

Podstawowe zasady umożliwiające redukcję drgań można zilustrować, rozpatrując drgania układu o jednym stopniu swobody, którego równanie ruchu ma postać:

) ( ) ( )

( 2 )

(t x t ²x t p t

x^& + γω^& +ω =

& , (1.1)

gdzie symbole ω ^{i p(t)} oznaczają odpowiednio częstość własną układu i siłę wymuszającą odniesioną do jednostkowej masy.

Rozwiązaniem równania (1.1) jest [21]:

∫

⁻

+ +

= ^{− − −}

t

d t

d d d

t C t C t p e t d

e t x

0

) ( 2

1 1 ( ) sin ( )

) sin cos

( )

( τ ω τ τ

ω ω

ω ^{γω τ}

γω , (1.2)

gdzie ω_d =ω 1−γ² , a C₁ i C₂ to stałe wyznaczane z warunków początkowych ruchu.

Z matematycznego punktu widzenia, drgania można zmniejszyć trzema metodami:

a) redukując amplitudę siły wymuszającej,

b) zwiększając bezwymiarowy współczynnik tłumienia układu γ ^,

c) zwiększając różnicę między częstością drgań swobodnych i częstością wymuszenia λ aby nie wywoływać drgań rezonansowych.

Omówione powyżej koncepcje można starać się realizować, wykorzystując urządzenia (tłumiki) i systemy, które:

a) wywołują dodatkowe siły,

b) wykorzystują możliwości rozpraszania energii dzięki właściwościom lepkosprężystym i plastycznym materiałów, z których są zbudowane,

c) zmieniają częstości drgań swobodnych konstrukcji,

d) przerywają drogę przekazywania energii wymuszeń na konstrukcję.

Praca ma charakter przeglądowy, a jej celem jest możliwie przystępne wprowadzenie do problemów modelowania tłumików drgań i analizy dynamicznej konstrukcji z wbudowanymi tłumikami drgań. W szczególności rozpatruje się konstrukcje z tłumikami wiskotycznymi oraz z tłumikami lepkosprężystymi.

Słowa kluczowe: dynamika konstrukcji, tłumiki drgań, modele tłumików, charakterystyki dynamiczne

1. Modele tłumików drgań

Do opisu dynamicznego zachowania tłumików drgań używa się różnego rodzaju modeli reologicznych. Modele te składają się z rozmaicie połączonych elementów sprężystych, tłumiących, ciernych lub/i plastycznych. Wszystkie modele reologiczne tłumików drgań powinny spełniać pewne wymagania wynikające z drugiego prawa termodynamiki.

Wspomniane modele reologiczne spełniają to prawo, jeżeli dla wszystkich wartości częstości wymuszenia λ wartości modułu sztywności dynamicznej i modułu stratności (modułu tłumienia) modelu będą dodatnie. Definicje omawianych modułów zostaną podane w dalszej części rozdziału. Poniżej omawia się kilka najczęściej stosowanych modeli tłumików, ponieważ w dynamice budowli stosuje się różne modele i nie można wskazać jednego modelu, który byłby powszechnie akceptowany.

Bardzo popularnym typem tłumików są tłumiki cieczowe. Najczęściej są to cylindry zumieszczonym wewnątrz tłokiem i wypełnione cieczą. Cieczą tą może być olej mineralny,

żel sylikonowy lub inny płyn o dużej lepkości. Przykładową konstrukcję tłumika cieczowego pokazano na rys. 1.1.

Rysunek 1.1. Schemat tłumika cieczowego

W tłumiku pokazanym na rys. 1.1 ruch tłoka w cylindrze wymuszają względne przemieszczenia punktów konstrukcji, do których jest przymocowany cylinder i tłoczysko tłoka. Przesuwający się tłok ściska ciecz w cylindrze i wymusza jej przepływ poprzez małe otwory w tłoku z jednej komory cylindra do drugiej. Siły tłumienia są wywołane oporami ruchu cieczy.

Model używany do opisu dynamicznego zachowania niektórych cieczowych tłumików drgań składa się tylko z elementu tłumiącego pokazanego na rys. 1.2. Na tym rysunku pokazano model tłumika cieczowego jako element skończony, gdzie symbolami R~_i

, q~ _i (i =1,2,3,4) oznaczono odpowiednio podane w układzie lokalnym reakcje i przemieszczenia na końcach modelu, a symbolem c oznaczono współczynnik tłumienia.

R∼

1q∼₁

R∼

3 q∼3

c

R∼

2 q∼

2 R∼ q∼

4 4

x∼

y∼

Rysunek 1.2. Schematyczne przedstawienie tłumika cieczowego jako elementu skończonego Siłę u(t) w tym tłumiku wyznacza się ze wzoru:

)α

( )) ( ( )

(t csign x t x t

u = & & , (1.3)

gdzie x&=~q&₃ −q~&₁ jest prędkością przemieszczeń tłoka względem obudowy tłumika, a α - współczynnikiem. Ponadto, sign &(x(t))=1, jeżeli x&>0 oraz sign &(x(t))=−1 jeżeli x&<0.

Wartości współczynnika α zawierają się w przedziale od 0,3 do 1,95 (patrz [7]) i zależą od budowy tłumika. Tłumiki instalowane w budynkach po to, aby redukować drgania wywołane trzęsieniami ziemi mają współczynnik α równy około 0,5. W mostownictwie używa się tłumików, których wartość współczynnika α jest w przybliżeniu równa 2,0.

Tłumiki używane do redukcji drgań budynków poddanych parciu wiatru są często tak konstruowane, aby wartość współczynnik α był równy 1,0. Wtedy zależność (1.3) staje się liniowa, tzn.

) ( ) (t cx t

u = & , (1.4)

co w istotny sposób ułatwia analizę drgań.

Siły oporu są proporcjonalne do względnej prędkości tłoka, jeżeli przepływ cieczy ma charakter laminarny, prędkość przepływu jest mała, a częstość drgań nie jest zbyt duża.

Zazwyczaj taka sytuacja występuje wtedy, gdy tłumik jest używany do zmniejszania drgań wywołanych działaniem wiatru.

Często do opisu dynamicznego zachowania konstrukcji używa się metody elementów skończonych. W lokalnym i globalnym układzie współrzędnych równania tłumika wiskotycznego traktowanego jako element skończony można zapisać w postaci następujących zależności (porównaj rys. 1.2):

)

~ ( ) ~

~ (

t

t _{e e}

e C q

R = & , R_e(t)=C_eq&_e(t) (1.5)

gdzie symbole





















=

)

~ ( )

~ ( )

~ ( )

~( )

~ (

4 3 2 1

t R

t R

t R

t R

e t

R ,





















= )

~ ( )

~ ( )

~ ( )

~( )

~ (

4 3 2 1

t q

t q

t q

t q

e t

q ,





















=

) (

) (

) (

) ( )

(

4 3 2 1

t R

t R

t R

t R

e t

R ,





















= ) (

) (

) (

) ( ) (

4 3 2 1

t q

t q

t q

t q

e t

q ,

oznaczają wektory reakcji i przemieszczeń węzłowych odpowiednio w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych, a

















−

−

=

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1

~_e c

C ,





















−

−

−

−

−

−

−

−

=

2 2

2 2

2 2

2 2

~

~ ~ ~

~

~

~ ~ ~

~

~

~

~

~ ~ ~

~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

s s c s s c

s c c s c c

s s c s s c

s c c s c c

e c

C , (1.6)

są macierzami tłumienia elementu. Ponadto, ^~c =^cosα, ^~s =^sinα , a α jest kątem między osiami układu globalnego i lokalnego.

Inną ważną grupą pasywnych tłumików drgań są tłumiki tarciowe (cierne). Rysunek 1.3 przedstawia schemat przykładowego tłumika tarciowego. Składa się on z trzech płyt stalowych, pomiędzy którymi są umieszczone dwie warstwy materiału kompozytowego, którego rolą jest zapewnienie niezmiennych sił tarcia między warstwami tłumika. Płyty stalowe i warstwy materiału kompozytowego są ściśnięte śrubami sprężającymi wywołującymi odpowiednio dobrane siły sprężające. W tych tłumikach energia drgań jest zużywana na pokonanie sił tarcia między elementami tłumika. Tłumiki te są używane do zmniejszania drgań wywoływanych działaniem trzęsień ziemi i/lub silnych wiatrów.

Rysunek 1.3. Schemat tłumika tarciowego

Jeżeli tłumienie jest spowodowane tarciem dwóch powierzchni chropowatych to siła tarcia opisywana jest prawem Coulomba, tzn.

)) ( ( )

(t N sign x t

u =µ _d & , (1.7)

gdzie N jest siłą nacisku powierzchni tarcia na siebie, prostopadłą do stykających się _d powierzchni, µ współczynnikiem tarcia suchego, x&(t) prędkością przesuwania stykających się powierzchni względem siebie.

Informacje o tarciowych tłumikach drgań i opis metod analizy dynamicznej konstrukcji ztymi tłumikami można znaleźć m.in. w pracach [18,20,22,24].

Inną grupą pasywnych tłumików drgań są tłumiki lepkosprężyste. Tłumiki te w ogólności dzieli się na dwie grupy w zależności od użytego medium lepkosprężystego. Rozróżnia się tłumiki cieczowe, w których ciecz (np. olej silikonowy) ma właściwości lepkosprężyste i tłumiki z warstwą z materiału lepkosprężystego. Schemat tłumika cieczowego pokazano na rys. 1.1, a tłumik z warstwami z materiału lepkosprężystego przedstawiono schematycznie na rys. 1.4. Jeżeli ciecz użyta w tłumiku cieczowym jest cieczą o dużej lub bardzo dużej lepkości to do opisu zachowania tego tłumika należy użyć modeli bardziej złożonych niż model wiskotyczny. Typowy tłumik z warstwami z materiału lepkosprężystego składa się z dwóch warstw materiału o właściwościach lepkosprężystych przyklejonych do płyt stalowych. Jako materiału lepkosprężystego używa się kopolimerów (najczęściej akrylowych) lub substancji szklistych. Względne przemieszczenia punktów konstrukcji, do których jest przymocowana blacha środkowa i blachy zewnętrzne powodują odkształcenia postaciowe warstw materiału lepkosprężystego i rozpraszanie energii. Tłumiki te mogą rozpraszać energię także wtedy, gdy częstość siły wymuszającej jest mała.

Rysunek 1.4.Schemattłumikawykonanegozmateriałulepkosprężystego

Właściwości mechaniczne tłumików lepkosprężystych zależą od temperatury T , częstości wymuszenia λ oraz, w pewnych okolicznościach, od odkształceń. Właściwości te opisuje się za pomocą modułów sprężystości (the storage modulus) E'(λ,T) i modułów tłumienia (the loss modulus) E"(λ,T). Wielkości te zostaną omówione w dalszej części pracy.

Wpływ temperatury można uwzględnić w sposób przybliżony stosując zasadę równoważności temperaturowo – częstotliwościowej (the temperature-frequency equivalence principle lub the temperature–frequency superposition principle), która ustanawia zależność między efektami zmiany temperatury i zmiany częstości wymuszenia na właściwości materiałów lepkosprężystych [19]. Zasada ta stwierdza, że właściwości lepkosprężyste określone w różnych temperaturach można odnosić do siebie przez zmianę (przesunięcie) aktualnej wartości częstości wymuszenia. Do tej pory nie opracowano jednak metod pozwalających uwzględnić ten wpływ w obliczeniach dynamicznych. Badania tłumika

wypełnionego cieczą opisane w pracach [2,15,17] wskazują, że temperatura ma istotny wpływ na możliwości rozpraszania energii przez omawiany tłumik.

Do opisu dynamicznego zachowania tłumików lepkosprężystych stosuje się modele reologiczne różnego rodzaju. Najczęściej stosuje się proste modele Kelvina lub Maxwella [4,27,28]; ostatnio również uogólnione modele Kelvina lub Maxwella [11,20,21] oraz modele opisywane za pomocą tzw. pochodnych niecałkowitego rzędu [13,16,34]. Wypada także zauważyć, że proste modele Kelvina i Maxwella nie opisują poprawnie zachowania tłumików lepkospreżystych w zależności od częstości wymuszenia [11].

Model Kelvina składający się z, połączonych równolegle, elementu sprężystego i elementu tłumiącego pokazano na rys. 1.5. Zachowanie tego modelu opisuje równanie:

) ( ) ( )

(t kx t cx t

u = + & , (1.8)

gdzie k oznacza współczynnik sztywności elementu sprężystego, a x(t)=q~₃(t)−q~₁(t).

Rysunek 1.5. Schematyczne przedstawienie modelu Kelvina jako elementu skończonego Równania modelu Kelvina traktowanego jako element skończony, pokazany na rys. 1.5, i zapisane w układzie lokalnym i globalnym mają postać:

)

~ ( ) ~

~ ( ) ~

~ (

t t

t _{e e e e}

e K q C q

R = + & , R_e(t)=K_eq_e(t)+C_eq&_e(t) . (1.9)

Macierze tłumienia C~_e

i C są dane wzorami (1.6), a macierze sztywności zapisane _e odpowiednio w lokalnym i globalnym układzie współrzędnych są następujących postaci:

















−

−

=

0 0 0 0

0 1 0 1

0 0 0 0

0 1 0 1

~_e k

K ,





















−

−

−

−

−

−

−

−

=

2 2

2 2

2 2

2 2

~

~ ~ ~

~

~

~ ~ ~

~

~

~

~

~ ~ ~

~ ~

~ ~ ~

~ ~ ~

s s c s s c

s c c s c c

s s c s s c

s c c s c c

e k

K . (1.10)

Model Maxwella składa się z dwóch elementów: sprężystego i tłumiącego połączonych szeregowo w sposób pokazany na rys. 1.6. Na tym rysunku symbolem q~ oznaczono _d przemieszczenie punktu, w którym sprężyna łączy się z tłumikiem. W dalszym ciągu to przemieszczenie nazywa się zmienną wewnętrzną.

Rysunek 1.6. Schematyczne przedstawienie modelu Maxwella jako elementu skończonego Zachowanie modelu Maxwella najczęściej opisuje się za pomocą równania [21]:

) ( ) ( )

(t u t cx t

u +τ & = & , (1.11)

gdzie symbol τ =c /k oznacza czas relaksacji. Tłumiki stosowane w budownictwie mają zazwyczaj mały współczynnik relaksacji. Równanie (1.11) wynika z warunku równości sił występujących w obu elementach modelu.

W wielu przypadkach wygodnie jest posługiwać się tzw. zmienną wewnętrzną, którą oznaczać będziemy symbolem q~ t_d( ) (porównaj rys. 1.6). Jeżeli posłużymy się tą zmienną i uwzględnimy, że w obu elementach modelu panują jednakowe siły to zachowanie modelu Maxwella można opisać dwoma równaniami o postaci:

))

~( )

~ ( ( )

(t k q t q₁ t

u = _d − , u(t)=c(q~&₃(t)−q~&_d(t)) ^. (1.12) Opis modelu Maxwella traktowanego jako element skończony oraz opisy superelementów skończonych uogólnionych modeli Kelvina i Maxwella można znaleźć w pracy [11].

Istotną kwestią jest ocena możliwości rozpraszania energii przez tłumik. Energię rozpraszaną (dyssypowaną) E wyznacza się z zależności [10,19,21]: _d

∫

=

2

1

) ( ) (

t

t

d u t x t dt

E & _, (1.13)

gdzie symbole t₁ i t₂ początek i koniec przedziału czasu, w którym mierzy się tą energię.

Jeżeli tłumik wykonuje drgania harmonicznie zmienne x⁽t⁾=x₀^sinλt, gdzie x jest ₀ względną amplitudą drgań to energia rozpraszana (w trakcie jednego okresu drgań) odpowiednio przez tłumik wiskotyczny i Kelvina oraz przez tłumik Maxwella wyznacza się ze wzorów [10]:

2

x0

c

E_d =πλ , E_d =πλcx₀²/(1+τ²λ²) . (1.14) Wzory dla tłumików opisywanych innymi modelami reologicznymi są podane w pracy [10].

Właściwości mechaniczne tłumików drgań często opisuje się za pomocą dynamicznego modułu sprężystości ^E'(λ), modułu tłumienia ^E"(λ), lub/i współczynnika strat η(λ)^. Wielkości te można wyznaczyć doświadczalnie lub obliczyć, jeżeli znamy stałe modelu używanego do opisu tłumika. Omawiane wielkości zostaną poniżej wyznaczone dla modelu Maxwella. Zakłada się, że rozwiązanie równania (1.11), opisującego drgania ustalone tłumika, jest o postaci:

e t

U t

u^{( )}= ⁽λ^{) iλ} , x⁽t⁾= X⁽λ⁾e^iλt , (1.15) gdzie i= −1 jest jednostką urojoną, a ^U(λ) ^{i X(}λ⁾ są odpowiednio zespolonymi amplitudami siły w tłumiku i względnych przemieszczeń tłumika. Po podstawieniu (1.15) do (1.11) otrzymuje się

( )

_{( )}

1 ) i i (

1 ) i

( 2 2 λ

λ τ

τλ λ τλ

τλ

λ ^cλ ^{X k X}

U +

= +

= + . (1.16)

Część rzeczywista współczynnika we wzorze (1.16) jest nazywana dynamicznym modułem sprężystości ^E'(λ), a część urojona modułem stratności ^E"(λ), a iloraz tych wielkości nazywa się współczynnikiem strat, tzn.

2 2

2 2

) 1 (

' τ λ

λ λ τ

=k +

E , _{2 2}

) 1 (

"

λ τ

λ λ τ

=k +

E ,

λ τ λ λ λ

η ¹

) (

) ) (

( =

′

= ′′

E

E , (1.17)

W przypadku modelu Kelvina omawiane powyżej wielkości opisane są wzorami:

k

E'(λ)= ^{, E}"(λ)=^cλ , η(λ)=c /λ k , (1.18) a wzory dla innych modeli tłumików można znaleźć w pracach [10,11].

Współczynnik strat może być interpretowany jako stosunek energii rozpraszanej w trakcie jednego cyklu drgań okresowych do, pomnożonej przez π2 , maksymalnej energii sprężystej tłumika.

Na rys. 1.7-1.9 pokazano wykresy omawianych wielkości dla obu wspomnianych powyżej modeli w zależności od wartości bezwymiarowej częstotliwości wymuszenia τ . Rysunek λ 1.7 przedstawia wykresy bezwymiarowych modułów dynamicznych E'(λ)/k, a rys. 1.8 wykresy bezwymiarowych modułów stratności E^′′(λ)/k. Na rys. 1.9 pokazano wykresy współczynnika strat.

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

bezwymiarowa czestotliwość wymuszenia 0.0

0.5 1.0 1.5

dynamiczny moduł sprężystości

model Kelvina

model Maxwella

Rysunek 1.7. Wykres zależności bezwymiarowego modułu dynamicznego E'(λ)/k ^od bezwymiarowej częstotliwości wymuszenia τ λ

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0

bezwymiarowa czestotliwość wymuszenia 0.0

0.5 1.0 1.5

bezwymiarowy moduł stratnościi

model Kelvina

model Maxwella

Rysunek 1.8. Wykres zależności bezwymiarowego modułu stratności E^′′(λ)/k ^od bezwymiarowej częstotliwości wymuszenia τ λ

0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 bezwymiarowa czestotliwość wymuszenia 0.0

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

współczynnik strat

model Kelvina

model Maxwella

Rysunek 1.8. Wykres zależności współczynnika strat η(λ) od bezwymiarowej częstotliwości wymuszenia τ λ

Widać, że omawiane wielkości zależą od częstości wymuszenia. Moduł sprężystości dynamicznej modelu Kelvina jest niezależny od częstotliwości wymuszenia, a w modelu Maxwella wzrasta asymptotycznie do k . W modelu Maxwella funkcja modułu tłumienia

) (λ

E′′ ma ekstremum dla λ_e =^1/τ . Ponadto, współczynnik strat zawsze maleje wraz ze wzrostem częstości wymuszenia co znajduje potwierdzenie w wynikach doświadczeń z tłumikami lepkosprężystymi. Z wzoru (1.17.3) wynika, że dla λ→0^, η(λ)→∞, co nie zgadza się z wynikami eksperymentów. Podobnie nie znajduje potwierdzenia eksperymentalnego wynik E′(0)=0. Z tych powodów modele Kelvina i Maxwella nie opisują poprawnie zachowania tłumików lepkosprężystych. Najprostszym modelem tłumika, który jakościowo poprawnie opisuje zachowanie tłumików lepkosprężystych jest model standardowy (opisany np. w [10,21]).

2. Równania ruchu konstrukcji z lepkosprężystymi tłumikami drgań

Rozpatruje się konstrukcje prętowe zbudowane z materiału o właściwościach liniowo- sprężystych. Masa elementów konstrukcji jest albo rozłożona w sposób ciągły na długości elementu albo skoncentrowana w wybranych punktach konstrukcji. Do opisu konstrukcji stosuje się metodę elementów skończonych lub metodę przemieszczeń. Jako uproszczony model konstrukcji budynku wykorzystuje się także model ramy z nieodkształcalnymi ryglami.

W modelu tym rygle ramy są nieskończenie sztywne, pomija się odkształcenia osiowe prętów, a masa konstrukcji jest skoncentrowana na poziomie stropów (patrz [10]). Na schematach konstrukcji tłumiki drgań są oznaczane za pomocą małych prostokątów. Dwa typowe sposoby połączenia tłumików z konstrukcją pokazano na rys. 2.1 i 2.2. Tłumiki mają małą masę w porównaniu z masą innych elementów konstrukcji (szczególnie stropów) i dlatego traktuje się je jako elementy bezmasowe. Elementy łączące tłumik z konstrukcją są nazywane zastrzałem. Zastrzały są elementami sprężystymi, ale w uproszczonych modelach konstrukcji pomija się masę zastrzałów i traktuje się je jako elementy nieodkształcalne.

Rysunek 2.1. Tłumik wbudowany Rysunek 2.2. Tłumik połączony z konstrukcją

w zastrzał za pomocą zastrzału w kształcie litery V Równanie ruchu konstrukcji bez tłumików drgań traktowanej jako układ dyskretny o n dynamicznych stopniach swobody ma znaną postać:

) ( ) ( )

( )

(t _{k k} t _{k k} t _k t

k

kq C q K q p

M && + & + = , (2.1)

gdzie symbolami M , _k C i _k K oznaczono odpowiednio _k n×n wymiarowe macierze bezwładności, tłumienia i sztywności konstrukcji, q_k(t) jest wektorem parametrów węzłowych (przemieszczeń uogólnionych), a p_k(t) wektorem sił wymuszających.

Rozpatrzmy teraz konstrukcję z tłumikami wiskotycznymi lub/i tłumikami Kelvina.

Modele tłumików tego typu nie zawierają wspomnianych powyżej zmiennych wewnętrznych.

Jeżeli tłumiki te potraktujemy jako elementy skończone opisane w sposób podany powyżej to stosując procedurę metody elementu skończonego otrzymamy równanie ruchu o postaci:

) ( ) ( ) (

) ( ) (

)

(t _{k t k} t _{k t k} t _k t

k

kq C C q K K q p

M && + + & + + = , (2.2)

w którym symbolami C i _t K oznaczono te części macierzy tłumienia i sztywności, które _t wynikające z istnienia tłumików. W przypadku tłumików wiskotycznych K_t =0.

Równania ruchu konstrukcji z tłumikami opisywanymi za pomocą modeli zawierających zmienne wewnętrzne mają odmienną, pokazaną poniżej postać:

) ( ) ( )

( )

( )

( )

(t _{kk k} t _{kt t} t _{kk k} t _{kt t} t _k t

k

kkq C q C q K q K q p

M && + & + & + + = ,

C_tkq&_k(t)+C_ttq&_t(t)+K_tkq_k(t)+K_ttq_t(t)=0 . (2.3) W powyższych równaniach symbolami q_k(t) i q_t(t) oznaczono odpowiednio n-wymiarowy wektor parametrów węzłowych konstrukcji, do której zalicza się teraz także zastrzały, oraz r wymiarowy wektor zawierający zmienne wewnętrzne tłumików. Macierze M , _kk C i _kk K _kk o wymiarach (n×n) to odpowiednio blokowe macierze bezwładności, tłumienia i sztywności konstrukcji uzupełnione o elementy wynikające z istnienia tłumików. Macierze blokowe C _tt i K o wymiarach (_tt r×r) opisują odpowiednio właściwości tłumiące i sztywność tłumików, podczas gdy (n×r) wymiarowe macierze C i _kt K opisują efekty sprzężenia konstrukcji _kt z tłumikami. Ponadto, C_tk =C^T_kt^, K_tk =K^T_kt^.

Struktura równań ruchu (2.2) i (2.3) nie zależy od tego czy do opisu konstrukcji stosujemy metodę elementów skończonych czy też wspomniany model uproszczony. Dodatkowe

informacje o równaniach ruchu konstrukcji z tłumikami lepkosprężystymi można znaleźć w pracy [10].

Przykład 1

Wyprowadzono równania ruchu ramy z tłumikami drgań pokazanej na rys. 2.3. Zachowanie tłumików jest opisane modelem Maxwella. Do opisu konstrukcji zastosowano model ramy z nieodkształcalnymi ryglami. Zastrzały łączące tłumiki drgań z konstrukcją są nieodkształcalne. Masy stropów są jednakowe i oznaczone symbolem m, sztywności pięter są także jednakowe i oznaczono symbolem k . Pod pojęciem sztywność piętra należy rozumieć tą część elementu macierzy sztywności, która wynika ze sztywności na zginanie słupów znajdujących się na jednej kondygnacji. Szczegółowe informacje na ten temat są podane w pracach [8,10]. W rozważanym przypadku sztywność piętra oblicza się ze wzoru

/ 3

24EJ h

k = , gdzie EJ jest sztywnością na zginanie przekroju słupa, a h wysokością słupa.

Pomija się właściwości tłumiące konstrukcji. Parametry tłumików są także jednakowe i oznaczane symbolami: k_t (współczynnik sztywności) oraz c_t (współczynnik tłumienia).

Rysunek 2.3. Schemat ramy z dwoma tłumikami drgań

Równania ruchu rozpatrywanego układu mają postać (2.3). Pierwsza grupa równań wynikająca z warunków równowagi rygli ramy (patrz rys. 2.4) ma postać:

0 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )

( _{1 10 12 1}

1 t −mq t − T t + T t −u t =

P && _t ,

0 ) ( ) ( 2 ) ( 2 ) ( )

( _{2 21 23 2}

2 t −mq t − T t + T t +u t =

P && _s ,

0 ) ( ) ( 2 ) ( )

( _{3 32 2}

3 t −mq t − T t −u t =

P && _t , (a)

gdzie T_ij jest siłę poprzeczną w słupie łączącym stropy o numerach i oraz j.

T T

P q P q P q

u u

(t) (t) (t) u (t) (t) (t)

(t) (t)

(t)

T T

T T T T T T

m m m

12 23

1 1 2 2 3 3

1t 2t

2s

12 23

10 10 21 21 32 32

Rysunek 2.4. Siły działające na rygle ramy

Ze wzorów transformacyjnych metody przemieszczeń wynika, że

2T₁₀(t)=kq₁ , 2T₁₂(t)=2T₂₁(t)=k(q₂ −q₁) ^{, 2}T23⁽t⁾=²T32⁽t⁾=k⁽q3−q2⁾. (b) Równania (1.12) opisujące siły w tłumikach mają w omawianym przypadku postać:

1 , 1_s(t) k_tq_d

u = , u_1t(t)=c_t(q&₁−q&_d,1) , u_2s(t)=k_t(q_d,2 −q₂) , u_2t(t)=c_t(q&₃−q&_d,2) , (c) gdzie symbole u_1s(t), u_2s(t), u_1t(t), u_2t(t) oznaczają siły w tłumiku 1 i 2 wyznaczone odpowiednio na podstawie odkształceń sprężyny lub prędkości odkształceń elementu tłumiącego. Zmienne wewnętrzne tłumików oznaczono odpowiednio symbolami q_d,1 i q_d,2. Po podstawieniu zależności (b) i (c) do równań (a) otrzymuje się:

) ( ) ( )

( )

( ) ( 2 )

( _{1 2 1 ,1 1}

1 t kq t kq t c q t c q t P t

q

m&& + − + _t& − _t&_d = ,

) ( ) ( )

( )

( ) ( 2 ) ( )

( _{1 2 3 2 ,2 2}

2 t kq t kq t kq t k q t k q t P t

q

m&& − + − + _t − _{t d} = ,

) ( ) ( )

( )

( ) ( )

( _{2 3 3 ,2 3}

3 t kq t kq t cq t cq t P t

q

m&& − + + _t& − _t&_d = . (d)

Druga grupa równań (2.3) wynika z zależności: u_1s(t)=u_1t(t), u_2s(t)=u_2t(t). Po uwzględnieniu związków (c) otrzymuje się:

0 ) ( )

( )

( _{1 ,1}

1

, t −c q t +c q t =

q

k_{t d t} & _t &_d ,

0 ) ( )

( )

( )

( _{,2 3 ,2}

2 + − + =

−k_tq t k_tq_d t c_tq& t c_tq&_d t . (e)

Równania (d) i (e) opisują dynamiczne zachowanie rozpatrywanego układu. Przyjmują one postać macierzową (2.3) jeżeli: q_k(t)=[q₁(t),q₂(t),q₃(t)]^T, q_t(t)=[q_d,1(t),q_d,2(t)]^T, oraz

















−

− +

−

−

=

k k

k k k k

k k

t kk

0

2

0

2

K ,

















=

t t

kk

c c

0 0

0 0 0

0 0

C ,

















−

−

=

=

t t T

tk kt

c c

0

0 0

0 C

C ,

















−

=

=

0 0

0

0 0

t T

tk

kt K k

K , 



 



=

t t

tt k

k 0

0

K , 



 



=

t t

tt c

c 0

0 C ,

















=

m m m

kk

0 0

0 0

0 0

M . (f)

3. Charakterystyki dynamiczne konstrukcji z tłumikami lepkosprężystymi

Pod pojęciem charakterystyki dynamiczne konstrukcji rozumie się częstości i postacie drgań swobodnych. Wyznaczając częstości i postacie drgań, zazwyczaj pomija się w równaniach ruchu wpływ sił tłumienia, tzn. równanie ruchu ma postać:

0 q

K q

M_k&&_k(t)+ _{k k}(t)= . (3.1)

Rozwiązaniem równania (3.1) jest funkcja q_k(t)=acos(ωt+φ), a częstości drgań ω i wektory postaci drgań a wyznacza się rozwiązując uogólnione zagadnienie własne o postaci:

0 a M K − ) =

( _k ω² _k ^. (3.2)

Metody rozwiązywania zagadnienia własnego (3.2) są opisane w wielu publikacjach (np.

w [8,10]) i nie będą tutaj omawiane.

Jeżeli na konstrukcję działają duże siły tłumienia to należy jeszcze wyznaczyć bezwymiarowe współczynniki tłumienia modalnego γ . Współczynniki te są uważane za wygodną miarę skuteczności działania tłumików drgań. Dla układu o jednym stopniu swobody bezwymiarowy współczynnik tłumienia wyznacza się ze wzoru γ =c /c_kr^{, gdzie}

km m

c_kr =² ω = jest tzw. tłumieniem krytycznym, przy którym ruch układu staje się ruchem nieoscylacyjnym. Współczynnik ten określa, jaki ułamek tłumienia krytycznego stanowi tłumienie rozpatrywanego układu lub rozpatrywanej postaci drgań (jeżeli rozważa się układ o wielu stopniach swobody).

Charakterystyki dynamiczne konstrukcji z lepkosprężystymi tłumikami drgań wyznacza się rozwiązując równania ruchu opisujące drgania swobodne, tłumione. Należy wobec tego rozwiązać równania (2.2) lub (2.3) zakładając, że p_k(t)=0. Rozwiązanie omawianych równań jest jednak bardziej złożone w porównaniu z rozwiązaniem równania (3.1).

Rozpatrzmy równania (2.2) i (2.3) z p_k(t)=0 opisujące drgania konstrukcji z tłumikami drgań. Rozwiązania tych równań mają postaci:

st k

k t a e

q ( )= , q_t(t)=a_te^st, (3.3) gdzie funkcja (3.3.1) opisuje rozwiązanie równania (2.2), a obie funkcje (3.3) są rozwiązaniami układu równań (2.3).

Nieznane wektory a , _k a i stałą _t s wyznaczymy po podstawieniu (3.3) do (2.2) i (2.3).

W rezultacie otrzymuje się równanie algebraiczne (kwadratowy problem własny) o postaci:

(

s^2Mk ⁺s(^Ck ^+Ct)^+Kk ^+Kt

)

^ak ⁼⁰ , (3.4) jeżeli rozpatruje się konstrukcję z tłumikami opisywanymi bez użycia zmiennych wewnętrznych oraz równania:

0 a K C a

K C

Mkk +s kk + kk k + s kt + kt t =

s ) ( )

( ² ,

(sC_tk +K_tk)a_k +(sC_tt +K_tt)a_t =0 , (3.5) jeżeli zmienne wewnętrzne są używane do opisu tłumików lepkosprężystych.

Podobnie jak w przypadku liniowego problemu własnego (3.2), rozwiązania nietrywialnie (niezerowe) obu powyższych kwadratowych problemów własnych istnieją jeżeli są spełnione warunki:

0 ) )

(

det(s²M_k +s C_k +C_t +K_k +K_t = , (3.6)

) 0 (

) (

) (

) ( ²

+ = +

+ +

+

tt tt tk

tk

kt kt kk

kk kk

s s

s s

s

K C K

C

K C K

C

M , (3.7)

dotyczące odpowiednio problemu (3.4) i (3.5). Z tych warunków można wyznaczyć wartości własne s. Wypada jednak w tym miejscu zaznaczyć, że chociaż istnieją metody rozwiązania kwadratowego problemu własnego to z reguły nie są one dostępne w inżynierskich programach komercyjnych.

Szerszego omówienia wymagają rozwiązania powyższych problemów własnych.

W pierwszej kolejności omówione zostaną rozwiązania problemu (3.4), tzn. przypadek gdy zmienne wewnętrzne nie są używane do opisu tłumików. W tym przypadku otrzymuje się n2 rozwiązań; gdzie n jest liczbą dynamicznych stopni swobody. Jeżeli rama z tymi tłumikami

jest podkrytycznie tłumiona to wartości własne s i wektory własne _k a są odpowiednio _k liczbami i wektorami zespolonymi, parami sprzężonymi. Niektóre wartości i wektory własne są liczbami rzeczywistymi, jeżeli istnieją takie postacie drgań układu, które są nadkrytycznie tłumione (tzn. jeżeli dla tych postaci bezwymiarowy współczynnik tłumienia γ >1^).

W przypadku konstrukcji z tłumikami opisywanymi za pomocą zmiennych wewnętrznych liczba wartości i wektorów własnych jest większa i wynosi 2n+r, gdzie r jest liczbą zmiennych wewnętrznych. Podobnie jak w poprzednim przypadku najczęściej 2 wartości n i wektorów własnych to odpowiednio liczby i wektory zespolone, parami sprzężone.

Rozwiązania te są rozwiązaniami oscylacyjnymi; pokazanymi na rys. 3.1; podobnymi do rozwiązania dla drgań swobodnych, podkrytycznie tłumionych układu o jednym stopniu swobody. Ponadto otrzymuje się r wartości i wektorów własnych będących odpowiednio liczbami i wektorami rzeczywistymi. Te wartości i wektory własne są stowarzyszone z rozwiązaniem nieoscylacyjnym podobnym do rozwiązania pokazanego na prawym wykresie rys. 3.1. Jeżeli tłumienie w rozpatrywanym układzie będzie duże to część (zwykle niewielka część) wartości i wektorów własnych będących poprzednio liczbami i wektorami zespolonymi będzie teraz liczbami i wektorami rzeczywistymi. W każdym przypadku rzeczywiste wartości własne i części rzeczywiste zespolonych wartości własnych są liczbami ujemnymi.

czas t

przemieszczenie q(t)

^{czas t}

przemieszczenie q(t)

Rysunek 3.1. Rozwiązanie oscylacyjne (lewy wykres) i nieoscylacyjne (prawy wykres) Problem wyznaczania charakterystyk dynamicznych konstrukcji z tłumikami drgań można tak sformułować, aby konieczne było rozwiązanie liniowego, a nie kwadratowego problemu własnego. Wymaga to wprowadzenia tzw. wektora stanu z(t) i zapisania równań ruchu za pomocą tego wektora.

Jeżeli do opisu tłumików nie używa się zmiennych wewnętrznych to wektorem stanu jest

T k

k t t

t) [ ( ), ( )]

( q q

z = & , tzn. jest to wektor złożony z wektora przemieszczeń konstrukcji i wektora prędkości konstrukcji. W przeciwnym przypadku, tzn. gdy do opisu tłumików używa się zmiennych wewnętrznych to z(t)=[q_k(t),q&_k(t),q_t(t)]^T. Posługując się wektorem stanu można równania ruchu omawianego układu zapisać w postaci:

)

~( ) ( )

(t Az t p t z

B& = + , (3.8)

gdzie



 



 +

=

0 M

M C B C

k

k t

k , 



 



− −

=

k t k

M 0

0 K A K

,







= 0 p p

) ) (

~( t

t ^k , (3.9) jeżeli nie używa się zmiennych wewnętrznych do opisu tłumików oraz

















=

tt tk

kk

kt kk kk

C 0 C

0 0 M

C M C B

,

















−

−

−

−

=

tt tk

kk kt kk

K 0 K

0 M 0

K 0 K A

, 













= 0 0 p p

) ( )

~(

t t

k

, (3.10)

jeżeli używa się zmiennych wewnętrznych. Szczegółowe wyprowadzenie równania (3.8) jest podane w pracach [8-10].

Rozwiązanie równania (3.8) ma postać z(t)=ce^st(jeżeli p~ t( )=0). Po jego podstawieniu do (3.8) otrzymuje się liniowy problem własny o postaci:

0 c B A− ) =

( s . (3.11)

z którego można wyznaczyć wartości własne s i wektory własne c.

Po rozwiązaniu problemu własnego (3.11) otrzymuje się tyle samo wartości i wektorów własnych co z rozwiązania kwadratowych problemów własnych (3.4) lub (3.5). Wartości własne są takie same, ale wektory własne są różne. Istnieją jednak związki między wektorami wyznaczonymi z rozwiązania kwadratowego i liniowego problemu własnego. Jeżeli zmiennych wewnętrznych nie używa się do opisu tłumików to

st k k k

st k

s e t

e t

t 



=







=

= a

a q

c q

z

) (

) ) (

( & ^⇒ 



=

k k

s a c a

, (3.12) co oznacza, że połowa wektora własnego c jest równa wektorowi własnemu otrzymanemu _k z rozwiązania kwadratowego problemu własnego, a druga połowa jest równa temu wektorowi pomnożonemu przez odpowiadającą im wartość własną.

W przypadku gdy do opisu tłumików używa się zmiennych wewnętrznych można napisać:

st

t k k

t k k

st s e

t t t e

t













=













=

=

a a a

q q q c

z

) (

) (

) ( )

( & _⇒













=

t k k

s a

a a c

. (3.13)

Widać, że wektory własne a i _k a będące rozwiązaniami kwadratowego problemu _t własnego (3.5) są jednocześnie odpowiednimi częściami wektora własnego c.

Częstość własną ω i bezwymiarowy współczynnik tłumienia modalnego γ wyznacza się na podstawie pary zespolonych i sprzężonych wartości własnych ^s =µ +ⁱη, ^s =µ−ⁱη z zależności:

2 2

2 µ η

ω = + , γ =−µ/ω . (3.14)

Nie można mówić o częstościach drgań w przypadku rzeczywistych wartości własnych ponieważ odpowiadające im rozwiązania równań ruchu są nieoscylacyjne.

Przykład 2

Wyznaczono charakterystyki dynamiczne ramy z tłumikami drgań rozpatrywanej w przykładzie 1. Przyjęto następujące dane do obliczeń: masa piętra m=4,0⋅10⁴ kg, sztywność piętra k =4,0⋅10⁷ N/m, współczynnik sztywności tłumika kt =3,0⋅10⁷ N/m, współczynnik tłumienia tłumika c_t =7,5⋅10⁵ Ns/m.

W pierwszej kolejności wyznaczono częstości własne i wektory własne (wektory postaci drgań) ramy bez tłumików. Po rozwiązaniu równania (3.2) otrzymano wyniki zamieszczono w tabl. 3.1. Wektory własne (wektory postaci drgań) unormowano tak, aby wartości

maksymalnych elementów tych wektorów były równe 1. Nie uwzględniono właściwości tłumiących konstrukcji i z tego powodu bezwymiarowe współczynniki tłumienia modalnego są równe zero.

Tablica 3.1. Rozwiązania problemów własnych – rama bez i z tłumikami drgań

Lp.

Rama bez tłumików

sj ω_j γ j Wektor własny

1 - 14,073 0,0 0,4450 0,8019 1,0000

2 - 39,433 0,0 1,0000 0,4450 -0,8019

3 - 56,982 0,0 -0,8019 1,0000 -0,4450

Rama z tłumikami – model Maxwella 1 -1,0504

14,5360

±i 14,573 0,0721

0421 , 0 i 4286 ,

0 m 0,8082±i0,0166 1,0000±i0,0000 1400

, 0 i 0564 ,

0 m 0,8327±i0,0795 -

2 -5,5473 46,8356

±i 47,163 0,1176

0000 , 0 i 0000 ,

1 ± 0,2814mi0,1040 −0,6064±i0,1340 5542

, 0 i 5924 ,

0 ± −0,3764mi0,4551 -

3 -4,7113 64,2644

±i 64,437 0,0731

0996 , 0 i 6274 ,

0 ±

− 1,0000±i0,0000 −0,6157mi0,0809 2266

, 0 i 5103 ,

0 m

− −0,1528mi0,8323 -

4 -25,9458 - - 0,1462 0,1884 -0.2511

-0,2700 1,0000 -

5 -31,4362 - - -0,2724 -0,0640 -0.1468

1,0000 0,2397 -

Rama z tłumikami – model Kelvina 1 -0,7197

16,5757

±i 16,591 0,0434 0,3391mi0,0338 0,8446±i0,0141 1,0000 2 -11,2466

49,8437

±i 51,097 0,2201 1,0000 0,1812mi0,1866 −0,4951±i0,2567 3 ^-16,1586

63,2460

±i 65,278 0,2475 −0,5371±i0,3567 1,0000 −0,7236mi0,2465 Rama z tłumikami – tłumik wiskotyczny

1 ^-1,2186 14,1438

±i 14,196 0,0858 0,4447mi0,0473 0,8018±i0,0185 1,0000 2 ^-13,8426

38,3532

±i 40,775 0,3395 1,0000 0,4611mi0,3427 −0,8422±i0,3911 3 ^-13,0638

53,0457

±i 54,631 0,2391 −0,9429±i0,4155 1,0000 −0,4881mi0,4256